第二章 有理数的运算（单元自测·冲刺卷）数学新教材人教版七年级上册

2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第二章 有理数的运算·冲刺（参考答案） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C A C D A C A C B A A A 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 或 14. 15. 16. 17. 18. 2 三、解答题（共8小题，共66分） 19.【详解】（1）解： ；(3分) （2）解： ．(6分) 20.【详解】（1）解：， 答：小李在初始位置向西处；（2分） （2）解：， ，（4分） 答：共耗油； （3）解：（元）， 答：小李这天上午共得车费108元．（6分） 21.【详解】（1）解：由得或， 由得或．（2分） 若，则要求，与矛盾，这种情况不成立； 若，则时成立，； 时也成立，． 所以或．（4分） （2）解：因为，，要使它们的和为，必须同时为， 即，，（6分） 所以，， ．（8分） 22.【详解】（1）解：这2张卡片上数字乘积最大， 取出的2张卡片上的数字分别为，时，乘积最大， 即， 故答案为：；（2分） （2）这2张卡片上数字相除的商最小， 取出的2张卡片上的数字分别为，时，商最小， 即， 故答案为：；（5分） （3）结果为24， 取出的4张卡片上的数字分别为，，，，不可能为0， 则． 故答案为：．（8分） 23.【详解】解：设， 则（2分） ∴，（6分） 即．（8分） 24.【详解】（1）解：∵点A表示的数为， ∴点A到原点O的距离为1， ∵点B到原点O的距离是点A到原点O的距离的3倍， ∴点B到原点O的距离为3，又点A在点B的左侧， ∴数轴上点B对应的数是3；（2分） （2）解：∵点C到点A、点B的距离相等，点A表示的数为，点B表示的数是3， ∴点C表示的数为， ∴点C表示的数与点A表示的数之间的关系是互为相反数；（4分） （3）解：∵点A表示的数为，点B表示的数是3， ∴， ∵， ∴，（6分） ①当点D在点A的左侧时，点D表示的数是；（7分） ②当点D在点A的右侧时，点D表示的数为， 综上，点D表示的数为或7．（8分） 25.【详解】（1）解：①∵前齿轮48齿、后齿轮12齿， ∴转动脚踏1整圈，后齿轮转动了（圈），（1分） ∵前后轮直径均为60厘米， ∴前后轮的周长为（厘米）， ∴此时自行车前行的距离为：（厘米）， 720厘米米；（2分） ②∵传动比越小越省力， ∴小明想在上坡时更省力，应选择前齿轮齿数为36，后齿轮齿数为20个；（3分） （2）解：∵传动比最大为：， ∴根据解析（1）可得：当传动比为时，转动脚踏1整圈，自行车前行米， ∴小明至少要蹬圈才能通过一条360米长的桥；（6分） （3）解：当齿轮D的转速为700圈/分时会有安全隐患，理由如下： ∵齿轮A有30齿与齿轮B有42齿，齿轮A的最大转速为圈/分， ∴齿轮B的转速最大为：（圈/分），（7分） ∵齿轮B与齿轮C同轴固定， ∴齿轮C的最大转速为圈/分， ∵齿轮D有60齿，齿轮C有18齿， ∴当齿轮D的最大转速为：（圈/分），（9分） ∵， ∴当齿轮D的转速为700圈/分时会有安全隐患．（10分） 26.【详解】（1）①把 ， 故答案为：（1分） ② ， 即：．（3分） （2）① ②（6分） （3）∵， ， ， ，（9分） ，，且、为正整数， ，， 故答案为：（12分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第二章 有理数的运算·冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓．以节约一粒米的账来算：一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省3240万斤粮食，这些粮食可供9万人吃一年，“3240万”这个数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：3240万． 2．已知，，，都是非的自然数，设，那么与不相等的算式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用乘除混合运算的去括号规则与同级交换律，化简各选项后与对比． 【详解】解：. 选项A：，与不相等； 选项B：； 选项C：； 选项D：． 3．如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线上且到点B的距离为6，则C点表示的数是（     ） A．1 B． C．1或 D．1或 【答案】C 【分析】先根据两点间的距离公式求出点A对应点所表示的数，再利用中点公式求出C表示的数． 【详解】解：，， 当A落在16对应的点时，点C表示的数为：， 当A落在4对应的点时，点C表示的数为：． 综上所述，点C表示的数为1或． 4．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文（加密），接收方由密文明文（解密），已知有一种键盘密码（如图），每个字母与所在按键的数字序号对应，如字母与数字序号0对应．当明文中的字母对应的序号为时，将除以26后所得的余数作为密文中的字母对应的序号，例如明文“”对应密文“”．按上述规定，将密文“”解密后对应的明文是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据规定分别求出每个密文字母对应的明文即可求解． 【详解】解：根据题意可知，对应的序号为4， 的余数是4， 为1， 对应的明文为， 同理可得，对应的明文为，对应的明文为，对应的明文为， “”解密后对应的明文是． 5．随着时代的发展，打车软件种类繁多，滴滴和曹操出行分别设置这样的收费标准：起步价为8元和9元（3千米以内）、超过3千米的部分每千米分别为1.3元和1.2元，某乘客打车路程为10千米，哪种软件更划算？ （     ） A．滴滴 B．曹操出行 C．一样划算 D．无法比较 【答案】A 【详解】解：滴滴打车总费用为（元）， 曹操出行总费用为（元）， ∵， ∴滴滴软件更划算． 6．嘉嘉在美术课上了解到，用不同比例的红、黄两种颜料能调配出多种暖色调颜色．如图，根据红色颜料的占比，可以将调配出的颜色分为①、②、③、④等四类．用红色颜料和黄色颜料调配出的颜色属于（     ） A．①类 B．②类 C．③类 D．④类 【答案】C 【分析】先求出调配出的颜料总质量，再计算红色颜料的占比，最后结合数轴上的分类范围进行判断． 【详解】解：∵红色颜料质量为，黄色颜料质量为 ∴调配出的颜料总质量为 ∴红色颜料的占比为 ∵ ∴该颜色属于③类 ． 7．某同学将刻度尺按如图所示放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点，发现点对齐刻度，点对齐刻度．点是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，则数轴上点所对应的数为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】根据数轴上的长和直尺上的长，可求出数轴上一个单位长度在直尺上的长度是，再根据直尺上的长可求出数轴上的长，据此可得答案． 【详解】解：数轴上，直尺上，． ∴数轴上一个单位长度在直尺上的长度是， ∵直尺上，． ∴数轴上， ． ∴点对应的数是． 8．小明家的客厅长6米，宽4.8米．计划在地面上铺方砖，要求都用整块的方砖，且恰好铺满．方砖的边长可能是（   ） A．50厘米 B．80厘米 C．60厘米 D．100厘米 【答案】C 【详解】解：∵，，要求用整块的方砖恰好铺满， ∴ 方砖的边长需是600和480的公因数，即600和480都能被方砖的边长整除． 对选项逐一判断： A选项，50厘米，，不是整数，不符合要求． B选项，80厘米，，不是整数，不符合要求． C选项，60厘米，，，均为整数，符合要求． D选项，100厘米，，不是整数，不符合要求． ∴ 选C． 9．已知有理数、、在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由数轴易得，然后利用不等式性质逐项判断即可． 【详解】解：由数轴可知，且， ∴，，， ∴只有B选项正确． 10．“甲、乙两个网店销售进价元/件的一款马面裙，________；王阿姨要买一条马面裙，发现在甲、乙两店购买的价钱一样．”横线上的条件是（     ） ①甲先提价再打八折出售            ②乙以的利润定价再打七五折出售 ③甲提价出售                ④乙先提价再让利 A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】A 【分析】先根据方案所属店铺排除不符合的选项，再验证剩余选项的售价是否相等. 【详解】解：①、③为甲店销售方案，②、④为乙店销售方案. 要满足甲、乙两店售价相同，需分别选1个甲店方案和1个乙店方案，排除B、D. 甲方案①售价为. 乙方案②售价为. 两者售价相等，故①②组合符合题意， 而甲方案③售价为，与乙方案②的售价120不相等，故①③组合不符合题意. 11．【新定义】把一个正整数的各位数字中最大数与最小数的差叫做这个数的"提取差"．若一个正整数的提取差是 3 的倍数，则称这个数为"完美提取数"．例如 527 中最大的数字是 7，最小的数字是 2，提取差为 ，5 不是 3 的倍数，所以 527 不是"完美提取数"．下列各数中，是"完美提取数"的是（     ） A．4213 B．5125 C．2369 D．8347 【答案】A 【分析】分别找出每个选项四位数的最大数字、最小数字，求二者之差，检验差能否被3整除，满足条件即为完美提取数． 【详解】解：A、4213，最大数字，最小数字，，是的倍数，此选项符合题意； B、5125，最大数字，最小数字，，不是的倍数，此选项不符合题意； C、2369，最大数字，最小数字，，不是的倍数，此选项不符合题意； D、8347，最大数字，最小数字，，不是的倍数，此选项不符合题意． 12．有50张同样的卡片，上面分别写有1，2，3，．．．，49，50．从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上．如图，这五张卡片编号分别记为A，B，C，D，E，相邻两张卡片上的数的和如下表所示，则卡片上的数最大的编号记为（   ） 卡片编号 A，B B，C C，D D，E A，E 两数的和 71 48 54 66 59 A．D B．C C．B D．A 【答案】A 【分析】将五个相邻两数之和的等式相加，求出五个数的总和，再结合已知条件依次求出各数，比较大小即可． 【详解】解：由题意得：，，，，， 将以上五式相加得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，，， ∵，即， ∴卡片上的数最大的编号记为D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13．在数轴上，所表示的点在所表示的点的左边，且，，则的值为_____． 【答案】或 【分析】根据题意，得到，再化简绝对值，求出，，再利用减法法则进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵在数轴上，所表示的点在所表示的点的左边， ∴， ∴，， 当时，； 当时，； 综上，的值为或． 14．将不超过有理数x的最大整数称为x的整数部分，记为，比如，那么______． 【答案】 【分析】先根据题目中的定义得到各数的整数部分，再进行有理数的加法运算求解即可． 【详解】解：由题意可得，． 15．某校园餐厅把密码做成了数学题，小聪在餐厅就餐时，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了学子餐厅的网络，那么他输入的密码是__________． 账号： 密码 【答案】 【详解】解：设，拆分三段： 第一段：；第二段：；第三段：； 验证：：，拼接； ：，拼接； 计算：，拼接得． 16．手工课上，同学们制作一个圆锥形的纸杯，纸杯的底面直径是，高是．如果把它放进一个长方体收纳盒里，这个收纳盒的容积至少是___________立方厘米． 【答案】 【分析】要使长方体收纳盒容积最小，长方体的长和宽最小等于圆锥底面直径，高最小等于圆锥的高，代入长方体体积公式计算即可． 【详解】解：∵圆锥底面直径为，高为，要将圆锥放入长方体中，长方体的长、宽最小等于圆锥底面直径，高最小等于圆锥的高， ∴长方体的长为，宽为，高为， ∴收纳盒的最小容积为：（立方厘米）． 17．定义的运算为，则________． 【答案】 【分析】根据新定义的运算规则，先判断每组运算中两个数的大小关系，代入对应公式计算出每一项的结果，再求和即可． 【详解】解：∵ ，满足的运算规则， ∴ ； ∵ ，满足的运算规则， ∴ ； ∵ ，满足的运算规则， ∴ ； ∴ 原式. 18．公园个人票每张5元，团体票每张30元，供不超过10人入园，买10张以上的团体票，可优惠，某单位秋游，原来准备的钱刚好够145人的门票用，临时又加了两个人，幸好两人每人都带了相同多的钱，这样147人刚好都能购票入园，这两人共带了_______元． 【答案】2 【分析】先计算优惠后的团体票单价，对比不同购票方案的花费得到145人入园时单位原准备的钱数，再计算147人入园的最低总花费，两者的差就是两人共带的钱数． 【详解】解：优惠后每张团体票价格为：元， 计算145人不同购票方案的花费： 方案1：买14张团体票（容纳140人）5张个人票，总花费为元， 方案2：买15张团体票（可容纳150人），总花费为元， ∵，原来准备的钱刚好够145人门票， ∴单位原来准备的钱为403元， 计算147人不同购票方案的花费： 方案1：买14张团体票7张个人票，总花费为 元， 方案2：买15张团体票，总花费为 元， ∵， ∴147人入园的最低总花费为405元， 两人共带的钱为：元． 三、解答题（共8小题，共66分） 19．（6分）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算绝对值里面的减法，再根据绝对值的性质进行化简，最后进行加减运算； （2）根据加法交换律及结合律将原式化为，然后计算中括号内的加法，最后进行加减运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．（6分）出租车司机小李某天上午营运时是在东西走向的大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午所接六位乘客的行车里程（单位：）如下： ，，，，，． (1)将最后一位乘客送到目的地时，小李在什么位置？ (2)若汽车的耗油量为，这天上午小李接送乘客，共耗油多少升？ (3)若出租车起步价为8元，起步里程为（包括），超过部分每千米12元，问小李这天上午共得车费多少元？ 【答案】(1)小李在初始位置向西处 (2)共耗油 (3)小李这天上午共得车费108元 【分析】（1）先将这几个数相加，若和为正，则在出发点的东方；若和为负，则在出发点的西方； （2）将这几个数的绝对值相加，再乘以耗油量，即可得出答案； （3）不超过的按8元计算，超过的在8元的基础上，再加上超过部分乘以12元，即可解答． 【详解】（1）解：， 答：小李在初始位置向西处； （2）解：， ， 答：共耗油； （3）解：（元）， 答：小李这天上午共得车费108元． 21．（8分）根据下列条件，分别求出相应的值． (1)已知，，且，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据绝对值的定义求出、的值，根据分两种情况分别计算即可得到答案； （2）根据绝对值非负数的性质求出、的值，再代入进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：由得或， 由得或． 若，则要求，与矛盾，这种情况不成立； 若，则时成立，； 时也成立，． 所以或． （2）解：因为，，要使它们的和为，必须同时为， 即，， 所以，， ． 22．（8分）小明有5张写着不同的数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是________； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是________； (3)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．写出运算式子：________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数的运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）根据有理数乘法的法则和乘积最大，计算即可求解； （2）根据有理数除法的法则和商最小，计算即可求解； （3）根据有理数的混合运算法则，计算即可求解． 【详解】（1）解：这2张卡片上数字乘积最大， 取出的2张卡片上的数字分别为，时，乘积最大， 即， 故答案为：； （2）这2张卡片上数字相除的商最小， 取出的2张卡片上的数字分别为，时，商最小， 即， 故答案为：； （3）结果为24， 取出的4张卡片上的数字分别为，，，，不可能为0， 则． 故答案为：． 23．（8分）阅读下面的材料，然后按照材料中提供的方法计算． 计算：． 解：设， 则， 所以 ， 即． 按照上面的方法，计算：． 【答案】 【分析】理解题意，模仿题干过程进行分析作答即可． 【详解】解：设， 则 ∴， 即． 24．（8分）如图所示，已知，两点在数轴上，点在点的左侧，点表示的数为，点到原点的距离是点到原点的距离的3倍． (1)数轴上点对应的数是_________． (2)若点到点、点的距离相等，则点表示的数为 ．点表示的数与点表示的数之间的关系是 ． (3)若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，若在数轴上存在点，使得，请直接写出表示的数是多少？ 【答案】(1)3 (2)1；互为相反数 (3)或7 【分析】（1）求出点A到原点O的距离为1，从而可得点B到原点O的距离为3，由此即可得； （2）根据数轴的性质列出式子，计算即可得点C表示的数，再根据相反数的定义即可得； （3）先求得，分两种情况：①点D在点A的左侧时，②点D在点A的右侧时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵点A表示的数为， ∴点A到原点O的距离为1， ∵点B到原点O的距离是点A到原点O的距离的3倍， ∴点B到原点O的距离为3，又点A在点B的左侧， ∴数轴上点B对应的数是3； （2）解：∵点C到点A、点B的距离相等，点A表示的数为，点B表示的数是3， ∴点C表示的数为， ∴点C表示的数与点A表示的数之间的关系是互为相反数； （3）解：∵点A表示的数为，点B表示的数是3， ∴， ∵， ∴， ①当点D在点A的左侧时，点D表示的数是； ②当点D在点A的右侧时，点D表示的数为， 综上，点D表示的数为或7． 25．（10分）综合与实践：变速自行车中的数学奥秘 【问题背景】 材料一：自行车通常采用链条传动方式，链条连接前，后齿轮、前齿轮与脚踏相连，骑行者每踩动脚踏一周，前齿轮随之转动一周；后齿轮与后轮相连，后齿轮每转动一周，后轮也随之转动一周，并通过后轮的转动驱动自行车前进，车轮转动的圈数等于后齿轮转动的圈数． 材料二：变速自行车在前齿轮盘和后齿轮盘上通常设有多个齿数不同的齿轮，通过前后齿轮的不同组合，可以改变骑行效果，实现“省力”或“快速”等不同的骑行方式．图（1）（2）为某型号变速自行车的基本结构，链条所连接的两个齿轮分别称为主动链轮（前齿轮）和从动链轮（后齿轮）． 材料三：传动比指前齿轮齿数与后齿轮齿数的比值（传动比前齿轮齿数后齿轮齿数）．传动比越大，脚踏每蹬1圈，后轮转动圈数越多，速度越快但费力；传动比越小越省力． 在链条传动过程中，由于链条与齿轮啮合，前齿轮转过的齿数始终等于后齿轮转过的齿数．基于这一原理，小明希望通过自主探究，弄清楚变速自行车背后的数学原理，于是展开了以下探究． 【活动探究】 小明仔细观察了自己的变速自行车，有2个前齿轮（齿数分别为48个、36个）和5个后齿轮（齿数分别为12个、14个、16个、18个、20个），前后轮直径均为60厘米．请根据这些信息解答下列问题．（取3）． (1)①前齿轮48齿、后齿轮12齿时，转动脚踏1整圈，后齿轮转动了 圈，此时自行车前行 米； ②小明想在上坡时更省力，应选择前齿轮齿数为 ，后齿轮齿数为 ； (2)小明至少要蹬 圈才能通过一条360米长的桥； (3)小明在了解变速自行车的数学原理后，开始研究工业机器人关节中的复合轮系，该复合轮系用来精准降低转速、增大扭矩．如图（3）是一种简化模型，由齿轮A（30齿）与齿轮B（42齿）啮合；齿轮B与齿轮C（18齿）同轴固定，所以转速相同；齿轮C与齿轮D（60齿）啮合．齿轮A与电机相连，为主动轮（输入端）．出于安全考虑，电机转速不得超过2800圈/分，判断当齿轮D的转速为700圈/分时是否会有安全隐患，如果没有请说明理由；如果有，请写出齿轮D最高的转速． 【答案】(1)①4；；②36；20 (2)50 (3)当齿轮D的转速为700圈/分时会有安全隐患；齿轮D最高的转速为圈/分 【分析】（1）①根据前齿轮48齿、后齿轮12齿，求出结果即可； ②根据传动比越小越省力，即可得出答案； （2）根据传动比最大时，蹬的圈数最少，求出结果即可； （3）求出齿轮D的最高转速，进行判断即可． 【详解】（1）解：①∵前齿轮48齿、后齿轮12齿， ∴转动脚踏1整圈，后齿轮转动了（圈）， ∵前后轮直径均为60厘米， ∴前后轮的周长为（厘米）， ∴此时自行车前行的距离为：（厘米）， 720厘米米； ②∵传动比越小越省力， ∴小明想在上坡时更省力，应选择前齿轮齿数为36，后齿轮齿数为20个； （2）解：∵传动比最大为：， ∴根据解析（1）可得：当传动比为时，转动脚踏1整圈，自行车前行米， ∴小明至少要蹬圈才能通过一条360米长的桥； （3）解：当齿轮D的转速为700圈/分时会有安全隐患，理由如下： ∵齿轮A有30齿与齿轮B有42齿，齿轮A的最大转速为圈/分， ∴齿轮B的转速最大为：（圈/分）， ∵齿轮B与齿轮C同轴固定， ∴齿轮C的最大转速为圈/分， ∵齿轮D有60齿，齿轮C有18齿， ∴当齿轮D的最大转速为：（圈/分）， ∵， ∴当齿轮D的转速为700圈/分时会有安全隐患． 26．进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，即“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． 为区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数（十进制数一般不标注基数）． 可知：一个其它进位制数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，从而转化成一个十进制数，反之，可以将一个十进制数表示成一个其它进位制数． 规定：当时，． 例如：，即； ，即； ，即． 【初步感知】 （1）①请把转化为十进制数为______； ②请把转化为八进制数； 【类比探究】 （2）类比十进制数的四则运算可进行其它进位制数的运算， 例如：． 计算：①； ②． 【拓展提升】 （3）小聪发现不同进制数都可以化为十进制数，故不同进制数也可以进行加法运算． 例如：． 若，则_____（结果用十进制数表示）． 【答案】（1）①142；②；（2）①；②；（3）51 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用． （1）根据题意将三进制化为十进制即可求解． （2）根据题意，类比十进制的运算规则，在相应进位制下进行计算即可求解． （3）根据题意例题进行计算先求得，，根据即可求解． 【详解】（1）①把 ， 故答案为： ② ， 即：． （2）① ② （3）∵， ， ， ， ，，且、为正整数， ，， 故答案为： 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第二章 有理数的运算·冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓．以节约一粒米的账来算：一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省3240万斤粮食，这些粮食可供9万人吃一年，“3240万”这个数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 2．已知，，，都是非的自然数，设，那么与不相等的算式是（     ） A． B． C． D． 3．如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线上且到点B的距离为6，则C点表示的数是（     ） A．1 B． C．1或 D．1或 4．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文（加密），接收方由密文明文（解密），已知有一种键盘密码（如图），每个字母与所在按键的数字序号对应，如字母与数字序号0对应．当明文中的字母对应的序号为时，将除以26后所得的余数作为密文中的字母对应的序号，例如明文“”对应密文“”．按上述规定，将密文“”解密后对应的明文是（     ） A． B． C． D． 5．随着时代的发展，打车软件种类繁多，滴滴和曹操出行分别设置这样的收费标准：起步价为8元和9元（3千米以内）、超过3千米的部分每千米分别为1.3元和1.2元，某乘客打车路程为10千米，哪种软件更划算？ （     ） A．滴滴 B．曹操出行 C．一样划算 D．无法比较 6．嘉嘉在美术课上了解到，用不同比例的红、黄两种颜料能调配出多种暖色调颜色．如图，根据红色颜料的占比，可以将调配出的颜色分为①、②、③、④等四类．用红色颜料和黄色颜料调配出的颜色属于（     ） A．①类 B．②类 C．③类 D．④类 7．某同学将刻度尺按如图所示放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点，发现点对齐刻度，点对齐刻度．点是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，则数轴上点所对应的数为（    ） A． B． C． D．3 8．小明家的客厅长6米，宽4.8米．计划在地面上铺方砖，要求都用整块的方砖，且恰好铺满．方砖的边长可能是（   ） A．50厘米 B．80厘米 C．60厘米 D．100厘米 9．已知有理数、、在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 10．“甲、乙两个网店销售进价元/件的一款马面裙，________；王阿姨要买一条马面裙，发现在甲、乙两店购买的价钱一样．”横线上的条件是（     ） ①甲先提价再打八折出售            ②乙以的利润定价再打七五折出售 ③甲提价出售                ④乙先提价再让利 A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 11．【新定义】把一个正整数的各位数字中最大数与最小数的差叫做这个数的"提取差"．若一个正整数的提取差是 3 的倍数，则称这个数为"完美提取数"．例如 527 中最大的数字是 7，最小的数字是 2，提取差为 ，5 不是 3 的倍数，所以 527 不是"完美提取数"．下列各数中，是"完美提取数"的是（     ） A．4213 B．5125 C．2369 D．8347 12．有50张同样的卡片，上面分别写有1，2，3，．．．，49，50．从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上．如图，这五张卡片编号分别记为A，B，C，D，E，相邻两张卡片上的数的和如下表所示，则卡片上的数最大的编号记为（   ） 卡片编号 A，B B，C C，D D，E A，E 两数的和 71 48 54 66 59 A．D B．C C．B D．A 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13．在数轴上，所表示的点在所表示的点的左边，且，，则的值为_____． 14．将不超过有理数x的最大整数称为x的整数部分，记为，比如，那么______． 15．某校园餐厅把密码做成了数学题，小聪在餐厅就餐时，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了学子餐厅的网络，那么他输入的密码是__________． 账号： 密码 16．手工课上，同学们制作一个圆锥形的纸杯，纸杯的底面直径是，高是．如果把它放进一个长方体收纳盒里，这个收纳盒的容积至少是___________立方厘米． 17．定义的运算为，则________． 18．公园个人票每张5元，团体票每张30元，供不超过10人入园，买10张以上的团体票，可优惠，某单位秋游，原来准备的钱刚好够145人的门票用，临时又加了两个人，幸好两人每人都带了相同多的钱，这样147人刚好都能购票入园，这两人共带了_______元． 三、解答题（共8小题，共66分） 19．（6分）计算 (1) (2) 20．（6分）出租车司机小李某天上午营运时是在东西走向的大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午所接六位乘客的行车里程（单位：）如下： ，，，，，． (1)将最后一位乘客送到目的地时，小李在什么位置？ (2)若汽车的耗油量为，这天上午小李接送乘客，共耗油多少升？ (3)若出租车起步价为8元，起步里程为（包括），超过部分每千米12元，问小李这天上午共得车费多少元？ 21．（8分）根据下列条件，分别求出相应的值． (1)已知，，且，求的值； (2)已知，求的值． 22．（8分）小明有5张写着不同的数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是________； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是________； (3)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．写出运算式子：________． 23．（8分）阅读下面的材料，然后按照材料中提供的方法计算． 计算：． 解：设， 则， 所以 ， 即． 按照上面的方法，计算：． 24．（8分）如图所示，已知，两点在数轴上，点在点的左侧，点表示的数为，点到原点的距离是点到原点的距离的3倍． (1)数轴上点对应的数是_________． (2)若点到点、点的距离相等，则点表示的数为 ．点表示的数与点表示的数之间的关系是 ． (3)若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，若在数轴上存在点，使得，请直接写出表示的数是多少？ 25．（10分）综合与实践：变速自行车中的数学奥秘 【问题背景】 材料一：自行车通常采用链条传动方式，链条连接前，后齿轮、前齿轮与脚踏相连，骑行者每踩动脚踏一周，前齿轮随之转动一周；后齿轮与后轮相连，后齿轮每转动一周，后轮也随之转动一周，并通过后轮的转动驱动自行车前进，车轮转动的圈数等于后齿轮转动的圈数． 材料二：变速自行车在前齿轮盘和后齿轮盘上通常设有多个齿数不同的齿轮，通过前后齿轮的不同组合，可以改变骑行效果，实现“省力”或“快速”等不同的骑行方式．图（1）（2）为某型号变速自行车的基本结构，链条所连接的两个齿轮分别称为主动链轮（前齿轮）和从动链轮（后齿轮）． 材料三：传动比指前齿轮齿数与后齿轮齿数的比值（传动比前齿轮齿数后齿轮齿数）．传动比越大，脚踏每蹬1圈，后轮转动圈数越多，速度越快但费力；传动比越小越省力． 在链条传动过程中，由于链条与齿轮啮合，前齿轮转过的齿数始终等于后齿轮转过的齿数．基于这一原理，小明希望通过自主探究，弄清楚变速自行车背后的数学原理，于是展开了以下探究． 【活动探究】 小明仔细观察了自己的变速自行车，有2个前齿轮（齿数分别为48个、36个）和5个后齿轮（齿数分别为12个、14个、16个、18个、20个），前后轮直径均为60厘米．请根据这些信息解答下列问题．（取3）． (1)①前齿轮48齿、后齿轮12齿时，转动脚踏1整圈，后齿轮转动了 圈，此时自行车前行 米； ②小明想在上坡时更省力，应选择前齿轮齿数为 ，后齿轮齿数为 ； (2)小明至少要蹬 圈才能通过一条360米长的桥； (3)小明在了解变速自行车的数学原理后，开始研究工业机器人关节中的复合轮系，该复合轮系用来精准降低转速、增大扭矩．如图（3）是一种简化模型，由齿轮A（30齿）与齿轮B（42齿）啮合；齿轮B与齿轮C（18齿）同轴固定，所以转速相同；齿轮C与齿轮D（60齿）啮合．齿轮A与电机相连，为主动轮（输入端）．出于安全考虑，电机转速不得超过2800圈/分，判断当齿轮D的转速为700圈/分时是否会有安全隐患，如果没有请说明理由；如果有，请写出齿轮D最高的转速． 26．进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，即“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． 为区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数（十进制数一般不标注基数）． 可知：一个其它进位制数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，从而转化成一个十进制数，反之，可以将一个十进制数表示成一个其它进位制数． 规定：当时，． 例如：，即； ，即； ，即． 【初步感知】 （1）①请把转化为十进制数为______； ②请把转化为八进制数； 【类比探究】 （2）类比十进制数的四则运算可进行其它进位制数的运算， 例如：． 计算：①； ②． 【拓展提升】 （3）小聪发现不同进制数都可以化为十进制数，故不同进制数也可以进行加法运算． 例如：． 若，则_____（结果用十进制数表示）． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第二章 有理数的运算·冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓．以节约一粒米的账来算：一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省3240万斤粮食，这些粮食可供9万人吃一年，“3240万”这个数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 2．已知，，，都是非的自然数，设，那么与不相等的算式是（     ） A． B． C． D． 3．如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线上且到点B的距离为6，则C点表示的数是（     ） A．1 B． C．1或 D．1或 4．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文（加密），接收方由密文明文（解密），已知有一种键盘密码（如图），每个字母与所在按键的数字序号对应，如字母与数字序号0对应．当明文中的字母对应的序号为时，将除以26后所得的余数作为密文中的字母对应的序号，例如明文“”对应密文“”．按上述规定，将密文“”解密后对应的明文是（     ） A． B． C． D． 5．随着时代的发展，打车软件种类繁多，滴滴和曹操出行分别设置这样的收费标准：起步价为8元和9元（3千米以内）、超过3千米的部分每千米分别为1.3元和1.2元，某乘客打车路程为10千米，哪种软件更划算？ （     ） A．滴滴 B．曹操出行 C．一样划算 D．无法比较 6．嘉嘉在美术课上了解到，用不同比例的红、黄两种颜料能调配出多种暖色调颜色．如图，根据红色颜料的占比，可以将调配出的颜色分为①、②、③、④等四类．用红色颜料和黄色颜料调配出的颜色属于（     ） A．①类 B．②类 C．③类 D．④类 7．某同学将刻度尺按如图所示放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点，发现点对齐刻度，点对齐刻度．点是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，则数轴上点所对应的数为（    ） A． B． C． D．3 8．小明家的客厅长6米，宽4.8米．计划在地面上铺方砖，要求都用整块的方砖，且恰好铺满．方砖的边长可能是（   ） A．50厘米 B．80厘米 C．60厘米 D．100厘米 9．已知有理数、、在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 10．“甲、乙两个网店销售进价元/件的一款马面裙，________；王阿姨要买一条马面裙，发现在甲、乙两店购买的价钱一样．”横线上的条件是（     ） ①甲先提价再打八折出售            ②乙以的利润定价再打七五折出售 ③甲提价出售                ④乙先提价再让利 A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 11．【新定义】把一个正整数的各位数字中最大数与最小数的差叫做这个数的"提取差"．若一个正整数的提取差是 3 的倍数，则称这个数为"完美提取数"．例如 527 中最大的数字是 7，最小的数字是 2，提取差为 ，5 不是 3 的倍数，所以 527 不是"完美提取数"．下列各数中，是"完美提取数"的是（     ） A．4213 B．5125 C．2369 D．8347 12．有50张同样的卡片，上面分别写有1，2，3，．．．，49，50．从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上．如图，这五张卡片编号分别记为A，B，C，D，E，相邻两张卡片上的数的和如下表所示，则卡片上的数最大的编号记为（   ） 卡片编号 A，B B，C C，D D，E A，E 两数的和 71 48 54 66 59 A．D B．C C．B D．A 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13．在数轴上，所表示的点在所表示的点的左边，且，，则的值为_____． 14．将不超过有理数x的最大整数称为x的整数部分，记为，比如，那么______． 15．某校园餐厅把密码做成了数学题，小聪在餐厅就餐时，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了学子餐厅的网络，那么他输入的密码是__________． 账号： 密码 16．手工课上，同学们制作一个圆锥形的纸杯，纸杯的底面直径是，高是．如果把它放进一个长方体收纳盒里，这个收纳盒的容积至少是___________立方厘米． 17．定义的运算为，则________． 18．公园个人票每张5元，团体票每张30元，供不超过10人入园，买10张以上的团体票，可优惠，某单位秋游，原来准备的钱刚好够145人的门票用，临时又加了两个人，幸好两人每人都带了相同多的钱，这样147人刚好都能购票入园，这两人共带了_______元． 三、解答题（共8小题，共66分） 19．（6分）计算 (1) (2) 20．（6分）出租车司机小李某天上午营运时是在东西走向的大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午所接六位乘客的行车里程（单位：）如下： ，，，，，． (1)将最后一位乘客送到目的地时，小李在什么位置？ (2)若汽车的耗油量为，这天上午小李接送乘客，共耗油多少升？ (3)若出租车起步价为8元，起步里程为（包括），超过部分每千米12元，问小李这天上午共得车费多少元？ 21．（8分）根据下列条件，分别求出相应的值． (1)已知，，且，求的值； (2)已知，求的值． 22．（8分）小明有5张写着不同的数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是________； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是________； (3)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．写出运算式子：________． 23．（8分）阅读下面的材料，然后按照材料中提供的方法计算． 计算：． 解：设， 则， 所以 ， 即． 按照上面的方法，计算：． 24．（8分）如图所示，已知，两点在数轴上，点在点的左侧，点表示的数为，点到原点的距离是点到原点的距离的3倍． (1)数轴上点对应的数是_________． (2)若点到点、点的距离相等，则点表示的数为 ．点表示的数与点表示的数之间的关系是 ． (3)若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，若在数轴上存在点，使得，请直接写出表示的数是多少？ 25．（10分）综合与实践：变速自行车中的数学奥秘 【问题背景】 材料一：自行车通常采用链条传动方式，链条连接前，后齿轮、前齿轮与脚踏相连，骑行者每踩动脚踏一周，前齿轮随之转动一周；后齿轮与后轮相连，后齿轮每转动一周，后轮也随之转动一周，并通过后轮的转动驱动自行车前进，车轮转动的圈数等于后齿轮转动的圈数． 材料二：变速自行车在前齿轮盘和后齿轮盘上通常设有多个齿数不同的齿轮，通过前后齿轮的不同组合，可以改变骑行效果，实现“省力”或“快速”等不同的骑行方式．图（1）（2）为某型号变速自行车的基本结构，链条所连接的两个齿轮分别称为主动链轮（前齿轮）和从动链轮（后齿轮）． 材料三：传动比指前齿轮齿数与后齿轮齿数的比值（传动比前齿轮齿数后齿轮齿数）．传动比越大，脚踏每蹬1圈，后轮转动圈数越多，速度越快但费力；传动比越小越省力． 在链条传动过程中，由于链条与齿轮啮合，前齿轮转过的齿数始终等于后齿轮转过的齿数．基于这一原理，小明希望通过自主探究，弄清楚变速自行车背后的数学原理，于是展开了以下探究． 【活动探究】 小明仔细观察了自己的变速自行车，有2个前齿轮（齿数分别为48个、36个）和5个后齿轮（齿数分别为12个、14个、16个、18个、20个），前后轮直径均为60厘米．请根据这些信息解答下列问题．（取3）． (1)①前齿轮48齿、后齿轮12齿时，转动脚踏1整圈，后齿轮转动了 圈，此时自行车前行 米； ②小明想在上坡时更省力，应选择前齿轮齿数为 ，后齿轮齿数为 ； (2)小明至少要蹬 圈才能通过一条360米长的桥； (3)小明在了解变速自行车的数学原理后，开始研究工业机器人关节中的复合轮系，该复合轮系用来精准降低转速、增大扭矩．如图（3）是一种简化模型，由齿轮A（30齿）与齿轮B（42齿）啮合；齿轮B与齿轮C（18齿）同轴固定，所以转速相同；齿轮C与齿轮D（60齿）啮合．齿轮A与电机相连，为主动轮（输入端）．出于安全考虑，电机转速不得超过2800圈/分，判断当齿轮D的转速为700圈/分时是否会有安全隐患，如果没有请说明理由；如果有，请写出齿轮D最高的转速． 26．进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，即“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． 为区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数（十进制数一般不标注基数）． 可知：一个其它进位制数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，从而转化成一个十进制数，反之，可以将一个十进制数表示成一个其它进位制数． 规定：当时，． 例如：，即； ，即； ，即． 【初步感知】 （1）①请把转化为十进制数为______； ②请把转化为八进制数； 【类比探究】 （2）类比十进制数的四则运算可进行其它进位制数的运算， 例如：． 计算：①； ②． 【拓展提升】 （3）小聪发现不同进制数都可以化为十进制数，故不同进制数也可以进行加法运算． 例如：． 若，则_____（结果用十进制数表示）． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $