第二章一元二次函数、方程和不等式章末检测试卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第二章章末检测试卷 （满分150 时间120分钟） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则的最小值为（ ） A．5 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】由题可知，，利用基本不等式即可求解； 【详解】， ， 当且仅当，即时取等号， 的最小值为5. 故选A 2. 一元二次不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】求出一元二次不等式的解集判断即可. 【详解】不等式化为，即，解得， 所以原不等式的解集为. 故选：A 3．已知a，b为正实数且，则的最小值为（  ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】将代入，利用基本不等式可求最小值. 【详解】由题意，，又a，b为正实数， 所以由基本不等式可得， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为. 故选：D. 4. 用篱笆围一个面积为的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是（　　） A．30 B．36 C．40 D．50 【答案】C 【分析】设矩形的长为，则宽为，设所用篱笆的长为，所以有，利用基本不等式可以求出的最小值. 【详解】设矩形的长为，则宽为，设所用篱笆的长为，所以有，根据基本不等式可知：，（当且仅当时，等号成立，即时，取等号）故本题选C. 5. 若不等式的解集为，则（ ） A．0 B．6 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据韦达定理即可求解. 【详解】不等式的解集为，则是方程的两个实数根， 故，解得，故， 故答案为：A 6. 下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】通过举反例排除A,C两项，利用不等式的性质进行推理，可以排除D项，证得B项. 【详解】对于A,当时，显然不成立，故A错误； 对于B，由，利用不等式的性质易得，故B正确； 对于C，当时，取，则，故C错误； 对于D，当时，，由不等式的性质，可得，故D错误. 故选：B. 7．已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B．，或 C． D．，或 【答案】A 【分析】根据，由基本不等式得出的最小值8， 然后根据这个最小值确定m的取值范围. 【详解】 ， ，当且仅当时等号成立， 恒成立，， 解得. 故选：A. 8. 一家货物公司计划租地，了解到每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比；若在距离车站处建仓库，则和分别为2万元和8万元．则当两项费用之和最小时，仓库应建在距离车站（ ）千米 A．4 B．5 C．2 D．. 【答案】B 【分析】先利用待定系数法求出和关于的函数解析式，再利用基本不等式即可求解． 【详解】依题意，设，，其中，是比例系数， 在距离车站处建仓库，则和分别为2万元和8万元， ，， ，， ，，其中， 两项费用之和，当且仅当，即时，等号成立， 故这家公司应该把仓库建在距离车站5千米处，才能使两项费用之和最小． 故选B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知正数，b满足，若∈Z，则的值可以是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】BC 【分析】利用基本不等式构造关于的一元二次不等式，即可求解. 【详解】解：（当且仅当时，取等号）， 即，解得：，又时，=0，不合题意， 故选：BC 10. 下列命题是真命题的为（   ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若且，则 【答案】BCD 【分析】举反例可得A错误；由不等式的性质可得B正确；作差后由题意可得C、D正确； 【详解】对于A，设，则，故A错误； 对于B，由不等式的性质可得，若，则，故B正确； 对于C，， 因为且，所以，所以，且， 所以，所以，故C正确； 对于D，，因为，所以， 又，所以，故D正确； 故选：BCD. 11. 对于给定实数，关于的一元二次不等式的解集可能是（    ） A． B． C． D．R 【答案】AB 【分析】讨论参数，得到一元二次不等式的解集，进而判断选项的正误． 【详解】由，分类讨论a如下： 当时，； 当时，； 当时，或； 当时，； 当时，或． 故选：AB． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 不等式的解集为 . 【答案】 【分析】移项通分化为整式不等式求解即可. 【详解】由可得：， 即，解得：. 故答案为：. 13. 关于的不等式的解集中恰有两个正整数，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】分类讨论两根大小解不等式，结合题意分析求解即可. 【详解】对于不等式，可得不等式， 若，解得，无正整数解，不合题意； 若，不等式无解，不合题意； 若，解得，由题意可得； 综上所述：实数的取值范围是 故答案为：. 14. 用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，菜园的面积最大为 m2. 【答案】 【详解】解：设矩形的长为x m,宽为y m,菜园的面积为  S m2，，。 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）已知，求的最小值； （2）已知是正实数，且，求的最小值. 【答案】（1）7；（2）. 【分析】（1）由题可知，，利用基本不等式即可求解；（2）利用基本不等式“1的妙用”即可求解. 【详解】（1），即， ， 当且仅当，即时取等号， 的最小值为7. （2）. 当且仅当，即时取等号. 的最小值为. 16. 已知实数满足. （1）若，求的最小值； （2）若，求的最小值， 【答案】（1）9；（2）4. 【分析】（1）由得，并且将其代入得，再根据二次函数的最值可求从而可得的最小值； （2）由得，并代入得，再由，利用基本不等式得，可得的最小值. 【详解】（1）由得，所以， 而当取等号， 所以，当取等号， 所以的最小值为； （2）由得，所以， 因为，所以, 又，当且仅当，即 (舍去)时取等号， 所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为； 故得解. 17. 已知 . (1)解关于的不等式 (2)若不等式的解为，求实数的值. 【答案】(1) (2)的值为，的值为. 【分析】（1）求出，结合二次不等式的求解方法可得答案； （2）利用不等式的解与方程的根的关系，结合韦达定理可求答案. 【详解】（1）由题意知，即， 解得. 所以所求不等式的解集为. （2）不等式的解解为，所以方程的两根为， 所以，解得，或 故的值为，的值为. 18. 已知关于的一元二次不等式. （1）若不等式的解为若，求实数的值； （2）若不等式的解中恰有三个整数，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）根据题意可知，关于的一元二次方程的两根分别为、，进而可求得实数的值； （2）分和两种情况讨论，解出不等式，确定不等式解集中的三个整数，进而可求得实数的取值范围. 【详解】（1）由题意可知，关于的一元二次方程的两根分别为、， 则，整理得，解得； （2）不等式即为. ①当时，原不等式的解集为，则解集中的三个整数分别为、、，此时； ②当时，原不等式的解集为，则解集中的三个整数分别为、、，此时. 综上所述，实数的取值范围是 19.某单位修建一个长方形无盖蓄水池，其容积为立方米，深度为米，池底每平方米的造价为元，池壁每平方米的造价为元，设池底长方形的长为米. （1）用含的表达式表示池壁面积； （2）当为多少米时，水池的总造价最低，最低造价是多少？ 【答案】（1）；（2）当米时，最低造价是元. 【分析】（1）求出池底面积和池底长方形的宽，从而可利用表示出；（2）利用表示出总造价，利用基本不等式可求得最低造价和此时的取值. 【详解】（1）由题意得：池底面积为平方米，池底长方形的宽为米 （2）设总造价为元，则： 化简得： 因为，当且仅当，即时取等号 即当米时，最低造价是元 【点睛】本题考查构造函数模型解决实际问题，涉及到函数最值的求解问题，关键是能够构造出合适的函数模型，结合基本不等式求得结果. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章章末检测试卷 （满分150 时间120分钟） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则的最小值为（ ） A．5 B．1 C．2 D．3 2. 一元二次不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 3．已知a，b为正实数且，则的最小值为（  ） A． B． C． D．3 4. 用篱笆围一个面积为的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是（　　） A．30 B．36 C．40 D．50 5. 若不等式的解集为，则（ ） A．0 B．6 C．4 D．5 6. 下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B．，或 C． D．，或 8. 一家货物公司计划租地，了解到每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比；若在距离车站处建仓库，则和分别为2万元和8万元．则当两项费用之和最小时，仓库应建在距离车站（ ）千米 A．4 B．5 C．2 D．. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知正数，b满足，若∈Z，则的值可以是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 10. 下列命题是真命题的为（   ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若且，则 11. 对于给定实数，关于的一元二次不等式的解集可能是（    ） A． B． C． D．R 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 不等式的解集为 . 13. 关于的不等式的解集中恰有两个正整数，则实数的取值范围是 . 14. 用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，菜园的面积最大为 m2. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）已知，求的最小值； （2）已知是正实数，且，求的最小值. 16. 已知实数满足. （1）若，求的最小值； （2）若，求的最小值， 17. 已知 . (1)解关于的不等式 (2)若不等式的解为，求实数的值. 18. 已知关于的一元二次不等式. （1）若不等式的解为若，求实数的值； （2）若不等式的解中恰有三个整数，求实数的取值范围. 19.某单位修建一个长方形无盖蓄水池，其容积为立方米，深度为米，池底每平方米的造价为元，池壁每平方米的造价为元，设池底长方形的长为米. （1）用含的表达式表示池壁面积； （2）当为多少米时，水池的总造价最低，最低造价是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $