第二章 一元二次函数、方程和不等式 单元检测卷 -2026-2027学年高一上学期数学人教版A版必修第一册

**基本信息** 立足一元二次函数、方程和不等式单元核心，通过实际应用情境（如菜园面积优化）与文化素材（秦九韶公式），考查数学抽象、运算推理及模型构建能力，适配单元复习巩固与素养提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|充分必要条件、均值不等式、命题真假|基础概念辨析，如第1题条件判断| |多选题|3/18|不等式性质、基本不等式应用|多选项辨析，如第10题最值判断| |填空题|3/15|解集求解、参数范围、面积最值|文化情境融入，如第14题秦九韶公式| |解答题|5/77|实际应用、大小比较、证明、函数综合|分层设问，如第19题函数恒成立与多实根问题，考查逻辑推理|

第二章 一元二次函数、方程和不等式 单元检测卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 四 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（共40分） 1．“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．设函数y＝ ，当x＞0时，则y（    ） A．有最大值4 B．有最小值4 C．有最小值8 D．有最大值8 3．已知命题为假命题，则（    ） A． B． C． D． 4．不等式的解集为（    ） A． B． C．且 D． 5．已知正实数 满足，则的最小值为（    ） A．5 B． C．4 D．3 6．已知，若关于x的不等式的解集中的整数恰有4个，则（    ） A． B． C． D． 7．设，则关于的不等式有解的一个充分不必要条件是（    ） A． B．或 C． D． 8．一天，陶渊明采菊东篱下.想用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙（墙体足够长）的矩形菜园，问这个矩形菜园的最大面积是（    ）. A．289 B．104 C．162 D．138 二、多选题（共18分） 9．以下正确的选项是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，则 10．下列是真命题的是（    ）． A．已知，且，则 的最大值为5 B．已知，则的取值范围为 C．已知且恒成立，实数的最大值是 D．若则的最大值是6． 11．已知正实数满足，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题（共15分） 12．不等式的解集是__________. 13．若关于x的一元二次不等式的解集为，求实数k的取值范围______. 14．中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式.现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为______. 四、解答题（共77分） 15．一家汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量（辆）与创收价值（元）之间有如下关系式：．若这家制造厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，那么它在一个星期内生产的摩托车数量应满足什么条件？ 16．求解下列问题： (1)已知，比较与的大小； (2)比较和的大小． 17．（1）已知，且，求的最小值； （2）已知，证明：. 18．已知，求证: (1); (2). 19．已知函数，． (1)恒成立，求实数的取值范围； (2)若关于的方程有两个不相等的实数根、，且，求的取值范围； (3)若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围. 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 《第二章 一元二次函数、方程和不等式 单元检测卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B D C A A A C AC BCD 题号 11 答案 ABD 1．A 【分析】根据条件，利用充分条件和必要条件的判断方法，即可求出结果. 【详解】由，即，得到或，所以得不出， 当时，有，即可以得出， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：A. 2．B 【分析】由均值不等式可得答案. 【详解】由,当且仅当，即时等号成立. 当时，函数的函数值趋于 所以函数无最大值，有最小值4 故选：B 3．D 【分析】依题意可得的否定为真命题，再由一元二次不等式恒成立问题的解法求解即可得答案. 【详解】命题的否定为：， 因为为假命题，所以其否定为真命题， 所以，解得. 故选：D 4．C 【分析】将变形为,结合不等式的性质，即可求解. 【详解】 且 故选：C. 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，属于基础题. 5．A 【分析】利用，将化为，利用基本不等式即可求得答案. 【详解】由题意知正实数 满足，则， 而，当且仅当即时取等号， 故的是小值为5， 故选：A. 6．A 【分析】将不等式变形为，进而可得，解该不等式可得，继而可得整数解为，根据即可求解. 【详解】由，得，由于该不等式的解集中的整数恰有个，有， 由不等式可得， 又由于，故，解得， 由于，且时，满足不等式， 故该不等式的4个整数解为， 因此，得且， 结合，因此且，解得， 故选：A. 7．A 【分析】先求解二次不等式有解的充要条件，即找到对应的集合，然后根据充分不必要条件与集合之间的对应关系， 即所求的集合是的一个真子集，从而作出判断. 【详解】由有解，可知：，解得，记， 由关于的不等式有解的一个充分不必要条件是的真子集， 所以在四个选项中只有满足， 故选：A. 8．C 【分析】设出矩形菜园的靠墙的一边长为，由已知表示出另一边长，再表示出面积，利用基本不等式即可求出菜园的最大面积. 【详解】设矩形菜园的靠墙的一边长为， 因为篱笆的长为，则宽为， 所以矩形菜园的面积为： ， 当且仅当，即时等号成立， 所以矩形菜园的最大面积是. 故选：C. 9．AC 【分析】选项A，利用不等式的性质，即可判断选项A的正误；选项B和D，通过取特殊值，即可判断出选项D和D的正误；选项C，由，得到，即可判断选项C的正误. 【详解】对于选项A，由，得到，又，所以，故选项A正确， 对于选项B，取，显然有，，但，不满足，所以选项B错误， 对于选项C，由，得到，又，所以，即， 所以，故选项C正确， 对于选项D，取，显然有，，但，所以选项D错误， 故选：AC. 10．BCD 【分析】由基本不等式求解可判断A；由不等式的性质可判断B；转化为进行求解可判断C；由基本不等式求解可判断D. 【详解】对于A， 且，， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以有最小值，故A错误； 对于B，由，可得， 又因为 ，所以则的取值范围为，故B正确； 对于C，由题意，，，， 所以转化为， 可得，即， 因为， 当且仅当时等号成立，所以实数的最大值是，故C正确； 对于D，由可得， 两边同乘以， ， 又因为，所以， 当且仅当时等号成立， 令，则有，即， 解得，因此的最小值为， 此时且满足； 的最大值为，此时且满足，故D正确． 故选：BCD 11．ABD 【分析】由基本不等式，即可结合选项逐一求解. 【详解】因为，且均为正实数，所以由基本不等式得，即，当且仅当时等号成立，正确； 由不等式，得，所以，即，当且仅当时等号成立，C错误（或）； 因为，所以，当且仅当时等号成立，D正确． 故选：ABD 12． 【分析】根据和均恒成立即可得结果. 【详解】因为和均恒成立， 所以不等式的解集是， 故答案为：. 13． 【分析】根据解集为R，得到不等式，求出实数k的取值范围. 【详解】要想一元二次不等式解集为R， 则要，解得， 综上，实数k的取值范围是 故答案为： 14． 【分析】根据条件先得，再利用基本不等式计算即可. 【详解】由题意可知，则， 所以 ， 当且仅当时取得最大值. 故答案为： 15．. 【分析】根据已知列出一元二次不等式，结合解一元二次不等式的方法进行求解即可. 【详解】由题意可得：， 解得：. 16．(1) (2) 【分析】（1）利用差比较法比较大小. （2）利用差比较法比较大小. 【详解】（1）. （2）. 17．（1）4；（2）因为， 所以 , 因此. 【分析】（1）利用基本不等式计算可得结果； （2）利用作差法计算即可证明得出结论. 【详解】（1）易知，即可得, 解得，当且仅当时，等号成立， 此时的最小值为4； （2）略 18．(1)证明：， ， 当且仅当，即时等号成立. (2)证明：， . 当且仅当时，即时等号成立. 【分析】（1）作“1”代换，根据基本不等式求解； （2）作“1”代换，根据基本不等式求解. 【详解】（1）略 （2）略 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意可知，不等式对任意的恒成立，分、两种情况讨论，在时直接检验即可，在时，根据二次不等式恒成立可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围； （2）将所求方程变形为，由题意得出，且，结合韦达定理得出，再由韦达定理得出，结合不等式的基本性质可求得的取值范围； （3）令，则，依题意可得关于的方程有四个不等实根，令，则，问题转化为存在使得关于的方程有两个不同正根，利用二次方程根的分布可得出关于实数的不等式，结合主元法可求出实数的取值范围. 【详解】（1）由得恒成立， 故不等式对任意的恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，则，解得； 综上所述：实数的取值范围为. （2）由可得，整理得， 由题意可知，且，解得或， 由韦达定理可得，，可得，故， 所以， 因为，所以，所以， 故的取值范围是. （3）当时，令，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时取等号， 依题意可得关于的方程有四个不等实根， 令，则，则问题转化为存在使得关于的方程 有两个不同正根、， 所以， 因为，则，由可得， 由可得或，故， 由知，存在使不等式成立， 把看成主元代入，可得，即， 解得或，综合可得， 故实数的取值范围是. 答案第6页，共8页 答案第5页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $