第13章 分式（复习课件）数学新教材沪教版五四制七年级上册

第13章 分式 复习课件 沪教版·七年级数学上册（新教材） 复习内容导览 1 复习目标 2 重点难点 3 知识图谱 4 考点串讲 5 题型全解 6 针对训练 7 课堂总结 复习内容导览 单元复习目标 01 02 03 04 基础达标 能力提升 素养目标 理解概念性质 理解分式、 最简分式与 分式方程，掌握 分式有意义、值 为0的条件。 掌握运算法则 会用基本性质 约分、通分， 掌握分式四则 运算及整数 指数幂运算。 形成解题方法 通过去分母 把分式方程转化 为整式方程， 理解增根， 自觉进行验根。 解决实际问题 用分式表示 有关数量，寻找 等量关系并 列方程求解， 检验实际意义。 单元重点难点 重 点 难 点 1．理解分式及最简分式，掌握有意义、值为0的条件。 2．掌握分式的基本性质，会约分、通分和四则运算。 3．理解负整数指数幂，掌握整数指数幂的运算性质。 4．会解可化为一元一次方程的分式方程，并解决实际问题。 1．约分、通分前正确因式分解，保留原式的取值限制。 2．分式减法准确处理符号，混合运算做到顺序合理、结果最简。 3．分清负指数与负号，准确使用幂的运算性质。 4．去分母时不漏乘，理解增根并验根，正确建立等量关系。 知识图谱 分　式 分式及其性质 ① 分式的概念与取值 ② 分式的基本性质与约分 分母非零；约去公因式 分式的运算 ③ 分式的乘除　④ 分式的加减 ⑤ 整数指数幂 先分解、约分或通分，再运算 分式方程 ⑥ 分式方程及其解法 ⑦ 分式方程的应用 去分母、求解、验根，检验实际意义 知识串讲 01　分式的概念与取值 ➤ 分式、分子、分母与分式的值 一般地，对于两个整式、（是非零整式）， 可以表示为的形式，叫作分式，也称为有理式， 其中称为分子，称为分母．本章主要讨论分母中 含有字母的分式． 用数值代替分式中的字母，计算得出的代数式的值 就是分式的值． 理解与运用 ① 分子、分母都是整式，求值时先确定各字母的值。 ② 代入负数时加括号，按运算顺序计算分子与分母。 ▲ 易错提醒 ① “非零整式”不表示分母在任何取值下都不为0。 知识串讲 01　分式的概念与取值 ➤ 有意义的条件与值为零的条件 一般地，分母的值为0时，分式无意义；分母的值 不为0时，分式有意义． 在分式中，只有当分子的值为0且分母的值不为0时， 分式的值才为0． 有意义：；值为0：且。 理解与运用 ① 判断有意义时，先解“分母不等于0”的条件。 ② 求值为0的字母值时，先令分子为0，再排除使分母为0的值。 ▲ 易错提醒 ① 分子为0与分母不为0两个条件缺一不可。 ② 分式无意义时，不能把它的值写成0。 知识串讲 02　分式的基本性质与约分 ➤ 分式的基本性质 分式的分子和分母乘（或除以）同一个整式， 当该整式的值不为0时，分式的值不变． （） （） 理解与运用 ① 分子、分母必须同时乘或除以同一个非零整式。 ② 分子与分母同时变号，分式的值不变。 ③ 只改变分子或分母的符号，分式的值变为原来的相反数。 ▲ 易错提醒 ① 条件中的“不为0”不能漏掉。 ② 分子、分母同时加上同一个数，分式的值不一定不变。 知识串讲 02　分式的基本性质与约分 ➤ 约分与最简分式 像这样，把一个分式的分子与分母中的公因式约去的 过程，叫作约分． 分子与分母没有一次及以上的公因式的分式叫作 最简分式． （且） 理解与运用 ① 分子、分母先因式分解，再约去共同的非零因式。 ② 约分一般要使结果成为最简分式；数字系数也习惯上化简。 ▲ 易错提醒 ① 约去的是因式，不能把和式中的某一项直接约去。 ② 约分后，原分母不为0的条件仍须保留。 知识串讲 03　分式的乘除 ➤ 分式乘法与除法法则 两个分式相乘，将分子相乘的积作分子，分母相乘的 积作分母． 分式除以分式，将除式的分子和分母颠倒位置后， 再与被除式相乘． ；　 理解与运用 ① 乘法先分解因式，约分后再把剩下的因式相乘。 ② 除法先颠倒除式并化为乘法，除式的值必须不为0。 ▲ 易错提醒 ① 不能把被除式颠倒；原分母和除式的分子都不能为0。 ② 结果一般化为最简分式，不能遗失原式的取值限制。 知识串讲 04　分式的加减 ➤ 同分母分式加减与通分 同分母分式相加减，分母不变，分子相加减． 将几个异分母分式分别化为与原来分式的值相等的 同分母分式的过程叫作通分． ；　 理解与运用 ① 先确认分母相同，再将各分子作为整体相加减。 ② 通分时，先把各分母因式分解，确定共同的分母。 ③ 每个分式的分子、分母都要乘上各自缺少的因式。 ▲ 易错提醒 ① 相减时，后一个分子中的每一项都要变号。 ② 分母相同后，分母不再相加减。 知识串讲 04　分式的加减 ➤ 异分母加减与混合运算 异分母分式相加减，先将它们通分，然后进行加减． 理解与运用 ① 先分解各分母，选取能包含全部所需因式的公分母。 ② 各分子乘上相应因式，通分后合并分子，再约分。 ③ 混合运算先算括号，再算乘除，最后算加减。 ▲ 易错提醒 ① 分子、分母同时乘相应因式，不能只改分母。 ② 化简求值先完成运算，再代入符合原式条件的值。 知识串讲 05　整数指数幂 ➤ 负整数指数幂与运算性质 由此，规定 （，是正整数）． 当、不为0时，对于整数指数幂，有 （1）； （2）；　（3）． 理解与运用 ① 负整数指数幂表示相应正整数指数幂的倒数。 ② 非零底数的零次幂为1；同底数相除时指数相减。 ③ 先辨认相乘、相除、幂的乘方，再使用对应法则。 ▲ 易错提醒 ① 负指数不表示幂的值是负数，底数必须不为0。 ② 负底数带括号；同底数相加不能直接把指数相加。 知识串讲 06　分式方程及其解法 ➤ 分式方程、整式方程与根 像这样，分母里含有未知数的方程叫作分式方程． 像一元一次方程等分母里不含有未知数的方程称为 整式方程．只含有一个未知数的方程的解称为这个 方程的根． 解分式方程的关键是把分母“去掉”，将其转化成 整式方程． 理解与运用 ① 判断方程类型，要看分母里是否含有未知数。 ② 先找公分母，方程两边的每一项都乘这个公分母。 ③ 解所得整式方程后，还要将求得的值代入原方程检验。 ▲ 易错提醒 ① 去分母时，整式项也必须乘公分母，不能漏乘。 知识串讲 06　分式方程及其解法 ➤ 增根、验根与解题步骤 在分式方程变形时，有时会产生不符合原分式方程 的根，这种根叫作原分式方程的增根，应舍去． 检验一个数是否是方程的根的过程，称为验根． 解分式方程的一般步骤是： （1）去分母，转化成整式方程并求解； （2）验根，并写出结论． 理解与运用 ① 两边所乘整式的值可能为0，变形后可能产生增根。 ② 将求得的值代入原方程，检查分母及两边是否相等。 ③ 若求得的值是增根，应舍去，并写出原方程无解。 ▲ 易错提醒 ① “整式方程的解”不一定是“原分式方程的解”。 知识串讲 07　分式方程的应用 ➤ 从数量关系建立分式方程 解分式方程的一般步骤是： （1）去分母，转化成整式方程并求解； （2）验根，并写出结论． 时间；数量；工作时间。 理解与运用 ① 先设未知数并写明单位，用分式表示有关数量。 ② 依据题目中的相等关系，列出分式方程并求解。 ③ 既检验是否为原方程的根，也检验是否符合实际意义。 ▲ 易错提醒 ① “增加20%”后的量是原量的1.2倍，要找准比较对象。 ② 分钟与小时等单位先统一，求出所有所问的量后再作答。 题型全解 题型01 分式的概念与取值 例01　选择题 分式有意义的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】B。 【解析】 分式有意义，要求分母不为0，即。 解得；分母可以为负数。 题型全解 题型01 分式的概念与取值 例02　填空说理题 当________时，分式的值为0。 请说明另一个使分子为0的值为什么不能取。 【答案】。 【解析】 分子为0：，得或。 当时，分母也为0，分式无意义，应排除。 当时，分母为，所以分式的值为0。 考点串讲 题型01 分式的概念与取值 方法总结 方法1 先看分母，再代入求值 ① 求值前，检查字母取值是否使分母为0。 ② 代入负数时添括号，分子、分母分别计算。 ③ 最后相除；分母为0时，直接说明分式无意义。 方法2 两个条件共同判断零值 ① 由分子等于0求出可能的字母值。 ② 逐一代入原分母，排除使分母为0的取值。 ③ 保留同时满足两个条件的值，并写清结论。 题型全解 题型02 分式的基本性质与约分 例03　判断改错题 小辰说：“只要，就有。” 判断这句话是否正确，并说明理由。 【答案】错误；同时加上同一个数不能保证分式的值不变。 【解析】 取，左边为，右边为，两者不相等。 基本性质要求同时乘或除以同一个非零整式。 题型全解 题型02 分式的基本性质与约分 例04　化简题 约分：，并写出原式有意义的条件。 【答案】；且。 【解析】 因式分解：，。 约去公因式，得。 由原分母不为0，得且，条件不能减少。 考点串讲 题型02 分式的基本性质与约分 方法总结 方法1 同时变化，保留非零条件 ① 先看分子和分母是否做了同一种运算。 ② 检查所乘或所除的是不是同一个整式。 ③ 把该整式不为0的条件写清，核对分式的值是否保持不变。 方法2 先分解，再约去公因式 ① 分子、分母是多项式时，先分别因式分解。 ② 把相同的非零因式约去，系数也尽量化简。 ③ 检查是否为最简分式，保留原式的取值限制。 题型全解 题型03 分式的乘除 例05　计算题 计算：（，）。 【答案】。 【解析】 先约分：系数。 字母部分，所以结果为。 题型全解 题型03 分式的乘除 例06　计算辨析题 计算， 并指出能否代入原式。 【答案】（且）；不能代入。 【解析】 化为乘法：。 原分母要求；除式不为0还要求。 不能只根据化简后的式子，改变原式的取值范围。 考点串讲 题型03 分式的乘除 方法总结 方法1 先分解约分，再相乘 ① 多项式先因式分解，单项式整理系数与字母。 ② 找出分子与分母中的共同因式，先约分。 ③ 把剩余因式相乘，检查结果是否还能化简。 方法2 除法转乘法，条件要完整 ① 保持被除式不变，颠倒除式的分子与分母。 ② 把除号改为乘号，按分式乘法法则计算。 ③ 检查原分母均不为0，且除式的值不为0。 题型全解 题型04 分式的加减 例07　辨错改正题 小芸计算。 指出错误并改正（）。 【答案】后一个分子去括号时变号错误；正确结果为。 【解析】 分母不变，分子应为。 去括号得，减去负数变为加。 题型全解 题型04 分式的加减 例08　化简求值题 先化简，再求值：，其中。 【答案】化简为；值为。 【解析】 通分得。 原式要求；符合条件。 代入得。 考点串讲 题型04 分式的加减 方法总结 方法1 同分母，分子整体相加减 ① 先观察分母是否相同，必要时统一符号。 ② 分母不变，用括号把后一个分子看作整体。 ③ 去括号、合并同类项，再检查是否可以约分。 方法2 异分母，先通分再化简 ① 先因式分解各分母，确定共同的分母。 ② 分子、分母同时乘 各自缺少的因式。 ③ 按同分母法则计算，最后约分并保留取值条件。 题型全解 题型05 整数指数幂 例09　判断题 判断正误，并改正错误的式子： ① ；　② 。 【答案】① 错误，；② 正确。 【解析】 负指数表示取倒数，所以。 因为，所以。 题型全解 题型05 整数指数幂 例10　计算题 计算：（）。 【答案】。 【解析】 利用积的乘方：原式。 系数为；同底数幂相乘得。 因此结果为，原式要求。 考点串讲 题型05 整数指数幂 方法总结 方法1 负指数转为倒数 ① 先检查底数是否不为0，再识别指数的符号。 ② 将负整数指数幂写成相应正整数指数幂的倒数。 ③ 底数为负数时保留括号，利用奇偶性判断符号。 方法2 分清结构，选对指数法则 ① 同底数幂相乘，指数相加；相除，指数相减。 ② 幂的乘方时，指数相乘；积的乘方逐因式乘方。 ③ 系数和字母分别处理，需要时把负指数化为分式。 题型全解 题型06 分式方程及其解法 例11　解方程 解方程：。 【答案】。 【解析】 两边同乘：。 整理得，解得。 验根：代入原方程，分母不为0，两边均为。 题型全解 题型06 分式方程及其解法 例12　判断说理题 解方程得到。 有人认为“原方程的解是”，你同意吗？ 【答案】不同意；是增根，原方程无解。 【解析】 两边同乘，得，解得。 验根：使原方程分母，分式无意义。 因此增根应舍去，必须写出原方程无解。 考点串讲 题型06 分式方程及其解法 方法总结 方法1 找公分母，逐项去分母 ① 先分解各分母，确定能消去全部分母的公分母。 ② 方程两边每一项都乘公分母，保留分子括号。 ③ 去括号、移项、合并同类项，求解所得整式方程。 方法2 代回原式，验根后下结论 ① 把求出的未知数的值代入原分式方程。 ② 检查各分母不为0，并核对等号两边的值相等。 ③ 符合条件才写出解；若为增根则舍去，写明无解。 题型全解 题型07 分式方程的应用 例13　选择列式题 两次购买同一种文件袋分别花96元、120元，第二次比第一次多8个。 设每个文件袋元，正确的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】B。 【解析】 数量等于总价除以单价，两次购买数量分别为、。 第二次数量减第一次数量等于8，所以选B，且。 题型全解 题型07 分式方程的应用 例14　应用题 甲、乙两台设备各加工180个零件，乙的效率是甲的1.5倍， 乙比甲少用2小时。求两台设备每小时各加工多少个零件。 【答案】甲每小时30个，乙每小时45个。 【解析】 设甲每小时加工个（），则。 两边同乘，得，解得。 验根并核对：甲用6小时，乙用4小时，相差2小时，符合题意。 考点串讲 题型07 分式方程的应用 方法总结 方法1 设未知数，建立等量关系 ① 选便于表示其他量的未知数，注明单位和实际范围。 ② 用分式表示时间、数量等量，找准相等关系。 ③ 涉及增加或减少百分之几时，先明确比较的原量。 方法2 求解与双重检验 ① 按去分母、解整式方程、验根的顺序求解。 ② 检验根是否满足正数、整数等实际条件。 ③ 求出题目所问的全部量，带上单位并用原条件核对。 针对训练 训练01　填空题 分式有意义时，应满足________。 【答案】。 【解析】 分母应满足。 解得，除此以外的数均可。 针对训练 训练02　求值题 当、时，求分式的值。 【答案】。 【解析】 分母，可以代入求值。 原式。 针对训练 训练03　判断题 判断正误：当时，把的分子、分母 都乘，所得分式与原分式的值相等。（　　） 【答案】正确。 【解析】 分子、分母同时乘同一个非零整式，分式的值不变。 因为，。 针对训练 训练04　选择题 下列分式中，属于最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B。 【解析】 B的分子、分母没有一次及以上的公因式，属于最简分式。 A、C、D分别可约去、、；B习惯上再化为。 针对训练 训练05　化简辨析题 约分，并说明约分后能否取。 【答案】；不能取。 【解析】 原式。 原分母要求，约分不能改变这一限制。 针对训练 训练06　计算题 计算：（，）。 【答案】。 【解析】 先约分，系数。 字母部分，所以结果为。 针对训练 训练07　计算题 计算，并写出原式的取值限制。 【答案】；且。 【解析】 化为乘法：。 原分母不为0要求，除式不为0还要求。 针对训练 训练08　填空题 计算：________（）。 【答案】。 【解析】 分母不变，分子为。 去括号得，注意负号影响每一项。 针对训练 训练09　计算题 计算：（）。 【答案】。 【解析】 公分母为。 通分得。 针对训练 训练10　综合化简求值题 先化简，再求值：， 其中。 【答案】化简为；值为。 【解析】 先算括号：。 再除以，得。 原式要求；代入，得。 针对训练 训练11　填空题 ________；________；________。 【答案】；；。 【解析】 负整数指数幂等于相应正整数指数幂的倒数。 非零数的零次幂为1，负底数的奇次幂为负。 针对训练 训练12　计算题 计算：（）。 【答案】。 【解析】 幂的乘方，指数相乘：。 同底数幂相乘，指数相加：。 针对训练 训练13　综合计算题 计算：（），结果用分式表示。 【答案】。 【解析】 原式。 系数为；字母部分为。 所以原式，底数不为0的条件必须保留。 针对训练 训练14　解方程 解方程：。 【答案】。 【解析】 两边同乘，得。 整理得，解得。 验根：原分母均不为0，代入原方程两边均为。 针对训练 训练15　辨错说理题 小安解方程，得到后直接作答。 他的解答缺少什么步骤？原方程有解吗？ 【答案】缺少验根；是增根，原方程无解。 【解析】 去分母得，整式方程的解是。 代回原方程，分母，所以该值是增根。 增根应舍去，原分式方程无解。 针对训练 训练16　含参数填空题 关于的方程的根是， 则________。 【答案】。 【解析】 先检查：时，两个分母分别为3和6，均不为0。 把代入，得。 解得，代回原等式成立。 针对训练 训练17　应用题 骑行路线单程24千米，返程速度是去程的1.5倍， 返程比去程少用40分钟。求去程和返程的速度。 【答案】去程12千米/时，返程18千米/时。 【解析】 设去程速度为千米/时（），有。 两边同乘，得，解得。 验根并核对：去程2小时，返程小时，少用40分钟，符合题意。 针对训练 训练18　应用题 某小组打包1200套学习用品，实际每天比原计划多打包25%， 结果提前2天完成。求原计划和实际每天各打包多少套。 【答案】原计划每天120套，实际每天150套。 【解析】 设原计划每天套（），则。 两边同乘，得，解得。 验根并核对：原计划10天，实际8天，提前2天，符合题意。 单元总结/易错复盘 核心知识 ① 分式、最简分式。 　有意义与零值条件。 ② 基本性质， 　约分与通分。 ③ 分式四则运算， 　整数指数幂。 ④ 分式方程， 　增根与验根。 易错复盘 ① 只约因式，不能约掉和式中的某一项。 ② 减去一个分子时， 　每一项都要变号。 ③ 除式的值不能为0， 　负指数不代表负值。 ④ 去分母不漏乘， 　求出根后要检验。 思想方法 ① 数的运算推广到式， 　注意适用条件。 ② 先因式分解，再约分 　或确定公分母。 ③ 将分式方程转化为 　整式方程。 ④ 找等量关系，列方程。 　检验数学与实际条件。 沪教版·七年级数学上册（新教材） 谢谢聆听 $