13.2 分式的运算（第1课时）2026-2027学年沪教版（五四制）七年级数学上册

第13章 分式 13.2 分式的运算 （第1课时）分式的乘除 年 级：七年级 学 科：数学（沪教版） 复习引入 分数乘法与约分 计算：。 答： 解 分子、分母同时除以。 方法：先乘后约分，也可先交叉约分。 注意：约去的是公因数。 复习引入 分数除法怎样转化 计算：。 答： 解 方法：除以一个非零数，乘这个数的倒数。 注意：只把除数颠倒。 复习引入 约分之前先看结构 分解因式：，。 答：； 解 第一式运用平方差公式。 第二式运用完全平方公式。 方法：从项数、平方项和中间项识别公式。 注意：不是。 新知讲授 从分数乘法到分式乘法 类比，计算。 答： 解 约去公因式，得。 方法：对应分子相乘，分母相乘。 注意：原式中。 新知讲授 分式的乘法法则 法则 两个分式相乘，将分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。 字母表示 运算前提 ，；结果还要检查能否约分。 新知讲授 先约分可以减少计算 计算：。 答： 解 约去公因式，得。 方法：把分子、分母分别看成乘积。 注意：字母消去后，原条件仍保留。 新知讲授 从分数除法到分式除法 类比，计算。 答： 解 方法：先把除法转化为乘法。 注意：原式中。 新知讲授 分式的除法法则 法则 分式除以分式，将除式的分子和分母颠倒位置后，再与被除式相乘。 字母表示 运算前提 不为，且除式的值不为，所以。 新知讲授 分母不为零，还要检查除数 有意义时，不能取哪些值？ 答：，， 解 由两个分母，得。 由除式不为，得。 方法：先查原分母，再查除式的分子。 注意：除式的值不能为0。 新知讲授 把多项式整理成因式 平方差 。 相反式 ，换序要带出负号。 化简终点 分式的运算结果一般要化简为最简分式。 例题讲解 例 1 计算： （1） （2） 解第（1）题 解第（2）题 约去。 方法：相乘后约去分子、分母的公因式。 注意：（2）中的是一个整体。 例题讲解 变式 变式　符号与字母分别处理 计算：。 答： 解 约去，得。 方法：先判断积的符号，再约去公因式。 注意：负号保留在最终结果中。 例题讲解 例 2 计算： （1） （2） （3） 解第（1）题 方法：除法转乘法，多项式先分解因式。 注意：第（1）题都不能为。 例题讲解 例 2 计算： （1） （2） （3） 解第（2）题 约去。 方法：先分解分母，再将除法转化为乘法。 注意：须排除、、。 例题讲解 例 2 计算： （1） （2） （3） 解第（3）题 ，再约分。 方法：先完成因式分解，再统一相反因式。 注意：改写为时带上负号。 例题讲解 变式 变式　平方差参与除法 计算：。 答： 解 约去。 方法：因式分解与除法转化同步进行。 注意：原条件仍须满足。 例题讲解 辨析 辨析　除法转乘法别漏倒数 有人算。指出错误并改正。 答： 解 除法改乘法时，除式应变为。 方法：先写出除式的倒数，再做乘法。 注意：不能只改运算符号。 例题讲解 乘除混合怎样安排顺序 计算：。 答： 解 方法：先把所有除法转为乘法，再统一约分。 注意：原式按从左到右的顺序计算。 新知讲授 半圆拱窗的面积与高度 半圆与长方形组成的窗 长方形部分： 宽为，高为，面积为。 半圆部分： 半径为，面积为。 整窗： 面积是两部分面积的和，高度是。 例题讲解 例 3 如图，用一个半径为米的半圆和一个一边长度为米的长方形，组成一扇窗。根据设计要求，整扇窗的面积为平方米。 （1） 用含的代数式表示。 （2） 当时，求窗的高度（取，结果精确到米）。 解第（1）题 长方形面积为。 方法：先求长方形面积，再除以宽。 注意：这里的只表示长方形部分的高。 例题讲解 例 3 如图，用一个半径为米的半圆和一个一边长度为米的长方形，组成一扇窗。根据设计要求，整扇窗的面积为平方米。 （1） 用含的代数式表示。 （2） 当时，求窗的高度（取，结果精确到米）。 解第（2）题 窗的高度约为米。 （米）。 （米）。 方法：代入求，再加半圆半径。 注意：最后一步才按要求取近似值。 例题讲解 变式 变式　由面积求长方形的长 长方形面积为平方米，宽为米，。求它的长。 答：米。 解 长。 。 方法：用面积除以宽，再分解因式约分。 注意：长度、面积的单位要对应。 课堂练习 练习1 计算： （1） （2） （3） 解第（1）题 解第（2）题 方法：单项式相乘后分别约去数和字母。 注意：同一字母相乘时指数相加。 课堂练习 练习1 计算： （1） （2） （3） 解第（3）题 分子相乘得。 分母相乘得。 方法：相同多项式因式的积写成平方。 注意：不是。 课堂练习 练习2 计算： （1） （2） （3） 解第（1）题 ，约分得。 解第（2）题 约去。 方法：分解因式后，先确认符号再约分。 注意：（1）的与互为相反式。 课堂练习 练习2 计算： （1） （2） （3） 解第（3）题 约去。 方法：分子、分母分别分解，再将除法转为乘法。 注意：不能跨加减号直接约去。 课堂总结 分式 乘除 条件 原分母不为；除式的值不为。 法则 乘法：分子乘分子，分母乘分母。 转化 除法先转为乘以除式的倒数。 化简 分解因式、处理符号、约成最简。 特别提醒：约分只约公因式；化简不改变原式的取值限制。 针对训练 训练1　选择：识别正确结果 在各式有意义的条件下，的值是（　）。 A. B. C. D. 答：C 解 。 除式非零，所以。 方法：先转乘法，再整体约分。 注意：不要把除数的留在分母。 针对训练 训练2　填空：补全化简结果 ____。 答： 解 系数：。 字母：。 方法：系数、字母分别约分。 注意：结果中的各保留一次。 针对训练 训练3　判断并改正（原式均有意义） （1）。 √ 约去乘积中的。 （2）。 × 应为。 （3）。 √ 因为。 方法：用乘除法则或相反式关系判断。 注意：判断均以原式有意义为前提。 方法总结 选择、填空与判断的方法 方法1　先确定运算 ① 看清是乘法还是除法。 ② 除法先写除式的倒数。 方法2　再检查结果 ① 系数和字母分别核查。 ② 用一个允许值快速验算。 ③ 原式的取值限制不能丢。 针对训练 训练4　计算：单项式分式 计算： （1） （2） 解第（1）题 解第（2）题 方法：约去每个共同的字母因式。 注意：第（2）题是除法。 针对训练 训练5　计算：多项式分式 计算：。 答： 解 ，结果为。 方法：分解平方差，统一相反因式。 注意：保留由相反因式产生的负号。 针对训练 训练6　计算：连乘连除 计算：。 答： 解 方法：将除法全部转化后统一约分。 注意：从左到右运算，不能擅加括号。 方法总结 计算题中的两种整理 方法1　整理因式 ① 多项式先分解因式。 ② 相反因式统一方向。 ③ 找出分子、分母的公因式。 方法2　整理运算 ① 除法改为乘倒数。 ② 多个乘积一次约分。 ③ 结果化为最简分式或整式。 针对训练 训练7　纠错：约去的对象 小林认为。这个结果对吗？请改正。 答：不对，应为。 解 合并后是。 约去整个公因式，保留。 方法：先写成一个分式，再找公因式。 注意：不能把中的单独约掉。 针对训练 训练8　先化简再求值 先化简，再求时的值。 答：；当时，值为。 解 。 原式在时有意义。 方法：先化简，再核对代入值是否合法。 注意：原式要求。 针对训练 训练9　比较两种化简结果 甲把化为，乙化为。谁正确？ 答：乙正确。 解 。 方法：把相反因式的比先化为。 注意：相反式相除得到，不是。 方法总结 辨析与求值的方法 方法1　定位错误步骤 ① 先检查除式是否颠倒。 ② 再检查约分是否跨加减号。 ③ 最后核对相反因式的负号。 方法2　先化简后代入 ① 把式子约成最简形式。 ② 代入前检查原式分母与除式。 ③ 结果为常数时也需查条件。 针对训练 训练10　计算：公式与约分 计算： （1） （2） 解第（1）题 解第（2）题 方法：识别完全平方与平方差，再转化。 注意：每个分式都要先有意义。 针对训练 训练11　同值式的判断 在两式都有意义时，，。是否相等？ 答：相等。 解 。 约分后得。 方法：把较复杂的式子化简后比较。 注意：这里需。 针对训练 训练12　填入一个分式 在横线上填入最简分式，使等式成立：____。（，） 答： 解 所填式为。 。 方法：用积除以一个非零因式求另一个因式。 注意：本题按处理。 针对训练 训练13　应用：花圃的宽 长方形花圃面积为平方米，长为米，。求花圃的宽。 答：米。 解 宽。 。 方法：用面积除以长，化简结果。 注意：面积用平方米，宽用米。 针对训练 训练14　应用：打印时间 打印机每分钟打印页，需打印页，。求所需时间；当时需多少分钟？ 答：分钟；分钟。 解 时间。 当时，。 方法：工作时间等于工作量除以工作效率。 注意：先列除法计算式，再代入数值。 方法总结 应用题的列式与检验 方法1　按数量关系列式 ① 面积除以一边长求另一边。 ② 工作量除以效率求时间。 ③ 列式后再分解因式、约分。 方法2　让结果回到情境 ① 确认长度、效率等为正。 ② 代入值必须满足原式条件。 ③ 写出单位并回答所问。 $