第12章 因式分解（复习课件）数学新教材沪教版五四制七年级上册

第12章 因式分解 复习课件 沪教版·七年级数学上册（新教材） 复习内容导览 1 复习目标 2 重点难点 3 知识图谱 4 考点串讲 5 题型全解 6 针对训练 7 课堂总结 复习内容导览 单元复习目标 01 02 03 04 基础达标 能力提升 素养目标 理解基本概念 理解因式、 因式分解和 公因式，认识 因式分解与整式 乘法的关系。 掌握分解方法 掌握提公因式、 公式法和 十字相乘法， 会通过适当分组 进行分解。 形成观察思路 根据项数、系数 和字母结构选择 方法，运用整体 思想，检查是否 分解彻底。 解决实际问题 会用因式分解 简化计算、求值， 根据面积关系 解决实际问题， 检验结果。 单元重点难点 重 点 难 点 1．理解因式、因式分解、公因式的概念。 2．掌握提取公因式法、公式法和十字相乘法。 3．会观察整式特征，通过适当分组继续分解。 4．会利用因式分解简化计算、求值和解决实际问题。 1．找全公因式，准确处理负号与相反式。 2．识别公式结构，核对完全平方式的中间项。 3．十字相乘时，同时核对两个因数的积与和。 4．恰当分组、综合运用方法，并做到分解彻底。 知识图谱 因式分解 因式分解的意义 因式、因式分解，分解到不能再分解为止 与整式乘法的变形方向相反，用乘法检验 结果是几个次数更低的整式的积 因式分解的方法 ① 提取公因式　② 平方差　③ 完全平方 ④ 十字相乘　　⑤ 通过适当分组继续分解 先观察公因式，再辨结构，最后检查是否分解彻底 ➤ 因式与因式分解 几个整式相乘，其中每个整式都称为积的因式． 把含多个项的整式化为几个次数更低的整式的积， 叫作把这个整式因式分解． 理解与运用 ① 因式分解与整式乘法的变形方向相反。 ② 分解前后是同一个整式，可用整式乘法检验。 ③ 因式分解一般要分解到每个因式都不能再分解为止。 ▲ 易错提醒 ① 结果应是几个整式的积，不能还剩未分解的和。 ② 不能把整式变成含字母分母的式子的乘积。 知识串讲 01　因式分解的意义 ➤ 公因式的确定与提取 我们把含多个项的整式中的每一项都含有的公共的因式叫作这个整式各项的公因式． 如果含多个项的整式的各项含有非常数的公因式，那么可以把这个公因式提取出来，从而将这个整式化为两个次数更低的整式的积，这种因式分解的方法叫作提取公因式法． 理解与运用 ① 整数系数通常取最大公因数；相同字母取最低次数。 ② 多项式也能看作整体，作为公因式提取。 ▲ 易错提醒 ① 提出负号后，括号内每一项都变号。 ② 某项与提出的公因式相同时，商是1，不能漏写。 知识串讲 02　提取公因式法 ➤ 平方差结构与连续分解 如果一个整式符合平方差公式的特征，那么就可以用平方差公式把它因式分解． 当整式的各项含有公因式时，通常先提取公因式，然后再考虑是否能进一步因式分解． 理解与运用 ① 看清两项、平方、相减的结构，确定公式中的两个底式。 ② 底式可以是数、单项式，也可以是多项式。 ③ 每次分解后再检查各因式，必要时继续使用公式。 ▲ 易错提醒 ① 平方和不能直接套用平方差公式。 ② 分解到平方差时不能停步，要检查是否分解彻底。 知识串讲 03　平方差公式 ➤ 完全平方结构与公式法 像这样，根据常用的乘法公式将整式因式分解的方法叫作公式法． 如果一个整式符合完全平方公式的特征，那么就可以用完全平方公式把它因式分解． 理解与运用 ① 先找两个平方项，再核对中间项是否为两底式乘积的2倍。 ② 中间项的正负，决定结果是两底式的和的平方还是差的平方。 ③ 先提公因式，或把多项式看作整体，能显现公式结构。 ▲ 易错提醒 ① 只找到两个平方项还不够，必须核对中间项。 ② 原式整体为负时，应先提出负号，再判断公式。 知识串讲 04　完全平方公式 ➤ 二次三项式的积与和 像这样，通过适当地分解系数， 把二次三项式因式分解的方法叫作十字相乘法． 理解与运用 ① 对，找两个数、，同时满足、。 ② 先列常数项的因数配对，再逐组核对它们的和。 ③ 含两个字母的式子，可把其中一个字母作为主要观察对象。 ▲ 易错提醒 ① 只核对积不够，两个因数的和也必须符合一次项系数。 ② 常数项为负时，两因数异号；符号不能只凭常数项决定。 知识串讲 05　十字相乘法 ➤ 分组后提取公因式或使用公式 观察整式的特征，通过适当分组，我们可以将某些整式因式分解． 理解与运用 ① 分组后，观察各组是否出现相同的因式。 ② 也可以先把符合公式的项分成一组，形成新的公式结构。 ③ 分组是为了继续使用提取公因式法或公式法。 ▲ 易错提醒 ① 把若干项放入带负号的括号时，注意括号内各项的符号。 ② 只分组还没有完成分解，最后仍要写成积的形式。 知识串讲 06　通过适当分组进行分解 题型全解 题型01 因式分解的定义 例01　选择题 下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 B把含多个项的整式化为两个次数更低的整式的积。 A是整式乘法；C右边仍是和；D的括号内不是整式。 题型全解 题型01 因式分解的定义 例02　判断说理题 判断下列变形是否为因式分解，并说明理由。 ① ； ② 。 【答案】① 是；② 不是。 【解析】 ① 等式成立，右边是两个次数更低的整式的积。 ② 右边是与的和，没有把整个整式化为积。 考点串讲 题型01 因式分解的定义 方法总结 方法1 判断变形是否合乎意义 ① 先看左边是否为含多个项的整式。 ② 再看右边是否为次数更低的整式的积。 ③ 用整式乘法检验等式是否成立。 方法2 利用乘法进行反向思考 ① 先写出熟悉的整式乘法等式。 ② 交换等式两边，得到由和到积的变形。 ③ 检查每个因式，判断是否还能继续分解。 题型全解 题型02 提取公因式法 例03　填空题 因式分解： ________。 【答案】。 【解析】 三个系数的最大公因数是，字母部分的公因式是。 提取后，三项依次变成、、。 最后一项与公因式相同，括号内的1不能漏写。 题型全解 题型02 提取公因式法 例04　解答题 因式分解： 。 【答案】。 【解析】 因为，先统一相反式。 原式。 将看作整体，提取公因式。 考点串讲 题型02 提取公因式法 方法总结 方法1 逐项观察，找全公因式 ① 系数为整数时，先找系数的最大公因数。 ② 只选每一项都含有的字母，取其最低次数。 ③ 逐项除以公因式，把各项的商连同符号写入括号。 方法2 看作整体，统一式子形式 ① 把每项共同含有的多项式看作一个整体。 ② 遇到相反式，先用 统一形式。 ③ 提出负因式后检查符号，用乘法还原检查漏项。 题型全解 题型03 平方差公式 例05　选择题 下列各式中，能直接用平方差公式因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C；分解结果为。 【解析】 ，，C是两个平方的差。 A、B不具备相减结构；D不具备本题所需的平方项结构。 题型全解 题型03 平方差公式 例06　解答题 将因式分解，并检查是否分解彻底。 【答案】。 【解析】 先提公因式：原式。 第一次用平方差公式：。 第二次用平方差公式：。 考点串讲 题型03 平方差公式 方法总结 方法1 辨认平方差的结构 ① 先整理成一个平方减另一个平方。 ② 分别确定公式中的两个底式，保留其符号。 ③ 写成两底式的和与差的乘积，再合并同类项。 方法2 先提公因式，再连续分解 ① 有公因式时，先完整提取公因式。 ② 对剩余因式使用平方差公式。 ③ 继续检查各因式，直到不能再分解为止。 题型全解 题型04 完全平方公式 例07　填空题 若恒成立， 则________。 【答案】。 【解析】 两底式分别为、。 中间项应为。 对照原式的，得到。 题型全解 题型04 完全平方公式 例08　解答题 因式分解： 。 【答案】。 【解析】 先提公因式，原式。 括号内两底式是与，中间项为。 使用完全平方公式，并保留括号外的。 考点串讲 题型04 完全平方公式 方法总结 方法1 平方项与中间项逐一核对 ① 从两个平方项中分别找出底式。 ② 计算两底式乘积的2倍，核对中间项。 ③ 根据中间项的符号，写成和或差的平方。 方法2 提取与整体观察结合 ① 先观察各项是否存在公因式。 ② 把重复出现的多项式看作整体，识别公式。 ③ 写出平方形式后，再用乘法核对系数和符号。 题型全解 题型05 十字相乘法 例09　选择题 因式分解的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B。 【解析】 所找两个数的积为，和为。 因为且，故选B。 题型全解 题型05 十字相乘法 例10　解答题 因式分解： 。 【答案】。 【解析】 把原式看作关于的二次三项式，常数项为。 ，且。 两个条件都符合，写成。 考点串讲 题型05 十字相乘法 方法总结 方法1 先配积，再核对和 ① 列出常数项可能的两因数配对。 ② 逐组计算两因数的和，与一次项系数比较。 ③ 横向写成两个一次因式，再用乘法检验。 方法2 类比处理含两个字母的式子 ① 选定一个字母，把原式看作关于它的二次三项式。 ② 将另一个字母及其系数一并参与因数配对。 ③ 同时检查交叉乘积的和以及两个末项的积。 题型全解 题型06 通过适当分组进行分解 例11　解答题 通过适当分组，将因式分解。 【答案】。 【解析】 前两项与后两项分别成组：。 各组提取公因式，得。 再提取共同的因式，得。 题型全解 题型06 通过适当分组进行分解 例12　解答题 因式分解： 。 【答案】。 【解析】 前三项符合完全平方公式：。 原式。 把看作整体，再用平方差公式。 考点串讲 题型06 通过适当分组进行分解 方法总结 方法1 分组后寻找共同因式 ① 观察各项的字母和系数，尝试分成两组。 ② 分别分解各组，使它们出现相同的因式。 ③ 继续提取这个公因式，检查是否还能分解。 方法2 先形成公式，再继续分解 ① 寻找能够组成完全平方式或平方差的项。 ② 将这些项分为一组，先用相应公式变形。 ③ 把所得式子看作整体，再提取或使用公式。 针对训练 训练01　判断题 判断正误：把含多个项的整式写成任意两个式子的积， 就一定完成了因式分解。（　　） 【答案】错误。 【解析】 两个因式必须是整式，且次数应比原来的整式低。 分解前后还必须保持相等，不能只看外表是不是乘积。 针对训练 训练02　填空题 已知， 则________。 【答案】。 【解析】 交换已知乘法等式的两边，便得到因式分解的等式。 这一变形把三项式化成了两个次数更低的整式的积。 针对训练 训练03　填空题 将因式分解， 通常提取的公因式是________，结果为________。 【答案】；。 【解析】 与的最大公因数是，两项都含有与。 各项除以，得到和。 针对训练 训练04　辨错改正题 小林写出：。 请指出错误，并写出正确结果。 【答案】漏写了；正确结果为。 【解析】 原式第三项除以公因式，商为。 同时检查前两项，商分别为、，符号正确。 针对训练 训练05　解答题 因式分解：。 【答案】。 【解析】 利用，把两个括号统一形式。 原式。 提取整体公因式，得到所求结果。 针对训练 训练06　选择题 因式分解的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C。 【解析】 两底式为和，原式是它们的平方差。 按写出结果。 针对训练 训练07　解答题 因式分解：。 【答案】。 【解析】 先写成。 其中还能分解为。 不能用平方差公式继续分解。 针对训练 训练08　解答题 因式分解：。 【答案】。 【解析】 两个底式为、。 原式。 整理得，再提出公因数。 针对训练 训练09　填空题 若________， 则空格中应填入的单项式是________。 【答案】。 【解析】 中间项为两个底式与的乘积的2倍。 ，符号为正。 针对训练 训练10　解答题 因式分解：。 【答案】。 【解析】 先提取公因式，得。 括号内。 针对训练 训练11　求值题 已知，求的值。 【答案】。 【解析】 先因式分解：。 由完全平方公式，得原式。 整体代入，得。 针对训练 训练12　填空题 因式分解：________。 【答案】。 【解析】 两个因数的积为，和为。 因为且，所以选取和。 针对训练 训练13　解答题 因式分解：。 【答案】。 【解析】 把原式看作关于的二次三项式。 ，且。 因此原式。 针对训练 训练14　解答题 因式分解：。 【答案】。 【解析】 分组并提取各组的公因式：。 两组出现共同因式，继续提取即可。 针对训练 训练15　解答题 因式分解：。 【答案】。 【解析】 前三项组成完全平方式：。 原式。 继续使用平方差公式，得到两个整式的积。 针对训练 训练16　综合解答题 因式分解：。 【答案】。 【解析】 先提取公因数：原式。 括号内分组：。 再用平方差公式：。 针对训练 训练17　应用题 一块长方形展示布的面积为平方米， 一边长为米，另一边比它长（）。 求另一边的长，并求时所需包边带的总长度。 【答案】另一边长为米；包边带共需米。 【解析】 面积因式分解：。 根据面积等于两边长的积，另一边为米。 当时，两边长为米和米，周长米。 针对训练 训练18　应用题 两块长方形标牌的尺寸分别为分米、分米， 以及分米、分米，其中。已知 、，材料每平方分米元。 用因式分解求较大标牌比较小标牌多花的材料费。 【答案】多花材料费元。 【解析】 面积之差为。 分组得。 整体代入，面积差平方分米，费用差元。 单元总结/易错复盘 核心知识 ① 因式、因式分解 　与公因式。 ② 提公因式与两种乘法公式。 ③ 十字相乘， 　核对积与和。 ④ 通过适当分组继续分解。 易错复盘 ① 提负因式时，注意各项符号。 ② 某项等于公因式时， 　其商是1。 ③ 完全平方式不能漏查中间项。 ④ 分组之后仍要写成积。 思想方法 ① 先观察公因式，再判断结构。 ② 把多项式看作整体。 ③ 检查分解彻底。 ④ 用整式乘法检验，用分解简化求值。 沪教版·七年级数学上册（新教材） 谢谢聆听 $