12.2 因式分解的方法（第1课时）2026-2027学年沪教版（五四制）七年级数学上册

第12章 因式分解 12.2 因式分解的方法 （第1课时）提取公因式法 年 级：七年级 学 科：数学（沪教版） 复习引入 学习目标 确定公因式 从系数、相同字母、最低次数三个方面确定公因式。 完成分解 会提取单项式、多项式公因式，正确处理符号。 检验结果 用逐项相除、乘回检查避免漏项、漏1和符号错误。 复习引入 分配律的反向使用 已有等式 。 反向书写 。 本课问题 怎样识别每一项都含有的因式，并准确写出括号里的整式？ 复习引入 观察　各项共有的因式 观察的每一项，你有什么发现？ 答：三项、、都含有因式。 解 把各项写成、、。 因式在每一项中都出现。 方法：把各项看成因式的积。 注意：公因式必须为每一项所共有。 知识讲授 公因式 我们把含多个项的整式中的每一项都含有的公共的因式叫作这个整式各项的公因式． 核心条件：每一项都含有。 公因式可以是单项式，也可以是多项式。 各项都含有。 知识讲授 提取公因式法 如果含多个项的整式的各项含有非常数的公因式，那么可以把这个公因式提取出来，从而将这个整式化为两个次数更低的整式的积，这种因式分解的方法叫作提取公因式法． 依据：乘法分配律的反向使用。 形式：。 括号内各项分别来自原来的每一项。 知识讲授 公因式的系数 如果含多个项的整式的各项的系数都是整数，提取公因式时，通常提取各项系数的最大公因数． 6与9的最大公因数为3。 8、4、12的最大公因数为4。 提取后还要检查括号内各项是否有公因式。 知识讲授 字母与指数的确定 共同字母 与都含有和。 最低次数 两项中的最低次数为1，的最低次数也为1。 合并结果 系数取3，字母部分取，可提取公因式。 知识讲授 思考　逐项相除后提取 如何将因式分解？ 答：。 解 公因式为。 两项分别除以，得到和3。 括号内保留加号，写成。 方法：先找公因式，再逐项相除。 注意：用乘回检查每一项。 知识讲授 提取后的1与负号 一项恰为公因式 ，因为。 提取负因式 。 检查要点 提负因式时，各项商的符号都要重新判断。原有项数不能因漏写1而减少。 知识讲授 多项式也可以是公因式 整体识别 的两项都含有。 提取整体 。 乘回核对 把分别乘以、，可还原原式。 知识讲授 相反式的幂 相反关系 。 偶数次幂 ，负号相乘得到正号。 奇数次幂 ，三个负号的积仍为负。 环节归纳 提取公因式的步骤 确定公因式 （1）系数取最大公因数。 （2）共同字母的指数取各项中的最低次数。 写出并检查 （1）每项除以公因式，原样排列各项商。 （2）乘回核对符号、项数与系数。 例题讲解 例 1 因式分解： （1） （2） （3） （4） 解第（1）题 公因式为。 逐项相除得到3与。 解第（2）题 公因式为。 逐项相除得到与1。 第（1）题：系数与字母部分分别确定。 注意：最低次数取2。 第（2）题：原式每项都要除以公因式。 注意：第二项除完后留下1。 例题讲解 例 1 因式分解： （1） （2） （3） （4） 解第（3）题 公因式为。 三个商依次是、、。 解第（4）题 提取。 三个商依次是、、1。 第（3）题：按原式顺序写出三个商。 注意：第三项的负号保留。 第（4）题：首项为负时可提取负公因式。 注意：提取负因式后各项符号都需检查。 例题讲解 变式 变式1　恰好相同的一项 因式分解：。 答：。 解 可提取公因式。 两项分别除以，得到、。 乘回为。 方法：原来等于公因式的一项，商是1。 注意：原式是减法，括号里应为。 例题讲解 变式 变式2　两种符号写法 因式分解，并说明与是否都正确。 答：两种都正确，通常可写成。 解 提时，得到。 提时，得到。 两个结果乘回后都得到原式。 方法：正公因式和负公因式都可使用。 注意：括号内外的负号应相互对应。 例题讲解 例 2 因式分解： （1） （2） 解第（1）题 把看成一个整体。 两项除以这个整体，得到、。 解第（2）题 。 原式为。 提，得。 第（1）题：直接提取相同的多项式。 注意：无需先展开。 第（2）题：统一相反式，再提取公因式。 注意：奇次幂变号，勿漏原式的负号。 例题讲解 变式 变式3　统一底数后提取 因式分解：。 答：。 解 。 原式为。 提取，得。 方法：先处理相反式的奇偶次幂，再找公因式。 注意：括号前是，展开为。 环节归纳 例题环节归纳 单项式公因式 （1）确定系数、共同字母和最低指数。 （2）商为1或负1时必须写出。 多项式公因式 （1）相同多项式可看作一个整体。 （2）相反式先统一底数，再处理奇偶符号。 课堂练习 练习1 因式分解： （1） （2） （3） （4） 解第（1）题 公因式为。 两项商为与。 解第（2）题 公因式为。 三个商为、、。 第（1）题：按最低次数确定字母指数。 注意：字母最低次数为1。 第（2）题：每项都除以。 注意：只在第二项出现，不能提取。 课堂练习 练习1 因式分解： （1） （2） （3） （4） 解第（3）题 提取。 三个商为、、。 解第（4）题 公因式为。 三个商为、、。 第（3）题：先选定公因式的符号。 注意：第三项没有或，不能提取它们。 第（4）题：系数3与共同字母合并。 注意：最后一项的商是。 课堂练习 练习2 填空题： （1） （　　） （2） （　　） 解第（1）题 。 平方后负号消失，系数不变。 解第（2）题 。 与相乘，系数变为。 第（1）题：偶数次幂不改变符号。 注意：括号内填写完整系数。 第（2）题：奇数次幂保留一个负号。 注意：底数换成相反式时，系数随之变号。 课堂练习 练习3 因式分解： （1） （2） 解第（1）题 共同的整体为。 两个商为和。 解第（2）题 。 原式为。 提取，得。 第（1）题：直接提取相同的多项式。 注意：减号保留在第二个商前。 第（2）题：先统一相反式，再提取整体。 注意：第二项除以后得到1。 环节归纳 课堂练习归纳 保证提取完整 （1）公因式必须出现在每一项中。 （2）提取后继续检查括号内是否还有公因式。 保证符号正确 （1）提负因式时逐项判断商的符号。 （2）相反式奇次变号，偶次不变号。 课堂小结 提取公因式法 识别公因式 公因式须为每一项共有。整系数通常取最大公因数，字母取共同字母，各字母的指数取每项中的最低次数。 分解的步骤 确定公因式后，原式每一项分别除以公因式，把各项商写在同一括号内。最后乘回逐项检验是否还原原式。 整体变形 相同多项式可以整体提取。遇到相反式先统一底数，偶数次幂符号不变，奇数次幂变号，然后确定共同因式。 完成与防错 提取负公因式时逐项检查符号。一项恰好等于公因式时商为1，不能漏写。括号内仍有公因式时应继续提取。 特别提醒：每项都要除，商为1也要保留。 针对训练 训练1　选择：可提取的公因式 多项式通常应提取的公因式是哪一项？ A. B. C. D. 答：选C，即。 解 18与12的最大公因数为6。 共同字母、的最低次数分别为1、2。 合并得到。 方法：分别确定系数与字母指数。 注意：不能取某一项独有的高次幂。 针对训练 训练2　填空：各项的商 补全等式：。 答：。 解 第一项除以得。 第二项除以得。 乘回得到。 方法：逐项相除后写入括号。 注意：第二项符号随同该项一起保留。 针对训练 训练3：提取方法判断 （1）。 对 理由：逐项相除的商是和1。 （2）。 错 理由：第二项的商1被漏写。 （3）。 对 理由：提取负公因式后得到商和。 （4）。 错 理由：相反式的奇数次幂互为相反数。 方法：先看变形方向，再看结果的整体形式。 注意：判断为因式分解还须保证等式成立。 方法总结 基础识别的方法 选取公因式 （1）系数看最大公因数。 （2）共同字母看最低指数。 填写括号 （1）逐项相除，按原顺序写各项商。 （2）商为1时保留1，负号不丢失。 针对训练 训练4　计算：三项式提取 因式分解：。 答：。 解 系数的最大公因数为7。 共同字母部分取。 三个商依次为、、1。 方法：确定公因式后逐项相除。 注意：最后一项恰好是公因式。 针对训练 训练5　计算：提取负公因式 因式分解：。 答：。 解 提取。 三项分别除以，商为、、1。 乘回核对三个符号。 方法：首项为负时选取负公因式。 注意：第二项原为正，除以负因式后商为负。 针对训练 训练6　计算：多项式公因式 因式分解：。 答：。 解 两项都有整体。 提取后两个商为和。 乘回得到原式。 方法：把相同括号中的多项式看成整体。 注意：不要把误写成。 方法总结 计算题的方法 单项式提取 （1）先确定符号，再确定系数和字母。 （2）用除法写商，用乘法复核。 整体提取 （1）相同括号整体保留。 （2）逐项提取，剩余因式写入新括号。 针对训练 训练7　计算：相反式的偶次幂 因式分解：。 答：。 解 。 两项共有。 提取后两个商为和。 方法：偶次幂统一底数后直接提取。 注意：平方换底不改变原式前面的减号。 针对训练 训练8　计算：相反式的奇次幂 因式分解：。 答：。 解 。 原式为。 提取，得。 方法：先处理奇次幂负号，再提公因式。 注意：展开得到。 针对训练 训练9　辨错：相反式前的符号 小林写出。指出错误并改正。 答：正确结果为。 解 。 所以。 再提取，括号内为。 方法：先把相反式变为相同的式子。 注意：原式前的减号与换底的负号相乘变加。 方法总结 相反式题的方法 先统一底数 （1）写出。 （2）偶次幂不变号，奇次幂变号。 再统一结构 （1）把相同底数的最低次幂作为公因式。 （2）同时检查原式符号与换底符号。 针对训练 训练10　说理：提取是否充分 小明把写成。等式是否成立？提取是否充分？怎样改进？ 答：等式成立，但提取不充分。可写为。 解 展开可还原原式。 括号内的两项系数仍有公因数2。 把2也提到外面，得到。 方法：先判断正确性，再检查是否仍有公因式。 注意：不能把“等式正确”误当作“已提取充分”。 针对训练 训练11　求值：先提取再代入 已知，求在时的值。 答：112。 解 先提取，原式为。 由及，得。 代入得。 方法：先提取共同整体，再代入条件。 注意：求出后再核对数值运算。 方法总结 综合题的方法 检查分解完成度 （1）展开检验等式是否成立。 （2）继续检查括号内各项的公因式。 利用分解求值 （1）先写成积，再利用已知整体条件。 （2）计算结束后复核数值。 针对训练 训练12　应用：花坛面积 矩形花坛ABCD中，E在AB上，F在DC上，EF平行于AD。AE为米，EB为3米，AD为米，。两部分面积之和为平方米。把总面积写成积，并求时的总面积。 答：平方米；当时，平方米。 解 与的公因式为。 提取后得，对应宽乘长。 代入，得。 方法：代数提取与长乘宽相互核对。 注意：长度均为正，结果使用面积单位。 针对训练 训练13　应用：两批纪念册 学校印制两批同款纪念册，每本成本为元，第一批本，第二批本，其中，为正整数。把总成本写成积。当，，时，总成本是多少元？ 答：总成本为元；代入后为900元。 解 共同的每本成本为。 提取后得到。 代入得元。 方法：提取共同单价，括号内表示总本数。 注意：本数相加后再乘单价，保留元作为单位。 方法总结 应用题的方法 面积与长度 （1）分部分面积相加得到整式。 （2）提取公因式后对应整体的长与宽。 费用与数量 （1）相同单价可作为共同因式。 （2）总费用等于共同单价乘总数量。 $