14.4 中心对称（第1课时）2026-2027学年沪教版（五四制）七年级数学上册

第14章 图形的运动 14.4 中心对称 （第1课时）中心对称图形、性质与作图 年 级：七年级 学 科：数学（沪教版） 学习目标 学习目标 会识别 区分中心对称图形与两个图形成中心对称。 会运用 找对应点，运用经过中心、中心平分及对应线段性质。 会作图 确定关键点，连中心、延长、截等长，再顺次连接。 复习引入 半周旋转后的重合 观察 两个图形各绕红点旋转，都与自身重合。 比较 旋转角固定为半周，对应位置位于中心两侧。 知识讲授 中心对称图形 如果一个图形上的所有点绕着所在平面上的一个定点旋转180°后，能与原图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个定点叫作对称中心． 研究对象是一个图形。 绕同一个定点旋转半周后，整个图形与自身重合。 知识讲授 思考　常见图形的中心对称性 等边三角形、正方形、平行四边形、圆是不是中心对称图形？ 等边三角形 正方形 平行四边形 圆 答：正方形、平行四边形、圆是；等边三角形不是。 绕适当定点旋转，检验整个图形能否重合。 等边三角形转半周后，顶点不能与原顶点一一重合。 方法：严格使用的旋转。 注意：能旋转某个角度重合，不一定能转半周重合。 知识讲授 两个图形成中心对称 在平面上，一个图形绕着一个定点旋转180°后，能与另一个图形重合，这两个图形称为关于这个定点对称，也称这两个图形成中心对称，这个定点称为对称中心． 研究对象是两个图形。 一个图形绕定点转半周后与另一个图形重合。 知识讲授 关于一点的对称点 如果两个图形关于点成中心对称，那么对于一个图形中的一点绕点旋转180°后，就与另一个图形中的一点重合．这时，点与点是这两个成中心对称的图形的对应点，也叫作关于点的对称点． 与、与、与互为对称点。 由点的对应，可确定边和角的对应。 知识讲授 中心对称的性质（一） （1）对应线段平行（或在同一直线上）且相等； 对应线段长度相等。 对应线段可能平行，也可能在同一直线上。 知识讲授 中心对称的性质（二） （2）连接每组对称点的线段都经过对称中心，并且被对称中心平分． 对应点与对称中心在同一直线上。 对称中心是每组对称点连线的中点。 知识讲授 两个概念与固定点 一个图形 中心对称图形转半周后与自身重合。 两个图形 成中心对称的两图通过转半周相互重合。 固定点 中心旋转后不动，其余点转到中心另一侧。 知识讲授 作图准备　一个点的中心对称点 画出点关于点的对称点. 答：沿延长到，使. 解 连接与. 延长到中心另一侧。 截取. 方法：用共线、异侧、等距确定对称点。 注意：只满足到中心等距，不能确定所求点。 环节归纳 中心对称的识别与定位 识别半周重合 （1）明确研究的是一个图形还是两个图形。 （2）只检验绕定点旋转的结果。 定位对称点 （1）三点共线，中心在两点之间。 （2）两点到中心的距离相等。 例题讲解 例 1 如图14-4-4（1），画出四边形关于点成中心对称的图形. 分析 答：先找四个顶点关于的对称点。 解 四边形由顶点与连线顺序确定。 每个顶点都转到中心另一侧的等距位置。 方法：把整个图形的旋转转化为顶点作图。 注意：四个点都绕同一个中心转半周。 例题讲解 例 1 如图14-4-4（1），画出四边形关于点成中心对称的图形. 答：所得四边形为. 解 连接并延长，取. 同法得到. 依次连接. 方法：连接中心、延长、截等长、顺次连。 注意：延长要经过中心到另一侧。 例题讲解 变式 例 1 例1中把点的对称点作在所在直线上，且到等距，但与在同侧，作图正确吗？ 答：不正确；中心以外的对应点应在的两侧。 解 同一直线上与同侧的等距点就是. 半周旋转把移到中心另一侧。 方法：同时检查共线、异侧、等距。 注意：点本身是唯一不改变位置的点。 环节归纳 中心对称作图归纳 逐点作图 （1）连接顶点与对称中心。 （2）经过中心延长并截取等长。 整体复核 （1）按原图的连接顺序连线。 （2）检查对应边等长且平行或共线。 例题讲解 三角形绕边的中点转半周 观察 点是的中点，半周旋转使交换位置。 作图 作点关于的对称点. 组合 原三角形与所得三角形组成平行四边形。 课堂练习 练习1 画出图14-4-5中与三角形关于点成中心对称的图形. 答：与重合，与重合，所得图形为. 解 是中点，故、互为对称点。 连接并延长，取. 连接与. 方法：利用已知中点，减少重复作点。 注意：和交换位置，只有保持原位。 课堂练习 练习2 如图，有、、、、五个点. （1） 分别画出与点、、、关于点成中心对称的点； （2） 画出与线段关于点成中心对称的图形； （3） 画出与四边形关于点成中心对称的图形. 解第（1）题：在右4格，在右2格，在右2格下3格，在下3格。 以为起点，水平方向和竖直方向都取反向相同格数。 方法：先作对称点，再保持原连接关系。 注意：四边形原顺序是，不能误连成. 课堂练习 练习2 如图，有、、、、五个点. （1） 分别画出与点、、、关于点成中心对称的点； （2） 画出与线段关于点成中心对称的图形； （3） 画出与四边形关于点成中心对称的图形. 解第（2）题：连接，所得线段与平行且等长。 先使用第（1）题所得端点，再连接与. 方法：先作对称点，再保持原连接关系。 注意：四边形原顺序是，不能误连成. 课堂练习 练习2 如图，有、、、、五个点. （1） 分别画出与点、、、关于点成中心对称的点； （2） 画出与线段关于点成中心对称的图形； （3） 画出与四边形关于点成中心对称的图形. 解第（3）题：依次连接、、、. 按原四边形的顺序连接对应点。 方法：先作对称点，再保持原连接关系。 注意：四边形原顺序是，不能误连成. 课堂练习 练习3 如图，画出与旗子关于点成中心对称的图形. 答：所得旗子在的右下方，旗杆从右4格处向下伸4格。 解 旗杆两端对应右4格、右4格下4格。 旗面尖端对应右1格下2格处。 按原边连接，保留旗杆与三角形旗面。 方法：选取旗杆端点和旗面顶点作图。 注意：半周旋转后旗子朝向改变，不能只平移。 环节归纳 课堂练习归纳 格点定位 （1）把中心到原来的点的横向、纵向格数分别数清。 （2）向相反方向取同样格数。 保持图形结构 （1）点、线段、多边形都从关键点入手。 （2）旗杆与旗面都要按原连接关系重建。 课堂小结 中心对称 概念区分 中心对称图形转半周后与自身重合；两个图形成中心对称时，一个图形转半周后与另一个重合。 对应关系 半周旋转后重合的点互为对称点。先找点的对应，再确定对应线段，保持原图的连接顺序。 几何性质 对应线段平行或共线且等长。对称点连线经过中心，且被中心平分；中心本身保持原位。 作图步骤 找关键点，连接中心，经过中心延长并截取等长，最后按原图顺序连接，并检查对应关系。 特别提醒：转角必须为180°；中心固定，其余点转到另一侧。 针对训练 训练1　选择：中心对称图形 下列图形一定是中心对称图形的是（　）. A. 等边三角形 B. 任意三角形 C. 圆 D. 只有一条对称轴的图形 答：选. 解 等边三角形转半周不能与自身重合。 圆绕圆心旋转后与自身重合。 方法：根据绕定点转半周后能否重合判断。 注意：具有对称轴不一定具有对称中心。 针对训练 训练2　填空：对称点间的距离 点、关于对称，厘米。求与. 答：厘米，厘米。 解 对称中心平分对称点连线。 厘米。 厘米。 方法：利用中心是对应点连线的中点。 注意：整段长度是点到中心距离的2倍。 方法总结 概念与基本长度计算 识别中心对称图形 （1）一个图形要与自身重合。 （2）旋转角必须是. 利用中点计算 （1）相应两点到中心距离相等。 （2）整段与半段之间用2倍关系。 针对训练 训练3：判断并说明理由 （1）中心对称图形一定有对称轴。 错 理由：一般平行四边形是中心对称图形，却没有对称轴。 （2）中心对称时，对称中心的位置不变。 对 理由：旋转中心本身不移动。 （3）到点距离相等的两点一定关于对称。 错 理由：还需要三点共线且在两点之间。 （4）对应线段可能在同一直线上。 对 理由：如一条经过中心的线段及其对应线段。 方法：用完整条件检验，必要时举反例。 注意：等距只是一项条件，不能代替半周旋转。 针对训练 训练4　计算：对应边与周长 与关于点成中心对称，依次对应. 若，，，求的周长。 答：的周长为12。 解 对应边等长，得、、. 所求周长为. 方法：先按点的对应关系写出对应边。 注意：对应边相等，原三角形与所得三角形周长相等。 方法总结 条件辨析与对应量 用反例检查判断 （1）只等距不一定成中心对称。 （2）轴对称与中心对称须分别检验。 运用对应线段性质 （1）按端点配对确定对应线段。 （2）用等长关系计算长度或周长。 针对训练 训练5　格点作图：两个点 画出点关于点的对称点. 答：从向右3格下2格得，向上2格得. 解 相对在左3格上2格。 反向取右3格下2格得到. 在下2格，其对称点在上2格。 方法：横向、纵向分别反向取相同格数。 注意：在同一竖格线上的点，横向位置保持不变。 针对训练 训练6　格点作图：一条线段 画出线段关于点成中心对称的线段，并说出对应线段的关系。 答：所得为线段，与平行且等长。 解 作出、关于的对称点。 连接与. 由中心对称性质判断两线段的关系。 方法：线段的变换只需先确定两个端点。 注意：若原线段经过中心，对应线段可与它共线。 方法总结 点与线段的作图 用网格定位点 （1）从中心数到原来的点的方向与格数。 （2）向相反方向取相同格数。 由端点得到线段 （1）先分别确定两个端点的对应点。 （2）连接后检查等长及平行或共线。 针对训练 训练7　作图：寻找对称中心 两三角形成中心对称，分别对应. 找出对称中心。 答：连接与，交点就是对称中心。 解 连接两组对称点，找到交点. 检查分别平分、. 再用经过且被平分复核。 方法：对应点连线相交确定候选中心。 注意：交点还须平分每组对称点连线。 针对训练 训练8　纠错：只向右移是否正确 点在左3格上2格。小明把对称点画在右3格上2格。判断并改正。 答：不正确；正确的在右3格下2格。 解 半周旋转使左右和上下方向同时反向。 小明只改变了左右位置。 正确点应在右3格、下2格处。 方法：中心对称要同时检查两个方向。 注意：小明得到的是关于竖直线的轴对称点。 方法总结 寻找中心与纠正错图 寻找对称中心 （1）连接两组对应点。 （2）交点要同时平分两条连接线段。 区分两种对称 （1）中心对称绕点转半周。 （2）轴对称沿直线翻折，定位条件不同。 针对训练 训练9（1）　应用：饮水点的位置 校园广场以圆形喷泉中心为对称中心布置饮水点。饮水点位于西3米、北2米处，每格边长1米。在图中确定与中心对称的饮水点. 每格边长1米 答：位于东3米、南2米处。 解 以喷泉中心作为对称中心。 西3米改为东3米，北2米改为南2米。 在对应格点标出饮水点. 方法：实际方位对应中心两侧的相反方向。 注意：同时改变东西与南北方位。 针对训练 训练9（2）　应用：铺设水管的用料 校园广场以圆形喷泉中心为对称中心布置饮水点。饮水点位于西3米、北2米处，每格边长1米。两点各沿方格线先横走再竖走接到，水管每米24元。求两点接管总长与费用。 每格边长1米 答：总长10米，费用240元。 解 每条水管长米。 两条共长米。 费用为元。 方法：按给定铺设路线分段相加。 注意：题目要求沿横竖格线，不求直线距离。 方法总结 方位与路线的应用 由中心对称确定方位 （1）把已知点相对中心的位置说完整。 （2）沿相反方向取相同距离。 按路线计算用料 （1）分清水平、竖直两段的长度。 （2）合计总长后再乘每米费用。 针对训练 训练10（1）　应用：展厅灯带作图 展厅地面有折线灯带，米，米。要以展厅中心为对称中心，再铺一条对应灯带。画出新增的灯带。 米 米 答：新增灯带是折线. 解 作关于的对称点。 依次连接、. 检查每组对应点连线被平分。 方法：折线与多边形同样先作关键点。 注意：保持折线结构，不额外连接首尾端点。 针对训练 训练10（2）　应用：灯带预算 展厅地面有折线灯带，米，米。要以展厅中心为对称中心，再铺一条对应灯带。灯带每米40元，每条另需1个25元接头。求新增灯带费用与两条总费用。 米 米 答：新增费用225元，两条总费用450元。 解 新增长度为米。 一条费用为元。 两条费用为元。 方法：用对应线段等长确定新增用量。 注意：灯带按米计费，接头按每条1个计费。 方法总结 中心对称应用归纳 建立点与图形的对应 （1）先确定实际情境中的对称中心。 （2）按共线、异侧、等距作出关键点。 用等长关系计算 （1）对应线段等长，可直接转移已知长度。 （2）区分按长度计费与按数量计费。 $