14.3 轴对称（第1课时）2026-2027学年沪教版（五四制）七年级数学上册

第14章 图形的运动 14.3 轴对称 （第1课时）图形的翻折与轴对称图形 年 级：七年级 学 科：数学（沪教版） 学习目标 本课学习目标 认识翻折 借助折纸理解两边能够相互重合。 判断图形 会判断一个图形是否为轴对称图形。 寻找对称轴 会画常见图形的对称轴并判断条数。 复习引入 生活中的翻折 囍字图案 沿竖直直线翻折，左右部分重合。 京剧脸谱 两边的轮廓和细节共同对应。 观察要点 比较整幅图形，不能只比较外轮廓。 复习引入 摄影作品中的对称 水中倒影 尝试沿水面所在的水平直线翻折。 蝴蝶图案 尝试沿身体中间的竖直直线翻折。 共同标准 直线两边的部分能够相互重合。 知识讲授 轴对称图形 若将一个图形沿着某一条直线翻折过来，直线两边的部分能够相互重合，这个图形叫作轴对称图形，这条直线是它的对称轴，也称这个图形关于这条直线对称． 研究的是一个图形的翻折。 对称轴是一条直线。 判定依据是两边的部分能够相互重合。 知识讲授 定义中的关键条件 沿直线翻折 先找到一条可能的折痕所在直线。 两边相互重合 重合包括轮廓、线条与图案细节。 整个图形判断 左右面积相等不足以保证能够重合。 知识讲授 翻折中的对应点 找到对应点 与翻折后重合。 继续观察 与、与分别重合。 固定的位置 位于折痕上的点翻折后留在原位。 知识讲授 翻折中的对应线段和角 对应线段 与是对应线段。 对应角 与是对应角。 辨认方法 先确定对应点，再观察相应的边和角。 知识讲授 对称轴是一条直线 画法 所画直线应穿过图形并向两端延伸。 检查 沿这条直线翻折，两边应完全重合。 条数 同一个图形可能有多条对称轴。 知识讲授 观察　线段的对称轴 线段有几条对称轴？分别怎样画？ 答：有条：线段所在直线，以及过中点并与线段垂直的直线。 解 沿线段所在直线翻折，整条线段留在原位。 沿中间的竖直直线翻折，两端恰好互换。 两种翻折都使原图形与自身重合。 方法：用实际翻折检查每一条候选直线。 注意：对称轴可能与图形的一部分重合。 知识讲授 观察　角的对称轴 图中这个角沿怎样的一条直线翻折，两条边能够重合？ 答：沿角平分线所在的直线翻折，两条边重合。 解 折痕经过角的顶点。 折痕把这个角分成两个相等的角。 翻折后两条边重合。 方法：折痕把两条边放在相互重合的位置。 注意：角平分线是射线，对称轴是它所在的直线。 知识讲授 观察　圆的对称轴 圆有多少条对称轴？图中画出的四条是否已经画全？ 答：圆有无数条对称轴，每条直径所在的直线都是对称轴。 解 任取经过圆心的一条直线。 沿它翻折，圆的两部分能够重合。 经过圆心的直线有无数条。 方法：观察不同方向的折痕都能否重合。 注意：对称轴是直径所在直线，不只是直径线段。 知识讲授 折纸中的重合 折痕 纸片沿中间直线折叠。 边的重合 两侧斜边与两侧底边分别重合。 展开检查 把纸片展开后再检验整个轮廓。 知识讲授 概念辨析 （1）只要左右两部分面积相等就轴对称。 错 理由：还要沿直线翻折后能够相互重合。 （2）对称轴一定是竖直的直线。 错 理由：对称轴也可以水平或倾斜。 （3）每个轴对称图形只有一条对称轴。 错 理由：正方形有四条对称轴。 （4）翻折时位于折痕上的点保持原位。 对 理由：折痕上的点不离开原来的位置。 方法：回到翻折后能否重合的标准。 注意：不要用面积相等代替形状与位置重合。 环节归纳 概念学习归纳 轴对称图形的判断 （1）选定一条候选直线。 （2）检查两边全部轮廓和内部细节。 对称轴的表达 （1）画成向两端延伸的直线。 （2）分别尝试竖直、水平和倾斜方向。 例题讲解 例 1 判断图14-3-5中的四个图形是不是轴对称图形。如果是轴对称图形，请画出该图形的所有对称轴。 （1） （2） （3） （4） 答：（1）是，有条对称轴。（2）是，有条对称轴。 图（1）只能沿顶点与底边中点所在直线重合。 图（2）有两条中线所在直线和两条对角线所在直线。 方法：逐条试折并检查是否遗漏。 注意：等腰但非等边三角形的对称轴只有一条。 例题讲解 例 1 判断图14-3-5中的四个图形是不是轴对称图形。如果是轴对称图形，请画出该图形的所有对称轴。 （1） （2） （3） （4） 答：（3）是，有条对称轴。（4）不是轴对称图形。 图（3）三片曲线图案分别给出一条重合折痕。 图（4）沿候选直线翻折，四边不能同时重合。 方法：图案内部线条也必须重合。 注意：圆形外轮廓不能决定整个图案的对称轴条数。 例题讲解 辨析 例1辨析　平行四边形的翻折检验 例1图（4）的上下边平行，能否由此说明它是轴对称图形？为什么？ 答：不能。边互相平行不保证沿某条直线翻折后整个图形重合。 解 先尝试过中间的竖直直线。 两侧倾斜的边翻折后不能重合。 其他候选折痕也不能使各边同时重合。 方法：用实际翻折标准检验，不凭某一个边的关系判断。 注意：这里讨论的是图中这个普通平行四边形。 例题讲解 变式 例 1 把例1图（2）的正方形改成长为宽的两倍的长方形，所有对称轴有几条？ 答：有条，分别经过两组对边的中点。 解 水平和竖直的中间直线都能使两边重合。 沿对角线翻折，长边与短边不能重合。 因此只有两条对称轴。 方法：改变边长后重新检验候选对称轴。 注意：非正方形长方形的对角线不是对称轴。 例题讲解 变式 例 1 依次观察等腰但非等边三角形、等边三角形和三边不等的三角形，分别判断对称轴条数。 （1） （2） （3） 答：依次为条、条、条。 等腰三角形沿顶点到对边中点的直线试折。 等边三角形的三个顶点都能给出这样的折痕。 方法：每条候选折痕都检查两边能否重合。 注意：不能把一种三角形的结论用到所有三角形。 环节归纳 例题方法归纳 图形判断 （1）外轮廓与内部图案一起检查。 （2）候选折痕两边必须相互重合。 全部对称轴 （1）按不同方向有序寻找。 （2）比较各条候选直线，排除重复或不成立者。 课堂练习 练习1 将一张A4纸对折后，再剪出一个图形，然后展开，使它成为一个等腰三角形。 答：在折痕上取顶点，沿一条斜线剪出半个三角形，展开即得等腰三角形。 解 先对折，使折痕成为图中竖直直线。 在折纸上保留折痕与底边形成的直角。 沿顶点到底边外端的斜线剪开并展开。 方法：先想象展开图，再画半边轮廓。 注意：三角形的顶点要落在折痕上。 课堂练习 练习2 已知三角形是等边三角形，它有没有对称轴？如果有对称轴，有几条？ 答：有对称轴，共条。 解 过顶点与对边中点画一条候选直线。 沿它翻折，两边能重合。 顶点、分别还能得到一条。 方法：逐个顶点有序寻找，不重复计数。 注意：对称轴应延伸到图形外。 课堂练习 练习3 在下列图形中找出轴对称图形，并分别画出它们的一条对称轴。 （1） （2） （3） （4） 答：（1）不是轴对称图形。（2）是，画出竖直对称轴。 图（1）的椭圆轮廓与斜带不能沿同一直线翻折重合。 图（2）沿经过上方顶点的竖直直线翻折重合。 方法：先看轮廓，再检查内部结构。 注意：本题只要求各画一条对称轴。 课堂练习 练习3 在下列图形中找出轴对称图形，并分别画出它们的一条对称轴。 （1） （2） （3） （4） 答：（3）（4）是轴对称图形，所画直线各为一条对称轴。 图（3）可沿斜带中间的直线翻折重合。 图（4）可沿通过上下边中点的竖直直线翻折。 方法：所选折痕要兼顾所有图案细节。 注意：答案轴应画成直线并延伸到图形外。 课堂练习 变式 练习变式　剪纸结果的检查 小明对折纸片后，把三角形的顶部顶点画在折痕外。他认为展开后一定仍是一个等腰三角形，这种说法对吗？ 答：不对。要剪成所示等腰三角形，顶点应在折痕上。 解 展开时，折痕外的点会出现两份。 两个不同的顶部点不构成一个共同顶点。 把顶部顶点放在折痕上再剪。 方法：从展开后点的位置反查折纸方案。 注意：折痕上的点展开时仍是同一点。 环节归纳 课堂练习归纳 折剪设计 （1）先确定目标图形的对称轴。 （2）以折痕为界设计半边轮廓。 识图画轴 （1）检查整体图案是否能够重合。 （2）分清题目要求一条还是全部对称轴。 课堂小结 轴对称 图形 定义标准 一个图形沿某条直线翻折后，直线两边的部分能够相互重合。必须检查整个图形的全部细节。 翻折对应 翻折后能够重合的点是对应点。由点的对应关系辨认相应线段与角，折痕上的点保持原位。 寻找对称轴 对称轴是一条直线，可以竖直、水平或倾斜。逐一检验不同方向的折痕，按要求画一条或全部。 折纸应用 先确定展开后图形的对称轴，再在折纸上设计半边轮廓。展开后检查两侧能否重合及顶点位置。 特别提醒：面积相等、只有轮廓对称，都不足以判定整个图形轴对称。 针对训练 训练1　选择：轴对称的标准 判断一个图形是否为轴对称图形，最直接的依据是哪个条件？ A. 两部分面积相等 B. 图形有偶数条边 C. 沿某直线翻折，两边能够重合 D. 图形摆放得端正 答：选。 解 先确定一条直线作为折痕。 再检查两边的部分能否相互重合。 面积、边数或朝向不能代替这个条件。 方法：依据定义中的翻折与重合。 注意：需要存在至少一条符合条件的直线。 针对训练 训练2：定义判断 （1）对称轴可以是一条斜直线。 对 理由：方向不影响翻折后重合的标准。 （2）一条线段就是图形的完整对称轴。 错 理由：对称轴是一条向两端延伸的直线。 （3）只检查外轮廓就能判断任何图案。 错 理由：内部线条和颜色区域也要对应重合。 （4）轴对称图形可能有多条对称轴。 对 理由：正方形就有四条。 方法：用定义检查关键词是否准确。 注意：把折痕所在的直线和有限线段区分开。 针对训练 训练3　填空：常见图形的对称轴 线段有________条对称轴；非正方形的长方形有________条对称轴；圆有________条对称轴。 答：；；无数。 解 线段可沿所在直线或中间垂直直线翻折。 长方形有水平与竖直两条中间直线。 圆沿任何经过圆心的直线都能重合。 方法：分别列举能够翻折重合的方向。 注意：圆的对称轴是直径所在的直线。 方法总结 训练1—3方法总结 按定义判断 （1）找到可尝试的折痕。 （2）检查所有部分能否相互重合。 按对象计数 （1）区分线段、角与平面图形。 （2）不把图形的一条边自动当作对称轴。 针对训练 训练4　作图：正方形的全部对称轴 画出图中正方形的所有对称轴，并说明没有遗漏的理由。 答：共有条，如图所示。 解 两组对边的中点各确定一条对称轴。 两条对角线所在直线也能使两边重合。 分别检查这四种方向，无其他重合折痕。 方法：按边中点与顶点两类位置寻找。 注意：两条对角线也必须延长成直线。 针对训练 训练5　作图：等腰三角形 图中三角形两条腰相等，底边与腰不等。画出它的全部对称轴。 答：有条，即顶点与底边中点所在直线。 解 从两腰的公共顶点向底边中点画直线。 沿这条直线翻折，两腰与两半底边重合。 其他方向不能使三个顶点相应重合。 方法：先找相等两腰的公共顶点。 注意：题目已排除等边三角形。 针对训练 训练6　观察：带圆点的正方形 正方形内有一个红色圆点，它的圆心在右上方对角线上，且不在正方形中心。这个完整图案有几条对称轴？ 答：只有条，即经过红点圆心的那条对角线所在直线。 解 正方形外框原有四条候选对称轴。 红点沿其所在对角线翻折留在原处。 沿其他三条翻折，红点都不能重合。 方法：先列外框的候选轴，再用内部图案筛选。 注意：整幅图案的对称轴可能少于外框的对称轴。 方法总结 训练4—6方法总结 候选轴的寻找 （1）观察相同的边、顶点和图案部分。 （2）按不同方向有序画出候选轴。 候选轴的检验 （1）检验外轮廓是否重合。 （2）继续检验内部标记是否重合。 针对训练 训练7　说理：两边平行是否足够 小华说：“图中上下两条边互相平行，所以这个图形是轴对称图形。”他的理由成立吗？ 答：不成立。图中普通平行四边形不能沿一条直线翻折后与自身重合。 解 平行只说明两条直线的位置关系。 轴对称要求整个图形翻折后相互重合。 用这个标准检查，图中形状不满足。 方法：结论必须由定义要求的条件支持。 注意：不能只比较一组边。 针对训练 训练8　折纸：半边轮廓的设计 想用对折的纸剪出图中的等腰三角形，折痕应沿哪条直线？在折好的纸上应保留怎样的轮廓？ 答：折痕沿顶点与底边中点所在直线，保留半个三角形的轮廓。 解 先画目标图形的唯一对称轴。 沿轴将目标图形分成能重合的两半。 在折纸上剪出其中一半后展开。 方法：先找轴，再取半边进行折剪。 注意：折痕既要经过顶点，也要经过底边中点。 针对训练 训练9　辨认：房屋轮廓 图中的房屋轮廓左右墙高相同，屋顶最高点位于中间。请画出它的全部对称轴，并判断水平直线是否可以作为对称轴。 答：只有竖直的条对称轴；水平直线不是对称轴。 解 沿竖直中线翻折，两墙和两片屋顶重合。 沿水平直线翻折，尖屋顶不能与底边重合。 因此只有一条竖直对称轴。 方法：同时比较上、下、左、右的整体轮廓。 注意：左右对称不代表上下也对称。 针对训练 训练10：错例修正 （1）正方形四条边所在直线都是对称轴。 错 理由：沿边翻折不能使整个正方形与自身重合。 （2）等边三角形有三条对称轴。 对 理由：分别经过顶点与对边中点。 （3）非正方形长方形的对角线是对称轴。 错 理由：翻折后长边不能与短边重合。 方法：把候选直线放回图形中实际试折。 注意：边、对角线并非对所有图形都是对称轴。 方法总结 训练7—10方法总结 说理表达 （1）先说明题目提供了什么条件。 （2）再用翻折重合标准解释成立或不成立。 折剪与识图 （1）先确定整体轮廓，再考虑折痕。 （2）明确一条、全部和条数三类要求。 针对训练 训练11　应用：校门装饰图案 学校制作一块长厘米、宽厘米的长方形装饰板。要求整块图案保持左右和上下两条对称轴。小组计划在水平中线上、中心右侧厘米处画一个半径为厘米的小圆，还至少需要在什么位置补一个同样的小圆？ 答：在水平中线上、中心左侧厘米处补一个半径为厘米的小圆。 解 原小圆位于长方形的水平中线上。 沿竖直中线翻折，它应与左侧小圆重合。 两个小圆沿水平中线翻折都留在原位。 方法：按照每一条指定折痕分别检查图案。 注意：两个圆要大小相同，且到中心的左右距离相同。 针对训练 训练12　应用：对折裁剪三角旗 一块布对折后，折痕长厘米。裁剪时以折痕上端为顶点，从折痕下端沿底边向外量厘米，连接并剪下半个三角形。展开后旗子的底边长和面积各是多少？ 厘米 8厘米 答：底边长厘米，面积平方厘米。 解 展开后，底边由两个厘米组成。 高仍为折痕长厘米。 面积为平方厘米。 方法：展开后，垂直折痕方向的长度对应成双。 注意：折痕的长度不因展开而加倍。 方法总结 应用题方法总结 装饰图案设计 （1）按指定对称轴逐一检查。 （2）轮廓、位置、大小和颜色都要重合。 折剪中的数量关系 （1）先画出展开后的完整图形。 （2）分清成双出现的长度与保持不变的长度。 $