14.2 旋转（第1课时）2026-2027学年沪教版（五四制）七年级数学上册

第14章 图形的运动 14.2 旋转 （第1课时）旋转的概念、性质与作图 年 级：七年级 学 科：数学（沪教版） 学习目标 本课学习目标 认识旋转 能够指出旋转中心、方向和旋转角。 运用性质 根据对应关系，确定相等的线段与角。 完成作图 会旋转关键点，并按原顺序连接。 复习引入 生活中的转动 电扇叶片 叶片绕固定点，按顺时针方向转动。 铣床铣刀 转动时，中心的位置保持不变。 共同特点 都有一个定点和一个转动的角度。 知识讲授 图形的旋转 在平面上，将一个图形上的所有点绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫作图形的旋转，这个定点叫作旋转中心，转动的角叫作旋转角． 所有点绕同一个定点转动。 先确定中心，再确定方向和角度。 知识讲授 旋转的三个要素 旋转中心 定点的位置保持不变。 旋转方向 顺时针与逆时针是不同方向。 旋转角 用表示相应的转角。 知识讲授 旋转中的对应关系 对应点 对应，对应。 对应线段 对应。 对应角 对应。 知识讲授 旋转前后的图形 图形的旋转具有下列特点：旋转前的图形与旋转后的图形形状相同，大小相等． 转动改变位置，形状和大小保持不变。 相应的边长与角的大小可以逐一比较。 知识讲授 操作　正方形转动后的重合 如图，将一张正方形纸片两条对角线的公共点用大头针钉住。旋转正方形，至少旋转多少度才可以使它与初始位置的正方形重合？每旋转多少度会重复上述现象？ 答：至少旋转，每旋转重复一次。 解 固定点是两条对角线的公共点。 一个顶点转到相邻顶点，转过。 四个顶点同时回到正方形的顶点位置。 方法：借助顶点位置判断整体重合。 注意：至少旋转指大于的最小转角。 知识讲授 旋转条件辨析 （1）旋转时每个点都必须改变位置。 错 理由：旋转中心的位置不变。 （2）只给旋转中心就能确定结果。 错 理由：还要确定方向和角度。 （3）顺时针与逆时针方向相反。 对 理由：需要按题目指定的方向转动。 方法：核对中心、方向和角度。 注意：中心落在图形上时，该点保持原位。 知识讲授 旋转的性质：距离与转角 （1）图形旋转后，对应点到旋转中心的距离相等； （2）两组对应点分别与旋转中心连线，所成的角的角度相等； 对应点到中心的距离保持相等。 各组对应点转动的角度相等。 知识讲授 旋转的性质：边、角与图形 （3）对应线段的长度相等，对应角的大小相等； （4）旋转后得到的图形与原图形形状相同，大小相等． 按对应次序写等长的边与相等的角。 整体的形状与大小保持不变。 知识讲授 操作（1）　点旋转经过的路线 如图14-2-6（1），点绕点按逆时针方向旋转后，经过的路线是怎样的图形？ 答：是以为圆心、为半径的四分之一圆弧。 解 旋转过程中，点到的距离不变。 点沿以为圆心的圆运动。 占一周的四分之一。 方法：路线要描述运动经过的位置。 注意：路线是圆弧，不能用起点终点间的线段代替。 知识讲授 操作（2）　线段旋转扫过的区域 如图14-2-6（2），线段绕点按顺时针方向旋转后，它所扫过的平面部分是怎样的图形？如果cm，那么这个图形的面积是多少？ 答：扫过一个扇形，面积为cm²。 解 固定端点，线段扫过扇形区域。 是一周的八分之一。 面积等于半径为的整圆面积的八分之一。 方法：先认识区域，再用它占整圆的份数计算。 注意：端点走圆弧，整条线段扫过区域。 环节归纳 旋转概念的辨认 要素检查 （1）找到固定不动的中心。 （2）读清转动方向和转角大小。 对应检查 （1）按图形转动过程确认对应点。 （2）用对应点连成对应边和对应角。 环节归纳 运动过程的辨认 点的路线 （1）到中心的距离保持不变。 （2）按转角确定经过的圆弧部分。 线段扫过的区域 （1）一端固定时，线段扫过扇形。 （2）用转角占一周的份数处理简单面积。 例题讲解 例 1 如图14-2-4，是三角形内一点，将一枚图钉钉在点处，把三角形按逆时针方向旋转成三角形。 （1） 确定这个旋转的旋转中心和旋转角； （2） 找出点、、的对应点，并判断每一组对应点到旋转中心的距离是否相等； （3） 找出线段、、的对应线段，并判断每一组对应线段是否相等； （4） 找出、和的对应角，并判断每一组对应角是否相等。 解第（1）题：旋转中心是点，旋转角为（或、）。 连接中心与同一组对应点，确认逆时针转角。 方法：先找对应点，再找相应的线段和角。 注意：旋转角的顶点必须是旋转中心。 例题讲解 例 1 如图14-2-4，是三角形内一点，将一枚图钉钉在点处，把三角形按逆时针方向旋转成三角形。 （1） 确定这个旋转的旋转中心和旋转角； （2） 找出点、、的对应点，并判断每一组对应点到旋转中心的距离是否相等； （3） 找出线段、、的对应线段，并判断每一组对应线段是否相等； （4） 找出、和的对应角，并判断每一组对应角是否相等。 解第（2）题：点的对应点依次为。 ，，；对应点到旋转中心等距。 方法：先找对应点，再找相应的线段和角。 注意：旋转角的顶点必须是旋转中心。 例题讲解 例 1 如图14-2-4，是三角形内一点，将一枚图钉钉在点处，把三角形按逆时针方向旋转成三角形。 （1） 确定这个旋转的旋转中心和旋转角； （2） 找出点、、的对应点，并判断每一组对应点到旋转中心的距离是否相等； （3） 找出线段、、的对应线段，并判断每一组对应线段是否相等； （4） 找出、和的对应角，并判断每一组对应角是否相等。 解第（3）题：，，。 按端点的对应关系写出对应线段。 方法：先找对应点，再找相应的线段和角。 注意：旋转角的顶点必须是旋转中心。 例题讲解 例 1 如图14-2-4，是三角形内一点，将一枚图钉钉在点处，把三角形按逆时针方向旋转成三角形。 （1） 确定这个旋转的旋转中心和旋转角； （2） 找出点、、的对应点，并判断每一组对应点到旋转中心的距离是否相等； （3） 找出线段、、的对应线段，并判断每一组对应线段是否相等； （4） 找出、和的对应角，并判断每一组对应角是否相等。 解第（4）题：，，。 角的三个字母逐一对应，顶点字母放在中间。 方法：先找对应点，再找相应的线段和角。 注意：旋转角的顶点必须是旋转中心。 例题讲解 变式 例 1 沿用例1的旋转，若厘米，厘米，，求、和。 答：厘米，厘米，。 解 由对应点到中心等距，得。 对应线段相等，得。 对应角相等，得。 方法：每一个已知量都先找对应量。 注意：与属于不同类型的线段。 例题讲解 例1易错辨析 （1）一定是旋转角。 错 理由：它的顶点不是旋转中心。 （2）与的转角相同。 对 理由：对应点按相同方向转动相同角度。 （3）写对应角时字母顺序可以任意改变。 错 理由：角的顶点和两边必须分别对应。 方法：旋转角用中心与一组对应点确定。 注意：对应角与旋转角表示的对象不同。 例题讲解 例 2 如图14-2-5（1），已知点与三角形，画出三角形绕点按逆时针方向旋转后的图形。 作图步骤（1）（2） 答：先确定三个顶点旋转后的对应点、、。 解 连接、、。 从逆时针转，确定新射线。 在射线上取，得到。 方法：一个点的位置由转角和到中心的距离共同确定。 注意：量角时以原射线为始边。 例题讲解 例 2 如图14-2-5（1），已知点与三角形，画出三角形绕点按逆时针方向旋转后的图形。 作图步骤（3）（4） 答：顺次连接、、，得到所求图形。 解 同样取且。 同样取且。 依原图顺序连接对应点。 方法：所有关键点都用相同方向和角度作图。 注意：不能只转动一个顶点就结束。 环节归纳 例题方法归纳 性质应用 （1）先写清楚对应点。 （2）把等距、等边、等角分别列出。 旋转作图 （1）连中心，按方向作相等转角。 （2）截取相等距离，再顺次连接。 课堂练习 练习1 画一个直角，并画出这个直角绕它的顶点按逆时针方向旋转后的图形。 答：图中为所求直角。 解 以直角顶点为旋转中心。 将两条边分别逆时针旋转。 对应射线组成的角仍为。 方法：角的两条边都要转过同样的角度。 注意：顶点保持原位。 课堂练习 练习2 如图，绿色图形绕点按逆时针方向旋转几度后能与黄色图形重合？ 答：。 解 先观察两种颜色的外侧圆弧。 绕转半周时，两部分交换位置。 内侧弯曲边界也完全重合。 方法：判断重合时同时检查外边界和内部边界。 注意：只看到局部重合还不能下结论。 课堂练习 练习3 画出图中以点为旋转中心按逆时针方向旋转后的图形。 答：四边形为所求图形。 解 连接中心与四个顶点。 分别逆时针转，保持到距离。 按、、、的次序连接。 方法：顶点越多，越要逐点检查对应关系。 注意：旋转中心在图形外也可按同样步骤作图。 环节归纳 课堂练习归纳 重合判断 （1）追踪一个明显的顶点或边界。 （2）再检查整体是否完全重合。 作图复核 （1）核对所有对应点的等距和等角。 （2）核对连接顺序与原图一致。 课堂小结 图形的 旋转 旋转要素 同一个定点是旋转中心。结合顺时针或逆时针方向与旋转角，确定图形转动后的具体位置。 对应关系 先找对应点，再找对应边与对应角。对应点到中心等距，各组对应点转过的角度相等。 不变性质 对应线段长度相等，对应角大小相等。旋转前后的图形形状相同，大小相等，中心位置不变。 作图步骤 连接中心与关键点，按指定方向作转角，截取相等距离，最后按原图顺序连接全部对应点。 特别提醒：旋转角的顶点是中心，两边通过同一组对应点。 针对训练 训练1　选择：旋转条件 要唯一确定一个图形旋转后的位置，下列条件最完整的是哪一项？ A. 只知道旋转中心 B. 只知道旋转方向 C. 中心和方向 D. 中心、方向和角度 答：选。 解 旋转中心决定绕哪里转。 方向与角度共同决定转到哪里。 因此三项条件都需要明确。 方法：按旋转的三个要素逐项核对。 注意：相同中心、相同角度，方向不同可能得到不同图形。 针对训练 训练2　填空：到中心的距离 点绕点旋转后对应点为。已知厘米，旋转角为，则________厘米，________。 答：；。 解 与是一组对应点。 对应点到中心等距，所以。 对应射线所成转角为。 方法：一组对应点同时联系等距与转角。 注意：与一般不相等。 针对训练 训练3：性质判断 （1）旋转会使图形的周长发生改变。 错 理由：各对应边长度不变。 （2）对应点到旋转中心的距离相等。 对 理由：这是旋转的距离性质。 （3）旋转后对应角的大小保持相等。 对 理由：转动不改变图形的形状与大小。 （4）旋转后每个内角都增大。 错 理由：内角大小不变，是转动的角。 方法：区分图形内部的角与转动的角。 注意：边长、周长与角的大小都保持不变。 方法总结 训练1—3方法总结 条件辨认 （1）读全中心、方向与角度。 （2）对应点必须来自同一次旋转。 性质填空 （1）距离题先找中心与对应点。 （2）边角题先写出准确的对应关系。 针对训练 训练4　选择：正确的旋转角 图中点绕逆时针旋转到。下列哪一个角直接表示旋转角？ A. B. C. D. 任意一个角 答：选，即。 解 旋转角的顶点应为。 两边应分别经过与。 因此选择。 方法：中心放在角名称的中间。 注意：的顶点是。 针对训练 训练5　计算：旋转后的三角形 三角形旋转后成为三角形。已知，，，求旋转后三角形的周长。 答：周长为。 解 对应边长分别为、、。 三条边相加，得周长。 也可直接利用旋转前后周长不变。 方法：先对应边，再计算周长。 注意：无需知道旋转中心的具体位置。 针对训练 训练6　作图：逆时针旋转直角三角形 在方格中，画出三角形绕点按逆时针方向旋转后的图形。 答：三角形如图。 解 逐点连接与三个顶点。 每条连线逆时针转并保持长度。 按原顺序连接三个对应点。 方法：直角转动可结合格子检查位置。 注意：不能把向左移动误作逆时针旋转。 方法总结 训练4—6方法总结 角的定位 （1）旋转角的顶点是旋转中心。 （2）两边通过同一组对应点。 长度与作图 （1）对应边长直接相等。 （2）作图同时满足角度和距离要求。 针对训练 训练7　说理：旋转中心的位置 三角形绕顶点旋转，小明把也画到了另一个位置。他的画法正确吗？说明理由。 答：不正确。旋转中心在旋转过程中保持原位。 解 本题指定顶点为固定点。 固定点就是旋转中心。 因此与它的对应点在同一位置。 方法：先检查中心，再检查其他点。 注意：中心可以在图形内部、外部或边界上。 针对训练 训练8　计算：旋转剩余的角度 射线原来竖直向上，顺时针旋转到。它还要顺时针旋转多少度才水平向右？ 答：。 解 竖直向上到水平向右为顺时针。 已转过。 剩余转角为。 方法：同方向连续转动的角度相加。 注意：先确定目标方向，再列角度关系。 针对训练 训练9　作图：中心在顶点上 画出三角形绕顶点按顺时针方向旋转后的图形。 答：顶点不动，所求图形为三角形。 解 保持中心不动。 将、分别顺时针转。 连接、、。 方法：与中心重合的顶点直接保留。 注意：与是同一点，不应分开画。 方法总结 训练7—9方法总结 固定点处理 （1）旋转中心保持原位。 （2）与中心重合的顶点不用重新定位。 连续转角处理 （1）先明确始边和目标方向。 （2）同方向转角按经过顺序相加减。 针对训练 训练10　应用：钟表分针的转动 学校钟表的分针长厘米，从时分走到时分。分针绕哪里转、按什么方向转、转过多少度？针尖到转轴的距离是多少？ 答：绕转轴顺时针旋转；针尖到转轴为厘米。 解 分针分钟转。 分钟转过。 旋转时针尖到中心的距离不变。 方法：先把时间换成转角，再用距离不变。 注意：本题研究分针，不是时针。 针对训练 训练11　应用：旋转喷灌的覆盖区域 喷灌器固定在点，喷水可看成从发出的长米线段。它从初始方向匀速转过，求这次扫过区域的形状和面积。 答：扫过四分之一圆的扇形，面积为平方米。 解 喷水线段绕固定端点转动。 为一周的四分之一。 面积为。 方法：把扫过区域与相同半径的整圆比较。 注意：覆盖面积对应整个区域，不是端点路线长度。 方法总结 应用题方法总结 情境中的旋转要素 （1）先确定实际物体的固定转轴。 （2）把时间或转动过程换成旋转角。 路线与区域 （1）端点运动形成圆弧。 （2）线段扫过区域按整圆的份数计算。 $