14.3 轴对称（第2课时）（教学课件）数学沪教版五四制2024七年级上册

该初中数学课件聚焦“轴对称”第2课时，核心内容为轴对称的概念、性质及应用。通过复习轴对称图形，结合问题链衔接平移、旋转等图形运动知识，搭建从单个图形到两个图形对称关系的认知支架。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言，通过多样化题型探究提升核心素养。如利用无刻度直尺画对称轴结合等边三角形性质推理，培养几何直观与推理能力；将军饮马问题、台球反射路径设计，体现模型意识与应用意识。采用问题驱动与分层练习，帮助学生系统掌握知识，教师可直接用于课堂教学提升效率。

14.3 轴对称 第2课时 第14章 图形的运动 沪教版2024·七年级上册 章节导读 14.1平移 14.2 旋转 画出平移后的图形 平移的基本概念 14.3 轴对称 画出旋转后的图形 旋转的基本概念 轴对称 图形的翻折与轴对称图形 14.4 中心对称 画出中心对称后图形 中心对称的意义图形 学 习 目 标 1 2 3 认识两个图形关于一条直线成轴对称的运动过程，知道经过轴对称运动的图形具有保持 形状、大小不变的性质． 用图形运动的观点理解两个图形关于一条直线成轴对称的意义，掌握两个图形成轴对称的性质． 能画出成轴对称的两个图形的对称轴，会画已知图形关于某条直线对称的图形． 复习引入 问题思考 什么是轴对称图形？ 轴对称图形 若将一个图形沿着某一条直线翻折过来，直线两边的部分能够相互重合，这个图形叫作轴对称图形，这条直线是它的对称轴，也称这个图形关于这条直线对称． 常见的轴对称图形有等腰三角形、正方形、长方形、菱形、圆、等边三角形、等腰梯形等。可以通过翻折，找图形对称轴的方式来确定一个图形是否为轴对称图形。 还有哪些其他的运动吗？ 新知探究 问题思考 观察下列图形，具有什么共同的特征？ 把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合. 新知探究 概念 1.轴对称 把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么就称这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫作对称轴，翻折后能够重合的点叫作对称点． 新知探究 问题思考 如图，三角形ABC沿着直线l翻折后，与三角形A′B′C′重合，三角形ABC与三角形A′B′C′关于直线l成轴对称．说出图中的对应点、对应线段和对应角. 对称点： 对应线段： 对应角： 对称轴： 点A与点A′， 点B与点B′， 点C与点C′； 线段BC与线段B′C′ ， 线段AC与线段A′C′ ； ∠B与∠B′， ∠C与∠C′． 线段AB与线段A′B′， ∠A与∠A′， 直线l； 新知探究 问题思考 轴对称和轴对称图形有什么区别和联系？ 联系 由一个图形或图形的一部分通过轴对称得到． 如果把轴对称图形的对称轴两旁的部分看成两个图形，那么这两个图形关于这条直线成轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形． 新知探究 问题思考 轴对称和轴对称图形有什么区别和联系？ 区别 轴对称图形是指一个图形，表达的是一类具有特殊性质的图形． 两个图形成轴对称是指两个图形，表达的是这两个图形之间一种特殊的位置关系． 新知探究 问题思考 两个图形关于一条直线成轴对称，具有怎样的性质？ 【分析】由定义可知：如果两个图形关于一条直线成轴对称，那么这两个图形能够通过轴对称重合， 因此对应线段、对应角都能够重合，所以对应线段的长度相等，对应角的大小相等，这两个图形的形状相同，大小相等． 图中，AB＝A′B′，AC＝ A′C′ ，BC＝ B′C′ ； ∠A＝∠A′ ，∠B＝∠B′ ，∠C＝∠C′． 连接一对对称点，能得到什么结论？ 新知探究 问题思考 连接一对对称点，能得到什么结论？ 连接点A与点A′，交直线MN于点P． 因为点A与点A′是关于直线MN的对称点， 点P在对称轴直线MN上， 所以AP与A′P关于直线MN对称， ∠APM与∠A′PM关于直线MN对称． 所以AP＝A′P，∠APM＝∠A′PM． 又因为∠APM＋∠A′PM＝180°， 所以∠APM＝∠A′PM＝90°． 连接对称点的线段和对称轴垂直，并且被对称轴平分. 新知探究 概念 1.轴对称 把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么就称这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫作对称轴，翻折后能够重合的点叫作对称点． 2.轴对称的性质 两个图形关于一条直线成轴对称，具有下面的性质： （1）对应线段的长度相等，对应角的大小相等，这两个图形形状相同，大小相等； （2）连接对称点的线段和对称轴垂直，并且被对称轴平分. 例1 如图，画出四边形ABCD关于直线l成轴对称的图形． 典例分析 【分析】利用两个成轴对称图形的性质，可知只需找出图形的“关键点”即四边形四个顶点关于直线l的对称点，就可得到所求的图形． 解 (1) 过点A画直线l的垂线AO，垂足为O．延长AO到点A1，使OA1=OA，就得到点A关于直线l的对称点A1． (2) 类似步骤 (1) 的操作，分别画出点B、C、D关于直线l的对称点B1、C1、D1． 依次连接A1B1、B1C1、C1D1、D1A 1，得到四边形A1B1C1D1，如图所示． 四边形A1B1C1D1就是四边形ABCD关于直线l成轴对称的图形． 例2 图中的两个图形成轴对称，画出它们的对称轴． 典例分析 在成轴对称的两个图形中，连接一组对称点，取中点，并过中点作这组对称点连线段的垂线，则此垂线就是对称轴． l 如图，直线l是这两个图形的对称轴． 方法一 例2 图中的两个图形成轴对称，画出它们的对称轴． 典例分析 方法二 在成轴对称的两个图形中，分别连接两组对称点，取中点，连接两个中点所得的线段所在的直线就是对称轴． 如图，直线l是这两个图形的对称轴． l 画对称轴 题型一 题型探究 练习1 请你利用无刻度直尺画出下列图形的对称轴 (1)如图1，在四边形中，，； (2)如图2，三个等边三角形如图所示放置，点、、在一条直线上． 【分析】 本题考查画对称轴，解题的关键是熟练掌握对称轴的定义．（1）过点和点作直线即可； 解：（1）解：如图，直线为所求，证明：连接，作直线， ∵，∴点在线段的垂直平分线上， ∵，∴点在线段的垂直平分线上， ∴直线为线段的垂直平分线，∴直线为轴对称图形的对称轴． 画对称轴 题型一 题型探究 练习1 请你利用无刻度直尺画出下列图形的对称轴 (1)如图1，在四边形中，，； (2)如图2，三个等边三角形如图所示放置，点、、在一条直线上． 【分析】 （2）连接，，交于点，过点和点作直线即可． 解：（2）解：如图，直线为所求， 证明：连接，，交于点，作直线，交于点， ∵、、均为等边三角形， ∴，，，，，， ∴，，，，，， ∴点为的中点，，，， ∴∴，， ∴，，∴， ∴直线为线段和线段的垂直平分线，∴直线为轴对称图形的对称轴． 将军饮马问题 题型二 题型探究 练习2 如图，表示草地的边界，表示小河的河岸，在草地与河岸之间有，两地，某养殖户从地赶了几只羊到草地放羊，然后再到小河饮水，之后回到地．假设该养殖户赶着羊走的都是直路，请你为他设计一条最短的路线，标明放羊与饮水的位置（不写作法）． 【分析】本题考查了轴对称的性质，两点之间线段最短，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，即可解答． （1）解：如图，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，交于点，是他走的最短路线，放羊的位置为C点，饮水的位置为D点． 轴对称应用 题型三 题型探究 练习3 公元一世纪，正在亚历山大城学习的古希腊数学家海伦发现：光在镜面上反射时，反射角等于入射角．如图1，法线垂直于反射面，入射光线与法线的夹角为入射角，反射光线与法线的夹角为反射角．台球碰撞台球桌边后反弹与光线在镜面上反射原理相同． 如图2，长方型球桌上有两个球，．请你尝试解决台球碰撞问题： (1)请你设计一条路径，使得球撞击台球桌边反射后，撞到球．在图2中画出，并说明做法的合理性． (2)请你设计一路径，使得球连续三次撞击台球桌边反射后，撞到球，在图3中画出一种路径即可． 【分析】 本题考查轴对称的应用，解题的关键是学会利用轴对称解决实际问题． 轴对称应用 题型三 题型探究 练习3 公元一世纪，正在亚历山大城学习的古希腊数学家海伦发现：光在镜面上反射时，反射角等于入射角．如图1，法线垂直于反射面，入射光线与法线的夹角为入射角，反射光线与法线的夹角为反射角．台球碰撞台球桌边后反弹与光线在镜面上反射原理相同．如图2，长方型球桌上有两个球，．请你尝试解决台球碰撞问题：(1)请你设计一条路径，使得球撞击台球桌边反射后，撞到球．在图2中画出，并说明做法的合理性． 【分析】 （1）作点P关于的对称点，连接交于T，线路即为所求． （1）解：如图2中，作点P关于的对称点，连接交于T，线路即为所求， 原理：∵点和点P关于对称，∴， ∵， ∴； 轴对称应用 题型三 题型探究 练习3 公元一世纪，正在亚历山大城学习的古希腊数学家海伦发现：光在镜面上反射时，反射角等于入射角．如图1，法线垂直于反射面，入射光线与法线的夹角为入射角，反射光线与法线的夹角为反射角．台球碰撞台球桌边后反弹与光线在镜面上反射原理相同． (2)请你设计一路径，使得球连续三次撞击台球桌边反射后，撞到球，在图3中画出一种路径即可． 【分析】 （2）作点P关于的对称点，作点Q关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于E，交于F，连接交于点G，即为所求． （2）如图3中，作点P关于的对称点，作点Q关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于E，交于F，连接交于点G，即为所求． 轴对称计算 题型四 题型探究 练习4 如图1，已知长方形中，，，连结，动点P从点A出发，以的速度沿的方向运动向终点C运动，连结．设P点运动的时间为t（秒） (1)当时，_____；当时，______ ． (2)在点P的运动过程中，当平分或的面积时，求t的值． (3)如图2，当点P不与点B重合时，作点P关于的对称点，分别连结 ①当最短时，直接写出此时四边形的面积； ②当四边形的面积是长方形的面积时，直接写出t的值． 【分析】本题考查了一元一次方程与几何应用，轴对称的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 轴对称计算 题型四 题型探究 练习4 如图1，已知长方形中，，，连结，动点P从点A出发，以的速度沿的方向运动向终点C运动，连结．设P点运动的时间为t（秒） (1)当时，_____；当时，______ ． 【分析】（1）根据运动速度和时间列式得出，再结合，，进行线段的和差运算，即可作答； （1）解：∵动点P从点A出发，以的速度沿的方向运动向终点C运动， ∴当时，则， ∵，， ∴， ∴当时，则， ∴， 故答案为：1，3； 轴对称计算 题型四 题型探究 练习4 如图1，已知长方形中，，，连结，动点P从点A出发，以的速度沿的方向运动向终点C运动，连结．设P点运动的时间为t（秒） (2)在点P的运动过程中，当平分或的面积时，求t的值． 【分析】（2）根据平分或的面积，得到或，据此列式进行计算可作答； 解：∵长方形中，，， ∵平分的面积，∴，即， 解得； ∵平分的面积， ∴，即，解得； ∴或； 轴对称计算 题型四 题型探究 练习4 如图1，已知长方形中，，，连结，动点P从点A出发，以的速度沿的方向运动向终点C运动，连结．设P点运动的时间为t（秒）(3)如图2，当点P不与点B重合时，作点P关于的对称点，分别连结①当最短时，直接写出此时四边形的面积； 【分析】（3）①结合垂线段最短，找出最短，即点与点重合，根据轴对称的性质，得出，结合边形的面积是长方形的面积，即可作答． （3）解：①∵当点P不与点B重合时，作点P关于的对称点，分别连结， ∴最短时，即最短， 此时（垂线段最短），即点与点重合， ∴； 轴对称计算 题型四 题型探究 练习4 如图1，已知长方形中，，，连结，动点P从点A出发，以的速度沿的方向运动向终点C运动，连结．设P点运动的时间为t（秒）②当四边形的面积是长方形的面积时，直接写出t的值． 【分析】（3）②由得出，然后进行分类讨论，即当点P在上时和点P在上时，再根据三角形的面积等于底与高的乘积的一半，即可作答． ②∵四边形的面积是长方形的面积，∴， ∵，∴， 当点P在上时，∴，解出； 当点P在上时∴解出； 综上：或． 课堂小结 想一想 1.本节课学了哪些新知识？ 2.和之前学习的内容有怎样的关系？ 1.轴对称 把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么就称这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫作对称轴，翻折后能够重合的点叫作对称点． 2.轴对称的性质 两个图形关于一条直线成轴对称，具有下面的性质： （1）对应线段的长度相等，对应角的大小相等，这两个图形形状相同，大小相等； （2）连接对称点的线段和对称轴垂直，并且被对称轴平分. 感谢聆听! $