专题08平移与旋转精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年沪教版五四制七年级数学上册

该初中数学导学案聚焦平移与旋转，涵盖概念、性质、作图及应用，通过生活实例导入，衔接图形全等变换基础，为后续轴对称学习搭建支架，帮助学生建立图形变换思维。 资料按基础到难点分级13种题型，配解题思路与易错点分析，结合生活实例抽象数学模型，培养几何直观与空间观念，规范作图步骤提升推理意识，助力学生用数学语言表达变换规律。

专题08平移与旋转精讲学案 核心立意 认识平移、旋转两种全等变换，牢记变换要素；吃透变换性质，规范作图步骤；灵活利用性质求解线段、周长、角度问题，分清平移与旋转的运动特点，建立图形变换思维，为后续轴对称、中心对称的学习做好铺垫。 平移的概念 关键特征：平移全程不改变图形的形状、大小，只改变图形的位置。 平移的 “四大黄金性质”（必考） 平移作图 “标准三步法”（规范不丢分） 作图原理 抓住关键点：找出图形顶点→平移顶点→顺次连接对应点。 旋转的相关概念 1. 旋转定义 把一个平面图形绕着平面内某一个定点转动一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转。 定点叫做旋转中心； 转动的角度叫做旋转角； 图形旋转后得到的点、线段、角分别叫做原图形的对应点、对应线段、对应角。 2. 旋转三要素（判定与画图必备） 旋转中心（定点，可以在图形内部、图形边上、图形外部） 旋转方向：顺时针、逆时针 旋转角度（常见：30°、45°、60°、90°、120°、180°） 3. 旋转角判定方法 任意一组对应点与旋转中心相连形成的夹角，就是旋转角。 例：点A旋转到A'，旋转中心为O，则 ∠AOA'是旋转角；多组对应点形成的旋转角大小全部相等。 4. 特殊旋转：中心对称（旋转 180°） 把图形绕定点旋转 180° 后能与原图重合，这种旋转叫做中心对称，定点称为对称中心。 旋转的核心性质（全等变换核心依据） 1.旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小。 2.对应点到旋转中心的距离相等。 3.任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角。 4.对应线段相等，对应角相等。 在△ABC 绕点 O 旋转得到△A'B'C' 的过程中： 对应点到旋转中心的距离相等：OA=OA′，OB=OB′，OC=OC′ 对应线段相等：AB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′ 对应角相等：∠ABC=∠A′B′C′，∠BAC=∠B′A′C′，∠ACB=∠A′C′B′ 旋转角相等：∠AOA′=∠BOB′=∠COC 旋转作图 旋转作图的一般步骤如下：（提示：旋转作图除尺规外，还需要量角器） 作图关键要点 1.每个顶点都要单独旋转，不可遗漏顶点； 2.旋转方向、旋转角度必须严格按照题目要求； 3.截取线段长度必须与原线段相等，保证全等。 重点辨析 1.运动特征：平移整体定向移动，无转动；旋转围绕定点转动。 2.要素区分：平移要素为方向、距离；旋转要素为中心、方向、角度。 3.全等变换：平移、旋转均为全等变换，变换前后图形一定全等；全等图形不一定能够通过平移、旋转互相得到。 4.对应点连线：平移的对应点连线平行或者共线；旋转对应点到中心距离相等，连线之间不一定平行。 1.实例辨识有误：把物体滚动归为平移；忽略定点转动，误判旋转现象。 2.概念理解偏差：误认为平移距离是点走过的轨迹长；把图形内部夹角错当成旋转角。 3.答题缺项：描述旋转时漏掉三要素当中任意一项。 4.平移作图问题：遗漏个别关键点；对应点移动距离不一致。 5.旋转作图问题：旋转后线段截取长度有误；旋转方向颠倒。 6.几何计算疏漏：平移求周长面积，边线平移重组出现漏算、重复计算；旋转计算只会使用边长相等，忽略旋转角相等的条件。 7.周期题型出错：循环周期判断不准；余数和序号匹配错误。 题型 考察方向 难度 题型一 生活中的平移现象 ★ 题型二 图形的平移 ★★ 题型三 利用平移的性质求解 ★★★ 题型四 利用平移解决实际问题 ★★★ 题型五 平移 (作图) ★★ 题型六 判断生活中的旋转现象 ★ 题型七 判断由一个图形旋转而成的图案 ★★ 题型八 找旋转中心、旋转角、对应点 ★★ 题型九 旋转中的规律性问题 ★★★★ 题型十 根据旋转的性质求解 ★★★ 题型十一 旋转的性质及辨析 ★★★ 题型十二 画旋转图形 ★★★ 题型十三 利用旋转设计图案 ★★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难点 题型一：生活中的平移现象 解题思路：①查看物体运动路线；②确认运动方向不变；③物体自身朝向不变；④大小形状不变，全部满足即为平移。 1．平移变换不仅与几何图形紧密联系，在汉字中也存在着平移变换现象，如“晶”“田”等，请你开动脑筋，写出两个可由平移变换得到的汉字：______、______． 【答案】 炎（答案不唯一） 品（答案不唯一） 【分析】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的概念与性质是解决本题的关键． 根据平移的概念，即在平面内，将一个图形上的所有点按照某个方向作相同距离的移动，再结合平移的性质，即平移不改变图形的性质和大小，只改变图形的位置求解即可． 【详解】解：由平移的性质可知，由平移变换得到的汉字：炎、品． 故答案为：①炎、②品（答案不唯一） ． 2．观察下列图案，在、、、四幅图案中，能通过图案（）的平移得到的是（    ）    （） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据平移的性质，结合图形，对选项进行一一分析，排除错误答案． 【详解】解：、属于旋转所得到，故错误； B、属于平移变换，故正确； 、属于旋转所得到，故错误； 、属于旋转所得到，故错误； 故选：． 【点睛】此题考查了图形的平移，解题的关键是熟记图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小． 3．如图，王亮用电脑制作了“丰”字卡片，正方形卡片的边长为9厘米，“丰”字每一笔的宽度都是厘米，则卡片上剩余部分(空白区域)的面积是_____． 【答案】平方厘米 【分析】本题考查了平移及性质，根据平移的性质即可求解，正确理解平移的性质是解题的关键． 【详解】解：根据平移的性质知，“丰”字每一笔的面积与长为厘米，宽为厘米的小长方形的面积相等，可将横着的三笔都平移到上方，竖着的一笔平移到左侧， 则剩余部分(空白区域)的面积为平方厘米， 故答案为：平方厘米． 题型二 图形的平移 解题思路：①标出原图所有关键点；②明确平移方向、平移距离；③把每个关键点平移得到对应点；④依次连接对应点得到平移后的图形。 4．下面四个图片可以通过平移如图得到的是（     ） A． B． C．D． 【答案】C 【分析】平移只改变图形的位置，不改变图形的形状、大小和方向，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，只有C选项中的图片可以由题干中的图片平移得到 ． 5．下列图形中，是用其图形中的一部分平移得到的是（     ） A． B． C．D． 【答案】D 【分析】根据平移的性质：平移只改变图形的位置，不改变图形的形状、大小和方向，逐一分析各选项即可． 【详解】解：A． 图形中的两部分方向相反，不能通过平移得到，不符合题意； B． 图形中的四个箭头方向不同，不能通过平移得到，不符合题意； C． 图形中的四个部分方向不同，不能通过平移得到，不符合题意； D． 图形中的四个小正方形方向相同，形状大小一致，是用其图形中的一部分平移得到的，符合题意． 6．下图是以熊猫为原型的2022北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”，下列选项中通过平移可以得到的图形是（     ） A． B． C．D． 【答案】B 【分析】依据平移的性质判断各选项图形；旋转会改变图形朝向，只有与原图朝向、形态完全一致的图形可由平移得到． 【详解】解：平移不改变图形的形状、大小和自身朝向． A、图形发生旋转，不能由平移得到，此选项不符合题意； B、图形与原图形状、大小、朝向完全相同，可由平移得到，此选项符合题意； C、图形发生旋转，不能由平移得到，此选项不符合题意； D、图形发生旋转，不能由平移得到，此选项不符合题意． 题型三 利用平移的性质求解 解题思路：①找出平移后的对应点、对应线段；②调用性质：对应线段相等，对应点的连线平行且相等；③提取题目给出的已知长度；④列式求出未知线段长。 7．如图，将沿方向平移后，得到．若，则阴影部分的面积为_____． 【答案】 【分析】根据平移的性质将阴影部分的面积转化为梯形的面积，求出的长，利用梯形面积公式计算即可． 【详解】解：由平移的性质知，， ∴ 即 ∵ ∴ ∴． 8．如图，在中，，，，，将沿方向平移得到，且与相交于点，连接，则阴影部分的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平移的性质可得，，据此即可得． 【详解】解：由平移的性质得：，， ∵，， ∴阴影部分的周长为 ． 9．如图，在三角形中，，将三角形沿射线平移后得到三角形，若，则的长度为_________． 【答案】8 【分析】根据平移性质求得即可． 【详解】解：∵，， ∴， 由平移性质得． 10．如图，在中，，现将沿方向平移得到 ，与交于点M ， 以下说法 ①当时， B到的距离为线段的长； ②四边形与四边形的周长差为 ③当，， 则； ④四边形与四边形的面积相等．正确的是（     ） A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．②③ 【答案】B 【分析】根据三角形经过平移，对应线段平行且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等，且平移前后图形全等进行分析得出结论． 【详解】解：由平移的性质可知：， ， 点B到直线的距离即为线段的长，题目中说是“线段的长”，故结论①错误； 由平移性质可知，， 四边形的周长， 四边形的周长， 由平移性质可知，平移距离相等，即， ， ， 观察图形可知，点M在线段上， ， ，故结论②正确； 由平移性质可知 ，， ，， 解得：，故结论③正确； 四边形的面积， 四边形的面积， 平移可知： ，即，故结论④正确， 综上所述，正确的结论是②③④． 题型四 利用平移解决实际问题 解题思路：①平移图形的边进行重新排布；②拼接得到长方形等规则图形；③读出重组图形对应的边长；④代入公式求周长或面积。 11．如图，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条小路（图中阴影部分），余下部分绿化，小路的宽为，则两条小路的总面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平移把不规则的图形变为规则图形，如此一来，所有绿化面积就变成了长为，宽为的长方形，进而即可求出答案． 【详解】解：根据平移的性质可得，两条小路的总面积是：． 12．如图，一块长方形场地由两条弯曲的小路（阴影部分）和草地组成，竖直方向小路任何地方的水平宽度都是2，水平方向小路任何地方的竖直宽度都是1．已知，，则草地的面积是______________． 【答案】 【分析】根据题意，利用平移法将小路平移到长方形的边上，从而将草地拼成一个规则的长方形，再根据长方形面积公式求解即可．解题的关键在于灵活运用平移的性质． 【详解】解：∵竖直方向小路任何地方的水平宽度都是2，水平方向小路任何地方的竖直宽度都是1， ∴利用平移的性质，可以将小路分别平移到长方形场地的边缘，使草地部分拼接成一个新的长方形， ∴新长方形的长为原长减去竖直小路的水平宽度，即，新长方形的宽为原宽减去水平小路的竖直宽度，即，则草地的面积为． 13．如图所示为一块长方形场地的示意图，长为，宽为，A、B两处入口的路宽都为，两条小路汇合处的路宽为，其余部分为草坪，则草坪的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先表示出新的矩形的长为：米，宽为米，再列式求解即可． 【详解】解：由图可知：矩形中去掉小路后，草坪正好可以拼成一个新的矩形，且它的长为：米，宽为米． 所以草坪的面积应该是长宽（平方米）． 题型五 平移 (作图) 解题思路：①标出原图各个顶点；②按指定方向和距离平移每个顶点；③标出平移之后的对应点；④顺次连接各点画出图形。 14．下列平移作图错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】平移只改变图形的位置，不改变图形的大小、方向和形状，据此可得答案． 【详解】解：由平移的特点可知，四个选项中，只有C选项中的平移作图错误． 15．如图，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点，将图中正方形向左平移个单位长度，得到正方形，记正方形和重叠的区域（不含边界）为． ①当时，区域内的整点个数为______； ②当时，区域内的整点个数为______． 【答案】 3 3 【分析】本题主要考查了平移作图，根据题意画出平移后的图形是解题的关键． ①将图中正方形向左平移3个单位长度，得到正方形，然后统计重叠的区域（不含边界）为内格点的个数即可； ②将图中正方形向左平移6.5个单位长度，得到正方形，然后统计重叠的区域（不含边界）为内格点的个数即可． 【详解】解：①当时，将图中正方形向左平移3个单位长度，得到正方形，区域内的整点个数为3； 解：①当时，将图中正方形向左平移个单位长度，得到正方形，区域内的整点个数为3． 故答案为：3,3 16．如图，在由小正方形组成的的网格中，小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为1个单位长度．点在格点上，将点先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到点，连接．将线段先向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到线段，连接，，则四边形内部（不含边界）的格点个数为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】根据平移作出图形，根据图形即可解答． 【详解】解：如图， 四边形内部（不含边界）的格点有6个． 题型六 判断生活中的旋转现象 解题思路：①查找有无固定不动的旋转中心；②物体绕该定点转动；③物体大小、形状保持不变；④全部符合就是旋转。 17．时钟秒针扫过的痕迹，由此说明了______的数学事实． 【答案】线动成面 【分析】本题主要考查了点、线、面、体，解题的关键是掌握点动成线，线动成面，面动成体． 根据线动成面进行回答． 【详解】解：时钟秒针扫过的痕迹，由此说明了线动成面， 故答案为：线动成面． 18．下列情境属于旋转的是（  ） A．电流表指针来回摆动 B．滑动变阻器的滑片来回移动 C．热气球缓慢上升 D．打针时推动针管 【答案】A 【分析】本题考查了生活中的旋转现象，根据旋转的定义（在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转），逐一判断即可解答． 【详解】解：A、电流表指针来回摆动可看作是平面图形绕一个点转动，是旋转，故A符合题意； B、滑动变阻器的滑片来回移动，不属于旋转，故B不符合题意； C、热气球缓慢上升，不属于旋转，故C不符合题意； D、打针时推动针管，不属于旋转，故D不符合题意； 故选：A． 19．在平移现象后面画“△”，在旋转现象后面画“○”． _____________________ 【答案】 ○ △ 【分析】根据方向盘是旋转，开此窗户是平移，即可解答． 【详解】解：方向盘是旋转，故后面画“○”； 开此窗户是平移，故后面画“△”， 故答案为：○，△． 【点睛】本题考查了旋转与平移现象的识别，熟练掌握和运用旋转与平移现象的识别方法是解决本题的关键． 题型七 判断由一个图形旋转而成的图案 解题思路：①找出最基础的原图；②选定旋转中心点；③检验原图绕定点旋转能否得到其余部分；④整体核对完整图案。 20．观察如图所示的图案（考虑阴影），它可以看作图案的______通过______（方式）得到的． 【答案】 四分之一 旋转 【分析】本题考查了旋转性质，认真观察图形，得出原图形可以看做图案的四分之一通过每次旋转90度得到的，即可作答． 【详解】解：观察图形可知，它可以看做图案的四分之一通过每次旋转90度得到的， 故答案为：四分之一，旋转． 21．下列选项所示的图案中，可以看作由某个“基本图案”绕某个点旋转得到的是（     ） A． B． C．D． 【答案】A 【分析】观察各选项图形，判断是否存在一个基本图案绕某点旋转一定角度后能与自身重合即可． 【详解】解：A. 该图形可以看作由一个菱形绕中心旋转，后得到，符合题意； B、C、D均不能由某个基本图案绕某点旋转得到，不符合题意． 22．如图，是正方形的中心，图中可以通过一次旋转与重合的三角形（自身除外）的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得正方形被两条对角线和两条中点连线分成了8个全等的小三角形，再结合旋转的性质即可得出结果． 【详解】解：∵是正方形的中心， ∴正方形被两条对角线和两条对边中点连线分成了8个全等的小三角形， ∴绕点顺时针旋转与重合，绕点顺时针旋转与重合，绕点顺时针旋转与重合，绕点逆时针旋转与重合，绕点顺时针旋转与重合； 如图，连接与交于点，绕点顺时针旋转与重合， 综上所述，共个． 题型八 找旋转中心、旋转角、对应点 解题思路：①标出两组对应的点；②分别作对应点连线的垂直平分线；③平分线交点就是旋转中心；④连接中心点和一组对应点，夹角即为旋转角。 23．如图，菱形绕点顺时针旋转后得到菱形，下列角中不是旋转角的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：菱形绕点顺时针旋转后得到菱形， ，，为旋转角，不是旋转角． 24．如图所示，直角顺时针旋转后与重合，若，则旋转角度是________． 【答案】/度 【详解】解：由图可知，是对应边，是旋转角， 所以，旋转角． 25．游乐园中“海盗”船（图1）围绕顶端横梁左右摇摆，给游客带来奇妙的运动体验．小莹同学绘制了“海盗”船在两个不同时刻摇摆状态的侧面示意图（图2），横梁可视为一点，那么在小莹的绘画中横梁应是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】根据旋转中心在对应点所连线段的中垂线上进行逐一判断即可． 【详解】解：由题意可知，四边形与四边形成旋转对称，其旋转中心为M． 题型九 旋转中的规律性问题 解题思路：①写出前几次旋转后的状态；②找出循环周期；③用除法算出目标位置在周期内的序号；④依据周期对应得到结果。 26．如图，长方形的长为4，宽为1，其一条长边在数轴上，左端点表示的数为．将长方形沿数轴向右作无滑动的连续翻滚，每次翻滚，经过99次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为（   ） A．250 B．249 C．248 D．247 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质、数字类规律，熟练找准规律是解题的关键． 根据题意，发现规律第次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为，令，解出的值，再代入计算即可． 【详解】解：由题知， 第1次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为4， 第2次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为8， 第3次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为9， 第4次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为13， 第5次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为14， 第6次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为18， 依此类推， 所以第次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为， 当，即时， ， 即第99次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为249， 故选：B． 27．如图，在Rt中，，且在直线上，将绕点A顺时针旋转到位置①，可得点，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得点，将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得点，按此规律继续旋转，得到点为止，则的长度为__________． 【答案】8105 【分析】观察不难发现，每旋转3次为一个循环组依次循环，用2026除以3求出循环组数，然后列式计算即可得解． 【详解】解：∵在中，，，，， ∴将绕点顺时针旋转到位置①时，， 将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②时，， 将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③时，， ……， 以此类推可知，每旋转3次为一个循环组，每一个循环长度增加12， ∵， ∴ ． 28．如图1，点在点正北方．一只机器狗从点按逆时针方向绕着点做匀速圆周运动，经过一分钟，其位置如图2所示．那么经过2026分钟，机器狗的位置会是下列图形中的（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出机器狗运动的周期，再根据周期计算经过分钟时机器狗的位置即可． 【详解】解：由题可知，机器狗分钟转动， 机器狗转动一周，即所需时间为分钟， ， 经过分钟，机器狗转动了周后，又转动了分钟， 相当于机器狗的位置为从点逆时针转动， 点在点正北方， 逆时针转动后，机器狗位于点正西方， 观察选项，只有B选项符合 ． 题型十 根据旋转的性质求解 解题思路：①找出旋转对应的边和角；②利用性质：对应边相等、对应角相等；③整理已知边长、角度；④计算待求线段或者角度。 29．如图，绕点逆时针旋转，得到，若，则等于___________． 【答案】35 【分析】根据旋转的性质得到旋转角，再用减去，即可求出的度数． 【详解】解：绕点逆时针旋转得到， ， ， ． 30．如图，将绕点O顺时针旋转得（点A、B分别对应点C、D），若，则旋转角为_______ 度．    【答案】60 【分析】由旋转的性质可得，根据角的和差关系求出的度数，再求出的度数即可得到答案． 【详解】解：由旋转的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即旋转角为． 31．如图，线段，P为上一动点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，同时将线段绕点P顺时针旋转得到线段，连接，．若，则的面积为（   ） A．8 B．8.5 C．10 D．10.5 【答案】D 【分析】设，，由题意可得，，由旋转的性质可得，，，，则，连接，则，利用完全平方公式求出，即可得出结果． 【详解】解：设，， 由题意可得：，， 由旋转的性质可得：，，，， ∴， 如图，连接， 则， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为． 题型十一 旋转的性质及辨析 解题思路：①锁定旋转中心、旋转角；②对比旋转前后图形的边长、内角；③逐条验证选项语句；④剔除错误选项，选出正确项。 32．如图，将右边的图案变成左边的图案，是通过________变化得到的． 【答案】旋转 【分析】根据图形旋转的性质即可得出结论． 【详解】解：将右边的图案旋转90°即可得到左边的图案． 故答案为：旋转． 【点睛】本题考查的是几何变换的类型，熟知图形旋转的性质是解答此题的关键． 33．如图，将绕点逆时针旋转，则点对应的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】由旋转的性质进行判断，注意旋转中心、旋转方向和旋转角度． 【详解】解：观察图象可知，将绕点逆时针旋转，则点对应的点是． 34．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE，下列四个结论： ①AC＝AD；②AB⊥EB；③BC＝EC；④∠A＝∠EBC； 其中一定正确的是（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】根据旋转的性质，得到对应边相等，旋转角相等，从而去判断命题的正确性． 【详解】解：∵旋转， ∴， 但是旋转角不一定是， ∴不一定是等边三角形， ∴不一定成立，即①不一定正确； ∵旋转， ∴，故③正确； ∵旋转， ∴， ∵等腰三角形ACD和等腰三角形BCE的顶角相等， ∴它们的底角也相等，即，故④正确； ∵不一定成立， ∴不一定成立， ∴不一定成立，即②不一定正确． 故选：C． 【点睛】本题考查旋转的性质，解题的关键是掌握图形旋转的性质． 题型十二 画旋转图形 解题思路：①标记原图全部关键点；②将每个关键点和旋转中心相连；③按规定角度旋转线段，确定对应点；④依次连接对应点完成绘图。 35．如图，将正方形图案绕中心O按顺时针旋转后，得到的图案是（    ） A． B． C．D． 【答案】C 【分析】本题考查图形的旋转，根据图形旋转的性质直接判断即可． 【详解】解：将正方形图案绕中心O顺时针旋转后，得到的图案是： 故选：C． 36．如图，在正方形网格中，，，，，，，，均为格点．若将绕点逆时针方向旋转，点落在点，则点的落在（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了画旋转图形．根据旋转的性质作出图形即可． 【详解】解：点落在点， 故选：A． 37．如图，三个顶点的坐标分别为，，，如果将绕点按逆时针方向旋转，得到，那么点，的对应点，的坐标分别是_______． 【答案】， 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转，根据题意画出旋转后的三角形即可解决问题，能根据题意画出旋转后的图形是解题的关键． 【详解】解：的绕点逆时针旋转后所得图形如图所示， 所以点的坐标为，点的坐标为． 故答案为：，． 题型十三 利用旋转设计图案 解题思路：①选取基础图案单元；②确定旋转中心；③设置单次旋转的角度；④多次旋转复制基础图形；⑤拼合成完整图案。 38．如图所示的四个图案，能通过基本图形旋转得到的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查的是图形变换中旋转的知识，解题的关键是掌握旋转的定义． 根据旋转的定义，逐一分析给出的四个图案是否可以通过基本图形旋转得到即可． 【详解】解：在平面内，将一个图形绕某一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转； 图案①可由一个基本图形三角形，绕其中心经过旋转得到； 图案②可由一个基本图形类似于花的花瓣绕其中心经过旋转得到； 图案③可由一个基本图形绕其中心经过旋转得到； 图案④可由一个基本图形绕其中心经过旋转得到． 故选：D． 39．图中是北京十一晋元中学的，将它顺时针旋转后的图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题图形的旋转，根据旋转的特征结合题意即可得解，熟练掌握旋转的性质是解此题的关键． 【详解】解：将它顺时针旋转后，只有C选项符合题意． 故选：C． 40．在俄罗斯方块游戏中，已拼好的图案如图，现出现一型图形正向下运动，为了使型图形与已拼好的图案组合成一个完整的矩形，你必须进行以下哪项操作（    ） A．顺时针旋转，向右平移 B．逆时针旋转，向右平移 C．顺时针旋转，向下平移 D．逆时针旋转，向下平移 【答案】A 【分析】本题考查利用旋转设计图案，利用平移设计图案，根据平移和旋转的性质即可得到结论．正确地识别图形是解题的关键． 【详解】解：①先顺时针旋转， ②∵俄罗斯方块会自动向下平移， ∴我们无需考虑向下平移， ∴向右平移． 故选：A． 解答题 1．探究不同情境，回答下面问题： (1)图A绕H点 时针旋转，再向右平移 格得图；图B绕E点 时针旋转，再向下平移 格，接着向右平移 格得图；图C绕F点 时针旋转，再向右平移 格得图；图D绕G点 时针旋转，再向上平移 格，接着向右平移 格得图． (2)说一说，画一画．图（2）通过什么样的平移或旋转可拼成一个长方形，画在方格纸右边的标号（3）的上方． 【答案】(1)逆，12，逆，2，10，逆，8，逆，2，10； (2)绕直角顶点顺时针旋转，绕直角顶点，逆时针旋转，再向下平移4格（答案不唯一） 【分析】（1）根据平移和旋转的性质解答； （2）将图通过平移和旋转作图与组成答案． 【详解】（1）解：图A绕点H逆时针旋转，再向右平移12格得图；图B绕点E逆时针旋转，再向下平移2格，接着向右平移10格得图；图C绕点F逆时针旋转，再向右平移8格得图；图D绕点G逆时针旋转，再向上平移2格，接着向右平移10格得图； （2）略 2．旋转的齿轮 【问题背景】如图1所示，齿轮是机械钟表的主要零件，他们通常以两个或者多个为一组，一个轴上的齿轮的齿与另一个轴上齿轮的齿啮（niè）合（两个机械构件的一种传动关系）．如图2所示，当一个齿轮旋转时，会带动另一个齿轮旋转． 齿轮是一种有齿的机械构件，它们通常以两个或多个为一组．若两个齿轮不同轴，一个轴上的齿轮的齿与另一个轴上的齿轮的齿啮合，当一个齿轮旋转时，会带动另一个齿轮旋转，如图所示．现有 【操作观察】 (1)观察图2，顺时针转动大齿轮A，观察大、小齿轮的旋转方向及速度，并填写表格． 齿轮 齿数（） 方向（填“顺时针”或“逆时针”） 速度 大齿轮A 逆时针 慢 小齿轮B ________ 快 【计算思考】 (2)通过操作，我们发现大齿轮带动小齿轮，小齿轮________（填“加速”或“降速”）； (3)我们知道齿数与转动速度和转动圈数的关系因相互啮合的两个齿轮在旋转过程中重合的齿数必须相等．如果大齿轮A每分钟转动180圈，那么小齿轮B每分钟转动________圈． (4)探究三个齿轮啮合的效果：在（3）的情况下，在小齿轮B的右侧增加一个齿轮C，使得这个齿轮组合可使齿轮C的转速为175圈/分钟，求齿轮C的齿数并描述它的转动方向________（填“顺时针”或“逆时针”）． 【答案】(1)顺时针 (2)加速 (3) (4)；逆时针 【分析】（1）根据大齿轮顺时针转动，相互啮合的齿轮转动方向相反，即可确定小齿轮转动方向； （2）根据大齿轮齿数多，转速慢，小齿轮齿数少，转速快即可得到答案； （3）根据大齿轮转速大齿轮齿数小齿轮转速小齿轮齿数即可得到答案； （4）根据齿轮转速齿轮齿数齿轮转速齿轮齿数即可得到答案． 【详解】（1）解：大齿轮顺时针转动，相互啮合的齿轮转动方向相反， 则小齿轮顺时针转动； （2）解：大齿轮齿数多，转速慢，小齿轮齿数少，转速快，因此大齿轮带动小齿轮加速； （3）解：设小齿轮每分钟转圈， ， 解得， 因此小齿轮每分钟转动圈； （4）解：设齿轮齿数为， ， 解得， 齿轮顺时针转动，故齿轮逆时针转动． 3．如图，在三角形中，，，沿方向平移至，若．求： (1)沿方向平移的距离； (2)四边形的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平移的性质可得，由可求出的长，即为平移的距离； （2）根据平移的性质可求出和的长，进一步即可求出结果． 【详解】（1）解：∵沿方向平移至， ， ， ， 即沿方向平移的距离是． （2）解：由平移的性质可得：， ， ∴四边形的周长． ∴四边形的周长是． 4．某学校准备在升旗台的台阶上铺设一种红色的地毯（含台阶的最上层），如图所示，请按要求回答问题： (1)需要铺多长的红地毯？ (2)如果红地毯的宽度为3米，需要多大面积的红地毯？ (3)如果红地毯的售价为2元/平方米（1平方米两元钱），需要花多少钱购置红地毯？ 【答案】(1)18米 (2)54平方米 (3)108元 【分析】（1）根据平移的性质可得，所需地毯的长为米，进行计算即可解答； （2）利用长方形的面积公式，进行计算即可解答； （3）利用单价总面积总费用，进行计算即可解答． 【详解】（1）由题意得：（米）， ∴需要铺18米长的红地毯． （2）解：（平方米）， ∴需要54平方米的红地毯． （3）（元）， ∴需要花108元购置红地毯． 5．直线上有一条射线，在O处放一个直角三角板，，如图将三角板绕O点逆时针旋转，速度为每秒，旋转停止． (1)若，当射线平分时，求旋转时间． (2)当平分时，也平分么？说明理由． (3)若，当与相交时，画出图形并求与的关系． 【答案】(1)13 (2)平分， 理由如下： 平分， ， ， ， ， ， ， 平分； (3) 【分析】本题考查旋转的性质、角平分线的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）根据角平分线的性质可得，设旋转时间为，则列方程为，解方程即可； （2）根据角平分线的性质可得，进而得到，从而得到结论平分； （3）当处于下方时，此时与相交，根据和，进行解答即可． 【详解】（1）解：射线平分， ， 设旋转时间为， 则， 解得， 因此，旋转时间为13秒； （2）略 （3）解：如图，此时与相交， ， ， ， ， ， ． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08平移与旋转精讲学案 核心立意 认识平移、旋转两种全等变换，牢记变换要素；吃透变换性质，规范作图步骤；灵活利用性质求解线段、周长、角度问题，分清平移与旋转的运动特点，建立图形变换思维，为后续轴对称、中心对称的学习做好铺垫。 平移的概念 关键特征：平移全程不改变图形的形状、大小，只改变图形的位置。 平移的 “四大黄金性质”（必考） 平移作图 “标准三步法”（规范不丢分） 作图原理 抓住关键点：找出图形顶点→平移顶点→顺次连接对应点。 旋转的相关概念 1. 旋转定义 把一个平面图形绕着平面内某一个定点转动一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转。 定点叫做旋转中心； 转动的角度叫做旋转角； 图形旋转后得到的点、线段、角分别叫做原图形的对应点、对应线段、对应角。 2. 旋转三要素（判定与画图必备） 旋转中心（定点，可以在图形内部、图形边上、图形外部） 旋转方向：顺时针、逆时针 旋转角度（常见：30°、45°、60°、90°、120°、180°） 3. 旋转角判定方法 任意一组对应点与旋转中心相连形成的夹角，就是旋转角。 例：点A旋转到A'，旋转中心为O，则 ∠AOA'是旋转角；多组对应点形成的旋转角大小全部相等。 4. 特殊旋转：中心对称（旋转 180°） 把图形绕定点旋转 180° 后能与原图重合，这种旋转叫做中心对称，定点称为对称中心。 旋转的核心性质（全等变换核心依据） 1.旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小。 2.对应点到旋转中心的距离相等。 3.任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角。 4.对应线段相等，对应角相等。 在△ABC 绕点 O 旋转得到△A'B'C' 的过程中： 对应点到旋转中心的距离相等：OA=OA′，OB=OB′，OC=OC′ 对应线段相等：AB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′ 对应角相等：∠ABC=∠A′B′C′，∠BAC=∠B′A′C′，∠ACB=∠A′C′B′ 旋转角相等：∠AOA′=∠BOB′=∠COC 旋转作图 旋转作图的一般步骤如下：（提示：旋转作图除尺规外，还需要量角器） 作图关键要点 1.每个顶点都要单独旋转，不可遗漏顶点； 2.旋转方向、旋转角度必须严格按照题目要求； 3.截取线段长度必须与原线段相等，保证全等。 重点辨析 1.运动特征：平移整体定向移动，无转动；旋转围绕定点转动。 2.要素区分：平移要素为方向、距离；旋转要素为中心、方向、角度。 3.全等变换：平移、旋转均为全等变换，变换前后图形一定全等；全等图形不一定能够通过平移、旋转互相得到。 4.对应点连线：平移的对应点连线平行或者共线；旋转对应点到中心距离相等，连线之间不一定平行。 1.实例辨识有误：把物体滚动归为平移；忽略定点转动，误判旋转现象。 2.概念理解偏差：误认为平移距离是点走过的轨迹长；把图形内部夹角错当成旋转角。 3.答题缺项：描述旋转时漏掉三要素当中任意一项。 4.平移作图问题：遗漏个别关键点；对应点移动距离不一致。 5.旋转作图问题：旋转后线段截取长度有误；旋转方向颠倒。 6.几何计算疏漏：平移求周长面积，边线平移重组出现漏算、重复计算；旋转计算只会使用边长相等，忽略旋转角相等的条件。 7.周期题型出错：循环周期判断不准；余数和序号匹配错误。 题型 考察方向 难度 题型一 生活中的平移现象 ★ 题型二 图形的平移 ★★ 题型三 利用平移的性质求解 ★★★ 题型四 利用平移解决实际问题 ★★★ 题型五 平移 (作图) ★★ 题型六 判断生活中的旋转现象 ★ 题型七 判断由一个图形旋转而成的图案 ★★ 题型八 找旋转中心、旋转角、对应点 ★★ 题型九 旋转中的规律性问题 ★★★★ 题型十 根据旋转的性质求解 ★★★ 题型十一 旋转的性质及辨析 ★★★ 题型十二 画旋转图形 ★★★ 题型十三 利用旋转设计图案 ★★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难点 题型一：生活中的平移现象 解题思路：①查看物体运动路线；②确认运动方向不变；③物体自身朝向不变；④大小形状不变，全部满足即为平移。 1．平移变换不仅与几何图形紧密联系，在汉字中也存在着平移变换现象，如“晶”“田”等，请你开动脑筋，写出两个可由平移变换得到的汉字：______、______． 2．观察下列图案，在、、、四幅图案中，能通过图案（）的平移得到的是（    ）    （） A．   B．   C．   D．   3．如图，王亮用电脑制作了“丰”字卡片，正方形卡片的边长为9厘米，“丰”字每一笔的宽度都是厘米，则卡片上剩余部分(空白区域)的面积是_____． 题型二 图形的平移 解题思路：①标出原图所有关键点；②明确平移方向、平移距离；③把每个关键点平移得到对应点；④依次连接对应点得到平移后的图形。 4．下面四个图片可以通过平移如图得到的是（     ） A． B． C．D． 5．下列图形中，是用其图形中的一部分平移得到的是（     ） A． B． C．D． 6．下图是以熊猫为原型的2022北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”，下列选项中通过平移可以得到的图形是（     ） A． B． C．D． 题型三 利用平移的性质求解 解题思路：①找出平移后的对应点、对应线段；②调用性质：对应线段相等，对应点的连线平行且相等；③提取题目给出的已知长度；④列式求出未知线段长。 7．如图，将沿方向平移后，得到．若，则阴影部分的面积为_____． 8．如图，在中，，，，，将沿方向平移得到，且与相交于点，连接，则阴影部分的周长为（     ） A． B． C． D． 9．如图，在三角形中，，将三角形沿射线平移后得到三角形，若，则的长度为_________． 10．如图，在中，，现将沿方向平移得到 ，与交于点M ， 以下说法 ①当时， B到的距离为线段的长； ②四边形与四边形的周长差为 ③当，， 则； ④四边形与四边形的面积相等．正确的是（     ） A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．②③ 题型四 利用平移解决实际问题 解题思路：①平移图形的边进行重新排布；②拼接得到长方形等规则图形；③读出重组图形对应的边长；④代入公式求周长或面积。 11．如图，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条小路（图中阴影部分），余下部分绿化，小路的宽为，则两条小路的总面积是（     ） A． B． C． D． 12．如图，一块长方形场地由两条弯曲的小路（阴影部分）和草地组成，竖直方向小路任何地方的水平宽度都是2，水平方向小路任何地方的竖直宽度都是1．已知，，则草地的面积是______________． 13．如图所示为一块长方形场地的示意图，长为，宽为，A、B两处入口的路宽都为，两条小路汇合处的路宽为，其余部分为草坪，则草坪的面积为（     ） A． B． C． D． 题型五 平移 (作图) 解题思路：①标出原图各个顶点；②按指定方向和距离平移每个顶点；③标出平移之后的对应点；④顺次连接各点画出图形。 14．下列平移作图错误的是（     ） A． B． C． D． 15．如图，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点，将图中正方形向左平移个单位长度，得到正方形，记正方形和重叠的区域（不含边界）为． ①当时，区域内的整点个数为______； ②当时，区域内的整点个数为______． 16．如图，在由小正方形组成的的网格中，小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为1个单位长度．点在格点上，将点先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到点，连接．将线段先向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到线段，连接，，则四边形内部（不含边界）的格点个数为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 题型六 判断生活中的旋转现象 解题思路：①查找有无固定不动的旋转中心；②物体绕该定点转动；③物体大小、形状保持不变；④全部符合就是旋转。 17．时钟秒针扫过的痕迹，由此说明了______的数学事实． 18．下列情境属于旋转的是（  ） A．电流表指针来回摆动 B．滑动变阻器的滑片来回移动 C．热气球缓慢上升 D．打针时推动针管 19．在平移现象后面画“△”，在旋转现象后面画“○”． _____________________ 题型七 判断由一个图形旋转而成的图案 解题思路：①找出最基础的原图；②选定旋转中心点；③检验原图绕定点旋转能否得到其余部分；④整体核对完整图案。 20．观察如图所示的图案（考虑阴影），它可以看作图案的______通过______（方式）得到的． 21．下列选项所示的图案中，可以看作由某个“基本图案”绕某个点旋转得到的是（     ） A． B． C．D． 22．如图，是正方形的中心，图中可以通过一次旋转与重合的三角形（自身除外）的个数是（     ） A． B． C． D． 题型八 找旋转中心、旋转角、对应点 解题思路：①标出两组对应的点；②分别作对应点连线的垂直平分线；③平分线交点就是旋转中心；④连接中心点和一组对应点，夹角即为旋转角。 23．如图，菱形绕点顺时针旋转后得到菱形，下列角中不是旋转角的是（     ） A． B． C． D． 24．如图所示，直角顺时针旋转后与重合，若，则旋转角度是________． 25．游乐园中“海盗”船（图1）围绕顶端横梁左右摇摆，给游客带来奇妙的运动体验．小莹同学绘制了“海盗”船在两个不同时刻摇摆状态的侧面示意图（图2），横梁可视为一点，那么在小莹的绘画中横梁应是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 题型九 旋转中的规律性问题 解题思路：①写出前几次旋转后的状态；②找出循环周期；③用除法算出目标位置在周期内的序号；④依据周期对应得到结果。 26．如图，长方形的长为4，宽为1，其一条长边在数轴上，左端点表示的数为．将长方形沿数轴向右作无滑动的连续翻滚，每次翻滚，经过99次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为（   ） A．250 B．249 C．248 D．247 27．如图，在Rt中，，且在直线上，将绕点A顺时针旋转到位置①，可得点，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得点，将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得点，按此规律继续旋转，得到点为止，则的长度为__________． 28．如图1，点在点正北方．一只机器狗从点按逆时针方向绕着点做匀速圆周运动，经过一分钟，其位置如图2所示．那么经过2026分钟，机器狗的位置会是下列图形中的（     ） A． B． C． D． 题型十 根据旋转的性质求解 解题思路：①找出旋转对应的边和角；②利用性质：对应边相等、对应角相等；③整理已知边长、角度；④计算待求线段或者角度。 29．如图，绕点逆时针旋转，得到，若，则等于___________． 30．如图，将绕点O顺时针旋转得（点A、B分别对应点C、D），若，则旋转角为_______ 度．    31．如图，线段，P为上一动点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，同时将线段绕点P顺时针旋转得到线段，连接，．若，则的面积为（   ） A．8 B．8.5 C．10 D．10.5 题型十一 旋转的性质及辨析 解题思路：①锁定旋转中心、旋转角；②对比旋转前后图形的边长、内角；③逐条验证选项语句；④剔除错误选项，选出正确项。 32．如图，将右边的图案变成左边的图案，是通过________变化得到的． 33．如图，将绕点逆时针旋转，则点对应的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 34．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE，下列四个结论： ①AC＝AD；②AB⊥EB；③BC＝EC；④∠A＝∠EBC； 其中一定正确的是（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 题型十二 画旋转图形 解题思路：①标记原图全部关键点；②将每个关键点和旋转中心相连；③按规定角度旋转线段，确定对应点；④依次连接对应点完成绘图。 35．如图，将正方形图案绕中心O按顺时针旋转后，得到的图案是（    ） A． B． C．D． 36．如图，在正方形网格中，，，，，，，，均为格点．若将绕点逆时针方向旋转，点落在点，则点的落在（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 37．如图，三个顶点的坐标分别为，，，如果将绕点按逆时针方向旋转，得到，那么点，的对应点，的坐标分别是_______． 题型十三 利用旋转设计图案 解题思路：①选取基础图案单元；②确定旋转中心；③设置单次旋转的角度；④多次旋转复制基础图形；⑤拼合成完整图案。 38．如图所示的四个图案，能通过基本图形旋转得到的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 39．图中是北京十一晋元中学的，将它顺时针旋转后的图形是（　　） A． B． C． D． 40．在俄罗斯方块游戏中，已拼好的图案如图，现出现一型图形正向下运动，为了使型图形与已拼好的图案组合成一个完整的矩形，你必须进行以下哪项操作（    ） A．顺时针旋转，向右平移 B．逆时针旋转，向右平移 C．顺时针旋转，向下平移 D．逆时针旋转，向下平移 解答题 1．探究不同情境，回答下面问题： (1)图A绕H点 时针旋转，再向右平移 格得图；图B绕E点 时针旋转，再向下平移 格，接着向右平移 格得图；图C绕F点 时针旋转，再向右平移 格得图；图D绕G点 时针旋转，再向上平移 格，接着向右平移 格得图． (2)说一说，画一画．图（2）通过什么样的平移或旋转可拼成一个长方形，画在方格纸右边的标号（3）的上方． 2．旋转的齿轮 【问题背景】如图1所示，齿轮是机械钟表的主要零件，他们通常以两个或者多个为一组，一个轴上的齿轮的齿与另一个轴上齿轮的齿啮（niè）合（两个机械构件的一种传动关系）．如图2所示，当一个齿轮旋转时，会带动另一个齿轮旋转． 齿轮是一种有齿的机械构件，它们通常以两个或多个为一组．若两个齿轮不同轴，一个轴上的齿轮的齿与另一个轴上的齿轮的齿啮合，当一个齿轮旋转时，会带动另一个齿轮旋转，如图所示．现有 【操作观察】 (1)观察图2，顺时针转动大齿轮A，观察大、小齿轮的旋转方向及速度，并填写表格． 齿轮 齿数（） 方向（填“顺时针”或“逆时针”） 速度 大齿轮A 逆时针 慢 小齿轮B ________ 快 【计算思考】 (2)通过操作，我们发现大齿轮带动小齿轮，小齿轮________（填“加速”或“降速”）； (3)我们知道齿数与转动速度和转动圈数的关系因相互啮合的两个齿轮在旋转过程中重合的齿数必须相等．如果大齿轮A每分钟转动180圈，那么小齿轮B每分钟转动________圈． (4)探究三个齿轮啮合的效果：在（3）的情况下，在小齿轮B的右侧增加一个齿轮C，使得这个齿轮组合可使齿轮C的转速为175圈/分钟，求齿轮C的齿数并描述它的转动方向________（填“顺时针”或“逆时针”）． 3．如图，在三角形中，，，沿方向平移至，若．求： (1)沿方向平移的距离； (2)四边形的周长． 4．某学校准备在升旗台的台阶上铺设一种红色的地毯（含台阶的最上层），如图所示，请按要求回答问题： (1)需要铺多长的红地毯？ (2)如果红地毯的宽度为3米，需要多大面积的红地毯？ (3)如果红地毯的售价为2元/平方米（1平方米两元钱），需要花多少钱购置红地毯？ 5．直线上有一条射线，在O处放一个直角三角板，，如图将三角板绕O点逆时针旋转，速度为每秒，旋转停止． (1)若，当射线平分时，求旋转时间． (2)当平分时，也平分么？说明理由． (3)若，当与相交时，画出图形并求与的关系． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $