22.3 勾股定理（第3课时）2026-2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册

第22章 直角三角形 22.3 勾股定理 （第3课时）勾股定理的应用 年 级：八年级 学 科：数学（沪教版） 复习引入 学习目标 数学建模 把水深、地点距离等问题转化为直角三角形中的边长关系。 尺规作图 理解并完成长度的线段作图，探索长度的作法。 综合求解 会求点间距离和点到直线的距离，区分斜边中线与高。 复习引入 本课会用到哪些工具 求边 已知直角，使用勾股定理。 判角 已知三边满足平方关系，使用勾股定理的逆定理。 连接知识 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；面积可用不同底与高计算。 复习引入 两种距离，要找两种线段 点与点 B、M两点间的距离，指线段BM的长度。 点与直线 B到直线AC的距离，指从B向AC所作垂线段的长度。 观察差别 斜边中点与垂足通常不是同一点。 复习引入 古题中的数学 《九章算术》 “今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐。问水深、葭长各几何。” 读懂情境 葭可以看作一根长度不变的线段，从竖直位置拉到岸边。 单位换算 1丈=10尺，水池中心到最近岸边的距离是5尺。 知识讲授 把语言转化为图形条件 垂直关系 AB竖直，水面CD水平，故AC⊥CD。 等长关系 拉动前后葭长不变，所以AB=AD。 差量关系 露出水面1尺，所以AB=AC+1。 1尺 5尺 知识讲授 把多个未知量统一表示 选择未知数 设水深AC=x尺，就有葭长AB=x+1尺。 选择三角形 在Rt△ACD中，直角边为x、5，斜边为x+1。 列出方程 。 1尺 5尺 知识讲授 无理数长度也可以作出 数与形连接 若直角边长为1、1，斜边长就是。 继续构造 再把作为一直角边，另一直角边取1，斜边便是。 作图要求 用尺规保证垂直与单位长度，不能靠目测画近似长度。 1 1 1 知识讲授 中线与高的计算方法 斜边中线 先确认三角形为直角三角形，再由斜边中点得到中线长。 斜边上的高 同一个三角形按两条直角边、斜边与高分别表示面积。 先后次序 三边数据→判直角→选择中线或高的性质→求距离。 环节归纳 知识讲授归纳 建立方程 （1）由垂直关系找到直角三角形。 （2）把等长与差量用同一未知数表示。 选用性质 （1）作线段靠单位长度与垂直。 （2）求距离分清中线和高。 例题讲解 例 4 有一个水面是正方形的水池，边长为1丈。一棵葭AB（竖直）生长在水池中央，葭露出水面的部分CB长1尺。如将葭引向（最近的）岸边（CD长为0.5丈，即5尺），葭尖恰好碰到岸（AB=AD）。求水深AC、葭长AB各是多少（丈、尺是长度单位，1丈=10尺）？ 1尺 5尺 建立模型 答：设水深为x尺，可列。 解 连接AD，设AC=x尺，则AB=AD=x+1尺。 CD=5尺，且AC⊥CD。 在Rt△ACD中，。 方法：先固定单位，再把不变的葭长表示成斜边。 注意：池边长是10尺，中心到最近岸边只有5尺。 例题讲解 例 4 有一个水面是正方形的水池，边长为1丈。一棵葭AB（竖直）生长在水池中央，葭露出水面的部分CB长1尺。如将葭引向（最近的）岸边（CD长为0.5丈，即5尺），葭尖恰好碰到岸（AB=AD）。求水深AC、葭长AB各是多少（丈、尺是长度单位，1丈=10尺）？ 1尺 5尺 计算水深与葭长 答：水深12尺，葭长13尺。 解 连接AD，取AC=x，AD=x+1，可得。 展开得，所以2x=24。 x=12，故AB=x+1=13尺。 方法：等式两边的x²相消，方程转化为一次方程。 注意：展开(x+1)²不要漏掉2x。 例题讲解 例 4 有一个水面是正方形的水池，边长为1丈。一棵葭AB（竖直）生长在水池中央，葭露出水面的部分CB长1尺。如将葭引向（最近的）岸边（CD长为0.5丈，即5尺），葭尖恰好碰到岸（AB=AD）。求水深AC、葭长AB各是多少（丈、尺是长度单位，1丈=10尺）？ 1尺 5尺 检验并作答 答：12尺、13尺同时满足全部题意。 解 连接AD。检查。 葭露出水面13−12=1尺，与题意相符。 水深和葭长均为正，且葭长大于水深。 方法：同时检验平方关系、长度差和实际意义。 注意：方程结果还要回到实际情境。 例题讲解 变式 变式1　水池数据改变 正方形水池边长为8 m，一根竖直生长在中心的芦苇露出水面1 m。将芦苇拉向最近岸边时，顶端恰好到岸。求水深和芦苇长。 1 m 4 m 答：水深7.5 m，芦苇长8.5 m。 解 连接根部A与岸边D。设水深x m，则芦苇长x+1 m，CD=4 m。 ，得2x=15。 x=7.5，x+1=8.5。 方法：换数据后仍保留“水深、半池宽、芦苇长”三边模型。 注意：不要把水池全宽8作为直角边。 例题讲解 例 5 给出单位长度1，作长为的线段。 1 1 第一步作图 答：先作。 解 作线段CA=1；过C作CA的垂线，在垂线上截取。 连接。在中，。 所以。 方法：用圆规搬移单位长度，用尺规作垂线。 注意：长度来自证明，不是量角或量尺估计。 例题讲解 例 5 给出单位长度1，作长为的线段。 1 1 1 第二步作图 答：作出的长为。 解 过作的垂线，在其上截取。 连接。由勾股定理，。 所以，它就是所求线段。 方法：新添的单位线段必须垂直于已有斜边。 注意：第二次的直角顶点是B₁，不是C。 例题讲解 例 5 给出单位长度1，作长为的线段。 1 1 1 说明作图正确性 答：必须保证CA=CB₁=B₁B₂=1，且CA⊥CB₁、AB₁⊥B₁B₂。 解 作第一条垂线并截单位长度，保证。 再作的垂线并截单位长度，保证。 缺少任一垂直条件，就不能按此平方和求长度。 方法：逐项核对等长和垂直，形成作图证明。 注意：单位线段相接并不自动得到正确长度。 例题讲解 探究　怎样作出长度 利用勾股定理，给出单位长度1，如何作出长度为（n是大于1的整数）的线段？ 分步讲解 1／2 答：依次作单位垂线、连接端点，每次使斜边长度的平方增加1。 解 从长度1出发，依次构造直角边为已有线段与1的直角三角形。 若已有长度为，新斜边平方为k+1，故长度为。 方法：每一步保证新增边长为1并与原线段垂直。 注意：n增大时，增加的是长度的平方1，而不是长度1。 例题讲解 探究　怎样作出长度 利用勾股定理，给出单位长度1，如何作出长度为（n是大于1的整数）的线段？ 分步讲解 2／2 答：依次作单位垂线、连接端点，每次使斜边长度的平方增加1。 解 重复作图，直到获得长度的线段。 方法：每一步保证新增边长为1并与原线段垂直。 注意：n增大时，增加的是长度的平方1，而不是长度1。 例题讲解 变式 变式2　更少步骤作 给出单位长度1，怎样用一个直角三角形作出长度为的线段？ 答：作直角边长分别为2与1的直角三角形，其斜边长为。 解 在同一射线上连续截取两次单位长度，得到AB=2。 过B作AB的垂线，截取BC=1，连接AC。 ，故AC=。 方法：把目标长度的平方拆成容易作出的平方和。 注意：BC必须在过B的垂线上截取。 例题讲解 例 6 在△ABC中，AB=10，BC=24，AC=26，M是边AC的中点。（1）求B、M两点的距离；（2）求点B到直线AC的距离。 判定直角 答：∠ABC=90°。 解 。 。 由逆定理，∠ABC=90°。 方法：用三边判直角，为后续中线与面积计算建立条件。 注意：不能因图画得像直角就直接使用直角三角形性质。 例题讲解 例 6 在△ABC中，AB=10，BC=24，AC=26，M是边AC的中点。（1）求B、M两点的距离；（2）求点B到直线AC的距离。 解第（1）题 答：B、M两点的距离为13。 解 连接BM；由，得∠ABC=90°。 M是斜边AC的中点，故。 。 方法：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 注意：BM连接中点，不能把它当作斜边上的高。 例题讲解 例 6 在△ABC中，AB=10，BC=24，AC=26，M是边AC的中点。（1）求B、M两点的距离；（2）求点B到直线AC的距离。 解第（2）题 答：点B到直线AC的距离为。 解 过B作BD⊥AC，垂足D；已知∠ABC=90°。 ，又。 所以，。 方法：同一三角形面积，用两组底和高列等式。 注意：点到直线的距离要取垂线段BD。 例题讲解 变式 变式3　同样的两种距离 △ABC中，AB=9，BC=12，AC=15，M为AC的中点。求BM及点B到直线AC的距离。 答：；点到直线的距离为。 解 连接BM，过B作BD⊥AC；，故∠B=90°。 。 ，得。 方法：两种距离用两条辅助线、两种性质分别求。 注意：中线长与高长在本题中不相等。 环节归纳 例题讲解归纳 模型与作图 （1）等长不变量帮助建立方程。 （2）平方增加1对应添单位垂线。 距离计算 （1）斜边中线用斜边的一半。 （2）斜边高用同一面积的两种表示。 课堂练习 练习1 在△ABC中，AC=20，BC=21，AB=29。求这个三角形的面积。 答：面积为210。 解 。 由逆定理，∠C=90°。 。 方法：先确认直角，再选两条直角边作底和高。 注意：面积不是三边乘积的一半。 课堂练习 练习2 在△ABC中，D是边BC上一点，AB=15，AC=13，AD=12，CD=5。求BC的长。 证明垂直 答：AD⊥BC。 解 在△ACD中，。 由逆定理，∠ADC=90°。 B、D、C共线，因此AD⊥BC。 方法：三边完整的小三角形先判断形状。 注意：AD看似高，但题目没有直接给出垂直。 课堂练习 练习2 在△ABC中，D是边BC上一点，AB=15，AC=13，AD=12，CD=5。求BC的长。 计算BC 答：BC=14。 解 由知AD⊥BC。 在Rt△ABD中，。 D在线段BC上，故BC=BD+CD=9+5=14。 方法：局部求出BD后，按位置关系求整段BC。 注意：答案应是BC，不能算到BD=9就停止。 课堂练习 练习3 公路上A、B两站相距25 km，C、D为两村庄，DA⊥AB，CB⊥AB，垂足分别为A、B。已知DA长为10 km，CB长为15 km。现要在公路AB上建一个商场E，使得C、D两村庄到商场E的距离相等，那么商场E应建在离A站多远处？ 建立距离模型 答：设AE=x km，可列。 解 设AE=x km，则BE=25−x km，且0≤x≤25。 ；。 由DE=CE，得到两平方表达式相等。 方法：两段公路总长固定，用x和25−x表示。 注意：相等的是两段直线距离，不是各自沿公路的路程。 课堂练习 练习3 公路上A、B两站相距25 km，C、D为两村庄，DA⊥AB，CB⊥AB，垂足分别为A、B。已知DA长为10 km，CB长为15 km。现要在公路AB上建一个商场E，使得C、D两村庄到商场E的距离相等，那么商场E应建在离A站多远处？ 解方程并检验 答：商场E应建在离A站15 km处。 解 设AE=x，得。 展开消去x²，得50x=750，所以x=15。 此时BE=10，，且E在线段AB上。 方法：平方方程中同次项相消，再检查位置范围。 注意：题目问的是离A站多远，答AE=15 km。 环节归纳 课堂练习归纳 形状先判定 （1）三边齐全先检查平方关系。 （2）有直角后再算面积与边长。 等距离模型 （1）分别写出两段距离的平方。 （2）利用距离相等消去根号。 课堂小结 勾股定理的应用 实际建模 从水平、竖直找到直角，识别不变长度、长度差或总长；统一单位，设未知数后列平方关系。 线段作图 利用单位长度和尺规垂线，依次作、等长度；每添一条单位直角边，斜边平方增加1。 两类距离 两点距离求连接线段；点到直线距离求垂线段。斜边中线用一半性质，斜边高用面积等式。 综合求解 用逆定理判直角，再用正定理求边；组合三角形注意共线关系，等距离问题比较距离平方。 特别提醒：直角要有依据；中点不是垂足；实际方程须检验单位与位置。 针对训练 训练1　先判直角，再求面积 △ABC中，AC=6，BC=8，AB=10。它的面积和周长分别为（　）。 A. 24，24 B. 48，24 C. 24，48 D. 48，48 答：选A。面积为24，周长为24。 解 ，故∠C=90°。 。 周长为6+8+10=24。 方法：面积与周长分别采用相应公式。 注意：数值虽同，面积与周长的量纲不同。 针对训练 训练2　同一图中的中线与高 △ABC中，AC=6，BC=8，AB=10，M是AB的中点。求CM与点C到直线AB的距离。 答：CM=5；点C到AB的距离为4.8。 解 连接CM，作CD⊥AB；，故∠C=90°。 。 ，得CD=4.8。 方法：分别用中线性质和面积等式。 注意：两种距离不得混为一谈。 针对训练 模型与距离辨析 （1）点到直线距离是点到线上任意点的距离。 错 应取垂线段的长度。 （2）直角三角形斜边中线必等于斜边高。 错 如6、8、10三角形中为5与4.8。 （3）作时，新单位边应垂直于线段。 对 平方和2+1=3需要直角条件。 （4）两段长度相等，它们的平方也相等。 对 可据此建立无根号的等距离方程。 方法：先辨认对象，再判断是否满足使用条件。 注意：不要把特殊图形的巧合当成一般结论。 方法总结 距离题方法 辨明对象 （1）两点距离找连接线段。 （2）点到直线距离找垂线段。 选准公式 （1）先用逆定理确认直角。 （2）中线性质与面积法分别使用。 针对训练 训练3　等腰三角形中的最短距离 等腰△ABC中，AB=AC=13，BC=10。求点A到直线BC的距离，并求△ABC的面积。 答：距离为12，面积为60。 解 作AD⊥BC，垂足D；由三线合一得BD=5。 。 距离为AD=12，面积。 方法：等腰三角形作底边高，将求距离转为求直角边。 注意：点A到直线BC的距离不是腰长13。 针对训练 训练4　作长度的线段 已给出单位长度1及长度为的线段AP，怎样作出长度的线段？说明理由。 1 答：过P作AP的垂线，截PQ=1，再连接AQ，得到AQ=。 解 过P作AP的垂线，在垂线上截取PQ=1。 连接AQ；。 所以AQ=。 方法：把已作线段作为下一步的一条直角边。 注意：添1是添直角边，不是沿原线段延长1。 针对训练 训练5　先列两式，再求高 △ABC中，AB=13，AC=15，BC=14。已知从A向BC所作垂线AD的垂足D在线段BC上，求AD。 答：AD=12。 解 作AD⊥BC。设BD=x，则CD=14−x。 ，。 两式相减得196−28x=56，故x=5。 。 方法：同一条高的平方在两式中相同，可相减消元。 注意：先求出底边分段，再回代求高。 方法总结 构造与方程方法 构造垂直 （1）作高用于求距离与面积。 （2）添单位垂线用于作根式长度。 消去共同量 （1）共用一条高可列两个平方关系。 （2）两式相减，消去同一未知量。 针对训练 训练6　周长条件转化为边长 一个直角三角形的周长为30，一条直角边长为5。求另一条直角边、斜边及面积。 答：另一直角边为12，斜边为13，面积为30。 解 设另一直角边长x，则斜边长为25−x。 ，得50x=600。 x=12，斜边25−12=13，面积。 方法：用周长把斜边表示为25−x，再列勾股关系。 注意：斜边长应大于两条直角边长。 针对训练 训练7　斜边上的高能多长 Rt△ABC中，∠C=90°，M为AB的中点，过C作CD⊥AB，垂足D。求证：，并说明何时取等号。 分步讲解 1／2 答：，当且仅当AC=BC时取等号。 解 连接CM，斜边中线。 垂线段最短，故CD≤CM。 方法：把垂线段最短与斜边中线性质结合。 注意：中线与高一般不重合，只有等腰直角三角形例外。 针对训练 训练7　斜边上的高能多长 Rt△ABC中，∠C=90°，M为AB的中点，过C作CD⊥AB，垂足D。求证：，并说明何时取等号。 分步讲解 2／2 答：，当且仅当AC=BC时取等号。 解 D=M时，AD=BD，由勾股定理得AC=BC。 反之AC=BC时，三线合一使D=M，故等号成立。 方法：把垂线段最短与斜边中线性质结合。 注意：中线与高一般不重合，只有等腰直角三角形例外。 针对训练 训练8　应用：两处站点共用补给点 水平直路AB长20 km，A、B同侧的两站点D、C到直路的垂距分别为AD=6 km、BC=14 km，且AD⊥AB、BC⊥AB。在AB上选补给点E，使直线运输距离DE与CE相等，求AE。 答：AE=14 km。 解 设AE=x km，则BE=20−x km。 由DE=CE，。 解得x=14，且0<14<20，所以补给点距A为14 km。 方法：两条直角三角形共用固定总长，设一段求另一段。 注意：答案需注明从哪一个端点量起。 针对训练 训练9　应用：连接两根立杆 水平地面上两根竖直立杆相距12 m，高分别为8 m和13 m。用拉直的钢索连接两杆顶端，并另留2 m用于固定。至少需要多少米钢索？ 答：至少需要15 m钢索。 解 从较矮杆顶C作CE垂直于较高杆BD，垂足E。 CE=12 m，DE=13−8=5 m，故 m。 钢索总用量至少为13+2=15 m。 方法：通过作水平线，将高度差作为直角边。 注意：直角边是两杆高度差5，不是较高杆13。 方法总结 应用题方法 等距离选址 （1）分别写出两个距离的平方。 （2）解方程后检查位置范围。 高度差模型 （1）从较低点作水平辅助线。 （2）先求直线长度，再加入固定用量。 $