22.3(1)勾股定理-勾股定理-课件 2026-2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册

该初中数学课件聚焦勾股定理，从复习直角三角形角的性质、斜边中线性质入手，通过证明“斜边大于直角边”引出垂线段最短，再结合方格网操作引导发现直角边平方和与斜边平方的关系，搭建旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以“观察 - 猜想 - 论证”为主线，通过割补法计算方格网中正方形面积、表格数据归纳规律，培养学生几何直观（数学眼光）和推理能力（数学思维），例题结合等边三角形面积计算体现模型意识（数学语言），助力学生理解定理本质，教师可直接用于课堂探究与练习。

第22章 直角三角形 22.3 勾股定理 勾股定理（1） 年 级：八年级 学 科：数学（沪教版） 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 中文： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 课堂引入 请同学们回忆一下前面学习过的有关直角三角形的性质. D 直角三角形 定义 性质 判定 直角三角形的两个锐角互余. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. ∵在Rt△ABC中， ∠ACB=90°, ∴∠A+∠B=90°. ∵在Rt△ABC中， ∠ ACB=90°, CD是斜边AB上的中线， ∴CD= AB. 角 特殊线段 边 ？ 2 课堂活动 如图，已知：在Rt△ABC中，∠C=90°. 求证：BC＜AB，AC＜AB. 定理：在直角三角形中，斜边大于直角边. 问题1 在直角三角形中，直角边与斜边之间有怎样的大小关系？ ∵在Rt△ABC中， ∠ACB=90°, ∴∠A+∠B=90°(直角三角形的两个锐角互余). 证明 ∴∠A＜∠C. ∴BC＜AB（在三角形中，大角对大边）. 同理：AC＜AB. 直角边AC看作点A到直线BC的垂线段. AC⊥BC 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 简单地说：垂线段最短. 为什么？ 问题2 由定理“在直角三角形中，斜边大于直角边”，我们可以推出有关垂线段的什么结论呢？ 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 3 课堂活动 问题3 在直角三角形中，斜边和两条直角边之间有没有某种等量关系呢？ Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3cm，AC=4cm 32+42=52. 看到边长的平方，会想到什么？ 正方形的面积 这个等量关系在其他直角三角形中依然成立吗？ 猜想： 在直角三角形中，两条直角边的平方和，等于斜边的平方. ，AB=5cm. 3 4 5 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 4 课堂活动 问题3 在直角三角形中，斜边和两条直角边之间有没有某种等量关系呢？ 如图，在由边长为1的小正方形构成的方格网中，作出几个以格点为顶点的直角三角形（两条直角边的长分别记为a、b，斜边长记为c），分别以三角形的各边为正方形的一边，向三角形外作正方形.请计算每张图中各小正方形的面积并填写在表中. （1） （2） （3） （4） 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 5 课堂活动 如图，在由边长为1的小正方形构成的方格网中，作出几个以格点为顶点的直角三角形（两条直角边的长分别记为a、b，斜边长记为c），分别以三角形的各边为正方形的一边，向三角形外作正方形.请计算每张图中各小正方形的面积并填写在表中. （1） a2   b2   c2 （1） 1 4 5 c2 =小正方形面积+4个直角三角形面积 c2=大正方形面积 － 4个直角三角形面积 割 补 3 1 2 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 6 （4） （1） （2） （3） （4） … a2       b2           c2     （1） （3） （2） … 观察表格中的数据，你发现直角三角形三边有什么数量关系呢？ 直角三角形斜边的长可由两条直角边确定，在上面的例子中，都有a2+b2=c2. + = … … 1 4 5 + = + = + = 16 25 41 9 16 25 4 9 13 + = 课堂活动 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 7 新知讲授 观察表格中的数据，你发现直角三角形三边有什么数量关系呢？ 直角三角形斜边的长可由两条直角边确定，在上面的例子中，都有a2+b2=c2. 猜想：在直角三角形中，两条直角边的平方和，等于斜边的平方. 已知：直角三角形的两条直角边长分别为a及b，斜边长为c. 求证：a2+b2=c2. a b c 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 8 新知讲授 猜想：在直角三角形中，两条直角边的平方和，等于斜边的平方. 已知：直角三角形的两条直角边长分别为a及b，斜边长为c. 求证：a2+b2=c2. a b c a b c A C D B 思考2 图中白色部分四边形的形状是什么？ 思考3 图中白色部分四边形的面积是多少？ 思考1 这个四边形ABCD的形状是什么？ 四边形ABCD是正方形. 四边形ABCD四条边都等于直角三角形两条直角边的和，即a+b. 四边形ABCD每个内角都是直角三角形中的直角. 它的四条边都相等. 它的四个内角都是直角. a a a b b b 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 9 新知讲授 猜想：在直角三角形中，两条直角边的平方和，等于斜边的平方. 已知：直角三角形的两条直角边长分别为a及b，斜边长为c. 求证：a2+b2=c2. a b c A C D B E F G H 四边形EFGH是正方形. 四边形EFGH四条边都等于直角三角形的斜边长c. 四个直角三角形全等， 直角三角形的两个锐角互余. 它的四条边都相等. 它的四个内角都是直角. · × ∠EFB+∠GFC=90° ∠EFG+∠EFB+∠GFC=180° ∠EFG=90° 同理可得四边形EFGH每个内角都是直角. 思考2 图中白色部分，即四边形EFGH的形状是什么？ 思考3 图中白色部分四边形的面积是多少？ 思考1 这个四边形ABCD的形状是什么？ 正方形 c c c 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 10 新知讲授 猜想：在直角三角形中，两条直角边的平方和，等于斜边的平方. 已知：直角三角形的两条直角边长分别为a及b，斜边长为c. 求证：a2+b2=c2. a b c A C D B E F G H 图中白色部分，即正方形EFGH的面积是c2. 正方形EFGH的边长等于直角三角形的斜边长c. 思考2 图中白色部分，即四边形EFGH的形状是什么？ 思考3 图中白色部分，即正方形EFGH的面积是多少？ 思考1 这个四边形ABCD的形状是什么？ 正方形 正方形 c2 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 11 思考4 观察四个直角三角形的位置是如何变化的？白色部分的面积变化了吗？为什么？ 新知讲授 猜想：在直角三角形中，两条直角边的平方和，等于斜边的平方. 已知：直角三角形的两条直角边长分别为a及b，斜边长为c. 求证：a2+b2=c2. a b c 思考5 变化后白色部分四边形的形状分别是什么？ 思考6 变化后白色部分面积之和是多少？ a b c A C D B E F G H A C D B M K L I G 思考2 图中白色部分，即四边形EFGH的形状是什么？ 思考3 图中白色部分，即正方形EFGH的面积是多少？ 思考1 这个四边形ABCD的形状是什么？ 正方形 正方形 c2 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 12 新知讲授 猜想：在直角三角形中，两条直角边的平方和，等于斜边的平方. 已知：直角三角形的两条直角边长分别为a及b，斜边长为c. 求证：a2+b2=c2. a b c 思考4 观察四个直角三角形的位置是如何变化的？白色部分的面积变化了吗？为什么？ 白色部分面积没有变化. 旋转、平移. 关于面积的性质： （1）如果两个图形全等，那么它们的面积相等； （2）一个图形的面积等于它的各部分面积的和. a+b a+b 变化前后都是边长为(a+b)的正方形，从中分别去掉四个全等的直角三角形（蓝色部分），则剩余部分（白色部分）的面积一定相等. √ √ √ √ √ √ √ √ 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 13 新知讲授 猜想：在直角三角形中，两条直角边的平方和，等于斜边的平方. 已知：直角三角形的两条直角边长分别为a及b，斜边长为c. 求证：a2+b2=c2. A C D B M K L I G 四边形IBGK是正方形. 四边形IBGK四条边长都等于a. 它的四条边都相等. 它的四个内角都是直角. 同理，四边形LKMD是正方形. a b c 所以四边形IBGK每个内角都是直角. 思考5 经过旋转、平移运动，现图中白色部分四边形IBGK 、四边形LKMD的形状分别是什么？ 思考6 变化后白色部分面积之和是多少？ ∠B=90° ∠BGK=90° ∠BIK=90° ∠IKG=90° · × 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 14 新知讲授 猜想：在直角三角形中，两条直角边的平方和，等于斜边的平方. 已知：直角三角形的两条直角边长分别为a及b，斜边长为c. 求证：a2+b2=c2. 思考6 现图中白色部分面积，即正方形IBGK 、正方形LKMD的面积之和是多少？ A C D B M K L I G 正方形IBGK的面积是a2. 正方形IBGK的边长等于a. 正方形LKMD的面积是b2. 正方形LKMD的边长等于b. a2 b2 白色部分的面积是a2+b2. a b c a b 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 15 新知讲授 猜想：在直角三角形中，两条直角边的平方和，等于斜边的平方. 已知：直角三角形的两条直角边长分别为a及b，斜边长为c. 求证：a2+b2=c2. A C D B M K L I G a2 b2 a b c A C D B E F G H c2 思考4 观察四个直角三角形的位置是如何变化的？ 白色部分的面积变化了吗？为什么？ 思考5 变化后白色部分四边形的形状分别是什么？ 思考6 变化后白色部分面积之和是多少？ 思考2 图中白色部分，即四边形EFGH的形状是什么？ 思考3 图中白色部分，即正方形EFGH的面积是多少？ 思考1 这个四边形ABCD的形状是什么？ 得：a2+b2=c2 正方形 正方形 c2 没有发生变化 旋转、平移 正方形 a2+b2 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 16 新知讲授 一般地，我们有： 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. B A C 如图，在我国古代，称直角三角形的直角边中较短的一边为“勾”，较长的一边为“股”，斜边为“弦”. ∵ ∠ACB=90°, ∴AC2+BC2=AB2（勾股定理）. 符号语言 在Rt△ABC中， b c 弦 a 股 勾 勾股定理 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系， 即在直角三角形中，知道任意两条边的长度，可以确定第三条边的长度. 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 17 课堂练习 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. b c a 勾股定理 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系， 即在直角三角形中，知道任意两条边的长度，可以确定第三条边的长度. 练习1 已知一个直角三角形两边长分别为6和8，求第三条边的长度. 10 分类讨论 当6、8分别作为直角三角形的一条直角边和斜边时， 6 8 b c a 6 8 当6、8为直角三角形的两条直角边时， 分析: 第三条边的长度为 ； 第三条边的长度为 . 综上所述，第三条边的长度为10或 . 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 18 例题讲解 求边长为1的等边三角形的面积. B A C D BD= 已知：如图，在△ABC中，AB=BC=CA=1. 求：S△ABC . 1 ? 1 底×高÷2 BC=1 AD=? AB=AC AD⊥BC ∠ADB=90° AB2=AD2+BD2 AB=1 AD= S△ABC = AD= 1 分析: 例 1 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 19 例题讲解 D 1 求边长为1的等边三角形的面积. 已知：如图，在△ABC中，AB=BC=CA=1. 求：S△ABC . 如果等边三角形的边长为a，那么其边上的高h是多少？面积是S是多少（用含a的代数式表示）？ 你还有其他辅助线的添法吗？ 取边BC中点D,连接AD. 例 1 因此，边长为1的等边三角形的面积是 . B A C 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 20 例题讲解 B A C D 1 求边长分别为1的等边三角形的面积. 变 式 2 1 例 1 变 式 3 如图，在△ABC中，AB=15，BC=14，CA=13，求△ABC的面积. B A C B A C D D 15 15 13 13 14 如图，在△ABC中，AB=15，BC=4，CA=13，求△ABC的面积. 4 B A C D 1 变 式 1 求腰长为1，底边长为a的等腰三角形的面积. a 1 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 21 课堂小结 研究方法 直角三角形 定义 性质 判定 直角三角形的两个锐角互余. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 在直角三角形中，斜边大于直角边. 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. a2+b2=c2 a b c 垂线段最短 形 数 √ 观察 猜想 论证 结束语 “万物皆数，数皆有形。” —— 毕达哥拉斯 （古希腊数学家、哲学家） 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 23 null 21890.645 https://clipchamp.com Create videos with https://clipchamp.com/en/video-editor - free online video editor, video compressor, video converter. $