22.3 勾股定理（第1课时）2026-2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册

第22章 直角三角形 22.3 勾股定理 （第1课时）勾股定理 年 级：八年级 学 科：数学（沪教版） 复习引入 学习目标 识别条件 能找到直角三角形的斜边，说清勾股定理的条件与结论。 理解证明 通过方格面积与拼图，理解。 解决问题 会求边长、等边三角形面积，并解释每一步依据。 复习引入 三边长能任意选吗 回顾 直角三角形的两个锐角互余；在三角形中，大角对大边。 观察 在Rt△ABC中，∠C=90°。哪条边最长？说明理由。 知识讲授 先确定斜边 在直角三角形中，斜边大于直角边。 ∠C=90°，AB是斜边。 BC<AB，AC<AB。 知识讲授 证明 在Rt△ACB中，∠C=90°。求证：BC<AB，AC<AB。 答：BC<AB，AC<AB。 解 ∠A+∠B=90°，所以∠A<∠C、∠B<∠C。 由大角对大边，BC<AB；同理AC<AB。 方法：先比较角，再比较其对边。 注意：斜边是直角所对的边。 知识讲授 垂线段最短 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 AC⊥直线BD，垂足为C。 C以外的点与A连接，所得线段都大于AC。 复习引入 引入　点到直线的距离 点A在直线BD外，C在BD上，AC⊥BD，AC=3，AB=5。点A到直线BD的距离是多少？为什么不是5？ 答：距离是3。 解 点到直线的距离是垂线段AC的长度。 AB为斜线段，AB>AC。 方法：先找垂足，再读取垂线段长度。 注意：距离是长度，不是线段本身。 知识讲授 操作　方格面积：第一组 在由边长为1的小正方形组成的方格网中，作出几个以格点为顶点的直角三角形（两条直角边的长分别记为a、b，斜边长记为c），分别以三角形的各边为正方形的一边，向三角形外作正方形。请计算每张图中各小正方形的面积并填写在表22-1中。 先研究图（1）：a=1，b=2。 答：。 解 直角边上的正方形面积分别为1和4。 斜边正方形可放进边长3的正方形：9−4×1=5。 方法：斜放正方形可用外补面积法。 注意：此时用面积计算，不先套待学定理。 知识讲授 操作　方格面积：第二组 在由边长为1的小正方形组成的方格网中，作出几个以格点为顶点的直角三角形（两条直角边的长分别记为a、b，斜边长记为c），分别以三角形的各边为正方形的一边，向三角形外作正方形。请计算每张图中各小正方形的面积并填写在表22-1中。 研究图（2）：a=2，b=3。 答：。 解 直角边上的正方形面积分别为4和9。 斜边正方形面积：25−4×3=13。 方法：先补成正放的大正方形，再减四角。 注意：四个角上的小三角形面积均为3。 知识讲授 操作　方格面积：第三、四组 在由边长为1的小正方形组成的方格网中，作出几个以格点为顶点的直角三角形（两条直角边的长分别记为a、b，斜边长记为c），分别以三角形的各边为正方形的一边，向三角形外作正方形。请计算每张图中各小正方形的面积并填写在表22-1中。 图（3）a=3、b=4；图（4）a=4、b=5。 （3） （4） 答：图（3）：9，16，25；图（4）：16，25，41。 解 图（3）：。 图（4）：。 方法：按a²、b²、c²的次序填写。 注意：几个例子只能启发猜想，不能代替证明。 知识讲授 看清方格图，再比较面积 图（3） 面积分别为9、16、25。 图（4） 面积分别为16、25、41。 共同发现 两小正方形面积之和等于大正方形面积。 （3） （4） 知识讲授 勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 两条直角边为a、b，斜边为c。 。 条件：三角形中已经有直角。 知识讲授 公式怎样使用 求斜边 ，先平方求和，再取正平方根。 求直角边 ，斜边平方减去另一条直角边平方。 边名先对应 若∠C=90°，应写。 知识讲授 拼图证明的依据 面积性质① 如果两个图形全等，那么它们的面积相等。 面积性质② 一个图形的面积等于它的各部分面积的和。 证明思路 从两个相同的大正方形中，各去掉四个全等的直角三角形。 知识讲授 两种拼法，剩余面积相等 共同部分 大正方形边长a+b，面积相等。 去掉部分 各去掉四个全等直角三角形。 留下部分 左图：中间四边形；右图：边长a、b的两个正方形。 知识讲授 证明 四个全等直角三角形的直角边为a、b，斜边为c，按左图拼在边长a+b的正方形内。说明中间四边形是边长c的正方形。 答：中间四边形是边长c的正方形。 解 四条边都是全等直角三角形的斜边，故都等于c。 每个内角与两个互余锐角组成平角，故为90°。 方法：证明正方形须同时核对边和角。 注意：四边相等还不足以直接断言正方形。 知识讲授 证明 直角三角形的两条直角边长分别为a及b，斜边长为c。用图中的两种拼法证明。 答：。 解 两个大正方形面积相等，去掉的四个三角形面积也相等。 剩余面积必相等：左图为，右图为。 方法：等面积减去等面积，剩余面积相等。 注意：论证适用于任意正的直角边长a、b。 环节归纳 知识讲授归纳 定理使用 （1）先标直角与斜边。 （2）斜边平方等于两直角边平方和。 证明理解 （1）全等保证去掉面积相同。 （2）余下图形须先确认是正方形。 例题讲解 例 1 求边长为1的等边三角形的面积。 构造直角三角形 答：作AD⊥BC，垂足D；。 解 设等边△ABC的边长为1，过A作AD⊥BC。 由等边三角形三线合一，。 方法：把等边三角形分成两个直角三角形。 注意：高与对应的底必须配对。 例题讲解 例 1 求边长为1的等边三角形的面积。 求高与面积 答：。 解 在Rt△ABD中，。 。 。 方法：先用勾股定理求高，再用面积公式。 注意：边长为正，开平方取正值。 例题讲解 思考　把边长1推广为a 如果等边三角形的边长为a，那么其面积S是多少（用含a的代数式表示）？ 答：。 解 作高AD，得。 。 。 方法：保留字母计算，寻找一般关系。 注意：a表示边长，故a>0。 例题讲解 变式 变式1　由面积反求边长 一个等边三角形的面积为，求它的边长。 答：边长为8。 解 设边长为a>0，。 得，所以a=8。 方法：面积公式可作为方程使用。 注意：面积扩大为原来的4倍，边长才扩大为2倍。 例题讲解 变式 变式2　等腰三角形求面积 在等腰△ABC中，AB=AC=13，BC=10。求△ABC的面积。 答：面积为60。 解 作AD⊥BC，得BD=5。 。 。 方法：等腰三角形作底边上的高，底边平分。 注意：不能把腰长13直接当成高。 环节归纳 例题讲解归纳 作高转化 （1）等边或等腰三角形先作底边高。 （2）用三线合一得到半底。 求面积 （1）勾股定理先求高。 （2）再写S=底×高÷2。 课堂练习 练习1 已知等边三角形ABC的边长为3 cm，求△ABC的面积。 答： cm²。 解 作AD⊥BC， cm。 cm。 cm²。 方法：可用一般公式，也应能说明高的来源。 注意：面积单位为cm²。 课堂练习 练习2 设每个小方格的面积为1，分别画出一条以格点为端点且长度为、5、的线段。 作长度 答：横向走2格、纵向走1格，连接起终点。 解 每格边长为1，构造直角边长为2和1的三角形。 斜边长。 方法：把根号内的数拆成两个整数平方和。 注意：所选端点都必须是格点。 课堂练习 练习2 设每个小方格的面积为1，分别画出一条以格点为端点且长度为、5、的线段。 作长度5 答：横向走4格、纵向走3格，连接起终点。 解 作直角边长为4和3的直角三角形。 斜边长。 方法：4×4方格内可以画出长度5的斜线段。 注意：不要误以为线段只能沿网格线画。 课堂练习 练习2 设每个小方格的面积为1，分别画出一条以格点为端点且长度为、5、的线段。 作长度2 答：横向走4格、纵向走2格，连接起终点。 解 。 连接两端点，线段长。 方法：先平方目标长度，再分解平方和。 注意：根号外的2也要平方。 课堂练习 练习3 涂色部分是两个直角边长为a、b、斜边长为c的直角三角形，且两斜边的夹角是直角。请利用这个图形验证勾股定理。 先算整体 答：外部梯形面积为。 解 左右平行边的长分别为a、b，两平行边间距离为a+b。 。 方法：梯形的高是两条平行边间的距离。 注意：本图上下底在左右两侧，不在水平位置。 课堂练习 练习3 涂色部分是两个直角边长为a、b、斜边长为c的直角三角形，且两斜边的夹角是直角。请利用这个图形验证勾股定理。 列式验证 答：。 解 分块面积为。 因此。 展开并约去ab，得。 方法：同一图形按整体和分块各算一次面积。 注意：中间三角形两边为c且夹角为90°。 环节归纳 课堂练习归纳 求长度与面积 （1）格点线段转化为直角三角形。 （2）等边三角形作高后求面积。 验证恒等式 （1）整体面积等于各部分面积之和。 （2）写清依据后展开化简。 课堂小结 勾股定理 识别直角 先找直角，确定其对边是斜边；斜边大于任一直角边，点到直线的距离取垂线段长。 掌握定理 直角三角形中，若直角边为a、b，斜边为c，则a²+b²=c²；求斜边加，求直角边减。 理解证明 两个同样大的正方形，各去掉四个全等直角三角形，余下面积相等；也可用整体与分块面积。 构造应用 等腰或等边三角形作高求面积；格点线段用横纵距离；实际问题先找垂直关系再列式。 特别提醒：必须先有直角条件；平方关系不能写成a+b=c。 针对训练 训练1　已知两直角边 Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8。AB的长为（　）。 A. 2 B. 10 C. 14 D. 100 答：选B，AB=10。 解 。 AB>0，故AB=10。 方法：求斜边用平方和。 注意：最后一步需要开平方。 针对训练 训练2　已知斜边与一直角边 Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5。填空：BC=______。 答：BC=12。 解 。 BC>0，故BC=12。 方法：求直角边用斜边平方减另一边平方。 注意：必须先确认13是斜边长。 针对训练 条件与公式辨析 （1）任意三角形都有a²+b²=c²。 错 只有满足直角条件才可用勾股定理。 （2）直角三角形的斜边一定最长。 对 直角是最大角，其对边最大。 （3）直角边为2和3时，斜边为5。 错 斜边应为。 （4）求一直角边时，应先作平方差。 对 用斜边平方减另一条直角边平方。 方法：逐项核对使用条件与边的身份。 注意：边长和与平方和是不同关系。 方法总结 基础计算方法 先定位 （1）写出直角顶点。 （2）标出斜边与两条直角边。 再计算 （1）先列平方关系，再代入数据。 （2）取正平方根并检查边长大小。 针对训练 训练3　未指出哪一条是斜边 一个直角三角形的两边长分别为6和8，求第三边的长。 答：第三边长为10或。 解 若6、8都是直角边，第三边为。 若8是斜边，第三边为。 6不可能是斜边，因为6<8。 方法：缺少边的身份时分类讨论。 注意：不要只算两条已知边都是直角边的情况。 针对训练 训练4　已知等边三角形的高 等边△ABC的高AD为，求它的边长和面积。 答：边长为6，面积为。 解 设边长为a，。 由得a=6。 。 方法：高与边长有固定关系，可由勾股定理推出。 注意：高不是等边三角形的一条边。 针对训练 训练5　由周长求等腰三角形面积 等腰△ABC中，AB=AC=10，周长为32，求△ABC的面积。 答：面积为48。 解 BC=32−10−10=12。作AD⊥BC，则BD=6。 。 。 方法：先由周长求底，再作高构造直角三角形。 注意：三角形周长要减去两条腰。 方法总结 变式计算方法 分类求边 （1）先判断哪一边可能为斜边。 （2）每种可能分别列勾股关系。 等腰求面积 （1）先确定底边与半底。 （2）求高后计算面积。 针对训练 训练6　格点间的距离 在边长为1的方格网中，从格点A向右走4格、向上走2格到格点B，求线段AB的长。 答：。 解 横向、纵向长度分别为4、2，且互相垂直。 。 方法：连接两端点，横纵移动量作直角边。 注意：沿网格走的路程6不等于直线距离。 针对训练 训练7　长方形中的对角线 长方形ABCD中，AB=8，BC=6，连接AC。求AC及△ABC的面积。 答：AC=10，△ABC面积为24。 解 ∠ABC=90°，。 。 方法：长方形邻边垂直，选取对角线所在直角三角形。 注意：求面积时不必再求斜边上的高。 针对训练 训练8　应用：梯子离墙多远 一架长13 m的梯子靠在竖直墙面上，梯子顶端离水平地面的高度为12 m。求梯子底端到墙脚的距离。 答：5 m。 解 墙、地面与梯子构成直角三角形，梯子为斜边。 设距离为x m，。 x=5，因此距离为5 m。 方法：将实物对应为斜边和两条直角边。 注意：梯子长度不等于竖直高度。 针对训练 训练9　应用：安装固定拉线 一根8 m高的竖直旗杆，在离杆底6 m的水平地面上设固定点，用拉线连接旗杆顶端与固定点。若预留0.5 m作连接用，至少需要多长的拉线？ 答：10.5 m。 解 拉直部分长 m。 实际需10+0.5=10.5 m。 方法：先求几何长度，再按实际条件增加用量。 注意：预留长度应在求出斜边后加上。 方法总结 应用题方法 建立模型 （1）找水平与竖直方向的垂直关系。 （2）把实物长度对应到三角形边。 检验结果 （1）检查斜边是否最长。 （2）根据题意处理单位与预留量。 $