22.3 勾股定理（第2课时）2026-2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册

第22章 直角三角形 22.3 勾股定理 （第2课时）勾股定理的逆定理 年 级：八年级 学 科：数学（沪教版） 复习引入 学习目标 理解互逆 分清勾股定理与逆定理的条件、结论。 掌握判定 会用三边长判断直角三角形，准确指出直角。 综合应用 先用定理求边，再用逆定理判直角，解决面积或求长问题。 复习引入 把条件和结论交换 已知直角 在直角三角形中，有。 新的问题 如果一个三角形的三边满足，它一定有直角吗？ 观察关键 只有三边长，不能凭示意图直接认定直角。 复习引入 引入　一个熟悉的数组 一个三角形三边长为3、4、5。计算最大边的平方与另两边的平方和，并提出你想验证的猜想。 答：；猜想该三角形是直角三角形。 解 计算得9+16=25。 猜想5所对的角为直角，仍需定理证明。 方法：先由数据发现关系，再证明一般结论。 注意：计算相等只是猜想线索，接下来要说明依据。 知识讲授 勾股定理的逆定理 如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形。 先找到平方关系。 结论：c所对的角为直角。 最大边才可能是直角三角形的斜边。 知识讲授 条件与结论准确对应 已知 BC=a，AC=b，AB=c，且。 求证 △ABC是直角三角形，具体应证明∠C=90°。 为什么是∠C AB²是另两边平方和，因此AB对应斜边，∠C是其对角。 知识讲授 证明思路：构造一个直角三角形 已知图形 △ABC的三条边满足平方关系，但∠C尚未证为直角。 构造图形 作Rt△A′B′C′，使B′C′=a、A′C′=b、∠C′=90°。 建立联系 用勾股定理求出A′B′，再用三边对应相等证明全等。 知识讲授 证明 在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，且。求证：△ABC是直角三角形。 答：。 解 作△A′B′C′，使∠C′=90°，B′C′=a，A′C′=b。 由勾股定理，。 线段长度为正，所以A′B′=c=AB。 方法：把已有的定理用于新构造的直角三角形。 注意：此时不能在原△ABC中直接使用勾股定理。 知识讲授 证明 在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，且。求证：△ABC是直角三角形。 答：∠C=90°，故△ABC是直角三角形。 解 AB=A′B′，AC=A′C′，BC=B′C′。 所以△ABC≌△A′B′C′（SSS）。 由全等三角形的对应角相等，∠C=∠C′=90°。 方法：用SSS全等把构造出的直角转移到原图。 注意：不要使用需要先有直角的HL来证明这里的全等。 知识讲授 正定理与逆定理的分工 勾股定理 已知直角，得到三边平方关系，通常用来求边长。 逆定理 已知三边平方关系，得到直角，通常用来判定垂直。 相互配合 同一问题中可以先算边，再判角，但每一步要写清依据。 知识讲授 按三步完成判定 第一步 找出最大边c，另外两条边记为a、b。 第二步 分别计算与，比较是否相等。 第三步 相等则为直角三角形，c所对角为直角；不等则不是。 知识讲授 勾股数 如果正整数a、b、c满足，那么a、b、c称为一组勾股数。 如3、4、5和8、15、17。 三数必须是正整数。 以一组勾股数为三边长的三角形是直角三角形。 知识讲授 变式 探索　成倍变化后的平方关系 已知。当k>0时，3k、4k、5k为三边长的三角形是直角三角形吗？当k是正整数时，这三个数是否为勾股数？ 答：都是直角三角形；k为正整数时，三数是一组勾股数。 解 。 由逆定理，5k所对角为直角。 k为正整数时，3k、4k、5k均为正整数。 方法：整体乘相同的数，平方关系仍成立。 注意：判定直角不要求整数；称为勾股数要求正整数。 环节归纳 知识讲授归纳 逆定理判角 （1）最大边平方与其余平方和比较。 （2）结论须指出最大边所对角。 勾股数辨认 （1）先检查正整数条件。 （2）再检查平方和关系。 例题讲解 例 2 在△ABC中，BC=8，AC=15，AB=17。试判断△ABC是不是直角三角形。 答：△ABC是直角三角形，∠C=90°。 解 。 。 由逆定理，AB所对的∠C为直角。 方法：算两边，再比较，最后引用逆定理。 注意：不要把最长边端点处的角当作直角。 例题讲解 变式 变式1　带根式也能判断 △ABC中，AB=2，AC=，BC=1。判断△ABC是否为直角三角形，并指出直角。 答：是，∠C=90°。 解 AB=2是最大边。 。 由逆定理，∠C=90°。 方法：根式边长平方后再比较。 注意：这里的1、、2不是一组勾股数。 例题讲解 辨析 变式2　看起来像直角并不够 一个三角形三边长为7、8、10，能否判定它是直角三角形？说明理由。 答：不能；它不是直角三角形。 解 10是最大边，。 。 不满足直角三角形必须具有的平方关系。 方法：用准确计算代替目测。 注意：此处只判断是否为直角三角形。 例题讲解 例 3 图22-3-8是一块四边形绿地的示意图，其中AB长24 m，BC长15 m，CD长20 m，DA长7 m，∠C=90°。求绿地ABCD的面积。 先求对角线 答：连接BD，得。 解 连接BD，将四边形分为△BCD和△ABD。 在Rt△BCD中，。 方法：已有一个直角，优先在该三角形中求对角线。 注意：图上的∠A尚未证明是直角。 例题讲解 例 3 图22-3-8是一块四边形绿地的示意图，其中AB长24 m，BC长15 m，CD长20 m，DA长7 m，∠C=90°。求绿地ABCD的面积。 再判定直角 答：∠BAD=90°。 解 连接BD，由Rt△BCD得。 。 故，由逆定理得∠BAD=90°。 方法：对角线是两个三角形共同的边。 注意：求边用正定理，判角用逆定理。 例题讲解 例 3 图22-3-8是一块四边形绿地的示意图，其中AB长24 m，BC长15 m，CD长20 m，DA长7 m，∠C=90°。求绿地ABCD的面积。 计算面积 答：绿地面积为234 m²。 解 连接BD并由平方关系证得∠BAD=90°。 。 。 m²。 方法：面积分成两个直角三角形面积之和。 注意：先证明相邻两边垂直，才能把它们当底和高。 例题讲解 变式 变式3　换一组数据求面积 四边形ABCD中，∠BCD=90°，BC=9，CD=12，DA=9，AB=12，点A、C在BD两侧。求四边形ABCD的面积。 答：面积为108。 解 连接BD，。 ，故∠DAB=90°。 总面积为。 方法：连接对角线，把已知边转化到两个三角形中。 注意：需看清两三角形面积在此处相加。 环节归纳 例题讲解归纳 单三角形判定 （1）先选最长边。 （2）比较平方值，再指出直角。 四边形求面积 （1）作对角线，用正定理求共同边。 （2）用逆定理判直角，再分块求面积。 课堂练习 练习1 判断下列说法是否正确，正确的在括号里打“√”，错误的在括号里打“×”：（1）以0.3、0.4、0.5为三边长的三角形不是直角三角形；（2）以50、120、130为三边长的三角形是直角三角形。 答：（1）×；（2）√。 解 （1），它是直角三角形。 （2）。 方法：先判断数学事实，再检查题干中的否定词。 注意：第（1）题说的是“不是”。 课堂练习 练习2 以下列a、b、c为边的三角形是不是直角三角形？如果是，那么哪一个角是直角？（1）a=8，b=13，c=11。 第（1）题 答：不是直角三角形。 解 最大边是b=13。 ，。 185≠169，故不是直角三角形。 方法：按数值找最大边，不按字母顺序找。 注意：这里应比较a²+c²与b²。 课堂练习 练习2 以下列a、b、c为边的三角形是不是直角三角形？如果是，那么哪一个角是直角？（2）a=6.5，b=2.5，c=6。 第（2）题 答：是直角三角形，a所对的角为直角。 解 a=6.5最大。 。 由逆定理，a所对的角为直角。 方法：平方后可直接比较，也可统一乘2计算。 注意：若a、b、c分别对A、B、C，则∠A=90°。 课堂练习 练习2 以下列a、b、c为边的三角形是不是直角三角形？如果是，那么哪一个角是直角？（3）a=40，b=41，c=7。 第（3）题 答：不是直角三角形。 解 b=41最大。 ，。 1649≠1681，故不是直角三角形。 方法：即使数字接近熟悉数组，也要实际平方。 注意：本题40、41、7不能误记成9、40、41。 课堂练习 练习3 在△ABC中，AB=AC，D是边AC上一点，CD=8，BC=17，BD=15。求AB的长。 先判直角 答：∠BDC=90°，即BD⊥AC。 解 在△BCD中，。 由逆定理，∠BDC=90°。 A、D、C共线，因此BD⊥AC。 方法：先在三边已知的小三角形中判定直角。 注意：BD看起来垂直并不是已知条件。 课堂练习 练习3 在△ABC中，AB=AC，D是边AC上一点，CD=8，BC=17，BD=15。求AB的长。 列式求边 答：。 解 已证BD⊥AC。设AB=AC=x，则AD=x−8。 在Rt△ABD中，。 整理得16x=289，所以。 方法：利用等腰条件，把两条边用同一个未知数表示。 注意：D在边AC上，AD=AC−CD。 环节归纳 课堂练习归纳 判定准确 （1）先找最大边，认真计算平方。 （2）不符合平方关系就不能判直角。 由角转向边 （1）先用逆定理证明辅助线垂直。 （2）再用正定理列边长方程。 课堂小结 勾股定理的逆定理 定理内容 三角形一边的平方等于其余两边的平方和，则这个三角形是直角三角形，该边所对角是直角。 证明路径 构造两直角边与原图两边相等的直角三角形，用勾股定理求第三边，再由SSS全等得到直角。 判定步骤 先找最大边，分别计算最大边平方及另两边平方和，判断是否相等，最后写清哪一个角是直角。 综合应用 正定理用于求边，逆定理用于判角；连接对角线或利用共线关系，可继续求面积、求边长。 特别提醒：不要凭外观标直角；勾股数还必须满足正整数条件。 针对训练 训练1　四组三边数据 判断以各组数为三边长的三角形是否为直角三角形；若是，指出哪条边所对的角为直角。 （1） 三边长为9、12、15。 （2） 三边长为6、7、8。 （3） 三边长为1、、。 （4） 三边长为1.5、2、2.5。 解第（1）题 是直角三角形，15所对角为直角。 。 解第（2）题 不是直角三角形。 。 第（1）题：比较最大边平方与其余两边平方和。 注意：最大边是15。 第（2）题：只有相等才满足逆定理条件。 注意：不能仅凭三边接近熟悉数组作判断。 针对训练 训练1　四组三边数据 判断以各组数为三边长的三角形是否为直角三角形；若是，指出哪条边所对的角为直角。 （1） 三边长为9、12、15。 （2） 三边长为6、7、8。 （3） 三边长为1、、。 （4） 三边长为1.5、2、2.5。 解第（3）题 是直角三角形，所对角为直角。 。 解第（4）题 是直角三角形，2.5所对角为直角。 。 第（3）题：根式先平方，结果成为整数。 注意：这三个数不都是正整数，不叫勾股数。 第（4）题：可按同一倍数化为3、4、5检验。 注意：小数边长同样能使用逆定理。 针对训练 逆定理与勾股数辨析 （1）3、4、5是一组勾股数。 对 均为正整数，且9+16=25。 （2）0.6、0.8、1是一组勾股数。 错 前两个数不是整数。 （3）若a²=b²+c²，则a所对角是直角。 对 由逆定理直接得到。 （4）最长边为c就一定有a²+b²=c²。 错 任意三角形不都含直角。 方法：区分定理条件、结论及定义附加条件。 注意：边长满足关系与整数数列命名不同。 方法总结 基础判定方法 正确计算 （1）较复杂数据先逐项平方。 （2）根式与小数也可直接比较。 准确表述 （1）写“最大边所对角为直角”。 （2）勾股数须检验正整数条件。 针对训练 训练2　含未知数的边长 一个三角形周长为24，其中两边长为6和8。判断这个三角形是不是直角三角形。 答：是直角三角形，第三边所对角为直角。 解 第三边长为24−6−8=10。 。 由逆定理，长为10的边所对角为直角。 方法：先补齐三边，再应用逆定理。 注意：不能只凭已知两边6和8直接判直角。 针对训练 训练3　由比例判断形状 一个三角形的三边长之比为5∶12∶13。证明它是直角三角形。 答：该三角形是直角三角形。 解 设三边长为5k、12k、13k，k>0。 。 由逆定理，13k所对角为直角。 方法：边长比转化为同一正数倍。 注意：设比例份数k时应说明k>0。 针对训练 训练4　利用共线关系求线段 △ABC中，D在线段BC上，AD=15，CD=8，AC=17，AB=25。求BD，并说明为何可用勾股定理。 答：BD=20。 解 ，故AD⊥BC。 在Rt△ABD中，。 BD=20。 方法：先以完整三边的小三角形判直角，再求另一侧。 注意：AD⊥BC是需要先证明的结论。 方法总结 衔接求解方法 补齐条件 （1）用周长、比例得到完整三边。 （2）再检验平方关系。 共享垂线 （1）先证线与线垂直。 （2）共线的另一侧同样形成直角。 针对训练 训练5　计算误差不能忽略 三角形三边长为20、21、28。有人说20²+21²很接近28²，所以该三角形是直角三角形。这个结论对吗？ 答：不对，该三角形不是直角三角形。 解 ，。 841≠784，不满足直角三角形的平方关系。 方法：判断使用相等关系，不能用接近替代。 注意：28是题设数据，不能擅自改成29。 针对训练 训练6　直角位置辨认 △ABC中，AB=20，BC=29，AC=21。填空：直角为∠______，△ABC的面积为______。 答：∠A=90°，面积为210。 解 BC最长，。 由逆定理，∠A=90°。 。 方法：用最长边的对角定位直角，再取两直角边作底和高。 注意：不能习惯性地把∠C写成直角。 针对训练 训练7　应用：检验墙角 施工时，在两条墙边上从同一墙角A分别量取AB=8 m、AC=6 m，测得两点B、C的距离为10 m。能否据此判断墙角为直角？说明依据。 答：能，∠BAC=90°。 解 。 由勾股定理的逆定理，∠BAC=90°。 方法：把测量点与墙角组成三角形。 注意：应比较墙角对面的线段BC与两条墙边。 针对训练 训练8　应用：计算地块面积 四边形地块ABCD中，∠BCD=90°，BC=6 m，CD=8 m，AB=8 m，AD=6 m，A、C在BD两侧。求这块地的面积。 答：48 m²。 解 连接BD，。 ，故∠BAD=90°。 总面积 m²。 方法：用一条对角线串联正定理和逆定理。 注意：先判直角，再用相邻两边相乘求面积。 方法总结 应用题方法 测量判角 （1）将实际测量转化为三边数据。 （2）比较平方关系，写明垂直结论。 分割求面积 （1）连接对角线找两个三角形。 （2）分别确认直角，再相加面积。 $