22.1 直角三角形（第1课时）2026-2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册

第22章 直角三角形 22.1 直角三角形 （第1课时）直角三角形的性质 年 级：八年级 学 科：数学（沪教版） 复习引入 学习目标 认识性质 理解两个锐角互余及其逆命题，掌握斜边中线的性质。 学会证明 把斜边中线转化为相等线段，用等腰三角形完成推理。 迁移应用 证明并应用30°角所对直角边与斜边的关系。 复习引入 先找直角，再认斜边 识别 在△ABC中，∠ACB=90°，边AB是斜边，AC、BC是直角边。 联系旧知 三角形内角和等于180°；等边对等角，等角对等边。 观察任务 直角确定后，其余两个内角的和是否也确定？ 复习引入 引入 思考1　一个锐角确定另一个锐角 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=35°。求∠B。 35° 答：∠B=55°。 解 ∠A+∠B+∠ACB=180°。 ∠B=180°−90°−35°=55°。 方法：先减去直角，再减去已知锐角。 注意：互余指和为90°，不是两个角相等。 复习引入 一条特殊的中线 作图观察 在Rt△ABC中，取斜边AB的中点D，连接CD。比较CD、AD、BD。 已有信息 D是中点，所以AD=BD；仅凭中点还不能直接说CD相等。 探究方向 利用直角的两个锐角互余，构造两个等腰三角形。 知识讲授 直角三角形的两个锐角 直角三角形的两个锐角互余。 条件：∠ACB=90°。 结论：∠A+∠B=90°。 证明：180°−90°=90°。 知识讲授 从互余判定直角三角形 两个锐角互余的三角形是直角三角形。 条件：∠A+∠B=90°。 由内角和得∠ACB=90°。 两个角必须是同一三角形的内角。 知识讲授 性质与判定，方向要分清 性质 已经知道是直角三角形，推出两个锐角互余。 判定 已经知道两个内角互余，推出第三个角为直角。 表达 证明“三角形是直角三角形”时，应明确指出哪个角等于90°。 知识讲授 斜边上的中线 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 条件：∠ACB=90°，D为AB中点。 结论：。 联立中点条件：CD=AD=BD。 知识讲授 证明斜边中线性质：构造等角 作辅助线 过C在∠ACB内部作射线，与AB交于D，使∠ACD=∠A。 第一组等长 在△ACD中，∠ACD=∠CAD，所以CD=AD。 追问 怎样由∠ACB=90°得到∠BCD=∠B？ 知识讲授 证明斜边中线性质：确认中点 同角的余角相等 ∠BCD=90°−∠ACD，∠B=90°−∠A，所以∠BCD=∠B。 第二组等长 在△BCD中，∠BCD=∠B，所以CD=BD。 完成证明 于是AD=BD=CD；D就是AB的中点，。 知识讲授 读懂一个结论中的三个相等 已知 直角在C，AB是斜边；D是AB的中点。 可得 CD=AD=BD；△ACD、△BCD都是等腰三角形。 限制 CD通常不是高，也通常不平分∠ACB，不能随意标直角或等角。 环节归纳 知识讲授归纳 角的入口 （1）见直角，找两个互余的锐角。 （2）要证直角，可证另外两角互余。 边的入口 （1）见斜边中点，连直角顶点。 （2）得到三段相等，再用等腰性质。 例题讲解 例 1 如图，已知：CD是△ABC的边AB上的中线，且。求证：△ABC是直角三角形。 先找相等的角 答：△ABC是直角三角形，∠ACB=90°。 解 D是AB中点，。 由条件得CD=AD=BD。 ∠A=∠ACD，∠B=∠BCD。 方法：先把“中线等于半边”转成三段相等。 注意：此时不能把AB当成已知斜边。 例题讲解 例 1 如图，已知：CD是△ABC的边AB上的中线，且。求证：△ABC是直角三角形。 完成证明 答：△ABC是直角三角形，∠ACB=90°。 解 由CD=AD=BD得∠ACD=∠A、∠BCD=∠B。 ∠ACB=∠ACD+∠BCD=∠A+∠B。 内角和得2(∠A+∠B)=180°，所以∠A+∠B=90°。 由两个锐角互余的判定，得∠ACB=90°。 方法：用等角替换，将内角和化为两倍关系。 注意：“中线等于半边”必须发生在同一个三角形。 例题讲解 辨析 变式1　不能遗漏中点条件 在△ABC中，点D在线段AB内部，CD=AD。能否仅由这些条件判定△ABC是直角三角形？说明理由。 60° 1 2 分步讲解 1／2 答：不能。例如图中△ACD为边长1的等边三角形，DB=2，△ABC就不是直角三角形。 解 取△ACD为边长1的等边三角形，延长AD到B，使DB=2。 若∠ACB=90°，则∠BCD=30°；又∠CDB=120°，得∠B=30°。 方法：检查证明是否同时用到了两组等长。 注意：不能将“边上的点”直接当作边的中点。 例题讲解 辨析 变式1　不能遗漏中点条件 在△ABC中，点D在线段AB内部，CD=AD。能否仅由这些条件判定△ABC是直角三角形？说明理由。 60° 1 2 分步讲解 2／2 答：不能。例如图中△ACD为边长1的等边三角形，DB=2，△ABC就不是直角三角形。 解 于是△BCD中BD=CD，但BD=2、CD=1，矛盾。 ∠A=60°；∠CDB=120°使∠B<60°，其余两角也不是直角。 方法：检查证明是否同时用到了两组等长。 注意：不能将“边上的点”直接当作边的中点。 例题讲解 例 2 如图，已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°。求证：。 30° 构造等腰三角形 答：。 解 作斜边AB上的中线CD。 ∠B=90°−30°=60°。 由斜边中线性质，。 方法：见30°与斜边，尝试作斜边中线。 注意：辅助点D必须是AB中点。 例题讲解 例 2 如图，已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°。求证：。 30° 完成证明 答：。 解 作AB中线CD，得CD=BD，∠B=60°。 ∠DCB=∠B=60°，∠BDC=60°。 △CDB是等边三角形，所以BC=CD。 于是。 方法：把等腰三角形与60°结合，升级为等边三角形。 注意：30°所对的边是BC，不是邻边AC。 例题讲解 变式 变式2　使用30°角所对边的性质 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°。（1）若AB=18，求BC；（2）若BC=7，求AB。 30° 答：（1）BC=9；（2）AB=14。 解 由例2结论，。 （1）BC=18÷2=9。 （2）AB=2BC=14。 方法：先标出30°的对边，再决定乘2还是除以2。 注意：不是任意一条直角边都等于斜边的一半。 环节归纳 例题讲解归纳 中线转等腰 （1）中点条件给出一组相等线段。 （2）半边条件补齐第三条相等线段。 30°转等边 （1）作斜边中线得到等腰三角形。 （2）60°底角使它成为等边三角形。 课堂练习 练习1 如图，已知D为线段AB的中点，EA⊥AB，CB⊥AB，垂足分别为A、B，AE=AB=2BC。线段ED与AC交于F。那么下列结论中不正确的是（　）。 A. DE=AC B. ∠E+∠C=90° C. ∠CAB=30° D. ∠EAF=∠ADE 验证A、B 答：选C。A、B、D正确。 解 AD=BC，AE=AB，∠EAD=∠ABC=90°。 所以△EAD≌△ABC（SAS）。 对应可得DE=AC，∠E=∠CAB，∠ADE=∠ACB。 方法：先找全等，分别验证选项。 注意：本课用SAS；不要把两直角边的角色配错。 课堂练习 练习1 如图，已知D为线段AB的中点，EA⊥AB，CB⊥AB，垂足分别为A、B，AE=AB=2BC。线段ED与AC交于F。那么下列结论中不正确的是（　）。 A. DE=AC B. ∠E+∠C=90° C. ∠CAB=30° D. ∠EAF=∠ADE 分步讲解 1／2 答：选C。∠CAB不能为30°。 解 由△EAD≌△ABC，∠E=∠CAB，故∠E+∠C=90°。 ∠EAF=90°−∠CAB=∠ACB=∠ADE，D正确。 方法：验证其余选项后，对30°用已证结论反证。 注意：图形看起来接近30°不能作为度数依据。 课堂练习 练习1 如图，已知D为线段AB的中点，EA⊥AB，CB⊥AB，垂足分别为A、B，AE=AB=2BC。线段ED与AC交于F。那么下列结论中不正确的是（　）。 A. DE=AC B. ∠E+∠C=90° C. ∠CAB=30° D. ∠EAF=∠ADE 分步讲解 2／2 答：选C。∠CAB不能为30°。 解 若∠CAB=30°，则AC=2BC=AB。 这使△ABC的∠B=∠C；但∠B=90°，矛盾，所以C错误。 方法：验证其余选项后，对30°用已证结论反证。 注意：图形看起来接近30°不能作为度数依据。 课堂练习 练习2 如图，已知：在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，E、F分别是边AB、AC的中点，且DE=DF。求证：AB=AC。 答：AB=AC。 解 AD⊥BC，故△ADB和△ADC都是直角三角形。 E为AB中点，；F为AC中点，。 DE=DF，所以AB=2DE=2DF=AC。 方法：先分别使用斜边中线性质，再比较整条边。 注意：DE、DF分别属于两个直角三角形。 课堂练习 变式 变式3　中线长度比较变成边长比较 在△ABC中，AD⊥BC，垂足D在BC上；E、F分别为AB、AC的中点。已知DE=2.5，DF=3，求AB、AC，并比较它们的大小。 答：AB=5，AC=6，所以AB<AC。 解 △ADB、△ADC都是直角三角形。 AB=2DE=5，AC=2DF=6。 所以AB<AC。 方法：两条斜边都等于各自中线的2倍。 注意：只有斜边上的中线才能直接这样使用。 课堂练习 练习3 如图，已知：BD、CE分别是△ABC的高，D在AC上，E在AB上；M、N分别是BC、DE的中点。求证：MN⊥ED。 寻找等腰三角形 答：MN⊥ED。 解 连接ME、MD。CE⊥AB，BD⊥AC。 在Rt△BEC中，M为斜边BC中点，。 在Rt△BDC中，M为斜边BC中点，。 因此ME=MD。 方法：对共用斜边的两个直角三角形，连接斜边中点与直角顶点。 注意：不能未证明就把MN画成已知高。 课堂练习 练习3 如图，已知：BD、CE分别是△ABC的高，D在AC上，E在AB上；M、N分别是BC、DE的中点。求证：MN⊥ED。 完成垂直证明 答：MN⊥ED。 解 连接ME、MD，由斜边中线性质得ME=MD。 △MED是等腰三角形，底边为ED。 N是ED中点，所以MN是底边中线。 由等腰三角形三线合一，MN⊥ED。 方法：先证等腰，再用底边中线也是高。 注意：“N为中点”不能单独推出MN垂直ED。 环节归纳 课堂练习归纳 条件成组使用 （1）垂直条件找到直角三角形。 （2）中点条件找到斜边上的中线。 结论逐级转换 （1）中线等长转化为斜边等长。 （2）先证等腰，再由中点推出垂直。 课堂小结 直角三角形的性质 角的性质 两个锐角互余；已知一个锐角，用90°减去它求另一个锐角，角的关系常从直角入手。 直角判定 同一三角形的两个锐角互余，则第三角为90°；中线等于所对边一半时也可按例1证明。 斜边中线 直角三角形中，斜边中线等于斜边一半；连斜边中点与直角顶点，得到三段相等和两个等腰三角形。 特殊锐角 30°角所对的直角边等于斜边一半；证明时作斜边中线，利用60°构造等边三角形。 特别提醒：先确认直角、斜边与中点；不要把中线默认成高或角平分线。 针对训练 判断条件是否齐全 （1）直角三角形的两个锐角之和为90°。 对 三角形内角和减去一个90°。 （2）直角三角形的每条中线都等于斜边的一半。 错 性质只针对斜边上的中线。 （3）中线把三角形分成两个等腰三角形。 错 一般三角形的中线没有这一性质。 （4）30°角所对直角边等于斜边的一半。 对 前提已限定为直角三角形。 方法：逐项检查对象、条件与结论。 注意：“每条”“任意”等词常扩大定理适用范围。 针对训练 训练1　锐角计算四题 在Rt△ABC中，∠ACB=90°。分别根据下列独立条件求角。 （1） ∠A=28°，求∠B。 （2） ∠A=∠B，求∠A、∠B。 （3） ∠A=2∠B，求∠A、∠B。 （4） ∠A−∠B=18°，求∠A、∠B。 解第（1）题 ∠B=62°。 ∠B=90°−28°=62°。 解第（2）题 ∠A=∠B=45°。 两锐角和为90°，各为45°。 第（1）题：用90°减去已知锐角。 注意：单位为度。 第（2）题：相等且互余，平均分配。 注意：不是各为90°。 针对训练 训练1　锐角计算四题 在Rt△ABC中，∠ACB=90°。分别根据下列独立条件求角。 （1） ∠A=28°，求∠B。 （2） ∠A=∠B，求∠A、∠B。 （3） ∠A=2∠B，求∠A、∠B。 （4） ∠A−∠B=18°，求∠A、∠B。 解第（3）题 ∠A=60°，∠B=30°。 3∠B=90°，所以∠B=30°、∠A=60°。 解第（4）题 ∠A=54°，∠B=36°。 由和为90°、差为18°，得2∠A=108°。 ∠A=54°，∠B=36°。 第（3）题：按倍数关系列方程。 注意：较大的角仍是锐角。 第（4）题：和差关系联立。 注意：检查和为90°、差为18°。 针对训练 训练2　先判定，再计算 在△ABC中，∠A=3x，∠B=2x，且∠A+∠B=90°。三角形的类型与∠B的度数分别是（　）。 A. 直角三角形，36° B. 直角三角形，54° C. 等边三角形，60° D. 锐角三角形，36° 答：选A。∠A=54°，∠B=36°，∠C=90°。 解 5x=90°，得x=18°，∠A=54°、∠B=36°。 ∠C=180°−90°=90°。 方法：利用和为90°确定参数，再用内角和。 注意：x表示角度数，不是三角形的某条边。 方法总结 锐角关系方法总结 直接求角 （1）两个锐角互余，和固定为90°。 （2）倍数、差值条件转化成方程。 反向判定 （1）先求两个内角的和。 （2）和为90°，第三个角就是直角。 针对训练 训练3　中线与斜边的双向换算 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点。已知CD=4.5，求AD、BD、AB。 答：AD=BD=4.5，AB=9。 解 由斜边中线性质，CD=AD=BD。 所以AD=BD=4.5。 AB=AD+BD=9。 方法：先写三段相等，再求整条斜边。 注意：CD是中线，AB是它所对应的斜边。 针对训练 训练4　斜边中线与角度联动 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，∠A=32°。求∠ACD、∠BCD。 32° 答：∠ACD=32°，∠BCD=58°。 解 CD=AD，所以∠ACD=∠A=32°。 ∠BCD=90°−32°=58°。 也可由CD=BD，得∠BCD=∠B=58°。 方法：等长产生等角，再用直角拆角。 注意：中线CD没有把直角平均分成45°。 针对训练 训练5　何时斜边中线也是角平分线 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，且AC=BC。求证：CD平分∠ACB。 答：CD平分∠ACB，两个角均为45°。 解 AC=BC，故∠A=∠B=45°。 CD=AD=BD，所以∠ACD=∠A=45°。 ∠BCD=90°−45°=45°。 方法：增加等腰条件后，再证明角平分。 注意：一般直角三角形的斜边中线不是角平分线。 方法总结 中线问题方法总结 求长度 （1）由直角与中点得到三段相等。 （2）斜边长度等于中线长度的2倍。 求角与证明 （1）等长线段构成等腰三角形。 （2）再结合互余、内角和逐步推理。 针对训练 训练6　30°对边的长度 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，D为AB中点。若BC=6，求AB和CD。 30° 答：AB=12，CD=6。 解 30°角所对的直角边BC等于斜边AB的一半。 所以AB=2BC=12。 D为斜边中点，所以CD=AB÷2=6。 方法：同一个“半斜边”把BC与CD联系起来。 注意：不能据此认定AC也为6。 针对训练 训练7　由线段相等反推30° 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，且BC=CD。求∠A。 答：∠A=30°。 解 斜边中线性质得CD=BD。 又BC=CD，所以△BCD是等边三角形。 ∠B=60°，于是∠A=30°。 方法：先凑齐三边相等，再由60°得到30°。 注意：这里通过推理得到30°，不直接引用未证明的逆命题。 针对训练 训练8　组合条件求小三角形周长 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，D为AB中点，AC=6。求△ACD的周长。 30° 答：△ACD的周长为18。 解 AC为30°的对边，故AB=2AC=12。 AD=CD=AB÷2=6。 △ACD的周长=AC+AD+CD=6+6+6=18。 方法：分别找出所求三角形的三条边。 注意：30°在B，对边是AC，不能仍套用BC。 方法总结 特殊角方法总结 由角求边 （1）先指出30°角的对边。 （2）对边为半斜边，斜边为对边2倍。 由边求角 （1）中线先提供三段相等。 （2）凑成等边三角形，再用锐角互余。 针对训练 应用1　梯子顶端离地多高 一架长8米的梯子AB靠在竖直墙面上，A为顶端，B为地面端。墙面与水平地面交于C，∠ACB=90°。若梯子与地面的夹角∠ABC=30°，求梯子顶端A离地面的高度AC。 30° 8米 答：AC=4米。 解 △ABC为直角三角形，AB为斜边。 AC是30°角∠ABC的对边。 （米）。 方法：把高度识别为30°角所对的直角边。 注意：梯子长是斜边；结果应带单位。 针对训练 应用2　三角形支架的加固杆 一个直角三角形支架ABC中，∠ACB=90°，斜梁AB长10分米。现将支撑杆CD连接到斜梁的中点D。求支撑杆CD长；若需制作6根同样的支撑杆，共需多少分米材料（不计损耗）？ 10分米 答：每根5分米；共需30分米。 解 D为斜梁AB中点，CD是斜边中线。 （分米）。 6根共需5×6=30（分米）。 方法：从实际图中提取“直角+斜边中点”。 注意：支撑杆不必与斜梁垂直，不要误认为它是高。 方法总结 应用题方法总结 建立几何模型 （1）把墙面、地面、支架对应到边。 （2）标明直角、30°或中点条件。 检查实际答案 （1）先确认所求量对应哪一线段。 （2）写出单位，再核对数量与长度关系。 $