22.2(2)角平分线-角平分线-课件2026-2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册

该初中数学课件聚焦角平分线的性质、判定及三角形内心的证明，通过复习角平分线定义和性质，以“三角形三条角平分线相交于一点如何证明”为问题导入，搭建从两条角平分线交点到第三条角平分线的推理支架，衔接前后知识。 其亮点在于以问题探究驱动推理能力，例题中辅助线添加（如作垂线段）培养几何直观，与线段垂直平分线对比小结强化模型意识。例1通过性质与判定证内心，例3结合尺规作图，帮助学生发展逻辑推理，教师可利用结构化资源实施探究教学。

第22章 直角三角形 22.2 角平分线（2） 角平分线 年 级：八年级 学 科：数学（沪教版） 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 中文： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 复习引入 如何证明？ 角平分线 定义 从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫作角平分线. 角平分线上的点到这个角的两边所在直线的距离相等． 在角的内部，到角的两边所在直线距离相等的点，均在这个角的平分线上. 性质定理 定义 性质定理 过线段中点且垂直于这条线段的直线叫作这条直线的垂直平分线，简称中垂线. 线段的垂直平分线上的任意一点到该线段两个端点的距离相等. 与一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 线段的垂直平分线 三角形的三条边的垂直平分线相交于一点，这个交点叫作三角形的外心. 发现 三角形的三条角平分线相交于一点. 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 2 O 问题探究 三角形的两条角平分线一定相交于一点. 在△ABC中，AO、BO分别是∠BAC、∠ABC的平分线，且相交于点O. 点O在∠C的平分线上 怎么证明第三条角平分线也交于这一点O呢？ 如何证明？ 三角形的三条角平分线相交于一点. 3 例题讲解 如图，已知：在△ABC中，AO、BO分别是∠BAC、∠ABC的平分线，OD⊥BC，OE⊥AB，垂足分别为D、E. 求证：点O在∠C的平分线上. 分析 3.如何添加辅助线？ 1.要证明点O在∠C的平分线上，目前我们已有的方法有什么？ 2.如何表示点到直线的距离？ 过点作直线的垂线段， 用垂线段的长度表示距离 点到角的两边所在直线的距离相等 ？ 例 1 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 4 例 1 例题讲解 如图，已知：在△ABC中，AO、BO分别是∠BAC、∠ABC的平分线，OD⊥BC，OE⊥AB，垂足分别为D、E. 求证：点O在∠C的平分线上. 分析 F 过点O作OF⊥AC，垂足为F. OE⊥AB OF⊥AC AO是∠BAC的平分线 OE⊥AB OD⊥BC BO是∠ABC的平分线 OE=OF OE=OD OD=OF 点O在∠C的平分线上 OF⊥AC OD⊥BC 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 5 例题讲解 如图，已知：在△ABC中，AO、BO分别是∠BAC、∠ABC的平分线，OD⊥BC，OE⊥AB，垂足分别为D、E. 求证：点O在∠C的平分线上. F 例 1 分析 过点O作OF⊥AC，垂足为F. OE⊥AB OF⊥AC AO是∠BAC的平分线 OE⊥AB OD⊥BC BO是∠ABC的平分线 OE=OF OE=OD OD=OF 点O在∠C的平分线上 OF⊥AC OD⊥BC 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 6 证明 过点O作OF⊥AC，垂足为F. ∵AO是∠BAC的平分线， OE⊥AB，OF⊥AC， ∴OE=OF（角平分线的性质定理）. 同理，可得OE=OD. ∴OD=OF. 又∵OD⊥BC,OF⊥AC. ∴点O在∠C的平分线上（在角的内部，到角的两边所在直线距离相等的点，均在这个角的平分线上）. 角平分线的性质定理 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 7 定义 性质定理 过线段中点且垂直于这条线段的直线叫作这条直线的垂直平分线，简称中垂线. 线段的垂直平分线上的任意一点到该线段两个端点的距离相等. 与一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 线段的垂直平分线 三角形的三条边的垂直平分线相交于一点，这个交点叫作三角形的外心. 归纳小结 角平分线 定义 从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫作角平分线. 角平分线上的点到这个角的两边所在直线的距离相等． 在角的内部，到角的两边所在直线距离相等的点，均在这个角的平分线上. 性质定理 三角形的三个内角的平分线相交于一点，这个交点叫作三角形的内心. F O 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 8 例题讲解 如图，已知：在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，且BD=CD. 求证：∠B=∠C. 分析 要证明∠B=∠C，我们已有的方法有什么？ 例 2 证明△ABD和△ACD全等 在△ABD和△ACD中， 有∠BAD=∠CAD，BD=DC，AD=AD 边边角 不能直接推出! ∠BAD=∠CAD 证明AB=AC 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 9 例题讲解 如图，已知：在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，且BD=CD. 求证：∠B=∠C. 分析 要证明∠B=∠C，我们已有的方法有什么？ 例 2 ∠BAD=∠CAD 证明AB=AC 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 10 例题讲解 如图，已知：在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，且BD=CD. 求证：∠B=∠C. 分析 例 2 过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F. Rt△BDE≌Rt△CDF DE⊥AB DF⊥AC AD是∠BAC的平分线 BD=CD DE=DF ∠B=∠C F E 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 11 例题讲解 如图，已知：在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，且BD=CD. 求证：∠B=∠C. 例 2 F E 分析 过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F. Rt△BDE≌Rt△CDF DE⊥AB DF⊥AC AD是∠BAC的平分线 BD=CD DE=DF ∠B=∠C 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 12 证明 过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F. ∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF（角平分线的性质定理）. 在Rt△BDE和Rt△CDF中， DE = DF, BD = CD， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF （直角三角形全等的判定定理）. ∴∠B=∠C. 角平分线的性质定理 直角三角形全等的判定 ∵ 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 13 归纳小结 F O 角平分线 定义 从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫作角平分线. 角平分线上的点到这个角的两边所在直线的距离相等． 在角的内部，到角的两边所在直线距离相等的点，均在这个角的平分线上. 性质定理 三角形的三个内角的平分线相交于一点，这个交点叫作三角形的内心. 定义 性质定理 过线段中点且垂直于这条线段的直线叫作这条直线的垂直平分线，简称中垂线. 线段的垂直平分线上的任意一点到该线段两个端点的距离相等. 与一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 线段的垂直平分线 三角形的三条边的垂直平分线相交于一点，这个交点叫作三角形的外心. 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 14 A B M N P 添加辅助线的方法 线段相等 A O B C P E D 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 15 例题讲解 如图，已知∠AOB及其内部一点C.求作∠AOB内部一点P，使PC=PO，且点P到直线OA、OB的距离相等. 例 3 分析 M N D P P应是线段OC的垂直平分线与∠AOB的平分线的交点 点P在∠AOB内部且到直线OA、OB的距离相等 PC=PO 点P在∠AOB的平分线上 点P在线段OC的垂直平分线上 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 16 例题讲解 如图，已知∠AOB及其内部一点C.求作∠AOB内部一点P，使PC=PO，且点P到直线OA、OB的距离相等. 例 3 分析 P应是线段OC的垂直平分线与∠AOB的平分线的交点 点P在∠AOB内部且到直线OA、OB的距离相等 PC=PO 点P在∠AOB的平分线上 点P在线段OC的垂直平分线上 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 17 （1）连接OC，作线段OC的垂直平分线MN； P就是所求的点. 作法 （2）作∠AOB的平分线OD，OD与MN相交于点P； 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 18 课堂小结 角平分线 定义 从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫作角平分线. 性质定理 定义 性质定理 过线段中点且垂直于这条线段的直线叫作这条直线的垂直平分线，简称中垂线. 线段的垂直平分线上的任意一点到该线段两个端点的距离相等. 与一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 线段的垂直平分线 三角形的三条边的垂直平分线相交于一点，这个交点叫作三角形的外心. 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 19 角平分线上的点到这个角的两边所在直线的距离相等． 在角的内部，到角的两边所在直线距离相等的点，均在这个角的平分线上. 三角形的三个内角的平分线相交于一点，这个交点叫作三角形的内心. 添加辅助线的方法 线段相等 全等三角形 尺规作图 线段垂直平分线 角平分线 F O A O B C P E D 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 20 结束语 著名物理学家、数学家牛顿说过：“把复杂问题简化成简单问题，然后逐步解决它。” 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 21 Lavf59.27.100 com.apple.VoiceMemos (iPhone Version 18.6.1 (Build 22G90)) Lavf59.27.100 com.apple.VoiceMemos (iPhone Version 18.6.2 (Build 22G100)) com.apple.VoiceMemos (iPhone Version 18.5 (Build 22F76)) $