22.1 直角三角形（第2课时）2026-2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册

第22章 直角三角形 22.1 直角三角形 （第2课时）直角三角形全等的判定 年 级：八年级 学 科：数学（沪教版） 复习引入 学习目标 探究判定 通过作图与证明，理解直角三角形全等的特殊判定。 规范证明 明确直角、斜边、直角边和对应顶点，写清全等的依据。 解决问题 会用公共边、等腰三角形和线段和差寻找所需条件。 复习引入 已学的全等判定还能用 已有方法 SSS、SAS、ASA、AAS都可以用于直角三角形。 直角的作用 两个三角形都为直角三角形时，已获得一组相等的角。 思考 若只知道斜边及一条直角边对应相等，还能判定全等吗？ 复习引入 为何需要新的判定方法 一般三角形 两边和其中一边的对角对应相等，通常不能判定全等。 特殊条件 当这个对应相等的角是直角时，结果是否不同？ 探究方案 先作出给定一条直角边和斜边的直角三角形，再比较所有可能图形。 知识讲授 作图 已知线段b、c（c>b）。求作Rt△ABC，使∠ACB=90°，AB=c，AC=b。 b 作法第1步 答：先作线段AC=b。 解 选择线段AC，使其长度等于已知线段b。 端点C将作为直角顶点，A为斜边的一个端点。 方法：先落实已知直角边。 注意：c>b保证斜边长于这条直角边。 知识讲授 作图 已知线段b、c（c>b）。求作Rt△ABC，使∠ACB=90°，AB=c，AC=b。 b 作法第2步 答：过点C作直线MN⊥AC。 解 已作AC=b。 过点C作直线MN⊥AC。 所求点B应在直线MN上，才能使∠ACB=90°。 方法：用垂线满足直角条件。 注意：直线MN必须经过C，不能只与AC方向垂直。 知识讲授 作图 已知线段b、c（c>b）。求作Rt△ABC，使∠ACB=90°，AB=c，AC=b。 b c 作法第3、4步 答：以A为圆心、c为半径作弧交MN于B，连接AB，△ABC即为所求。 解 以点A为圆心、c的长为半径作弧，与MN交于B。 连接AB，得到AB=c、AC=b。 MN⊥AC，所以∠ACB=90°，全部条件满足。 方法：用圆弧把斜边长度固定为c。 注意：圆心是A，半径是c，不能颠倒。 知识讲授 思考　两个交点得到的三角形一样吗 已知AC⊥BB′，C在BB′上，AB=AB′=c，AC=b。圆弧与垂线相交于B、B′。证明：△ABC≌△AB′C。 答：△ABC≌△AB′C。 解 AB=AB′，所以△ABB′是等腰三角形，∠ABC=∠AB′C。 ∠ACB=∠ACB′=90°，AB=AB′。 所以△ABC≌△AB′C（AAS）。 方法：先用等腰三角形得到对应锐角相等。 注意：探索阶段使用已学AAS，避免用待证的新判定。 知识讲授 直角三角形全等的判定 如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等。 前提：两个三角形都是直角三角形。 条件：斜边相等，一条直角边对应相等。 这一判定常记为HL（斜边、直角边）。 知识讲授 使用HL前要完成三项核对 认直角 ∠C=∠C′=90°，先确认两个直角三角形。 认斜边 AB、A′B′分别在直角的对面，要求AB=A′B′。 认对应 再有AC=A′C′，就按A↔A′、B↔B′、C↔C′写全等。 知识讲授 定理证明　添加一个便于比较的三角形 已知：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AC=A′C′，AB=A′B′。求证：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′。 构造并应用SAS 答：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′。 解 延长BC到D，使CD=C′B′，连接AD。 ∠ACD=∠A′C′B′=90°。 AC=A′C′、CD=C′B′，所以△ACD≌△A′C′B′（SAS）。 方法：用已有SAS把另一个三角形移到同一图中比较。 注意：D在BC的延长线上，C位于B、D之间。 知识讲授 定理证明　等腰三角形补出另一条直角边 已知：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AC=A′C′，AB=A′B′。求证：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′。 补出等边条件 答：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′。 解 作CD=C′B′并连接AD，由SAS得AD=A′B′。 又AB=A′B′，所以AB=AD，△ABD为等腰三角形。 AC⊥BD，AC是顶角所对底边BD上的高。 由三线合一得CB=CD。 方法：把等斜边转化为等腰三角形，再用高也是中线。 注意：这一步还没有使用HL。 知识讲授 定理证明　由已学判定完成证明 已知：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AC=A′C′，AB=A′B′。求证：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′。 完成证明 答：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′。 解 由前面构造得CB=CD，且AC为公共边。 ∠ACB=∠ACD=90°，故△ABC≌△ADC（SAS）。 已证△ADC≌△A′B′C′，由全等的传递性得△ABC≌△A′B′C′。 方法：用SAS连接两次全等，建立新判定的可靠依据。 注意：全等顶点顺序必须保持对应。 环节归纳 知识讲授归纳 何时选HL （1）先确认两个直角三角形。 （2）再找对应斜边和一条对应直角边。 怎样写规范 （1）先写直角三角形及对应名称。 （2）列出两组边相等，注明HL。 例题讲解 例 3 如图，已知：在△ABC中，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，BD=CE。求证：△ABC是等腰三角形。 先证两个直角三角形全等 答：AB=AC，所以△ABC是等腰三角形。 解 CE⊥AB，BD⊥AC，故△EBC、△DCB为直角三角形。 CE=BD，BC=CB。 所以Rt△EBC≌Rt△DCB（HL）。 方法：把两条高放进共用斜边BC的两个直角三角形。 注意：BC是这两个小三角形的斜边，不能把AB当作斜边。 例题讲解 例 3 如图，已知：在△ABC中，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，BD=CE。求证：△ABC是等腰三角形。 完成等腰证明 答：AB=AC，所以△ABC是等腰三角形。 解 由CE=BD、BC=CB，得Rt△EBC≌Rt△DCB（HL）。 对应角相等，∠EBC=∠DCB。 E在AB上，D在AC上，所以∠ABC=∠ACB。 由等角对等边得AB=AC。 方法：先用全等得到底角相等，再回到大三角形。 注意：全等的是小三角形；AB=AC需继续说明。 例题讲解 变式 变式1　从同一次全等得到其他结论 在△ABC中，BD⊥AC、CE⊥AB，垂足分别为D、E，且BD=CE。若BE=3.2，求CD；并说明AE与AD的大小关系。 答：CD=3.2，AE=AD。 解 Rt△EBC≌Rt△DCB（HL），所以BE=CD=3.2。 由对应底角相等，得AB=AC。 AE=AB−BE，AD=AC−CD，所以AE=AD。 方法：全等先得对应边，再利用整边减去相等部分。 注意：BE对应CD，不能误配为BD。 例题讲解 例 4 证明：有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等。如图，已知：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠ACB=∠A′C′B′=90°，AC=A′C′，CD⊥AB，C′D′⊥A′B′，垂足分别为D、D′，CD=C′D′。求证：△ABC≌△A′B′C′。 分步讲解 1／2 答：△ABC≌△A′B′C′。 解 CD⊥AB，C′D′⊥A′B′，故△ACD、△A′C′D′为直角三角形。 在这两个小三角形中，斜边AC=A′C′，直角边CD=C′D′。 方法：同一条AC在大三角形中是直角边，在小三角形中是斜边。 注意：CD是大三角形的高，不能直接充当大三角形的边使用HL。 例题讲解 例 4 证明：有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等。如图，已知：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠ACB=∠A′C′B′=90°，AC=A′C′，CD⊥AB，C′D′⊥A′B′，垂足分别为D、D′，CD=C′D′。求证：△ABC≌△A′B′C′。 分步讲解 2／2 答：△ABC≌△A′B′C′。 解 所以Rt△ACD≌Rt△A′C′D′（HL），∠A=∠A′。 方法：同一条AC在大三角形中是直角边，在小三角形中是斜边。 注意：CD是大三角形的高，不能直接充当大三角形的边使用HL。 例题讲解 例 4 证明：有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等。如图，已知：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠ACB=∠A′C′B′=90°，AC=A′C′，CD⊥AB，C′D′⊥A′B′，垂足分别为D、D′，CD=C′D′。求证：△ABC≌△A′B′C′。 分步讲解 1／2 答：△ABC≌△A′B′C′。 解 先证Rt△ACD≌Rt△A′C′D′（HL），得∠A=∠A′。 在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，AC=A′C′。 方法：先小后大，用小三角形提供缺少的锐角。 注意：最后一步是ASA，不能笼统地都写成HL。 例题讲解 例 4 证明：有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等。如图，已知：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠ACB=∠A′C′B′=90°，AC=A′C′，CD⊥AB，C′D′⊥A′B′，垂足分别为D、D′，CD=C′D′。求证：△ABC≌△A′B′C′。 分步讲解 2／2 答：△ABC≌△A′B′C′。 解 又∠ACB=∠A′C′B′=90°。 所以△ABC≌△A′B′C′（ASA）。 方法：先小后大，用小三角形提供缺少的锐角。 注意：最后一步是ASA，不能笼统地都写成HL。 例题讲解 变式 变式2　换一条对应直角边，思路仍成立 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，CD、C′D′分别是斜边AB、A′B′上的高。已知BC=B′C′，CD=C′D′。求证：△ABC≌△A′B′C′。 分步讲解 1／2 答：△ABC≌△A′B′C′。 解 在Rt△BCD、Rt△B′C′D′中，BC=B′C′、CD=C′D′。 所以两小三角形全等（HL），得∠B=∠B′。 方法：把已有直角边选作小三角形的斜边。 注意：根据已知边选择左侧或右侧的小三角形。 例题讲解 变式 变式2　换一条对应直角边，思路仍成立 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，CD、C′D′分别是斜边AB、A′B′上的高。已知BC=B′C′，CD=C′D′。求证：△ABC≌△A′B′C′。 分步讲解 2／2 答：△ABC≌△A′B′C′。 解 由∠B=∠B′、BC=B′C′、∠C=∠C′，得两大三角形全等（ASA）。 方法：把已有直角边选作小三角形的斜边。 注意：根据已知边选择左侧或右侧的小三角形。 环节归纳 例题讲解归纳 共用斜边 （1）两条高形成两个直角三角形。 （2）公共边常是共同的斜边。 先小后大 （1）在小三角形中用HL。 （2）取得锐角相等后，再用ASA。 课堂练习 练习1 如图，已知：EC⊥AB，FD⊥AB，垂足分别为C、D，点A、C、D、B依次在同一直线上，AF=BE，FD=EC。求证：AC=BD。 先证AD=BC 答：AC=BD。 解 EC⊥AB，FD⊥AB，所以∠ECB=∠FDA=90°。 AF=BE，FD=EC。 因此Rt△ADF≌Rt△BCE（HL），得到AD=BC。 方法：将交叉图拆成△ADF与△BCE两幅直角三角形。 注意：斜边AF对应BE；直角边DF对应CE。 课堂练习 练习1 如图，已知：EC⊥AB，FD⊥AB，垂足分别为C、D，点A、C、D、B依次在同一直线上，AF=BE，FD=EC。求证：AC=BD。 完成证明 答：AC=BD。 解 由AF=BE、FD=EC，得Rt△ADF≌Rt△BCE（HL）。 对应边AD=BC。 AC=AD−CD，BD=BC−CD。 等量减去同一线段CD，所以AC=BD。 方法：全等得到整段相等，再减去公共部分。 注意：由点的顺序确认是相减，不能写成相加。 课堂练习 变式 变式3　全等之后计算线段 点A、C、D、B依次共线，EC⊥AB、FD⊥AB，AF=BE、FD=EC。已知AB=16，CD=4，求AC和BD。 答：AC=BD=6。 解 Rt△ADF≌Rt△BCE（HL），所以AD=BC。 减去CD可得AC=BD。 AB=AC+CD+BD，所以2AC+4=16，AC=BD=6。 方法：证明两端相等后，把整段分成三部分列式。 注意：AB包含CD一次，不能重复计算中间部分。 课堂练习 练习2 如图，已知：AB⊥BC，AE⊥ED，垂足分别为B、E，AB=AE，∠1=∠2（∠1为∠ACD，∠2为∠CDA）。求证：BC=ED。 1 2 补足HL的斜边条件 答：BC=ED。 解 ∠ACD=∠CDA。 在△ACD中，等角对等边，所以AD=AC。 AC、AD分别是Rt△ABC、Rt△AED的斜边。 方法：先在中间三角形中把等角转成等边。 注意：题中AB=AE是一组直角边，仍需补齐斜边相等。 课堂练习 练习2 如图，已知：AB⊥BC，AE⊥ED，垂足分别为B、E，AB=AE，∠1=∠2（∠1为∠ACD，∠2为∠CDA）。求证：BC=ED。 1 2 完成证明 答：BC=ED。 解 ∠ACD=∠CDA，所以AC=AD。 ∠ABC=∠AED=90°，且AB=AE。 故Rt△ABC≌Rt△AED（HL）。 对应边相等，BC=ED。 方法：直角、斜边、直角边三项齐全后使用HL。 注意：对应顺序是A↔A、B↔E、C↔D。 环节归纳 课堂练习归纳 全等前补条件 （1）从公共边寻找相等的斜边。 （2）从等角对等边补出斜边相等。 全等后达目标 （1）直接取对应边或对应角相等。 （2）目标为小线段时再进行和差运算。 课堂小结 直角三角形全等的判定 判定条件 两个三角形都是直角三角形，且斜边与一条直角边对应相等，才能用HL判定全等。 识图对应 先找直角对面的斜边，再配对直角边；依据相等边确定对应顶点，规范书写全等顺序。 寻找条件 公共边可作相等斜边或直角边；也可先由等腰三角形、等角对等边补出缺少的等边条件。 证明目标 先证小三角形全等取得角相等，再证大三角形；或由对应边相等结合线段和差达到目标。 特别提醒：高不一定是所选三角形的边；一般三角形不能直接使用HL。 针对训练 HL使用条件辨析 （1）两个直角三角形斜边相等，就一定全等。 错 还缺少一条对应直角边相等。 （2）两条直角边对应相等，可用SAS判定全等。 对 两条直角边的夹角都是90°。 （3）HL可用于任何两个三角形。 错 必须先确认都是直角三角形。 （4）公共边可以作为HL中的相等边条件。 对 但须确认它在两三角形中的角色。 方法：先核对直角前提，再核对边的角色。 注意：只有字母相同还不够，必须辨清是斜边还是直角边。 针对训练 训练1　选择能直接使用HL的条件 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AC=A′C′。再添加下列哪一条件，可以直接用HL判定全等？ A. AB=A′B′ B. BC=B′C′ C. ∠A=∠A′ D. ∠C=∠C′ 答：选A。 解 已有直角边AC=A′C′，还缺对应斜边相等。 添加AB=A′B′，可直接用HL。 方法：根据缺少的“斜边相等”选择条件。 注意：B、C也能导出全等，但不是直接使用HL。 针对训练 训练2　对应关系确定后再求数值 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′。若BC=7、∠A=37°，求B′C′和∠B′。 37° 答：B′C′=7，∠B′=53°。 解 两直角三角形由HL全等。 对应边B′C′=BC=7，对应角∠A′=∠A=37°。 ∠B′=90°−37°=53°。 方法：先判定全等，再取对应量，最后用互余。 注意：不能把∠B′误配成∠A。 方法总结 基础判定方法总结 补条件 （1）已知一直角边，寻找等斜边。 （2）已知斜边，寻找一组对应直角边。 取对应量 （1）先写清全等的顶点顺序。 （2）对齐边与角后再计算数值。 针对训练 训练3　共用斜边的两个直角三角形 四边形ABDC中，△ABC与△DBC位于BC两侧，∠BAC=∠BDC=90°，AB=BD。求证：AC=DC。 答：AC=DC。 解 △ABC和△DBC都是直角三角形，公共斜边为BC。 AB=BD，BC=BC。 所以Rt△ABC≌Rt△DBC（HL），AC=DC。 方法：先把公共边识别为两三角形的斜边。 注意：直角分别在A、D，别因字母顺序误认。 针对训练 训练4　共用直角边时找斜边 点C、A、D依次共线，AB⊥CD，且BC=BD。求证：AC=AD。 答：AC=AD。 解 ∠BAC=∠BAD=90°，△BAC与△BAD为直角三角形。 BC=BD，AB=AB。 所以Rt△BAC≌Rt△BAD（HL），AC=AD。 方法：公共边AB是直角边，另找两条斜边BC、BD。 注意：不要把公共边一律当成斜边。 针对训练 训练5　从全等推出剩余线段相等 在△ABC中，D在AC上，E在AB上，BD⊥AC，CE⊥AB，且BD=CE。求证：AE=AD。 答：AE=AD。 解 Rt△EBC≌Rt△DCB（HL），所以BE=CD。 对应底角相等，故AB=AC。 AE=AB−BE，AD=AC−CD，所以AE=AD。 方法：一组全等提供边和角两类信息，再做差。 注意：直接由小三角形全等不能立即写AE=AD。 方法总结 公共边图形方法总结 识别公共边角色 （1）直角对面的公共边是共同斜边。 （2）经过直角顶点的公共边常为直角边。 组织证明链 （1）全等后取需要的边或角。 （2）长边相等减去相等短边得到目标。 针对训练 训练6　用HL确认垂足是中点 已知PA=PB，点O在线段AB上，PO⊥AB。请用HL证明：AO=BO。 答：AO=BO，O是AB中点。 解 △POA、△POB都是直角三角形。 斜边PA=PB，公共直角边PO=PO。 所以Rt△POA≌Rt△POB（HL），AO=BO。 方法：把“等腰三角形的高”拆成两个直角三角形。 注意：PA、PB是斜边，PO是直角边。 针对训练 训练7　直接HL不适用时分两层 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°。CD、C′D′分别垂直斜边AB、A′B′，且AC=A′C′、CD=C′D′。有人直接写“两大三角形由HL全等”。他的结论和理由是否都正确？ 答：结论正确，直接使用HL的理由不正确。 解 CD、C′D′是大三角形内部的高，不是大三角形的直角边。 先由HL证明Rt△ACD≌Rt△A′C′D′，得到∠A=∠A′。 再由ASA证明△ABC≌△A′B′C′。 方法：区分结论真假与证明是否充分。 注意：一条线段的角色随所选三角形变化。 针对训练 辨析 训练8　一个条件不足以确定全等 两个直角三角形只有一条直角边对应相等，能否判定它们全等？请给出一个反例。 2 3 2 4 答：不能。可取直角边分别为2、3与2、4的两个直角三角形。 解 两个三角形各有一条直角边长2，满足给定条件。 但另一直角边分别为3与4，不相等。 若全等，对应直角边应相等，产生矛盾。 方法：通过改变未被限制的直角边构造反例。 注意：仅有两个直角和一组边相等仍不够。 方法总结 综合证明方法总结 判断依据是否成立 （1）先说明所选的是哪两个三角形。 （2）只使用这两个三角形自己的边和角。 检验条件是否充分 （1）尝试改变尚未被限制的边。 （2）能得到不同图形时，条件就不充分。 针对训练 把实际条件整理成证明任务 长度相等 同规格支杆、等长拉索，可转写成一组线段相等。 垂直条件 竖直立柱与水平基线，形成可使用HL的直角三角形。 结论解释 几何证明得到对应线段相等后，要说明它对实际定位或测量意味着什么。 针对训练 应用1　等长拉索确定居中位置 一根竖直立柱PO固定在水平地面上，O位于地面锚点A、B之间，PO⊥AB。两根拉索PA、PB长度相等。证明立柱底端O到A、B的距离相等；若AB=12米，求AO。 答：AO=BO，AO=6米。 解 Rt△POA和Rt△POB中，PA=PB，PO=PO。 由HL得两三角形全等，所以AO=BO。 AB=AO+BO=12，故AO=6（米）。 方法：把等长拉索识别为斜边，立柱识别为公共直角边。 注意：“居中”需要证明AO=BO，不能仅凭图形对称。 针对训练 应用2　等长视线下的场地测量 水平基线上四点A、C、D、B依次排列，测量杆CE、DF均垂直基线且长度相等。测得视线段AF与BE等长。已知AB=18米，CD=4米，求两端间距AC与BD。 答：AC=BD=7米。 解 Rt△ADF与Rt△BCE中，AF=BE，DF=CE，由HL得全等。 所以AD=BC，减去CD得AC=BD。 AB=AC+CD+BD，故2AC+4=18，AC=BD=7（米）。 方法：用HL先证两端相等，再按整段关系求长度。 注意：视线段是斜边；中间CD只能计入一次。 方法总结 应用题方法总结 把场景转成条件 （1）竖直与水平转化为直角。 （2）同长杆件或视线转化为等边条件。 把结论转回场景 （1）HL先证明对应间距相等。 （2）结合总长列式，带单位回答实际问题。 $