22.1 直角三角形（讲义，3知识1拓展5题型+分层课时巩固）数学新教材沪教版五四制八年级上册

本讲义聚焦直角三角形核心知识，系统梳理概念、性质（两锐角互余、斜边中线等于斜边一半、30°角性质）及判定（两锐角互余、HL全等），通过拓展（与等腰三角形联系）和题型（求角度、线段、全等证明）构建递进式学习支架。 资料以分层设计为亮点，随学随练巩固基础，综合题型培养推理能力（数学思维），如斜边中线证明用辅助线构造，HL定理对比一般全等判定提升抽象能力（数学眼光）。课中辅助教师引导，课后分层练习助学生查漏补缺，强化应用意识（数学语言）。

第22章 直角三角形 22.1 直角三角形 课标要点 1.理解直角三角形的概念：有一个角是直角的三角形叫作直角三角形，会用符号“Rt△”表示直角三角形，能正确识别斜边与直角边。 2.探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 3.掌握有两个角互余的三角形是直角三角形，即直角三角形的一个判定定理。 4.探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”（HL）定理。 5.直角三角形的性质：在直角三角形中，30° 角所对的直角边等于斜边的一半。 学习重难点 学习重点 1.直角三角形的性质定理：两锐角互余；斜边上的中线等于斜边的一半。 2.含 30° 角的直角三角形的性质及其应用。 3.直角三角形全等的判定定理“HL”及其应用。 学习难点 1.斜边中线性质定理的证明，体会构造辅助线与反证法的证明思想。 2.正确区分性质与判定，综合运用直角三角形知识进行几何证明与计算。 3.“HL”定理与一般三角形全等判定（SSS、SAS、ASA、AAS）的区别与联系，以及在动点、开放性问题中的分类讨论。 知识点直角三角形的概念 1.定义：有一个角是直角的三角形叫作直角三角形。 2.表示：直角三角形用符号“Rt△”表示。如图，∠C＝90° 的 △ABC 可记作 Rt△ABC，其中 ∠C 为直角。 3.边的名称：直角所对的边叫作斜边，其余两边叫作直角边。在 Rt△ABC 中，AB 是斜边（也是三边中最长的边），AC、BC 是直角边。 4.判定（定义法）：有一个角是直角的三角形是直角三角形。若 ∠C＝90°，则 △ABC 是直角三角形。 随学随练 1.在下列条件中不能确定是直角三角形的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A：∵ ，且 ， ∴， ∴，能确定直角三角形； 选项B：设，则， ∴， ∴，能确定直角三角形； 选项C：∵ ， ∴， 又， ∴ ，能确定直角三角形； 选项D：设，则，， ∴， ∴，，不能确定直角三角形； 故选：D． 知识点 直角三角形的性质 1.性质定理 1：直角三角形的两个锐角互余。 即：在 Rt△ABC 中，若 ∠C＝90°，则 ∠A＋∠B＝90°。证明：由三角形内角和定理，∠A＋∠B＋∠C＝180°；又 ∠C＝90°，所以 ∠A＋∠B＝90°。 2.判定定理（性质定理 1 的逆定理）：两个锐角互余的三角形是直角三角形。 即：在 △ABC 中，若 ∠A＋∠B＝90°，则 ∠C＝180°－（∠A＋∠B）＝90°，所以 △ABC 是直角三角形。 3.性质定理 2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 4.性质定理 3（30° 角性质）：在直角三角形中，30° 角所对的直角边等于斜边的一半。 5.直角三角形中的边角关系：斜边大于任意一条直角边，即斜边是三边中最长的边；较大的锐角所对的直角边较长。 随学随练 2．（25-26八年级上·上海·阶段检测）如图，CD、CE分别是斜边上的高和中线，则图中与相等的角是________ 【答案】， 【详解】在中，是斜边上的中线， 得． ， 是等腰三角形， ． 是斜边上的高， ， 在中，． 又在中，， ． ． 知识点直角三角形全等的判定（HL） 1.判定定理（HL）：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简记为“HL”（斜边、直角边）。 2.几何语言：如图 4，在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C＝∠C′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A′C′，则 Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（HL）。 3.判定直角三角形全等的方法共五种：SSS、SAS、ASA、AAS（一般三角形均适用）与 HL（直角三角形特有）。 4.应用：两个直角三角形全等后，对应边相等、对应角相等，可用于证明线段相等或角相等。 随学随练 3.如图，已知，求证：． 【详解】解：在和中， ， ∴． 拓展 直角三角形与等腰三角形、等边三角形 斜边上的中线把直角三角形分成两个等腰三角形（△ACD 与 △BCD 均为等腰三角形）；当直角三角形含有 30° 锐角时，其中一个三角形成为等边三角形。等腰三角形的“等边对等角”“三线合一”与直角三角形的性质经常联合使用，是几何证明中常见的“基本图形”。 活学活用 4．（25-26八年级上·上海金山·阶段检测）如图，已知，，E是上的一点，，，请判断的形状，并证明． 【详解】为等腰直角三角形； 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形． 5．（25-26八年级下·上海闵行·期中）如图，平行四边形中，，点是边上一点，连接，作垂直平分，分别交边于点． (1)如图1：若，当点恰好是边中点时，求的长； (2)若，当时，求的长． 【详解】（1）解：如图，连接， ，点恰好是边中点， ， 垂直平分， ， ， 是等边三角形， ， （2）解：如图，连接， ，， ， ， ， 垂直平分， ， ， 是等边三角形， ， ． 题型 利用两锐角互余求角度 ▌例1 （25-26八年级上·上海奉贤·期末）在中，，，垂足为，，那么的大小是___________． 【答案】 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵，垂足为， ∴， ∴， 故答案为：． 解题贴士 直角三角形中求角，优先利用“两锐角互余”；出现斜边上的高时，“同角（等角）的余角相等”是转化角度的常用工具。 ▌对点练1-1 （25-26八年级上·上海·阶段检测）中，，，则_____°． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴. 故答案为：. ▌对点练1-2 （25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）在中，，，则的度数为________． 【答案】 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． ▌对点练1-3 （25-26八年级上·上海·阶段检测）如图，中于D，于E，则与的关系是________ 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 题型 利用斜边中线性质求线段 ▌例2-1 （25-26八年级上·上海浦东新·期末）在中，，，点是斜边上的中点，则为（ ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【详解】解：，，点为斜边上的中点， 是斜边的中线， ， 故选：A． ▌例2-2 （25-26八年级上·上海虹口·期末）一个直角三角形斜边上的中线长度为5，则斜边的长度为_____． 【答案】10 【详解】解：∵直角三角形斜边上的中线长度为5， ∴斜边的长度为． 故答案为：10． ▌例2-3 （25-26八年级上·上海·期末）如图在中，，是边上的中线，且，则的长为___________． 【答案】8 【详解】解：在中，，是边上的中线， ． ， ， ， 故答案为：8． 故答案为：6． 解题贴士 见到“直角三角形＋斜边中点”，优先联想斜边中线性质，把“中点”转化为“等于斜边一半”的线段；多个直角三角形共斜边时，各斜边上的中线相等。 ▌对点练2-1 （25-26八年级上·上海普陀·阶段检测）在等腰直角三角形中，如果斜边和斜边上的高的和是，那么斜边的长是___________． 【答案】6 【详解】解：设斜边长为，则斜边上的高为， 根据题意可得， ， 解得． 故斜边的长是． ▌对点练2-2 （25-26八年级上·上海·阶段检测）直角三角形斜边上的中线与斜边的总和为3，则斜边长是_____． 【答案】2 【详解】解：设斜边长为，则斜边上中线长为， 由题意， 即， 解得． 故答案为：2 ▌对点练2-3 （25-26八年级上·上海·阶段检测）小红将一个直角三角板放在一个直尺上，如图所示，点A、B所对应的数字分别为1和9，D为上一点，它对应的数字为5，则的长为______． 【答案】4 【详解】解：由题意，，， ∴， ∴点为的中点， ∴； 故答案为：4． ▌对点练2-4 （25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，D是边上的一点，，E，F分别是的中点．若，则的长为__ ． 【答案】5 【详解】解：如图，连接， ∵，是的中点， ∴， 即是直角三角形， ∵是的中点， ∴， 故答案为：5． 题型 利用 30° 角性质求线段 ▌例3-1 如图，在中，，．若，则的长为（   ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】B 【详解】解：∵，，， ∴． 故选B． ▌例3-2 （25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）已知的面积为，那么___________ 【答案】3 【详解】解：如图，设为底，底边，面积，则高， 过点作于点H，则， 在中，， ， ∵四边形是平行四边形， ． 故答案为：3． ▌例3-3 （25-26八年级上·上海·期末）如图，已知在中，，是的中垂线，，，则___________． 【答案】6 【详解】解：如图，连接， 是的中垂线，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：6． 解题贴士 含 30° 角的直角三角形中，斜边等于 30° 角所对直角边的 2 倍；若 30° 角出现在一般三角形中，常通过作垂线构造含 30° 角的直角三角形后再求解。 ▌对点练3-1 （25-26八年级上·上海浦东新·期末）如图，已知在中，，是的中垂线，，，则______ ． 【答案】 【详解】解：在中，，， ， 是的中垂线， ， ， ， ， 故答案为：． ▌对点练3-2 （2025八年级上·上海青浦·专题练习）在中，，是边上的高，．若，那么______． 【答案】15 【详解】解：如图， ，是边上的高， ，， ， ， 在中，， ， ， 所以的长为15， 故答案为：15． ▌对点练3-3 如图，在中，，，，点是边上一动点．连接，将沿折叠，得到，其中点落在处，交于点，当为直角三角形时，的长度是_______________． 【答案】或 【详解】解：，，，， ， 由折叠知，，， 当时，， ， 是等边三角形， ， ； 当时，， 在中， ， ， ； 综上所述，的长度为或． 故答案为：或． 题型 利用 HL 判定直角三角形全等 ▌例4-1 （25-26八年级上·上海·期末）如图，在和中，已知，且．如果只能运用“直角三角形全等的判定定理”判定，那么需要补充的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意知，， 根据直角三角形全等的判定定理“”，应添加斜边对应相等，即， 故选B． ▌例4-2 如图，在中，是的中点，，，垂足分别是、，且. 求证：． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴． ▌例4-3 如图，在中，，，F为延长线上一点，点E在上，且 (1)求证：； (2)若，求的度数． 【详解】(1)证明：∵， ∴， ∴和是直角三角形． ∵，， ∴； （2）解：，， ， ， ， ∵， ， ． 解题贴士 证明两个直角三角形全等，优先考虑“HL”，其次才是 SAS、ASA、AAS、SSS；注意挖掘公共边（如公共斜边 AB）；书写时先写明直角条件，再列出斜边和一条直角边分别相等。 ▌对点练4-1 如图，在和中，点B、D、C、E在同一条直线上，点C和点E重合．，，若添加一个条件后可用“”定理证明，添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意知，添加的条件为， ∵，， ∴， 故选：D． ▌对点练4-2 已知：如图，在中，是边上的高，是上一点，连接，点分别是的中点，且．求证：．    【答案】 证明：是边上的高，点、分别是、的中点， ，， ， ， ，是边上的高， ， ， ， 在和中， ， ． ▌对点练4-3 如图，为的平分线，且于D，于F，连接交AE于点O． (1)若，，求的度数； (2)试判断与的关系？并证明你的结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴中． ∵为的平分线， ∴平分． ∴， ∵于D， ∴， ∴在中 ∴， (2)解：垂直平分．理由如下： ∵为的平分线， ∴平分．． 又∵于D，于F， ∴． ∴， ∴在与中 ∴． ∴． 又∵AE平分∠BAC．． ∴根据等腰三角形三线合一的性质得 垂直平分． ▌对点练4-4 在中，，于点，的平分线于点，交于点，是的中点，连接交于点． (1)求证：； (2)连接，若，求的长． 【详解】(1)证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ，， 又， ． ，， ∴． （2）解：连接， ∵，H为中点， ∴为的垂直平分线， ， ∴， ∵平分， ∴ ， ， ， ， ， ． 题型 性质与判定的综合应用 ▌例5-1 （24-25八年级上·上海闵行·阶段检测）如图，在中，于点D，E为上一点，且，．    (1)求证：； (2)若，试求△的面积． 【详解】(1)证明： 在和中 （2）解：∵ ∴， ∵，，， ∴，， ∴． ▌例5-2 （25-26八年级上·上海·期末）如图，在中，，，垂足为点，是上一点，且．连接，点、分别是、的中点， (1)求证：； (2)连接，若，求证：． 【详解】（1）证明： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵分别是的中点， ∴， ∵ ， ∴； （2）证明：∵，是中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ▌例5-3 （25-26八年级上·上海·期末）如图，已知，，射线在的内部，过点A、B分别作、，垂足为点M、N，且． (1)求证：； (2)取中点，连接、，依题意补全图形；猜想线段和之间的关系，并证明． 【详解】(1)证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即； (2)补全图形，如图，结论：，． 证明：如图，连接， ∵，，是中点， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，． ， ， ． 解题贴士 综合题常用“倒推法”分析——从要证的结论出发，倒推需要满足的条件，再与已知条件对接；解题中注意识别“双直角三角形共斜边”“直角三角形斜边中点”“斜边上的高”等基本图形，灵活调用直角三角形性质与判定、等腰三角形性质、全等三角形知识。 ▌对点练5-1 （24-25八年级上·上海·阶段检测）已知，如图，，，点E、F分别为垂足，，． (1)证明：； (2)延长相交于点 D，联结．证明：垂直平分线． 【详解】(1)证明：∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴； (2)证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴垂直平分线． ▌对点练5-2 （24-25八年级上·上海奉贤·期末）如图，在中，为边上的高，且，在上截取一点使，延长交于点，为边上的中点，连接．    (1)求证：； (2)若，求证：． 【详解】(1)证明：为边上的高， ，都是直角三角形， 在和中， ， ， ； (2)证明：，， ， ， 即是直角三角形， 为边上的中点， ， ， ， ， ， ． ▌对点练5-3 （25-26八年级上·上海·阶段检测）如图，已知：在中，，点是边的中点，将沿直线翻折，点的对应点为点，连接、． (1)求证：是直角三角形； (2)延长、交于点，当时，求的度数． 【详解】(1)证明：∵在中，，点是边的中点， ∴， ∵沿直线翻折得， ∴， ∴， ∴，， 在中， ∴， 即， ∴， 即， ∴是直角三角形． （2）如图延长、交于点， 在和中， ， ∴， ∴， ∵沿直线翻折得， ∴， ∴， ∴， ∴． 基础通关 1.为了测量无法直接测量的池塘两端，的距离，小王同学设计了一个测量，距离的方案．如图，先确定直线，过点作直线，在直线上找可以直接到达点的一点，连接，作，交直线于点，最后测量的长即得．根据的原理是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意，可知：，， 又∵， ∴； ∴； 故选A． 2．（25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）在直角三角形中，斜边及其中线之和等于，那么斜边长是（    ）． A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【详解】解：设斜边的长为，则斜边上的中线长度为， ∵斜边及其中线之和等于， ∴， ∴， 即斜边长是. 故选：D． 3．（25-26八年级上·上海奉贤·期末）在中，，是斜边上的中线，那么下列结论正确的有（   ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：如图所示，∵在中，，是斜边上的中线， ∴，即，故③正确； ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴，故①正确； 根据现有条件无法证明，故④错误； ∴正确的有①②③，共3个， 故选：C． 4．（25-26八年级上·上海宝山·期末）在中，，，，那么_____ 【答案】 【详解】解：在中，，，， ，且是的对边， ， 故答案为：． 5．如图，在中，，，是边上一点，将沿折叠，使点落在边上的点处，则______度． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ∵将沿折叠，使点落在边上的点处， ∴， 故答案为：． 6．（25-26八年级上·上海普陀·期末）如图，已知：在中，，，点在边的延长线上，，． (1)求证：； (2)如果是的中点，求证：． 【详解】(1)证明：∵，， ∴， 则， ∴， ∵，， 即， (2)证明：依题意，如图所示： 由（1）得， ∴， ∵， ∴， 即， ∵是的中点， ∴． 素养提升 1.如图，已知 中， ，、分别是斜边上的高和中线，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， 是斜边 上的高， ∴ ， ∴ ，即 ，故选项D正确； ∵ 是斜边 上的中线， ∴ ， 只有当时， ，， 题目未给出角度条件，故选项A、B、C不一定正确． 故选：D． 2．（25-26八年级上·上海·期末）如图，在中，是边的中线，下列说法正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【详解】解：在中，是边的中线，则 A. 如果，那么，不能得出，故该选项不正确，不符合题意； B. 如果，则，那么，不能得出，故该选项不正确，不符合题意； C. 如果，不能得出，故该选项不正确，不符合题意； D. 如果， ∴ 又∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ 那么，故D选项正确， 故选：D． 3．（25-26八年级上·上海·期末）如图，在中，，线段、分别为的高和中线，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：线段、分别为的高和中线， ， ， ， ，故A选项正确，不符合题意； 在中，， ，即，故C选项正确，不符合题意； ， ，故D选项正确，不符合题意； 根据题中条件无法推出，故无法推出，故选项B错误，符合题意； 故选：B． 4．（25-26八年级上·上海普陀·期末）如图，在中，，是斜边上的中线，那么下列结论中不一定成立的是（   ） A． B．； C．； D．． 【答案】D 【详解】解：，是斜边上的中线， ，，， ，， ， 故A    、B、C、一定成立，故不符合题意； 不一定成立，故D符合题意； 故选：D． 5．（25-26八年级上·上海·期中）已知下列命题中： ①有两条边分别相等的两个直角三角形全等； ②有一条腰相等的两个等腰直角三角形全等； ③有一条边与一个锐角分别相等的两个直角三角形全等； ④顶角与底边分别对应相等的两个等腰三角形全等； ⑤有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等． 其中真命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：①有两条边分别相等的两个直角三角形不一定全等，原命题是假命题； ②有一条腰相等的两个等腰直角三角形全等，是真命题； ③有一条边与一个锐角分别相等的两个直角三角形不一定全等，不一定成立，原命题是假命题； ④顶角与底边分别对应相等的两个等腰三角形全等，是真命题． ⑤ 两边和其中一边上的高对应相等，当高分别在三角形的内部和外部时，它们不全等，是假命题． 其中真命题的个数是2个； 故选：B． 6．（25-26八年级上·上海·期末）如图，在中，，垂足为D，E是边的中点．如果，那么__________． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵E是边的中点， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·上海普陀·阶段检测）如图，在中，，是斜边上的中线，将绕点旋转，边落在直线上，得到，如果旋转角为，那么__________． 【答案】58 【详解】解：将绕点旋转，边落在直线上，旋转角为， ∴﹒ ∵是斜边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴﹒ 故答案为：58 8．如图，在中， ，垂直平分，分别交于D，E．若，则__________． 【答案】 【详解】解：∵垂直平分，分别交于D，E， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9.如图，在中，，的垂直平分线交于点，垂足为点，连接，若平分，，则的长为__________． 【答案】4 【详解】解：∵的垂直平分线交于点，垂足为点， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：4． 10.如图，某市地铁站入口的闸机双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，那么两机箱之间的距离为____． 【答案】62 【详解】解：过点作于点，过点作于点， ，， ，， 两机箱之间的最大宽度为． 故答案为：62． 11.中，，，的平分线交于D，，则_______． 【答案】 【详解】解：如图， ∵，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 12．（25-26八年级上·上海·期末）如图，在中，是边上的中线．点E在线段上，，如果，那么的度数为________． 【答案】 【详解】解：∵是边上的中线． ∴， 则， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 13．（25-26八年级上·上海·阶段检测）如图，中，、，点是的中点，，垂足为，交于，、相交于点，则_________． 【答案】60 【详解】解：在中，，是中点， ∴， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， 在中，是外角， ∴ 在中，是外角， ． 故答案为：60． 14．（25-26八年级上·上海宝山·阶段检测）如图，中，为中点，，则________度． 【答案】 【详解】解：，为中点， ， ， ， ， ． 故答案为：． 15．如图，中，，平分，平分，，过点P作，分别交、AB于M、N， 设， 则周长是______． 【答案】18 【详解】解：平分，平分， ， ∵， ， ∴，， ， 平分， ， ， ， 的周长 ， 故答案为：． 16．（25-26八年级上·上海·阶段检测）如图，，，分别为、的中点． (1)求证：； (2)若，求证：． 【详解】(1)证明：，， ． 又为的中点，是直角三角形， ． (2)证明：，， 和均为直角三角形． 在和中， ， ． （全等三角形的对应角相等）． 17．（25-26八年级上·上海宝山·期末）已知如图中，，， (1)用尺规在边上求作点，使得点到点、点的距离相等（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求点、点之间的距离． 【详解】(1)如图所示：点P即为所求； （2）解：如图所示，过点作于点D，由（1）得， ∵，， ∴， 设，则， ∴， 解得：， ∴． 18．（25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）如图，已知：在中，，垂足为点，且，垂足为点，相交于点，点为的中点． 求证：． 【详解】证明：∵，， ∴，，， ∵， 在和中， ， ∵为的中点， ∵，， ∴为的中点， 19．（25-26八年级上·上海杨浦·阶段检测）如图，在中，于点，于点，是边的中点，连接、、． (1)求证：； (2)若是等边三角形，则应满足什么条件？ 【详解】(1)证明：∵，， ∴， ∵是边的中点， ∴， ∴； （2）解：在中，，理由如下： 由（1）可得， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 若是等边三角形， 当时，， ∴． 20．（25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）已知：如图，在中，，点E是边的中点，在图中作点D，使得，且，分别连接，过点A作，垂足为点F． (1)求证：平分； (2)求证：． 【详解】(1)证明：∵，，点E是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； (2)证明：∵，点E是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 由（1）知：平分， ∴． 21．（25-26八年级上·上海·阶段检测）如图，，为的中点，连接，，． (1)求证：． (2)若，，则____________°． 【详解】(1)证明：∵，为的中点， ∴， ∴． （2）解：∵，为的中点， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 迁移创新 1．（25-26八年级上·上海·期末）已知在中，是边上的中线，有如下两个命题： ①如果，那么与都是等腰三角形； ②如果与都是等腰三角形，那么． 下列说法正确的是（   ） A．①是真命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 【答案】A 【详解】解：①∵，是边上的中线， ∴， ∴与都是等腰三角形，故①是真命题； ②当是底边（在对应等腰三角形中）时，那么点A既在线段的垂直平分线上，又在线段的垂直平分线上，而点D为的中点，故此种情况不成立； 当为腰，为底边（在对应等腰三角形中）时，则， 若，则， ∴，这与矛盾，故此种情况不成立； 若，则，此时是等边三角形， 则， ∴， ∴； 当为腰，为腰（在对应等腰三角形中），则， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，如果与都是等腰三角形，那么，故②是真命题； 故选：A． 2．（25-26八年级上·上海·阶段检测）如图，中，于D，，下列结论正确的有（    ） ① ；② ；③ ；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：在中，，． ，故①正确． 在中，由三角形内角和为， ． ，即， 在中，． ， ，故②正确． 在中，，． ，故③正确． ，，在中，，， ，且， ，故④正确． 故选D． 3．（25-26八年级上·上海普陀·期末）已知中，，，那么___________． 【答案】9 【详解】解：如图，作交的延长线于点， ， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·上海青浦·期末）如图，四边形中，相交于点分别是、的中点，，，则的值为_____． 【答案】4 【详解】解：连接、，如图所示： ∵，是的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：4． 5．（25-26八年级上·上海·阶段检测）如图，在中，，M是的中点，E、F分别是、延长线上的点，且，则________．    【答案】 【详解】解：连接，设，，   是的中点，， ， ，， ，， ， ，则， ， 故答案为：． 6．如图，中，，为的平分线．若点A到直线的距离为5，则长为_________． 【答案】10 【详解】解：延长、交于点F， 平分，，， ，， ， ， ，则. ∵， ， 又∵ ∴， ， 又∵，， ， ． 故答案为：． 7.点、分别在一张长方形纸条的边、上，将这张纸条沿着直线对折后如图，与交于点，如果，长方形纸条的宽，那么这张纸条对折后的重叠部分面积_____________． 【答案】 【详解】解：如图，延长至，过点作于点，则 ∵，， ∴ 根据折叠可得 ∵， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ 8．（25-26八年级上·上海·阶段检测）如图，已知：在中，是的中点，，与交于点，且．下列说法：①的垂直平分线一定与相交于点；②；③当为中点时，．其中，正确的是___________． 【答案】①② 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴，即为直角三角形， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴点在的垂直平分线上， ∴的垂直平分线一定与相交于点，故说法①正确，符合题意； 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故说法②正确，符合题意； 如图，连接并延长交于点， ∵点是的中点，点为的中点， ∴点是的中点， 又∵点为的中点，， ∴，是线段的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，点为的中点， ∴， ， ∴，故说法③不正确，不符合题意； ∴正确的是①②． 故答案为：①②． 9.已知是的高，，，的度数是______． 【答案】或 【详解】解：当高在内部时， 在中，，， 由直角三角形两锐角互余，得， 又， 所以； 当高在外部时， 在中，，， 由直角三角形两锐角互余，得， 又， 所以． 故答案为：或． 10.如图，在中，，，，，点D是上一动点，连接，将沿折叠，得到，其中，点A落在点E处，交于点F，当为直角三角形时，的长度是________． 【答案】或 【详解】解：，，，， ， 由折叠知，，， 当时，， ， 是等边三角形， ， ； 当时，， 在中， ， ， ； 综上所述，的长度为或． 故答案为：或． 11．（25-26八年级上·上海普陀·阶段检测）如图，四边形中，，，E、F分别是和的中点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【详解】(1)证明：连接、，如图所示： ，，E、F分别是和的中点， 在中，在中， ， 是的中点， ； （2）解：，，E、F分别是和的中点， 在中， ， ， 是等边三角形， 12．（25-26八年级上·上海·阶段检测）（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在中，，D为中点，于F交于点E，连接，若．求证：． 如图2，小刚同学从条件的角度出发给出如下解题思路：延长至点G，使，连接，将与之间的数量关系转化为与之间的数量关系．请你根据小刚同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】（2）李老师发现小刚同学很好地运用了转化思想，根据题中条件转化角．为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变换，提出下面的问题，请你解答． 如图3，在中，，D为中点，于F交于点E，连接，若，求证：． 【详解】（1）证明：延长至点G，使，连接， 则，∵，∴，∴； ∵是边的中点，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴． （2）证明：延长至点M，使，则； 连接， ∵是边的中点，∴，∵，∴，∴，，∵，∴， ∵，，∴，∴．∴． 13．（25-26八年级上·上海·阶段检测）如图，中，是边上的高，是边上的中线，与交于点M．，垂足为G．已知：． (1)求证：； (2)如果，，求证：． 【详解】(1)证明：∵是边上的高，是边上的中线， ∴在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； (2)证明：∵，， ∴是等边三角形， ∵是边上的高，是边上的中线， ∴， ， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 根据三角形面积公式（这里为底，为高）， ∴，， ∵， ∴； 14．（25-26八年级上·上海奉贤·期末）如图（a）、（b）、（c）是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，每个小正方形的边叫做格线．点A、B、C都是格点，请仅用一根无刻度直尺作图在网格图中完成下列画图，画图结果用实线表示（不要求说明理由，需保留必要的作图痕迹，写出结论）． (1)点是格点，在图（a）中作出一个以为腰的等腰，符合题意的点有___________个； (2)在图（b）中，求作一点，使且；并作出的高； (3)如图（c），边与格线交于点，则在边上作一点，使得． 【答案】(1) 如图，，就是所求作； ； 2 (2) 如图2中，点Q，P即为所求作； (3) 如图4中，点F即为所求作． 【详解】（1）解：如图1中，取点，使，连接， ，就是所求作； 符合题意的点D有2个； 故答案为：2； （2）解：如图2中，取点Q，P，连接，并延长交于点H， 点Q，P即为所求作； 理由：如图3，取点E，F，G， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， （3）解：如图4中，取点I，连接交于点F，点F即为所求作． 理由：如图5，取点M，N， ∵， ∴， ∴， ∴ ， 由图看出E为中点， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第22章 直角三角形 22.1 直角三角形 课标要点 1.理解直角三角形的概念：有一个角是直角的三角形叫作直角三角形，会用符号“Rt△”表示直角三角形，能正确识别斜边与直角边。 2.探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 3.掌握有两个角互余的三角形是直角三角形，即直角三角形的一个判定定理。 4.探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”（HL）定理。 5.直角三角形的性质：在直角三角形中，30° 角所对的直角边等于斜边的一半。 学习重难点 学习重点 1.直角三角形的性质定理：两锐角互余；斜边上的中线等于斜边的一半。 2.含 30° 角的直角三角形的性质及其应用。 3.直角三角形全等的判定定理“HL”及其应用。 学习难点 1.斜边中线性质定理的证明，体会构造辅助线与反证法的证明思想。 2.正确区分性质与判定，综合运用直角三角形知识进行几何证明与计算。 3.“HL”定理与一般三角形全等判定（SSS、SAS、ASA、AAS）的区别与联系，以及在动点、开放性问题中的分类讨论。 知识点直角三角形的概念 1.定义：有一个角是直角的三角形叫作直角三角形。 2.表示：直角三角形用符号“Rt△”表示。如图，∠C＝90° 的 △ABC 可记作 Rt△ABC，其中 ∠C 为直角。 3.边的名称：直角所对的边叫作斜边，其余两边叫作直角边。在 Rt△ABC 中，AB 是斜边（也是三边中最长的边），AC、BC 是直角边。 4.判定（定义法）：有一个角是直角的三角形是直角三角形。若 ∠C＝90°，则 △ABC 是直角三角形。 随学随练 1.在下列条件中不能确定是直角三角形的条件是（   ） A． B． C． D． 知识点 直角三角形的性质 1.性质定理 1：直角三角形的两个锐角互余。 即：在 Rt△ABC 中，若 ∠C＝90°，则 ∠A＋∠B＝90°。证明：由三角形内角和定理，∠A＋∠B＋∠C＝180°；又 ∠C＝90°，所以 ∠A＋∠B＝90°。 2.判定定理（性质定理 1 的逆定理）：两个锐角互余的三角形是直角三角形。 即：在 △ABC 中，若 ∠A＋∠B＝90°，则 ∠C＝180°－（∠A＋∠B）＝90°，所以 △ABC 是直角三角形。 3.性质定理 2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 4.性质定理 3（30° 角性质）：在直角三角形中，30° 角所对的直角边等于斜边的一半。 5.直角三角形中的边角关系：斜边大于任意一条直角边，即斜边是三边中最长的边；较大的锐角所对的直角边较长。 随学随练 2．（25-26八年级上·上海·阶段检测）如图，CD、CE分别是斜边上的高和中线，则图中与相等的角是________ 知识点直角三角形全等的判定（HL） 1.判定定理（HL）：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简记为“HL”（斜边、直角边）。 2.几何语言：如图 4，在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C＝∠C′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A′C′，则 Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（HL）。 3.判定直角三角形全等的方法共五种：SSS、SAS、ASA、AAS（一般三角形均适用）与 HL（直角三角形特有）。 4.应用：两个直角三角形全等后，对应边相等、对应角相等，可用于证明线段相等或角相等。 随学随练 3.如图，已知，求证：． 拓展 直角三角形与等腰三角形、等边三角形 斜边上的中线把直角三角形分成两个等腰三角形（△ACD 与 △BCD 均为等腰三角形）；当直角三角形含有 30° 锐角时，其中一个三角形成为等边三角形。等腰三角形的“等边对等角”“三线合一”与直角三角形的性质经常联合使用，是几何证明中常见的“基本图形”。 活学活用 4．（25-26八年级上·上海金山·阶段检测）如图，已知，，E是上的一点，，，请判断的形状，并证明． 5．（25-26八年级下·上海闵行·期中）如图，平行四边形中，，点是边上一点，连接，作垂直平分，分别交边于点． (1)如图1：若，当点恰好是边中点时，求的长； (2)若，当时，求的长． 题型 利用两锐角互余求角度 ▌例1 （25-26八年级上·上海奉贤·期末）在中，，，垂足为，，那么的大小是___________． 解题贴士 直角三角形中求角，优先利用“两锐角互余”；出现斜边上的高时，“同角（等角）的余角相等”是转化角度的常用工具。 ▌对点练1-1 （25-26八年级上·上海·阶段检测）中，，，则_____°． ▌对点练1-2 （25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）在中，，，则的度数为________． ▌对点练1-3 （25-26八年级上·上海·阶段检测）如图，中于D，于E，则与的关系是________ 题型 利用斜边中线性质求线段 ▌例2-1 （25-26八年级上·上海浦东新·期末）在中，，，点是斜边上的中点，则为（ ） A． B． C． D．不能确定 ▌例2-2 （25-26八年级上·上海虹口·期末）一个直角三角形斜边上的中线长度为5，则斜边的长度为_____． ▌例2-3 （25-26八年级上·上海·期末）如图在中，，是边上的中线，且，则的长为___________． 解题贴士 见到“直角三角形＋斜边中点”，优先联想斜边中线性质，把“中点”转化为“等于斜边一半”的线段；多个直角三角形共斜边时，各斜边上的中线相等。 ▌对点练2-1 （25-26八年级上·上海普陀·阶段检测）在等腰直角三角形中，如果斜边和斜边上的高的和是，那么斜边的长是___________． ▌对点练2-2 （25-26八年级上·上海·阶段检测）直角三角形斜边上的中线与斜边的总和为3，则斜边长是_____． ▌对点练2-3 （25-26八年级上·上海·阶段检测）小红将一个直角三角板放在一个直尺上，如图所示，点A、B所对应的数字分别为1和9，D为上一点，它对应的数字为5，则的长为______． ▌对点练2-4 （25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，D是边上的一点，，E，F分别是的中点．若，则的长为__ ． 题型 利用 30° 角性质求线段 ▌例3-1 如图，在中，，．若，则的长为（   ） A． B．1 C．2 D．4 ▌例3-2 （25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）已知的面积为，那么___________ ▌例3-3 （25-26八年级上·上海·期末）如图，已知在中，，是的中垂线，，，则___________． 解题贴士 含 30° 角的直角三角形中，斜边等于 30° 角所对直角边的 2 倍；若 30° 角出现在一般三角形中，常通过作垂线构造含 30° 角的直角三角形后再求解。 ▌对点练3-1 （25-26八年级上·上海浦东新·期末）如图，已知在中，，是的中垂线，，，则______ ． ▌对点练3-2 （2025八年级上·上海青浦·专题练习）在中，，是边上的高，．若，那么______． ▌对点练3-3 如图，在中，，，，点是边上一动点．连接，将沿折叠，得到，其中点落在处，交于点，当为直角三角形时，的长度是_______________． 题型 利用 HL 判定直角三角形全等 ▌例4-1 （25-26八年级上·上海·期末）如图，在和中，已知，且．如果只能运用“直角三角形全等的判定定理”判定，那么需要补充的条件是（    ） A． B． C． D． ▌例4-2 如图，在中，是的中点，，，垂足分别是、，且. 求证：． ▌例4-3 如图，在中，，，F为延长线上一点，点E在上，且 (1)求证：； (2)若，求的度数． 解题贴士 证明两个直角三角形全等，优先考虑“HL”，其次才是 SAS、ASA、AAS、SSS；注意挖掘公共边（如公共斜边 AB）；书写时先写明直角条件，再列出斜边和一条直角边分别相等。 ▌对点练4-1 如图，在和中，点B、D、C、E在同一条直线上，点C和点E重合．，，若添加一个条件后可用“”定理证明，添加的条件是（    ） A． B． C． D． ▌对点练4-2 已知：如图，在中，是边上的高，是上一点，连接，点分别是的中点，且．求证：．    ▌对点练4-3 如图，为的平分线，且于D，于F，连接交AE于点O． (1)若，，求的度数； (2)试判断与的关系？并证明你的结论． ▌对点练4-4 在中，，于点，的平分线于点，交于点，是的中点，连接交于点． (1)求证：； (2)连接，若，求的长． 题型 性质与判定的综合应用 ▌例5-1 （24-25八年级上·上海闵行·阶段检测）如图，在中，于点D，E为上一点，且，．    (1)求证：； (2)若，试求△的面积． ▌例5-2 （25-26八年级上·上海·期末）如图，在中，，，垂足为点，是上一点，且．连接，点、分别是、的中点， (1)求证：； (2)连接，若，求证：． ▌例5-3 （25-26八年级上·上海·期末）如图，已知，，射线在的内部，过点A、B分别作、，垂足为点M、N，且． (1)求证：； (2)取中点，连接、，依题意补全图形；猜想线段和之间的关系，并证明． 解题贴士 综合题常用“倒推法”分析——从要证的结论出发，倒推需要满足的条件，再与已知条件对接；解题中注意识别“双直角三角形共斜边”“直角三角形斜边中点”“斜边上的高”等基本图形，灵活调用直角三角形性质与判定、等腰三角形性质、全等三角形知识。 ▌对点练5-1 （24-25八年级上·上海·阶段检测）已知，如图，，，点E、F分别为垂足，，． (1)证明：； (2)延长相交于点 D，联结．证明：垂直平分线． ▌对点练5-2 （24-25八年级上·上海奉贤·期末）如图，在中，为边上的高，且，在上截取一点使，延长交于点，为边上的中点，连接．    (1)求证：； (2)若，求证：． ▌对点练5-3 （25-26八年级上·上海·阶段检测）如图，已知：在中，，点是边的中点，将沿直线翻折，点的对应点为点，连接、． (1)求证：是直角三角形； (2)延长、交于点，当时，求的度数． 基础通关 1.为了测量无法直接测量的池塘两端，的距离，小王同学设计了一个测量，距离的方案．如图，先确定直线，过点作直线，在直线上找可以直接到达点的一点，连接，作，交直线于点，最后测量的长即得．根据的原理是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）在直角三角形中，斜边及其中线之和等于，那么斜边长是（    ）． A．3 B．4 C．6 D．8 3．（25-26八年级上·上海奉贤·期末）在中，，是斜边上的中线，那么下列结论正确的有（   ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（25-26八年级上·上海宝山·期末）在中，，，，那么_____ 5．如图，在中，，，是边上一点，将沿折叠，使点落在边上的点处，则______度． 6．（25-26八年级上·上海普陀·期末）如图，已知：在中，，，点在边的延长线上，，． (1)求证：； (2)如果是的中点，求证：． 素养提升 1.如图，已知 中， ，、分别是斜边上的高和中线，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·上海·期末）如图，在中，是边的中线，下列说法正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 3．（25-26八年级上·上海·期末）如图，在中，，线段、分别为的高和中线，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·上海普陀·期末）如图，在中，，是斜边上的中线，那么下列结论中不一定成立的是（   ） A． B．； C．； D．． 5．（25-26八年级上·上海·期中）已知下列命题中： ①有两条边分别相等的两个直角三角形全等； ②有一条腰相等的两个等腰直角三角形全等； ③有一条边与一个锐角分别相等的两个直角三角形全等； ④顶角与底边分别对应相等的两个等腰三角形全等； ⑤有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等． 其中真命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（25-26八年级上·上海·期末）如图，在中，，垂足为D，E是边的中点．如果，那么__________． 7．（25-26八年级上·上海普陀·阶段检测）如图，在中，，是斜边上的中线，将绕点旋转，边落在直线上，得到，如果旋转角为，那么__________． 8．如图，在中， ，垂直平分，分别交于D，E．若，则__________． 9.如图，在中，，的垂直平分线交于点，垂足为点，连接，若平分，，则的长为__________． 10.如图，某市地铁站入口的闸机双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，那么两机箱之间的距离为____． 11.中，，，的平分线交于D，，则_______． 12．（25-26八年级上·上海·期末）如图，在中，是边上的中线．点E在线段上，，如果，那么的度数为________． 13．（25-26八年级上·上海·阶段检测）如图，中，、，点是的中点，，垂足为，交于，、相交于点，则_________． 14．（25-26八年级上·上海宝山·阶段检测）如图，中，为中点，，则________度． 15．如图，中，，平分，平分，，过点P作，分别交、AB于M、N， 设， 则周长是______． 16．（25-26八年级上·上海·阶段检测）如图，，，分别为、的中点． (1)求证：； (2)若，求证：． 17．（25-26八年级上·上海宝山·期末）已知如图中，，， (1)用尺规在边上求作点，使得点到点、点的距离相等（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求点、点之间的距离． 18．（25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）如图，已知：在中，，垂足为点，且，垂足为点，相交于点，点为的中点． 求证：． 19．（25-26八年级上·上海杨浦·阶段检测）如图，在中，于点，于点，是边的中点，连接、、． (1)求证：； (2)若是等边三角形，则应满足什么条件？ 20．（25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）已知：如图，在中，，点E是边的中点，在图中作点D，使得，且，分别连接，过点A作，垂足为点F． (1)求证：平分； (2)求证：． 21．（25-26八年级上·上海·阶段检测）如图，，为的中点，连接，，． (1)求证：． (2)若，，则____________°． 迁移创新 1．（25-26八年级上·上海·期末）已知在中，是边上的中线，有如下两个命题： ①如果，那么与都是等腰三角形； ②如果与都是等腰三角形，那么． 下列说法正确的是（   ） A．①是真命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 2．（25-26八年级上·上海·阶段检测）如图，中，于D，，下列结论正确的有（    ） ① ；② ；③ ；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（25-26八年级上·上海普陀·期末）已知中，，，那么___________． 4．（25-26八年级上·上海青浦·期末）如图，四边形中，相交于点分别是、的中点，，，则的值为_____． 5．（25-26八年级上·上海·阶段检测）如图，在中，，M是的中点，E、F分别是、延长线上的点，且，则________．    6．如图，中，，为的平分线．若点A到直线的距离为5，则长为_________． 7.点、分别在一张长方形纸条的边、上，将这张纸条沿着直线对折后如图，与交于点，如果，长方形纸条的宽，那么这张纸条对折后的重叠部分面积_____________． 8．（25-26八年级上·上海·阶段检测）如图，已知：在中，是的中点，，与交于点，且．下列说法：①的垂直平分线一定与相交于点；②；③当为中点时，．其中，正确的是___________． 9.已知是的高，，，的度数是______． 10.如图，在中，，，，，点D是上一动点，连接，将沿折叠，得到，其中，点A落在点E处，交于点F，当为直角三角形时，的长度是________． 11．（25-26八年级上·上海普陀·阶段检测）如图，四边形中，，，E、F分别是和的中点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 12．（25-26八年级上·上海·阶段检测）（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在中，，D为中点，于F交于点E，连接，若．求证：． 如图2，小刚同学从条件的角度出发给出如下解题思路：延长至点G，使，连接，将与之间的数量关系转化为与之间的数量关系．请你根据小刚同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】（2）李老师发现小刚同学很好地运用了转化思想，根据题中条件转化角．为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变换，提出下面的问题，请你解答． 如图3，在中，，D为中点，于F交于点E，连接，若，求证：． 13．（25-26八年级上·上海·阶段检测）如图，中，是边上的高，是边上的中线，与交于点M．，垂足为G．已知：． (1)求证：； (2)如果，，求证：． 14．（25-26八年级上·上海奉贤·期末）如图（a）、（b）、（c）是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，每个小正方形的边叫做格线．点A、B、C都是格点，请仅用一根无刻度直尺作图在网格图中完成下列画图，画图结果用实线表示（不要求说明理由，需保留必要的作图痕迹，写出结论）． (1)点是格点，在图（a）中作出一个以为腰的等腰，符合题意的点有___________个； (2)在图（b）中，求作一点，使且；并作出的高； (3)如图（c），边与格线交于点，则在边上作一点，使得． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $