22.2 角平分线（第2课时）（教学课件）数学沪教版五四制2024八年级上册

该初中数学课件聚焦直角三角形角平分线内容，涵盖角平分线定理及逆定理、三角形内心概念与性质，通过知识回顾旧定理，结合例1证明内角平分线交于一点引出内心，构建旧知到新知的学习支架。 其亮点是分层例题设计融合核心素养，如例1培养推理意识，作图题发展几何直观，证明过程强化符号语言表达。采用“我会证”“我归纳”互动教学，小结明确性质。学生提升推理与应用能力，教师可直接使用分层例题提升教学效率。

第22章 直角三角形 22.2②角平分线 沪教版2024 八年级数学上册 章节导读 22.1 直角三角形 直角三角形的性质 直角三角形全等的判定 角平分线定理 角平分线定理的逆定理 22.2 角平分线 勾股定理 勾股定理的逆定理 22.3 勾股定理 勾股定理及逆定理的应用 学习目标 进一步理解巩固线段的垂直平分线和角的平分线的性质定理； 通过探索、猜测、证明的过程，进一步发展推理能力． 能够应用角的平分线性质定理及其逆定理解决简单的几何问题； 知识回顾 复习回顾 角平分线定理及其逆定理. 角平分线定理 角平分线上的点到这个角的两边所在直线的距离相等。 在角的内部，到角的两边所在直线距离相等的点，均在这个角的平分线上。 角平分线定理的逆定理 学以致用 我会证！ 例1 如图，AO、BO分别是∠A、∠B的平分线， OD⊥BC，OE⊥AB，垂足分别为D、E.求证：点O在∠C的平分线上. F ∵AO平分∠BAC，OE⊥AB（已知） 证明：过点O作OF⊥AC，垂足是F. ∴OE=OF(在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等) ∴OF=OD(等量代换) ∴点O在∠C的平分线上(在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上) OF⊥AC(作图) 同理，OE=OD 从例题中能得到什么结论？ 学以致用 我会证！ 点O在∠A、∠B 、∠C的平分线上. F 这个点叫做“三角形的内心”。 三角形三个内角的平分线交于一点， 新课讲授 我归纳！ 三角形的内心 三角形三个内角的平分线交于一点，这个点叫做“三角形的内心”. 三角形的内心的性质 三角形的内心到这个三角形三边的距离相等. 学以致用 我会证！ 例2 如图，已知：在  中， 是  的平分线，且 。求证：. 证明：过点  作 ，，垂足分别为 . ∵  是  的平分线，，， ∴ （角平分线的性质定理）. 在  和  中， ∵  ∴ （直角三角形全等的判定定理）。 ∴ 。 学以致用 我会证！ 例2 如图，已知：∠AOB和∠AOB内一点C. 求作：点P，使PC=PO，且点P到直线OA、OB的距离相等. 作法： 1.连接OC，作线段OC的垂直平分线. 点P在∠AOB的平分线上 2.作∠AOB的平分线， 3.∠AOB的平分线与OC的垂直平分线相交于点P， P ∴点P就是所求作的点. 分析 假定点P已经作出，由PC=PO，可知点P一定在线段OC的垂直平分线上。又由点P在∠AOB内部且到直线OA、OB的距离相等，可知点P在∠AOB的平分线上.因此，P应是线段OC的垂直平分线与∠AOB的平分线的交点。 提升训练 我会证！ 练习1 如图，已知：在四边形  中，，连接 、 相交于点 ，。求证： 平分 . 【分析】三角形  和三角形  都是直角三角形，且  是它们的公共斜边。已知 ，根据“等角对等边” 可得 。要证明  平分 ，可以通过证明直角三角形  和直角三角形  全等来实现，因为它们共享斜边 ，且已得 ，符合 HL 全等准则。 证明：在三角形  中， ∵ （已知），∴ （等角对等边）. 在直角三角形  和直角三角形  中，（已知）， （公共边），（已证）， ∴ Rt ≌ Rt（HL 全等准则）. ∴ （全等三角形的对应角相等）. 因此， 平分 . 提升训练 我会证！ 练习2 已知CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别是点D、E；BE、CD相交于点O，且AO平分∠BAC.求证：OB=OC. 【分析】要证明OB=OC，只需要证明△ODB≌△OEC，垂直和对顶角已经提供了足够的角的信息，只需要再找一组对应边即可.利用角的平分线的知识得到OD=OE. 证明：∵AO平分∠BAC（已知），CD⊥AB，BE⊥AC（已知）， ∴∠ODB＝∠OEC＝90°（垂直的意义），且OD=OE（在角的平分线上 的点到这个角的两边的距离相等）. 在△ODB与△OEC中， （已证） （已证） （对顶角相等） ∴△ODB≌△OEC（A.S.A） ∴OB=OC（全等三角形的对应边相等）. 课堂小结 我总结！ 三角形的内心 三角形三个内角的平分线交于一点，这个点叫做“三角形的内心”. 三角形的内心的性质 三角形的内心到这个三角形三边的距离相等. 提升训练 我会证！ 提升1已知：如图，中，，，若于点，且交于点，问当满足什么条件时，？并证明你的判断． 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，角平分线的性质，解题的关键是正确作辅助线后构造全等的三角形．延长和交于， 根据，，可得，结合对顶角相等，从而证明，进而证得，得到 ， 易证， 从而证得． 提升训练 我会证！ 提升1已知：如图，中，，，若于点，且交于点，问当满足什么条件时，？并证明你的判断． 解：延长和交于， ，，， ，，， 在和中，， ，， 是的平分线，， 在和中，，， ， 即当是的平分线时，． 提升训练 我会证！ 提升2 已知点是平分线上的一点，的两边，分别与射线，相交于，两点，且，过点作，垂足为． (1)如图，当点在线段上时，求证：； (2)如图，当点在线段的延长线上时，探究线段，与之间的等量关系，并说明理由； (3)如图，在（2）的条件下，若，连接，作的平分线交于点，交于点，连接并延长交于点，若，，求线段的长． 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质等知识点，三角形的外角性质，关键是依照基础示例引出正确辅助线． 提升训练 我会证！ 提升2 已知点是平分线上的一点，的两边，分别与射线，相交于，两点，且，过点作，垂足为． (1)如图，当点在线段上时，求证：； 【分析】（1）过点作，根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论； （1）证明：如图，过点作，垂足为， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中，， ∴（） ∴； 提升训练 我会证！ 提升2 已知点是平分线上的一点，的两边，分别与射线，相交于，两点，且，过点作，垂足为． (2)如图，当点在线段的延长线上时，探究线段，与之间的等量关系，并说明理由； 【分析】（2）过点作，根据角平分线的性质得到，证明，证明，得到，结合图形解答即可； （2）解：如图，过点作，垂足为， ∵平分，，，∴，， ∵，∴∴， ∵，，∴， 在和中，， ∴（），∴， ∴，∴； 提升训练 我会证！ 提升2 (3)如图，在（2）的条件下，若，连接，作的平分线交于点，交于点，连接并延长交于点，若，，求线段的长． 【分析】在上截取，连接，证明，得到，根据角平分线的判定定理得到，证明，得到． （3）解：如图，在上截取，连接，∵平分，∴， 在和中，，∴（） ∴，， ∵是的平分线，是的平分线，∴是的平分线，∴， ∵，， ∴，∴，∴， ∴，∴， 在和中，，∴（）， ∴，∴． 提升训练 我会证！ 提升3 如图①是一个平分角的仪器，其中，． (1)如图②，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边，上，沿画一条射线，交于点P，是的角平分线吗？请判断并说明理由． (2)如图③，在（1）的条件下，过点P作于点Q，若，，，求的面积． 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的性质和判定定理． 提升训练 我会证！ 提升3 如图①是一个平分角的仪器，其中，． (1)如图②，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边，上，沿画一条射线，交于点P，是的角平分线吗？请判断并说明理由． 【分析】（1）由全等三角形的判定定理判定和全等，由全等三角形的对应角相等证明即可； （1）解：是的角平分线，理由如下： 在和中，， . 是的角平分线． 提升训练 我会证！ 提升3 如图①是一个平分角的仪器，其中，． (2)如图③，在（1）的条件下，过点P作于点Q，若，，，求的面积． 【分析】（2）过P作于点H，得出的长度，根据三角形的面积公式求解即可． （2）解：过P作于点H， 于点Q，平分 的面积的面积+的面积， 的面积 答：的面积为． 感谢聆听 $