22.2 角平分线（第1课时）2026-2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册

第22章 直角三角形 22.2 角平分线 （第1课时）角平分线的性质与判定 年 级：八年级 学 科：数学（沪教版） 学习目标 本课学习目标 会作图 用直尺和圆规作角平分线，说明作法正确的理由。 会证明 掌握角平分线的性质与判定，正确选择全等条件。 会应用 把“角相等”与“到两边距离相等”相互转化。 复习引入 折叠中藏着什么 操作 把一个角沿着一条射线折叠，使角的两边重合。 发现 折痕把这个角分成两个相等的角；折痕所在直线是对称轴。 追问 不用量角器，只用直尺和圆规，怎样找到这条射线？ 复习引入 距离必须沿垂线测量 观察 PD⊥OA，D为垂足；M是直线OA上另一点。 识别 点P到直线OA的距离是PD的长，不是PM的长。 联系 研究到角的两边的距离，先分别作出垂线段。 复习引入 先比较，再猜想 设定 OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足。 观察 沿角平分线折叠，两边重合，两个垂足也相互对应。 猜想 点P到两边所在直线的距离相等，即PD=PE。 知识讲授 尺规作图：先取等距点 已知与目标 已知∠AOB，求作∠AOB的平分线。 作法（1） 以点O为圆心、以任意长度a为半径作弧，分别交OA、OB于点D、E。 根据 同一个圆的半径相等，因此OD=OE。 知识讲授 尺规作图：再作等半径弧 作法（2） 分别以点D、E为圆心、以DE的长为半径作弧，两弧相交于∠AOB内的一点C。 根据 两次作弧的半径都是DE，故CD=CE。 注意 选取角内部的交点C；两次作弧的半径必须相同。 知识讲授 尺规作图：连成射线 作法（3） 作射线OC。射线OC就是∠AOB的平分线。 待证 要证明作图正确，只需证明∠COD=∠COE。 辅助线 连接CD、CE，把角的问题放入两个三角形中。 知识讲授 作图证明　作法为什么正确 D、E分别在∠AOB的边OA、OB上，OD=OE；点C在角内且CD=CE。连接OC、CD、CE。求证：OC平分∠AOB。 答：OC平分∠AOB。 解 在△OCD与△OCE中，OD=OE，CD=CE。 又OC为公共边，故△OCD≌△OCE（SSS）。 所以∠COD=∠COE，即OC平分∠AOB。 方法：把作弧得到的等长条件转化为SSS。 注意：射线OC从角的顶点O出发。 知识讲授 角平分线的性质定理 角平分线上的点到这个角的两边所在直线的距离相等。 前提：P在∠AOB的平分线上。 条件：PD⊥OA，PE⊥OB。 结论：PD=PE。 知识讲授 定理证明　性质从全等中来 已知：OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点（点P不与点O重合），PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E。求证：PD=PE。 答：PD=PE。 解 由角平分线得∠DOP=∠EOP。 PD⊥OA，PE⊥OB，故∠PDO=∠PEO=90°。 OP为公共边，△PDO≌△PEO（AAS）。 由对应边相等得PD=PE。 方法：把角相等和公共斜边组织成AAS。 注意：先写垂直条件，才有点到直线的距离。 知识讲授 把性质的边界说清楚 端点情形 角平分线的端点O到两边所在直线的距离都是0。 对象 定理说的是到两边所在直线的距离。 符号 P在平分线上，且PD⊥OA、PE⊥OB，才能写PD=PE。 知识讲授 变式 变式1　性质的直接使用 OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足。已知PD=7，求PE。 答：。 解 P在角平分线上，且PD、PE是两条垂线段。 由角平分线性质，PE=PD=7。 方法：先确认点在平分线上，再确认两条垂线段。 注意：相等的是距离，不能直接推出OA=OB。 知识讲授 怎样判定点在角平分线上 在角的内部，到角的两边所在直线距离相等的点，均在这个角的平分线上。 位置：Q在∠AOB内部。 距离：QD⊥OA，QE⊥OB，且QD=QE。 结论：OQ平分∠AOB。 知识讲授 定理证明　用HL完成逆向证明 已知：Q为∠AOB内部一点，QD⊥OA，QE⊥OB，垂足分别为D、E，QD=QE。求证：点Q在∠AOB的平分线上。 答：点Q在∠AOB的平分线上。 解 作射线OQ；两条垂线给出两个直角三角形。 QD=QE，OQ为公共斜边，Rt△QDO≌Rt△QEO（HL）。 所以∠DOQ=∠QOE，OQ平分∠AOB。 方法：等距离是直角边相等，连接顶点得到公共斜边。 注意：HL必须用于两个直角三角形。 知识讲授 “在角的内部”不能遗漏 反例 ∠AOB=90°，Q在角外；QD⊥OA所在直线，QE⊥OB，且QD=QE。 观察 Q到两条直线的距离相等，却不在∠AOB的内部角平分线上。 结论 判定时，角内部、垂直、距离相等都要核对。 环节归纳 两个定理，方向相反 用性质 （1）已知：点在角平分线上。 （2）作两边的垂线，得到距离相等。 用判定 （1）已知：角内部的点等距于两边。 （2）确认垂直后，得到角平分线。 例题讲解 变式 变式2　连接30°直角三角形 ∠AOB=60°，OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足。已知OP=8，求PD、PE。 60° 答：。 解 ∠DOP=30°，Rt△ODP中，。 P在角平分线上，故PE=PD=4。 方法：先用30°角所对直角边性质，再用角平分线性质。 注意：OP是直角三角形ODP的斜边。 例题讲解 变式 变式3　把等距离写成方程 OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足。PD=2x+1，PE=5x−8，求x和PD。 答：，。 解 由角平分线性质，PD=PE，即2x+1=5x−8。 解得x=3，故PD=2×3+1=7。 方法：几何关系提供等式，再解一元一次方程。 注意：求出x后，要代回所求线段表达式。 例题讲解 变式 变式4　先判定，再计算角 点Q在∠AOB内部，QD⊥OA，QE⊥OB，QD=QE。若∠AOB=60°，求∠AOQ。 答：。 解 由等距离判定，OQ平分∠AOB。 所以。 方法：把等距离转化为角平分线，再求半角。 注意：必须说明Q在角内部。 例题讲解 变式 变式5　一个点兼有两种等距 点P在∠AOB内部，PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE。另有点M、N满足PM=PN。说明P同时位于哪两条特殊线上。 答：P在∠AOB的平分线上，也在线段MN的垂直平分线上。 解 由PD=PE及两条垂线，知P在∠AOB的平分线上。 由PM=PN，知P在线段MN的垂直平分线上。 方法：先分辨到直线等距和到点等距。 注意：到两点距离相等，不等于到两边距离相等。 环节归纳 作图与证明如何衔接 尺规作图 （1）等半径作弧产生两组等边。 （2）公共边补成SSS，证明角相等。 定理应用 （1）角相等→垂线段相等。 （2）垂线段相等→角相等。 课堂练习 练习1 如图，已知∠AOB，用尺规四等分∠AOB。 第一步 答：先作∠AOB的平分线OC。 解 在OA、OB上取到O等距的两点。 以这两点为圆心、相同半径作弧，取角内交点。 作顶点O经过交点的射线OC。 方法：先完成一次角平分，再对两个小角操作。 注意：本题要求尺规作图，不能用量角器估分。 课堂练习 练习1 如图，已知∠AOB，用尺规四等分∠AOB。 作图与验证 答：作∠BOC的平分线OD及∠COA的平分线OE，得到四等分线。 解 对∠BOC、∠COA分别重复角平分线的尺规作法。 。 。 因∠BOC=∠COA，四个小角相等。 方法：先二等分，再各二等分。 注意：只把一个半角二等分，不能四等分原角。 课堂练习 练习2 如图，已知：点P、D在∠AOB的平分线上，OA=OB，PM⊥BD，PN⊥AD，垂足分别是M、N。求证：PM=PN。 寻找条件 答：OA与OB关于直线OD对称，AD与BD也关于直线OD对称。 解 OD平分∠AOB，故∠AOD=∠BOD。 OA=OB，OD为公共边，△OAD≌△OBD（SAS）。 A、B关于角平分线所在直线对称，而D在该直线上。 方法：先找角的对称轴，再确认对应点和对应直线。 注意：OA=OB保证A、B是关于对称轴的对应点。 课堂练习 练习2 如图，已知：点P、D在∠AOB的平分线上，OA=OB，PM⊥BD，PN⊥AD，垂足分别是M、N。求证：PM=PN。 完成证明 答：PM=PN。 解 AD与BD关于直线OD对称，P在该对称轴上。 PM、PN分别是P到这两条直线的垂线段。 两条垂线段相互对称，故PM=PN。 方法：对称轴上的点到一对对称直线等距。 注意：图示P在∠ADB内时，也可直接用角平分线性质。 课堂练习 变式 变式6　先找到对应的角 P、D在∠AOB的平分线上，OA=OB，且P在线段OD上。PM⊥BD，PN⊥AD，M、N为垂足。PM=3x−2，PN=x+6，求x及PM。 答：，。 解 △OAD≌△OBD（SAS），所以DO平分∠ADB。 由性质得PM=PN，即3x−2=x+6。 解得x=4，PM=10。 方法：先找到可用的角平分线，再列方程。 注意：不能把∠AOB的性质直接用于直线AD、BD。 环节归纳 课堂练习的方法链 四等分角 （1）先作原角的平分线。 （2）再分别平分两个半角。 复合图形证明 （1）全等帮助识别新的角平分线。 （2）对称关系帮助寻找等距离。 课堂小结 角平分线的性质与判定 尺规作图 先以顶点为圆心取等距点，再以两点为圆心等半径作弧；连接顶点和角内交点，用SSS说明作法正确。 性质应用 角平分线上的点到两边所在直线等距；先作垂线段，把角平分条件转化为线段相等，再计算或证明。 判定应用 角内部的点到两边所在直线等距，则点在角平分线上；连接顶点后，由HL证明两个直角三角形全等。 条件辨析 到边的距离必须是垂线段长；判定时不能漏掉角内部；到两点等距应联系线段的垂直平分线。 特别提醒：先看点的位置，再找垂足；性质与判定的使用方向要分清。 针对训练 训练1：把条件说完整 （1）角平分线上的点到角的顶点距离都相等。 错 相等的是到两边所在直线的距离。 （2）到角两边所在直线等距的内点在平分线上。 对 满足角平分线判定的全部条件。 （3）到直线上任意一点的距离都是点到线的距离。 错 距离应为垂线段的长。 （4）角平分线端点到两边所在直线的距离都是0。 对 端点同时位于两条直线上。 方法：按位置、垂直、相等逐条核对。 注意：不要把到边等距说成到顶点等距。 针对训练 训练2　性质的四种直接用法 OP平分∠AOB，P≠O；PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足。分别完成下列各题。 （1） PD=9，求PE。 （2） PD=2x+3，PE=11，求x。 （3） ∠AOB=80°，求∠AOP。 （4） PD+PE=18，求PD。 解第（1）题 PE=9。 由角平分线性质，PE=PD=9。 解第（2）题 x=4。 2x+3=11，解得x=4。 第（1）题：直接用性质。 注意：两线段须垂直于对应边。 第（2）题：等距离列方程。 注意：x不一定是所求距离。 针对训练 训练2　性质的四种直接用法 OP平分∠AOB，P≠O；PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足。分别完成下列各题。 （1） PD=9，求PE。 （2） PD=2x+3，PE=11，求x。 （3） ∠AOB=80°，求∠AOP。 （4） PD+PE=18，求PD。 解第（3）题 ∠AOP=40°。 OP平分∠AOB，故∠AOP=80°÷2=40°。 解第（4）题 PD=9。 PD=PE，所以2PD=18，PD=9。 第（3）题：平分取一半。 注意：角平分线从顶点O出发。 第（4）题：两条等长线段的和除以2。 注意：等距与总和要同时使用。 方法总结 基础训练方法总结 识别距离 （1）看是否有垂足与垂直符号。 （2）垂线段的长度才表示距离。 计算等距 （1）用性质写出两段相等。 （2）结合半角、和差或方程。 针对训练 训练3　由距离判定角平分线 点Q在∠AOB内部，QD⊥OA，QE⊥OB，D、E为垂足。QD=4x−1，QE=2x+5，且x=3。证明：OQ平分∠AOB。 答：OQ平分∠AOB。 解 代入x=3，得QD=11，QE=11，故QD=QE。 Q在角内，且两段分别垂直两边。 由角平分线判定，OQ平分∠AOB。 方法：先核算等距离，再用判定。 注意：不能因为代数式相似，就认定长度相等。 针对训练 训练4　设计并验证等距离点 已知∠AOB。用尺规作出一个位于角内部、到OA与OB所在直线距离相等的点P，并说明理由。 答：先作∠AOB的平分线，再在该射线上取P≠O。 解 用等半径作弧的方法作出角平分线。 在角内部的角平分线上任选点P。 由性质，P到两边所在直线的距离相等。 方法：把等距离条件转化为角平分线上的点。 注意：本题有无数个合适的点P。 针对训练 训练5　从等距离反求原角 点Q在∠AOB内部，QD⊥OA，QE⊥OB，QD=QE。∠AOQ=(3x+6)°，∠QOB=(5x−14)°，求x及∠AOB。 答：，。 解 由判定，OQ平分∠AOB。 3x+6=5x−14，解得x=10。 两个半角均为36°，原角为72°。 方法：先用判定获得等角，再列方程。 注意：原角是两个半角的和。 针对训练 训练6　两点等距能得到共线吗 P、Q是∠AOB内部两点。PD⊥OA，PE⊥OB，QF⊥OA，QG⊥OB，D、E、F、G为垂足，PD=PE、QF=QG。求证：O、P、Q三点共线。 答：O、P、Q三点共线。 解 由PD=PE，知P在∠AOB的平分线上。 由QF=QG，知Q也在∠AOB的平分线上。 同一个角只有一条内部平分线，故O、P、Q共线。 方法：分别判定两个点，再归到同一条射线上。 注意：P、Q都必须位于指定角内部。 方法总结 证明训练方法总结 把数变成形 （1）代入或解方程，先得到等距离。 （2）由判定把等距离转成等角。 把点归到线 （1）每个点分别核对判定条件。 （2）同在一条平分线上即可共线。 针对训练 训练7　错误证明怎样修正 点Q到∠AOB两边所在直线的距离相等。小明认为：“所以OQ一定平分∠AOB。”判断是否正确；若不正确，请补充一个条件使结论成立。 答：不正确；补充“Q在∠AOB内部”。 解 等距离点可能处在所研究的角外部。 判定定理要求Q在角内部。 补充后，OQ就是∠AOB的内部平分线。 方法：用定理的完整条件检查推理。 注意：不能因图上画在角内就遗漏位置条件。 针对训练 训练8　直角中的距离关系 ∠AOB=90°，OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足。若PD=3，求OD和PE。 答：。 解 由角平分线性质，PE=PD=3。 ∠DOP=45°，Rt△ODP的另一个锐角也为45°。 Rt△ODP是等腰直角三角形，OD=PD=3。 方法：性质求距离，等腰直角三角形求另一条边。 注意：不需要计算斜边OP。 针对训练 训练9　选择正确的全等条件 如图，OP平分∠AOB，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E。判定△PDO≌△PEO的方法是（　）。 A. SSS B. SAS C. HL D. AAS 答：选D，应使用AAS。 解 由角平分线得∠DOP=∠EOP。 两直角相等，OP为公共边。 所以△PDO≌△PEO（AAS），再推出PD=PE。 方法：先分清已知与待证，再组织全等条件。 注意：待证结论不能倒过来充当证明依据。 针对训练 应用1　两条道路之间的路灯 两条笔直道路OA、OB相交于O，夹角为90°。路灯P设在这个角的平分线上，PD⊥OA、PE⊥OB，D、E为垂足。若P距道路OA为4 m，求它距道路OB的距离。 道路甲 道路乙 答：路灯P距道路OB为4 m。 解 路灯P位于∠AOB的角平分线上。 到两条道路的距离分别是PD、PE。 由性质，PE=PD=4 m。 方法：道路看作直线，最短距离看作垂线段。 注意：沿斜向道路测得的长度不能作距离。 针对训练 应用2　服务站应设在哪条线上 两条笔直公路OA、OB交于O。计划在∠AOB内部设置服务站P，要求它到两条公路的最短距离相等。请用尺规确定服务站所有可选位置所在的射线，并说明理由。 答：可选位置在∠AOB的平分线上（除去顶点O）。 解 到公路的最短距离是垂线段的长。 角内部等距于两边的点都在角平分线上。 尺规作出∠AOB的平分线，其内部点均符合要求。 方法：把实际的等距要求转化为角平分线判定。 注意：只给出这一项等距要求时，位置不唯一。 方法总结 应用训练方法总结 建立几何模型 （1）道路→直线，最短路程→垂线段。 （2）位置在平分线上→用性质。 解释可选位置 （1）要求到两路等距→用判定。 （2）只有一项等距条件，通常不唯一。 $