22.2 角平分线（第2课时）2026-2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册

第22章 直角三角形 22.2 角平分线 （第2课时）角平分线的应用与三角形的内心 年 级：八年级 学 科：数学（沪教版） 学习目标 本课学习目标 识别内心 知道内心是三条内角平分线的交点，能说出其位置与等距性质。 串联证明 在性质、等距离、判定之间转换，并结合全等完成证明。 综合作图 把到点、到直线的等距条件分别转成对应轨迹，确定交点。 复习引入 把上一课的两个方向接起来 性质 点在角平分线上→到角两边所在直线的距离相等。 判定 角内部的点到两边所在直线等距→点在角平分线上。 本课问题 两个角的平分线相交，会不会自动落在第三个角的平分线上？ 复习引入 从两个角走向第三个角 观察 在△ABC中，AO、BO分别平分∠BAC、∠ABC。 作垂线 从O向三边作垂线段OD、OE、OF，垂足分别在BC、AB、AC上。 联系 AO给出OE=OF，BO给出OE=OD，因此OD=OF。 知识讲授 三角形的内心 三角形的三个内角的平分线相交于一点，这个交点叫作三角形的内心。 内心在三角形内部。 任意两条内角平分线的交点就是内心。 第三条内角平分线也经过这个点。 知识讲授 内心到三边等距 条件 O是△ABC的内心，OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC。 结论 由角平分线的性质，OD=OE=OF。 辨析 内心到三边所在直线等距；不能据此写OA=OB=OC。 知识讲授 内心处的角怎样求 拆分 BO、CO分别平分∠B、∠C，所以，。 内角和 。 整理 利用∠B+∠C=180°−∠A，得。 知识讲授 两种等距，确定一个交点 到直线等距 角内部的点到两边等距→点在角平分线上。 到两点等距 到线段两端点的距离相等→点在线段的垂直平分线上。 共同满足 把两条条件线作出，它们的交点就是候选点；最后检验位置。 环节归纳 知识讲授归纳 三边等距链 （1）两个平分条件给出两组等距。 （2）等量传递后，用判定找第三条。 交点作图法 （1）每个等距条件先翻译成一条线。 （2）作两线交点，再验证全部条件。 例题讲解 例 1 如图，在△ABC中，AO、BO分别是∠BAC、∠ABC的平分线，OD⊥BC，OE⊥AB，垂足分别为D、E。求证：点O在∠C的平分线上。 建立等距离 答：作OF⊥AC，垂足为F；可得OE=OF及OE=OD。 解 过O作OF⊥AC，垂足为F。 AO平分∠BAC，故OE=OF。 BO平分∠ABC，故OE=OD。 方法：两条已知角平分线分别给出一组距离相等。 注意：缺少O到AC的距离时，先补垂线。 例题讲解 例 1 如图，在△ABC中，AO、BO分别是∠BAC、∠ABC的平分线，OD⊥BC，OE⊥AB，垂足分别为D、E。求证：点O在∠C的平分线上。 完成证明 答：点O在∠C的平分线上。 解 OE=OF，OE=OD，故OD=OF。 O在∠C内部，OD⊥BC，OF⊥AC。 由等距离判定，点O在∠C的平分线上。 方法：用共同的OE作为中间量，连成等距离链。 注意：必须说明O位于∠C内部。 例题讲解 变式 变式1　内心角的直接计算 O是△ABC的内心，∠A=60°，求∠BOC。 60° 答：。 解 ∠B+∠C=180°−60°=120°。 。 ∠BOC=180°−60°=120°。 方法：在△BOC中用内角和，把两个底角换成半角。 注意：∠BOC通常不是∠A的一半。 例题讲解 例 2 如图，在△ABC中，点D在边BC上，AD是∠BAC的平分线，且BD=CD。求证：∠B=∠C。 添加辅助线 答：作DE⊥AB、DF⊥AC，垂足分别为E、F，得DE=DF。 解 过D作DE⊥AB、DF⊥AC。 AD平分∠BAC，D在这条角平分线上。 由性质定理，DE=DF。 方法：见角平分线，考虑向两边作垂线。 注意：BD=CD是后续两个直角三角形的斜边相等。 例题讲解 例 2 如图，在△ABC中，点D在边BC上，AD是∠BAC的平分线，且BD=CD。求证：∠B=∠C。 完成证明 答：∠B=∠C。 解 在Rt△BDE和Rt△CDF中，DE=DF，BD=CD。 所以Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）。 对应角相等，故∠B=∠C。 方法：角平分线性质提供直角边，题设提供斜边。 注意：不能直接用两边和一个非夹角判断原三角形全等。 例题讲解 辨析 变式2　为什么不能直接使用SAS 在△ABC中，AD平分∠BAC，D在BC上且BD=CD。有人用“AD公共、BD=CD、∠BAD=∠CAD”判定△ABD≌△ACD（SAS）。这一步是否正确？说明理由。 答：不正确；所给相等角不是这两组相等边的夹角。 解 AD与BD的夹角是∠ADB，而不是∠BAD。 这些条件不能直接构成SAS。 可补作两条垂线，先用HL证明∠B=∠C。 方法：全等条件中，必须辨清角与两条边的位置。 注意：结论正确，不等于所写的证明理由正确。 例题讲解 变式 变式3　证明之后再列方程 在△ABC中，D在BC上，AD平分∠BAC，BD=CD。已知AB=3x−2，AC=x+6，求x和AB。 答：，。 解 由例2的方法可证∠B=∠C，故AB=AC。 3x−2=x+6，解得x=4。 AB=3×4−2=10。 方法：先由几何证明得到边相等，再用代数求值。 注意：不能仅由“平分线”直接写出AB=AC。 例题讲解 例 3 已知∠AOB及其内部一点C。求作∠AOB内部一点P，使PC=PO，且点P到直线OA、OB的距离相等。 分析 答：P应是线段OC的垂直平分线与∠AOB的平分线的交点。 解 PC=PO，故P应在线段OC的垂直平分线上。 P在角内部且到两边等距，故P应在角平分线上。 同时满足两项要求，就取这两条线的交点。 方法：先假设点已作出，反推它应位于的两条线上。 注意：PC=PO是到两点等距；另一条件是到两直线等距。 例题讲解 例 3 已知∠AOB及其内部一点C。求作∠AOB内部一点P，使PC=PO，且点P到直线OA、OB的距离相等。 作法（1） 答：连接OC，作线段OC的垂直平分线MN。 解 连接OC。 分别以O、C为圆心，以大于OC一半的相同长度为半径作弧。 连接两弧的两个交点，得到垂直平分线MN。 方法：等半径双弧确定线段垂直平分线。 注意：作弧半径必须大于OC的一半，才能有两个交点。 例题讲解 例 3 已知∠AOB及其内部一点C。求作∠AOB内部一点P，使PC=PO，且点P到直线OA、OB的距离相等。 作法（2）与验证 答：作∠AOB的平分线OD，与MN交于P；P就是所求的点。 解 用尺规作出∠AOB的平分线OD，取交点P。 P在OC的垂直平分线上，所以PC=PO。 P在角平分线上，所以到OA、OB的距离相等。 方法：“作两条线—取交点—逐项验证”。 注意：交点还要符合位于∠AOB内部的要求。 例题讲解 变式 变式4　变换等距对象，作法不变 两条互相垂直的射线OA、OB围成直角，C在OA上、D在OB上，OC=4，OD=6。求作角内点P，使PC=PD，且P到OA、OB的距离相等。 答：作∠AOB的平分线与CD的垂直平分线，它们的交点P即所求。 解 PC=PD对应CD的垂直平分线。 到OA、OB等距且在角内，对应∠AOB的平分线。 取两线交点，并用两种等距性质检验。 方法：对象变化时，仍逐个翻译条件。 注意：不要把CD的垂直平分线误作OC的垂直平分线。 环节归纳 例题讲解归纳 证明中的垂线 （1）角平分线已知，先作两边的垂线。 （2）等距离可接HL，也可接角平分线判定。 作图中的交点 （1）到两点等距→垂直平分线。 （2）到角两边等距→角平分线。 课堂练习 练习1 如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，连接AC、BD相交于点E，∠CBD=∠CDB。求证：CA平分∠BCD。 寻找全等条件 答：由∠CBD=∠CDB得CB=CD。 解 在△BCD中，∠CBD=∠CDB，故CB=CD。 ∠ABC=∠ADC=90°，△ABC、△ADC都是直角三角形。 它们有公共斜边AC和相等直角边CB、CD。 方法：先把等角转成等边，再辨认公共斜边。 注意：AC才是两个直角三角形的公共斜边。 课堂练习 练习1 如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，连接AC、BD相交于点E，∠CBD=∠CDB。求证：CA平分∠BCD。 完成证明 答：CA平分∠BCD。 解 CB=CD，AC为公共斜边。 Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）。 ∠BCA=∠DCA，所以CA平分∠BCD。 方法：全等后选取与待证角平分对应的两个角。 注意：交点E用于识图，本题不需要先证明AE=EC。 课堂练习 练习2 如图，在△ABC中，D、E分别在边AB、AC上，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于点O，且AO平分∠BAC。求证：OB=OC。 应用角平分线性质 答：由AO平分∠BAC，得OD=OE。 解 O在CD、BE上，故OD⊥AB，OE⊥AC。 AO平分∠BAC，O在这条平分线上。 由角平分线性质，OD=OE。 方法：把两条高的一部分识别为内点到两边的距离。 注意：所用的是OD、OE，不是整条CD、BE。 课堂练习 练习2 如图，在△ABC中，D、E分别在边AB、AC上，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于点O，且AO平分∠BAC。求证：OB=OC。 完成证明 答：OB=OC。 解 ∠ODB=∠OEC=90°，∠BOD=∠COE（对顶角）。 又OD=OE，故△BOD≌△COE（ASA）。 由对应边相等，得OB=OC。 方法：等距离、直角和对顶角组成ASA。 注意：OB=OC是待证，不能先拿它作为HL的斜边条件。 课堂练习 辨析 变式5　高的交点一定是内心吗 在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=80°。高BE与CD交于O。判断O是否为△ABC的内心，并说明理由。 80° 答：O不是内心。 解 ∠B=∠C=50°。 BE⊥AC，故∠OBC=90°−50°=40°。 若O为内心，应有∠OBC=25°；40°≠25°。 方法：检查一条过顶点的连线是否真的平分该内角。 注意：位于一条角平分线上，不代表就是内心。 环节归纳 课堂练习的方法总结 证明角平分 （1）先寻找两个直角三角形。 （2）HL得到全等，再取对应角。 证明线段相等 （1）角平分线性质给出等距离。 （2）直角、对顶角再补成全等。 课堂小结 角平分线的应用与内心 三角形内心 三条内角平分线交于一点，叫作内心；内心在三角形内部，到三边所在直线的垂线段长度相等。 角度的转化 内心分出的两个底角分别是原角的一半；结合三角形内角和，得到。 综合证明法 已知角平分线时常补垂线，以距离相等接全等；等距离还能用作判定，找到另一条角平分线。 条件交点法 到两点等距对应线段垂直平分线，到两边等距对应角平分线；取交点后，逐条检验并确认位置。 特别提醒：内心到三边等距；不能误说成到三个顶点等距。 针对训练 训练1：识别内心与等距 （1）三角形内心一定在三角形内部。 对 内心是三条内角平分线的交点。 （2）内心到三角形三个顶点的距离相等。 错 应是到三边所在直线的距离相等。 （3）任意两条内角平分线交点就是内心。 对 第三条内角平分线也经过该交点。 （4）到两个点等距的点一定在某个角的平分线上。 错 应联系两点连线的垂直平分线。 方法：将“点”和“边”两个对象分清。 注意：两条高的交点一般不是内心。 针对训练 训练2　内心处的角度计算 O是△ABC的内心，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB。分别完成下列各题。 （1） ∠A=30°，求∠BOC。 （2） ∠A=60°，求∠BOC。 （3） ∠A=90°，求∠BOC。 （4） ∠A=100°，求∠BOC。 解第（1）题 ∠BOC=105°。 ∠BOC=90°+30°÷2=105°。 解第（2）题 ∠BOC=120°。 ∠BOC=90°+60°÷2=120°。 第（1）题：内心角为90°加对面角的一半。 注意：对应的是∠A，而不是∠B或∠C。 第（2）题：内心角为90°加对面角的一半。 注意：对应的是∠A，而不是∠B或∠C。 针对训练 训练2　内心处的角度计算 O是△ABC的内心，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB。分别完成下列各题。 （1） ∠A=30°，求∠BOC。 （2） ∠A=60°，求∠BOC。 （3） ∠A=90°，求∠BOC。 （4） ∠A=100°，求∠BOC。 解第（3）题 ∠BOC=135°。 ∠BOC=90°+90°÷2=135°。 解第（4）题 ∠BOC=140°。 ∠BOC=90°+100°÷2=140°。 第（3）题：内心角为90°加对面角的一半。 注意：对应的是∠A，而不是∠B或∠C。 第（4）题：内心角为90°加对面角的一半。 注意：对应的是∠A，而不是∠B或∠C。 方法总结 基础训练方法总结 认清内心 （1）两条内角平分线的交点即可确定。 （2）到三边所在直线的距离相等。 计算内心角 （1）先把两个底角写为原角的一半。 （2）再用三角形内角和求顶角。 针对训练 训练3　已知内心角，反求顶角 O是△ABC的内心，∠BOC=132°，则∠A为（　）。 A. 42° B. 66° C. 84° D. 132° 132° 答：选C，。 解 。 132°−90°=42°，所以∠A=2×42°=84°。 方法：从内心角中先减90°，再乘2。 注意：不能把132°直接除以2。 针对训练 训练4　三条距离共享一个值 O是△ABC的内心，OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC。OD=2x+1，OE=5x−8，求x和OF。 答：，。 解 内心到三边等距，OD=OE=OF。 2x+1=5x−8，解得x=3。 OF=OD=2×3+1=7。 方法：用两段求未知数，再传递到第三段。 注意：未标垂直的线段不能直接代入等距关系。 针对训练 训练5　等距离与三角形面积 △ABC的三边长分别为5、5、6，面积为12。O是内心，求O到三边所在直线的共同距离r。 5 5 6 答：。 解 连接OA、OB、OC，把原三角形分成三个小三角形。 三个小三角形的高均为r，故。 解得。 方法：按三边为底拆面积，利用共同的高。 注意：这是面积分割，不需要计算其他边长。 方法总结 计算训练方法总结 角度与方程 （1）内心角减90°后再求对应顶角。 （2）三边等距可转成一元一次方程。 用等距拆面积 （1）连接内心与三个顶点。 （2）三块面积以三边为底、共同距离为高。 针对训练 训练6　从三边等距反推内心 点P在△ABC内部，PD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC，D、E、F为垂足，且PD=PE=PF。证明：P是△ABC的内心。 答：P是△ABC的内心。 解 PE=PF，且P在∠A内部，所以AP平分∠A。 PE=PD，且P在∠B内部，所以BP平分∠B。 P是两条内角平分线的交点，因此P是内心。 方法：选取两组等距离，分别使用角平分线判定。 注意：不用把三个顶点处的判定全部重复一遍。 针对训练 训练7　平分线与中线重合时 在△ABC中，D是BC的中点，AD平分∠BAC。求证：AD⊥BC。 答：AD⊥BC。 解 由角平分线性质配合HL，可得∠B=∠C。 所以AB=AC，△ABC是等腰三角形。 等腰三角形底边上的中线也是高，故AD⊥BC。 方法：先证明等腰，再用等腰三角形的三线合一。 注意：不能对任意三角形直接使用三线合一。 针对训练 训练8　一个倍角条件 O是△ABC的内心，且∠BOC=2∠A。求∠A。 答：。 解 由内心角关系，。 所以。 得，故∠A=60°。 方法：把同一个角的两种表达式相等。 注意：先建立关系，再代入倍角条件。 针对训练 训练9　比较内心处的两个角 在△ABC中，∠B=50°，∠C=70°，O是内心。求∠AOB、∠AOC及二者之差。 50° 70° 答：，，二者相差。 解 。 。 所以∠AOB−∠AOC=10°。 方法：每个内心角要匹配没有出现在角名中的顶点角。 注意：∠AOB对应∠C，∠AOC对应∠B。 方法总结 综合训练方法总结 证明内心与垂直 （1）等距离可判定两条内角平分线。 （2）中线兼角平分线，先证等腰再推垂直。 角的对应关系 （1）∠BOC对应顶点角∠A。 （2）比较两内心角，先分别列出表达式。 针对训练 应用1　三角形花坛中的喷头 一块直角三角形花坛ABC，∠B=90°，AB=6 m，BC=8 m，AC=10 m。在内部设置喷头O，使它到三条边的最短距离相等。说明O的位置，并求共同距离。 6 m 8 m 10 m 答：O位于△ABC的内心；共同距离为2 m。 解 作两条内角平分线，交点O即为所求位置。 花坛面积为 m²。 设共同距离为r，，得r=2。 方法：先用内心定位，再用共同高分割面积。 注意：AC=10 m是题设，不需要另求斜边。 针对训练 应用2　同时照顾道路和住户 两条笔直道路OA、OB互相垂直，住户C在OA上、D在OB上，OC=4 km、OD=6 km。要在这个直角内部设服务点P，使P到两条道路的最短距离相等，并且PC=PD。用尺规确定P的位置并说明理由。 答：P是∠AOB的平分线与线段CD的垂直平分线的交点。 解 到两条道路等距，P应在∠AOB的平分线上。 到两户等距，P应在线段CD的垂直平分线上。 作出两线并取角内交点，逐条验证即得所求点。 方法：把道路等距与住户等距分别转换成一条线。 注意：服务点到住户的距离与到道路的距离是不同对象。 方法总结 应用训练方法总结 三边等距问题 （1）三角形内部等距于三边→内心。 （2）共同距离可通过三块面积求出。 两类等距并用 （1）到道路等距→角平分线。 （2）到两户等距→线段垂直平分线。 $