22.2 角平分线（讲义，3知识2拓展6题型+分层课时巩固）数学新教材沪教版五四制八年级上册

本讲义聚焦初中数学“角平分线”核心知识点，系统梳理尺规作图方法、性质定理（角平分线上点到两边距离相等）及判定定理（角内到两边距离相等的点在角平分线上），构建从操作到推理再到应用的学习支架，衔接直角三角形相关知识。 资料通过分层练习（基础通关到迁移创新）、情境化问题（如蔬菜配送中心选址）及动手操作（尺规作图证明）设计，培养几何直观（数学眼光）、推理能力（数学思维）与应用意识（数学语言），课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固提升，弥补知识盲点。

第22章 直角三角形 22.2 角平分线 课标要点 1. 掌握角平分线的性质定理及其逆定理，并能应用它们进行计算、证明； 2. 会用尺规作角的平分线，并能证明作图方法的正确性。 学习重难点 重点 1. 角平分线性质定理与判定定理的探索、证明和应用； 2. 用尺规作角的平分线（三步）及其正确性的证明。 难点 1. 从操作（折纸、作图）到推理（证明）的过渡：把文字命题写成“已知、求证”并完成证明； 2. 判定定理需借助HL判定直角三角形全等，与性质定理的AAS证明路径不同，方法易混； 3. 对“距离”的理解：必须是点到角的两边所在直线的垂线段长度，须先作垂线。 知识点尺规作图作角平分线 作法 (1) 以点O为圆心、以任意长度a为半径作弧，分别交OA、OB 于点D、E; (2)分别以点D、E为圆心，以DE 的长为半径作弧，两弧相交于∠AOB内的一点C; (3)作射线OC.射线 OC 就是∠AOB的平分线(如图). 随学随练 1．（25-26八年级上·上海·期末）尺规作图：如图，已知，点在上，在的内部求作点，使点到直线的距离相等，且．（保留作图痕迹） 知识点角平分线性质定理 文字表述：角平分线上的点到这个角的两边所在直线的距离相等。 用途：由“点在角平分线上且到两边垂直”证线段相等、求距离。 随学随练 2．（25-26七年级下·上海闵行·阶段检测）根据命题描述，适当画图并证明 证明：等腰三角形底边上的中线上任意一点到两腰的距离相等 知识点角平分线判定定理（逆定理） 文字表述：在角的内部，到角的两边所在直线距离相等的点，均在这个角的平分线上。 用途：由“角内一点到两边距离相等”证点在角平分线上（证角平分线）。 随学随练 3．（25-26八年级上·上海静安·期末）如图，在中，点是边上一点，且，点在上，且点到、的距离相等，连接交于点F． (1)试判断的形状； (2)请证明你的结论． 拓展角平分线＋平行线→等腰三角形 角平分线遇平行线产生等角：角平分线定义所得等角与两直线平行所得内错角（或同位角）结合，推出两个角相等，从而得到等腰三角形。常用于数等腰三角形的个数、证明线段的和差关系。 活学活用 4．（25-26八年级上·上海·阶段检测）如图，在中，，，平分交于点，交于点，交于点，判断线段与的数量关系，并证明你的结论． 拓展 角平分线＋垂直→等腰三角形（三线合一） 过角平分线上一点向一边作垂线并延长，可构造等腰三角形与“三线合一”结构，常用于证中点、垂直。 活学活用 5．（25-26八年级上·上海金山·阶段检测）综合实践题 背景 【直角三角形中角平分线与垂直平分线的探究与发现】 金山实验中学即将举办“校园数学节”，向向和阳阳两位同学对几何学习非常感兴趣，在学习了八年级上册的直角三角形和角平分线后，他们俩一起对直角三角形背景下的角平分线与垂直平分线进行了一番探究，有了一些有意思的发现． 素材 如图1，是直角三角形，． 操作：向向和阳阳画出的角平分线与的垂直平分线、与交于点E． 发现：当长度不变，长度变化时，点E的位置也会随之变 化．当点E位于某个特殊位置时，的度数、一些线段之间的长度关系会存在一定的特殊性． 问题解决 任务1 在如图2所示的直角三角形中，向向发现：点E正好落在边上． （1）请利用尺规作图帮助向向找出点E的位置．（保留作图痕迹，不要求写作法） 任务2 （2）点E在图2的位置时，阳阳发现： ①________； ②，请证明这一发现． 任务3 （3）继续探索发现，如图3所示，C、E、D三点共线，此时向向和阳阳又有了新的发现： ①________； ②若已知，，则能用含字母a、b的式子表示线段的长度，________． 题型 性质求距离/线段长 ▌例1-1 如图，已知，，D为平分线上一点交于F，于E，若，则_____________． ▌例1-2 （25-26八年级上·上海浦东新·期末）在中，，两锐角的角平分线交于点，当时，则点到边的距离为___________． ▌对点练1-1 （25-26八年级上·上海奉贤·期末）如图，中，，平分．若，，则___________． ▌对点练1-2 （25-26八年级上·上海·期末）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，若的面积是，那么__________． ▌对点练1-3 （25-26八年级上·上海普陀·期末）如图，在中，，平分交于点，点在边上，连接，，如果，，那么_____． 题型垂线段最短求最值 ▌例2-1 （25-26八年级上·上海·期末）如图，在中，，，．平分，交于点D．点P在边上，连接，那么线段长度的最小值为________． ▌例2-2 如图，在△ABC中，BA＝BC，BD平分∠ABC，交AC于点D，点M，N分别为BD，BC上的动点，若BC＝4，△ABC的面积为6，则CM+MN的最小值为_____． ▌例2-3 如图，在等边三角形中，是角平分线，是边的中点，是线段上的动点．当的值最小时，的度数为______． ▌对点练2-1 如图，已知线段，点P为线段上一动点，以为边作等边，以为直角边，为直角，在同侧构造，点M为的中点，连接，则的最小值为_________________ ▌对点练2-2 如图，在中，，，，，平分，点、分别是、上不与端点重合的动点，连接、，则的最小值为______． ▌对点练2-3 如图，，点在内部，线段，，，分别是射线，上的动点（不与重合），连接，分别作，的平分线交于点，连接．则线段的最小值为______． ▌对点练2-4 如图，直线，垂足为，点是射线上一点，，以为边在右侧作，且满足，若点是射线上的一个动点（不与点重合），连接．作的两个外角平分线交于点，在点在运动过程中，当线段取最小值时，的度数为 ______． 题型判定求角度 ▌例3-1 （24-25八年级上·上海·期末）如图，在中，，点在边上，，垂足为点，，，则的度数为______________． ▌例3-2 如图，在四边形中，，，垂足为点E．如果，，那么________． ▌对点练3-1 如图，于点B，于点C，，则的度数为_______． ▌对点练3-2 如图，C为内部一点，且点C到的距离与点C到的距离相等，连接，若，则的度数为_______ ▌对点练3-3 如图，在中，，三角形的外角和的平分线交于点E，则______． ▌对点练3-4 如图，在四边形中，，且，．若，则的度数为_______． 题型判定证角平分线 ▌例4-1 （25-26八年级上·上海崇明·期末）如图，在中，，点、分别在边、上，，作于，交边于． (1)求证：平分； (2)求证：． ▌例4-2 （24-25八年级上·上海杨浦·期末）如图，已知，是的中点，平分．求证： (1)平分； (2)． ▌例4-3 （2025八年级上·上海青浦·专题练习）如图，△的和的外角平分线相交于点． (1)若，求的度数； (2)如图2，连接，求证：平分； ▌对点练4-1 （25-26八年级上·上海虹口·期末）如图，在四边形中，，过点作于，于且． (1)求证：平分； (2)求证：． ▌对点练4-2 （25-26八年级上·上海·期中）如图，在中，和的平分线、交于点，连接． (1)求证：平分； (2)？若成立，请证明：若不成立，请说明理由． ▌对点练4-3 （25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）已知，为射线上一点，，． (1)证明：平分； (2)若与交，，证明：． 题型尺规作图与选址 ▌例5 （25-26八年级上·上海黄浦·期末）为了解决市民的“菜篮子”问题，政府准备在区建立一个蔬菜配送中心，、两个蔬菜基地向配送中心供应新鲜的蔬菜，再由配送中心通过和两条高速公路送到市区菜场，要使这个配送中心到蔬菜基地的距离相等，同时到两条公路的距离也相等，这个蔬菜配送中心应该建于何处？在图上标出配送中心的位置．（保留作图痕迹，不写作法，要写答句） ▌对点练5-1 （25-26八年级上·上海·期末）如图，有三条公路a、b、c两两相交于A、B、C三点．现要建设一个商场P，使得它到三条公路的距离相等． (1)小海同学发现，符合条件的商场P的位置一共有4个，其中有一个在的内部．请用尺规作出在外部的另外3个符合要求的点P（保留作图痕迹，不必写作法，可将作出的三个点分别标记为、和）； (2)猜想：请你写出根据（1）的要求作出的三个点所围成的三角形所具有的一个特征：三角形 ． ▌对点练5-2 （25-26八年级上·上海·期末）如图，三条公路两两相交于点A、B、C，现在要在公路边建一所加油站，要求加油站的位置到三条公路的距离都相等． (1)符合要求的位置有__________个； (2)请你找出所有加油站的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出结论）； (3)你的作图依据是__________． ▌对点练5-3 （25-26八年级上·上海普陀·期末）如图，某公共绿地内有四条道路、、、，其中，与、分别交于，与分别交于点米，米，米．现规划在道路上的点之间建一个凉亭，要求凉亭到道路的距离相等． (1)用直尺和圆规作出满足上述条件的点；（不写作法和结论，仅保留作图痕迹，图中清楚地标注点） (2)后期规划在点、之间修一条路，将四边形以为分割线分为两个区域种花，已知点到的距离为80米． ①求的长； ②求四边形的面积．（忽略道路的宽度） 题型性质＋判定综合证明 ▌例6-1 如图，点D在边的延长线上，，的平分线交于点E，过点E作于点H，且． (1)证明：平分； (2)若，，，且，求的面积． ▌例6-2 在中，点D、E分别在、边上，连接、，于F，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，于G，连接交于H，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，若，，求的长． ▌对点练6-1 如图，中，点在边延长线上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且．    (1)直接写出的度数 ； (2)求证：平分； (3)若，，且，求的面积． ▌对点练6-2 在四边形中，点F在边上，，连接，于E，连接交于点M． (1)求证：； (2)若，，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，求． ▌对点练6-3 在四边形中，为对角线，，． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，点G在上，点F在上，连接、，交于点E，，且，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接交于点K，，，求的长． 基础通关 1．（25-26八年级上·上海金山·期末）上海正在建设一批精品口袋公园，如图所示，是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路的距离都相等，则凉亭是的（　　） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三角形的内心 D．三角形的外心 2．（25-26八年级上·上海·阶段检测）如图，是的平分线，点是上的一点，点为直线上的一个动点．若的面积为9，，则线段的长不可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（24-25八年级上·上海静安·期末）如图，在中，，的角平分线交于点，，，则的面积是______． 4．（25-26八年级上·上海虹口·期末）如图，在中，，平分，于点，如果的周长为，长为，则的周长为_____． 5．（25-26八年级上·上海·阶段检测）如图，平分，交于D，，若，则D点到的距离是________． 6．（25-26八年级上·上海静安·期末）如图，中，和的外角平分线、交于点P，于点E，若的周长为12，，，则______． 7．（25-26八年级上·上海静安·期末）如图，，和分别平分和，过点P，且与垂直，垂足为A，交于点D若，则点P到的距离是____． 8．（25-26八年级上·上海·阶段检测）如图，在中，，平分，于点，如果的周长为，长为，则的周长为________． 9．（25-26八年级上·上海·阶段检测）如图，已知：在中，是的平分线，，，，垂足分别为、、．求证：． 10．（25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）作图：在的内部求作一点，使得点到射线的距离相等，且到点、点的距离相等（保留作图痕迹）． 11．（2025八年级上·上海·专题练习）如图，在的边上作一点，使点到内心的距离等于线段的长度（不要求写作法，保留作图痕迹）． 12．（25-26八年级上·上海·阶段检测）如图，在中，，于点，在上，且，平分，求证：． 素养提升 1．（25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）下列命题中，正确命题的个数有（   ） ①点P是的平分线上一点，点M、N分别在边上，则； ②在中，是边的中线，且，则是直角三角形； ③在中，若是边的中线，则； ④已知点C是线段上的一点，点D是线段外的一点，且，则直线是线段的垂直平分线． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（25-26八年级上·上海·期末）如图，已知中，，是的平分线，是边上的高，与交于点，过点作交于点，连接．交于点，则下列结论中，不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）如图，是的角平分线，已知，，那么___________ 4．（25-26八年级上·上海普陀·阶段检测）如图，在中，是的平分线，，，则________． 5．（25-26八年级上·上海·阶段检测）如图，依据尺规作图的痕迹，______． 6．（25-26八年级上·上海·阶段检测）如图，在中，，分别平分，，于点．若，的面积是50，则的周长为____． 7．如图，在中，点D是边上的一点，连接，且，平分，交于点E，过点E作，垂足为F，连接，且．若，，的面积是，则的面积是_____． 8．如图，在中，，的平分线交于点，若，，，则的面积是_______． 9．（25-26八年级上·上海青浦·期末）如图，是的外心，的平分线上一点，． (1)求证：； (2)若是等腰三角形，，与交于点，求证：． 10．（25-26八年级上·上海闵行·期末）如图，已知在中，． (1)用直尺和圆规在边上求作一点，使点到边和的距离相等（保留作图痕迹，写出结论，不写作法）； (2)如果，点是边上一点，且，求的长． 11．（25-26八年级上·上海普陀·期末）如图，已知． (1)操作： ①在内部找一点，使点到两边所在直线的距离相等，且； ②连接、； (2)猜想与之间满足怎样的数量关系，并证明你的结论． 12．如图，中，，利用无刻度的直尺和圆规完成下列作图． (1)在如图（1）边上求作一点D，使点D到点A、C两点的距离相等； (2)在如图（2）边上求作一点E，使得. 13.如图，在中，为外一点，连接，平分于点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 14.如图，中，平分且平分，于E，于F． (1)求证：； (2)探究和的数量关系，并说明理由． 15.如图，是的平分线．垂直平分于点P，于点F，于点E． (1)求证：； (2)若，，则______． 迁移创新 1．（25-26八年级上·上海·期末）如图，在中，延长至点，延长至点的角平分线交于点P，交于点，垂足分别为点M、N．则下列结论中正确的个数（   ）． ①平分；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于，交于，过点作于，下列四个结论： ①；②；③当时，分别是的中点；④若，则．其中正确的结论有（   ） A．①②④ B．①③ C．②③④ D．①②③④ 3．如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E，，相交于点O，若，则的值为______． 4．（25-26八年级上·上海·期末）（1）图1是课本P117中的用尺规作一个已知角的平分线的方法．根据作法，我们可以用_______________的判定方法证明与全等，再根据全等三角形的__________，得出，即射线平分． 如图，已知，求作的平分线． 作法 （1）以点O为圆心，以任意长度a为半径作弧，分别交、于点D、E； （2）分别以点D、E为圆心，以的长为半径作弧，两弧相交于内的一点C； （3）作射线． 射线就是的平分线（图）． 图1 （2）乐乐发现，将两把相同的三角尺按照图2放置：较短的直角边分别与的两边重合，且两把三角尺的斜边也重合，两个三角尺较长的直角边相交于点O，则射线即为的平分线．请你根据乐乐的作法，证明射线为的平分线． 5．（24-25八年级上·上海普陀·期末）【例题回顾】本学期我们学习了角平分线定理及其逆定理，下面的例题1同时运用了角平分线定理及其逆定理完成了该几何问题的证明． 例题1已知∶如图，，分别是，的平分线，，，垂足分别为点D，E． 求证：点O在的平分线上． 证明∶过点O作，垂足为点F， ∵，分别是，的平分线（已知）， ，（已知）， （所作）． ∴，（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）， ∴（等量代换）， ∴点O在的平分线上（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）． 【研究老图形】 在例题1的图中，分别连接，，． （1）点O为三条的 交点，点O为三条 的交点（填写序号）； ①边的垂直平分线②角平分线③高④中线 （2）小普发现和的内角之间存在一定的数量关系，如果，那么 ；（用含m的代数式表示） 【解决新问题】 为了方便研究，小普同学把满足例1条件的叫做的“内三角形”，点O叫做“共心”． （3）已知是的“内三角形”，点O是“共心”，点D，E，F分别在边，，上，且．先画出符合条件的示意图，再过点E作于点G，求证∶点G在直线上． 6．（25-26八年级上·上海·阶段检测）如图，已知：在中，是它的角平分线． (1)特例发现：如图②，当时，根据________，可知，由此可推得_______；（填“”、“”或“”） (2)一般归纳：如图①，当时，那么（1）中推得的结论仍然成立吗？如果成立，请证明； (3)综合应用：如图③，是的角平分线，且与相交于点，若，，求的值．（直接写出答案） 7．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）学习完角平分线，小希同学总结了学习心得：“对称是一种解题方法，即分析问题时我们要善于观察并利用问题自身条件的某些对称性．”结合以上内容解决问题： 已知在中，点，分别在，的延长线上，平分，平分． (1)求证：平分； (2)若，则______． (3)在中，作的平分线交于点，若，且，，求点到射线的距离． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第22章 直角三角形 22.2角平分线 课时目标 1.掌握角平分线的性质定理及其逆定理，并能应用它们进行计算、证明； 课标要点 2.会用尺规作角的平分线，并能证明作图方法的正确性。 重点 1.角平分线性质定理与判定定理的探索、证明和应用； 2.用尺规作角的平分线（三步）及其正确性的证明。 难点 学习重难点 1.从操作（折纸、作图）到推理（证明）的过渡：把文字命题写成“已知、求证”并完 成证明： 2.判定定理需借助HL判定直角三角形全等，与性质定理的AAS证明路径不同，方法易 混： 3.对“距离”的理解：必须是点到角的两边所在直线的垂线段长度，须先作垂线。 清主线 课时内容导图 1/79 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)以点O为圆心、以任意长度a为半径作弧，分别文OA、OB于点D、E; (2分别以点D、E为圆心，以DE的长为半径作弧，两弧相交于∠AOB内的一点C 尺规作图 (3作射线OC.射线OC就是∠AOB的平分线如图). 角平分线上的点到这个角的两边所在直线的距离相等 性质定理 角平分线 用途：由“平分+垂直“证线段相等、求距离 在角的内部，到角的两边所在直线距离相等的点，均在这个角的平分线上 判定定理（逆定理） 用途：由“距离相等“证角平分线 选址：到三角形三边距离相等的点共4个（内心+3个旁心） 应用·拓展 经典模型 角平分线+平行线一等腰三角形 角平分线+垂线一等腰（三线合一） 理新知 教材全盘梳理 知识点 尺规作图作角平分线 作法 (1)以点O为圆心、以任意长度a为半径作弧，分别交OA、OB于点D、E; (2)分别以点D、E为圆心，以DE的长为半径作弧，两弧相交于∠AOB内的一点C; (3)作射线OC.射线OC就是∠AOB的平分线（如图）， D 随学随练 1.(25-26八年级上上海期末)尺规作图：如图，己知∠A0B,点G在OB上，在∠AOB的内部求作点 p:使点p到直线OA.OB的距离相等，且PG=0G。(保留作图痕迹) 2 2/79 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -B 【答案】 如图所示为所求： A E 【分析】本题主要考查了角平分线，垂直平分线，线段的作图.解题的关键是熟悉基本几何图形的性质， 结合几何图形的基本性质把复杂作图分解成基本作图：作出∠AOB的角平分线：再作出OG的垂直平分线， 交OB于点E,则GE=2OG,最后以点G为圆心，GE的长为半径画弧交∠A0B的角平分线于点p,连接 PG 可得PG=GE=二OG 知识点 2 角平分线性质定理 文字表述：角平分线上的点到这个角的两边所在直线的距离相等。 用途：由“点在角平分线上且到两边垂直”证线段相等、求距离。 随学随练 2.(25-26七年级下·上海闵行阶段检测)根据命题描述，适当画图并证明 证明：等腰三角形底边上的中线上任意一点到两腰的距离相等 【详解】已知：如图，在△ABC中，AB=AC,AD为BC边上的中线，P为AD上的任一点，PE⊥AB, PF⊥AC 3/79 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 求证：PE=PF: 证明：：AB=AC,AD为BC边上的中线， .AD平分∠BAC, :PE⊥AB,PF⊥AC, ∴PE=PF. ∴，等腰三角形底边上的中线上任意一点到两腰的距离相等 知识点 3 角平分线判定定理（逆定理） 文字表述：在角的内部，到角的两边所在直线距离相等的点，均在这个角的平分线上。 用途：由“角内一点到两边距离相等”证点在角平分线上（证角平分线）。 太7随学随练 3.(25-26八年级上上海静安期末)如图，在△ABC中，点D是AB边上一点，且∠ACB=∠CDA,点E在 BC上，且点E到AC、AB的距离相等，连接AE交CD于点F. (①)试判断△CEF的形状； (2)请证明你的结论， 【详解】(1)解：aCEF是等腰三角形. :点E到AC、AB的距离相等， ∴.∠CAE=∠BAE, :∠AEC=180°-∠CAE-∠ACB, ∠AFD=180°-∠BAE-∠ADC, 又∠ACB=∠ADC, .∠AEC=∠AFD, :∠CFE=∠AFD, ∴.∠AEC=∠CFE, ∴CF=CE, 4/79 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 即△CEF是等腰三角形. (2)证明：：点E到AC、AB的距离相等， ∴∠CAE=∠BAE, ,∠AEC=180°-∠CAE-∠ACB, ∠AFD=180°-∠BAE-∠ADC, 又∠ACB=∠ADC, ∴∠AEC=∠AFD, ,∠CFE=∠AFD. ∴.∠AEC=∠CFE, .CF=CE, 即△CEF是等腰三角形 破疑难 核心素养拓展 拓展 角平分线+平行线→等腰三角形 角平分线遇平行线产生等角：角平分线定义所得等角与两直线平行所得内错角（或同位角）结合，推出两 个角相等，从而得到等腰三角形。常用于数等腰三角形的个数、证明线段的和差关系。 上活学活用 4.(25-26八年级上上海阶段检测)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD1AB,AE平分∠BAC交BC 于点E,交CD于点F,FGI‖AB交BC于点G,判断线段CE与BG的数量关系，并证明你的结论. B 【答案】CE=BG 【详解】证明：CE=BG,理由如下， 5/79 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 G ◇ D H B 过点E作EH⊥AB于H, :AE平分∠BAC,∠ACB=90°（即EC⊥AC), ∴.EC=EH CD⊥AB, .∠ADF=90° .∠DAF+∠AFD=90°： 又∠ACB=90°， ∠CAE+∠CEA=90°： :AE平分∠BAC, .∠CAE=∠DAF, .∠CEA=∠AFD: 又∠AFD=∠CFE(对顶角相等)， ∴.∠CEA=∠CFE: 根据等腰三角形的判定（等角对等边）， :.CE=CF, 则CF=EH :FG∥AB, ∴.∠CGF=∠B 又CD⊥AB,EH⊥AB, .∠FCG=∠EHB=90°. 在△CFG和△EHB中： I∠CGF=∠B ∠FCG=∠EHB CF=EH .·ACFG≌AEHB(AAS) ∴.CG=EB ∴.CG-EG=EB-EG. 6179 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即CE=BG 拓展 ●】 角平分线+垂直一→等腰三角形（三线合一） 过角平分线上一点向一边作垂线并延长，可构造等腰三角形与“三线合一”结构，常用于证中点、垂直。 7活学活用 5. (25-26八年级上·上海金山阶段检测)综合实践题 【直角三角形中角平分线与垂直平分线的探究与发现】 金山实验中学即将举办“校园数学节”，向向和阳阳两位同学对几何学习非常感兴趣， 背景 在学习了八年级上册的直角三角形和角平分线后，他们俩一起对直角三角形背景下的角平分线 与垂直平分线进行了一番探究，有了一些有意思的发现. 如图1，△ABC是直角三角形，∠C=90° 操作：向向和阳阳画出∠CAB的角平分线AE与AB的垂直平分线 DE、AE与DE交于点E. 素材 发现：当AC长度不变，BC长度变化时，点E的位置也会随之变 化.当点E位于某个特殊位置时，∠B的度数、一些线段之间的长 图1 度关系会存在一定的特殊性 问题解决 在如图2所示的直角三角形中，向向发现：点E正好落在边BC 任务 上 1 (1)请利用尺规作图帮助向向找出点卫的位置.（保留作图痕 迹，不要求写作法) (2)点E在图2的位置时，阳阳发现： B 图2 任务 ①∠B= - 2 ②BE=2CE,请证明这一发现. 7179 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)继续探索发现，如图3所示，C、E、D三点共线，此时向向 和阳阳又有了新的发现： 任务 ①∠B= ； 3 ②若已知AD=a,BC=b,则能用含字母a、b的式子表示线段 E DE的长度，DE= 图3 【详解】(1)解：作∠CAB的角平分线AE,作AB的垂直平分线DE,AE与DE相交于E,点E正好落 在边BC上，如图2所示： 图2 (2)①解：：AE平分∠CAB, ∴.设∠BAE=∠CAE=a, ∴.∠BAC=2a :DE是AB的垂直平分线， .AE=BE, ∴.∠B=∠BAE=a, 在△ABC中，∠C=90°， .∠B+∠BAC=90°， ∴.u+2a=90°， 解得：a=30°， .∠B=a=30°， 故答案为：30°： ②证明：在RtAACE中，∠CAE=a=30°， :AE=2CE, .AE=BE, :BE=2CE: (3)①解：：AB的垂直平分线为DE,C、E、D三点共线， 8/79 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :.BC=AC, △ABC是等腰直角三角形 .∠B=∠DAC=45°， 故答案为：45°： ②解：过点E作EF⊥AC于点F,如图3所示： 图3 :AE平分∠CAB,ED⊥AB,EF⊥AC, ∴.DE=EF 设DE=EF=x, ∠DAC=45°，CD⊥AB, △ACD是等腰直角三角形， ∴.CD=AD=a, S.AEC+SAED=S4CD AC:EF+-AD:DE=-AD.CD 2 AC·EF+ADDE=ADCD, ..bx+ax=a2, a2 ..x= a+b' DE=a2 a+b 通题型 解题能力构建 题型 1 性质求距离/线段长 I例1-1如图，己已知，∠BAC=30°，D为∠BAC平分线上一点DF∥AC交AB于F,DE⊥AC于E,若 DE=2,则DF= 9179 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E 【答案】4 【详解】解：过点D作DG⊥AB于点G, B D E :点D为∠BAC平分线上，DE⊥AC,DG⊥AB, .DG=DE=2, :DF∥AC, .∠GFD=∠BAC=30° ∴在Rt△DFG中，DF=2DG=2×2=4, I例1-2(25-26八年级上·上海浦东新期末)在Rt△4BC中，∠C=90°，两锐角的角平分线交于点P, 当AC=6,BC=8,AB=10时，则点P到边AB的距离为 【答案】2 【详解】解：如图，连接PC,过点P作PD⊥BC,PE⊥AC,PF⊥AB,垂足分别为D,E,F. 6-p. D B 由于点P是∠BAC和∠ABC的角平分线的交点， 根据角平分线的性质，点P到各边的距离相等，即PD=PE=PF, 设PD=x,则PE=PF=x. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6,BC=8,AB=10 S.ARC=4C.BC=-x6X8=24 2 10/79 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 S.4BC=S.P4B+S.POC+S.P4C -:PD+AC.PE 10x+2 1 2 ×8x+ 2 ×6x =12x. 因此12x=24, 解得x=2. 故点P到AB的距离为2. 故答案为2 I对点练1-1■(25-26八年级上·上海奉贤期末)如图，RtABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB.若 SABD=20,AB=10,则CD= D B 【答案】4 【详解】解：如图，作DE⊥AB,垂足为E, E B :AD平分∠CAB 又∠C=90°，DE⊥AB, .CD=DE, S。ABD=5AB.DE=20, 2 &.2x10xDE=20 解得，DE=4, .CD=DE=4 11/79 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：4. ■对点练1-2(25-26八年级上上海期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长 为半径画弧，分别交AC,AB于点MV,再分别以点M、V为圆心，大于2MW长为半径画弧，两弧交 于点P,作射线AP交BC于点D,若△ABC的面积是36，AB+AC=20,那么CD=】 P B 【答案】3.6 【详解】解：如图，过点D作DH⊥AB于H, B ,∠C=90°， DC⊥AC, 又由作图可知AD是∠BAC的角平分线， .DH DC, :△ABC的面积是36， DCDCABDCCDC-DC(AB+AC) 2 ,AB+AC=20, 1 DC×20=36 .DC=3.6, 故答案为：3.6 I对点练1-3(25-26八年级上上海普陀期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交 AC于点D,点E在边BC上，连接DE,∠CED=∠A,如果AB=7,CE=2,那么BE= 12/79 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B 【答案】3 【详解】解：过点D作DF⊥AB于点F, :BD平分∠ABC,∠C=90°， .'DC=DF, 在RtACDB和Rt△FDB中 「DC=DF DB=DB' ACDB≌aFDB. .BC=BF, D C E 在RtAAFD和RtECD中 ∠A=∠CED :∠AFD=∠ECD DF=DC .△AFD≌aECD(AAS), .EC=AF AB=7,CE=2, .EC=AF=2,BC=BF=AB-AF=5, .BE=BC-EC=5-2=3, 故答案为：3. 13/79 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型 垂线段最短求最值 I例2-1(25-26八年级上上海期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=3.CD平 分∠ACB,交AB于点D.点P在边AC上，连接DP,那么线段DP长度的最小值为 【答案】2 【详解】解：∠ACB=90°，CD平分∠ACB, .∠DCA=∠DCB=45°， 又：点P在边AC上， 当DP⊥AC时，DP的长度最小， 如图，过点D作DP⊥AC,DE⊥BC, B E ∴.△DPC和△DEC均为等腰直角三角形， 设DP=a, ∴DP=PC=CE=DE=a, AC=6,BC=3, SA4C=SADBC+SA4DC=AC.BC=9 ÷2BCDE+)AC.DP=9, 2 即2×3a+2x6a=9,解得a=2, 2 14/79 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .DP长度的最小值为2， 故答案为：2 I例2-2如图，在△ABC中，BA=BC,BD平分∠ABC,交AC于点D,点M,N分别为BD,BC上的动 点，若BC=4,△ABC的面积为6，则CM+MN的最小值为， D M B 【答案】3 【详解】解：连接AM,过点A作AH⊥BC于点H,如图， M H ,BC=BA,BD平分∠ABC, ·.BD⊥AC且平分AC, .BD是线段AC的垂直平分线，则AM=CM, .MN+CM MN+AM, 根据“垂线段最短”得MN+AM≥AH, 即当点M在线段AH上时，MN+AM为最小，最小值为线段AH的长， ,△ABC的面积为6，BC=4, ÷S4c=)BCAH=6, 2 4H-C号3，即GMn的小值g 故答案为：3. I例2-3如图，在等边三角形ABC中，CD是角平分线，P是边AC的中点，Q是线段CD上的动点.当 A0+P№的值最小时，∠AOP的度数为一 15/79 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 【答案】60° 【详解】解：连接BP交CD于点，连接Ag,如图： 2< 在等边三角形ABC中， :CD是角平分线，P是边AC的中点， AD=BD=AB:CDL4B:AP=CP= 1 2AC,BP⊥AC ·∠ADQ=∠BDQ=∠APQ=∠CPQ=90° 在△ADO和△BD中， AD=BD ∠ADQ=LBDQ, DO=DO .△ADQ≌aBDQ(SAS). ..AO=BO, 当点B,O,P在一条直线上时，BQ+PO最短，即A0+P的值最小， ,△ABC是等边三角形， .AB=AC,∠BAC=60°， :DB,4P54C, 1 2 ∴AD=AP, 在Rt△ADQ和Rt△APO中， 「AQ=AQ AD=AP' 16/79 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :.RtAADO≌RtAPO(HL), ∠B40=C40-BAC=×60=30, :.∠AQP=180°-∠CAQ-∠APQ=180°-30°-90°=60° 故答案为：60°： ■对点练2-1如图，已知线段AB=6,点P为线段AB上一动点，以PB为边作等边△PBC,以PC为直 角边，LCPE为直角，在△PBC同侧构造Rt△PCE,点M为EC的中点，连接AM,则AM的最小值为 【答案】3 【详解】解：连接PM,BM,并延长BM至F, ,∠CPE=90°，M为CE的中点， .PM =CM=CE, :等边△PBC, .BC=PB,∠PBC=60°， BM =BM, ·.aBCM≌△BPM(SSS). ∴.∠CBM=∠PBM=30°， ∴.M在∠PBC的角平分线BF上运动， 当AM⊥BF时，AM最小， ×6=3」 2 故答案为：3. I对点练2-2如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=12,BC=5,AB=13,BP平分∠ABC,点D、 E分别是BC、BP上不与端点重合的动点，连接CE、DE,则CE+DE的最小值为一 17179 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0 【答案】13 【详解】解：如图，在BA上截取线段BF=BD,作CG⊥AB,垂足为G, B ,BP平分∠ABC, ∴.∠DBE=∠FBE, 在△DBE和△FBE中， BD=BF ∠DBE=∠FBE, BE=BE ·.△DBE≌aFBE(SAS), ∴DE=FE, 由垂线段最短可知，CE+FE≥CG, ∴当点C、E、F都在垂线段CG上时，CE+FE最小，即CE+DE最小， Swe-CBC--CG. 1 :CG=4C:8c-5x12_60 AB 1313 60 CE+DE的最小值为13： 0 故答案为：13 I对点练23如图，∠ABC=110°，点D在∠ABC内部，线段BD=3V5,∠ABD=25,E,F分别是射 线BA,BC上的动点（不与B重合），连接EF,分别作∠AEF,∠EFC的平分线交于点G,连接DG. 则线段DG的最小值为 G 18/79 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 答15 【详解】解：如图所示，作射线BG,过点D作DH⊥BG于点H,过点G作GK⊥EF于点K,过点G作 GO⊥AB于点O,过点G作GP⊥BC于点P, G D B :∠AEF,∠EFC的平分线交于点G, GO=GK,GP=GK GP=GO ,点G在∠ABC内部 BG平分∠ABC,即∠ABG=∠CBG=∠AC=5 ∴当E,F分别在射线BA,BC上移动时，点G始终在∠ABC角平分线上 ∴当DG⊥BG时，即点G和点H重合时，线段DG取得最小值， :∠ABD=25° .∠DBG=∠ABG-∠ABD=55°-25°=30° :.DH=IBD-3 线度0G的级小值为了5 故答案为： I对点练2-4如图，直线MN1P,垂足为O,点A是射线OP上一点，OA=2,以OA为边在OP右侧 作∠AOF=24°，且满足OF=4,若点B是射线ON上的一个动点（不与点O重合），连接AB.作△AOB 的两个外角平分线交于点C,在点B在运动过程中，当线段CF取最小值时，LOFC的度数为 19/79 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M O 【答案】69° 【详解】解：如图，作CE⊥P№于E,CG⊥MN于G,CH⊥AB于H,连接OC, E M- B G 2 :AC平分∠PAB,CE⊥P2,CH⊥AB, .'.CE=CH, 同理可得，CG=CH, .CE=CG. ,CE⊥Pg,CG⊥MN, .OC平分∠AOB,即点C在∠AOB的平分线上， :∠A0C=)∠A0B=45°. :∠A0F=-24°， ∴.∠F0C=∠AOC-∠A0F=45°-24°=21°」 如图，作FC⊥OC于C',则CF≤CF,即CF的最小值为CF,此时点C与C'重合， :∠FC0=90°， ∠0FC'=90°-∠F0C=90°-21°=69° ∴当线段CF取最小值时，LOFC的度数为69°， 故答案为：69° 20179 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型 3 判定求角度 I例31☐(24-25八年级上上海期末)如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，点D在边AB上，DE⊥BC, 垂足为点E,AD=DE,∠B=32°，则∠BCD的度数为 D E 【答案】29° 【详解】解：：∠A=90°，∠B=32, ∠ACB=90°-32°=58°， :∠A=90°，DE⊥BC,AD=DE, .CD平分∠ACB, ∠BCD=)∠ACB=29: 故答案为：29° 1例32如图，在四边形HBCD，中AB=AC,CELAD垂是为点反.数果CE=BC,∠CD=1g 2 那么∠B= A E B C 【答案】72 【详解】解：过点A作AF⊥CB 21179 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A E D C .AB=AC. 1 ÷.CF=2BC 1 ..CE=BC. 2 .'CE=CF, ,CE⊥AD ∴.AC平分∠EAF, ∴.∠EAC=∠FAC. .AB=AC, .△ACB为等腰三角形， ∴.AF平分∠CAB, ∠CAD=18°， .∠FAB=18°， ∠B=180°-90°-18°=72°， 故答案为：72. I对点练3-1如图，DB⊥AB于点B,DC⊥AC于点C,BD=DC,∠BAC=II0°，则∠BAD的度数为 【答案】55 22179 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：：DB⊥AB,DC⊥AC,BD=DC, ∴AD为∠BAC的角平分线， ∠BAD=)∠BAC=55°， 2 故答案为：55° 对点练3-2如图，C为∠AOB内部一点，且点C到A0的距离与点C到OB的距离相等，连接OC,若 ∠AOC=21°，则∠B0C的度数为 【答案】21 【详解】解：C为∠AOB内部一点，且点C到AO的距离与点C到OB的距离相等， .OC平分∠AOB, ,∠A0C=21°， ∴∠B0C=∠A0C=21°， 故答案为：21° I对点练3-3如图，在△ABC中，∠ABC=48°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E,则 ∠EBF=】 D E B F 【答案】24° 【详解】解：过点E作EM⊥AB、EN⊥BCEO⊥AC,如图所示： A E 三角形的外角 和 的平分线交于点E, ◇y B NF.. ∠DAC ∠ACF 23179 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ·EM=EO,EN=EO, .EM=EN, :EM⊥AB、EN⊥BC, ∴BE平分∠ABC, ·∠EBF=2 ∠ABC=5×48°=24°， 2 故答案为：24° I对点练34如图，在四边形AEDC中，∠EAC+∠EAD=180°，且∠ADE=30°，∠ADC=120°.若 ∠DAC=40°，则∠ECD的度数为. D 【答案】10° 【详解】解：分别延长CD,CA,过点E作EG⊥CD交CD于G,EH⊥CA交CA于H,EP⊥AD交AD 于P, HA G D C∠EAC+∠EAD=180°∠EAC+∠EAH=180 ∴∠EAH=∠EAD,即EA平分∠HAD, :EH⊥CA,EP⊥AD, ∴.EH=EP, :∠ADE=30°，∠ADC=120° ∴.∠EDG=180°-∠ADC-∠ADE=180°-120°-30°=30°， ∠EDG=∠ADE=30°，∠ADG=∠EDG+∠ADE=60°， ∴.ED平分∠ADG, ·EG⊥CD,EP⊥AD, :.EP=EG, .EP=EG=EH, 24179 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∴EC平分∠ACD, 1 .∠ECD= ∠ACD 2 ∠DAC=40°， ∴.∠ACD=∠ADG-∠DAC=60°-40°=20°， :.∠ECD 2∠ACD=10°， 故答案为： 10° 题型 判定证角平分线 I例4-1(25-26八年级上：上海崇明期末)如图，在△ABC中，∠A=90°，点D、E分别在边AB、BC 上，AD=CE,作EF⊥BC于E,交边AC于F,DF=CF. (I)求证：BF平分∠ABC: (2)求证：BC+BD=2BE 【详解】(1)证明：~EF⊥BC,∠A=90°， ∴.∠CEF=∠A=90°， 在Rt△ADF与RtAECF中， AD=CE DF=CF' ∴.RtADF≌RtAECF(HL), .AF EF, :EF⊥BC,FA⊥AB ∴BF平分∠ABC (2)证明：在Rt△ABF与Rt△EBF中 「AF=EF BF=BF' .RteABF≌RtAEBF(HL), 25179 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :AB=BE, .AD=CE, :AB-BD=BC-BE, .BE-BD=BC-AB. .BE-BD=BC-BE, .BC+BD=2BE ■例42(24-25八年级上·上海杨浦期末)如图，已知∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分 ∠ADC.求证： D M A B (I)AM平分∠DAB: (2)DM⊥AM. 【详解】(I)证明：如下图所示，过点M作MN⊥AD, 0 N M 平分 6 DM ∠ADC∠C=90° .MC⊥DC, .MN =MC, :M是BC的中点， ∴.MC=MB .MC=MB=MN, .AM平分∠DAB: 2)证明：由0)可知AM平分∠DAB, 26179 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∴∠cDM=∠ADM=ADc, 又：DM平分∠ADC, 1 ∴.∠DAM=∠BAM=∠DAB」 2 ∠B=∠C=90°， .∠B+∠C=180°， .DC∥AB, ∴.∠ADC+∠DAB=180° :∠4DM+∠DaM-∠ADC+∠D16)=90 在△ADM中，∠AMD=180°-∠ADM-∠DAM=90°， .DM⊥AM. I例4-3(2025八年级上·上海青浦专题练习)如图，△ABC的∠ABC和∠ACB的外角平分线相交于点G B G G 图1 图2 (1)若LBAC=60°，求∠BGC的度数： (2)如图2，连接AG,求证：AG平分∠BAC: 【详解】(1)解：：∠BAC=60° .∠ABC+∠ACB=180°-∠A=120°， :∠CBE=180°-∠ABC,∠BCF=180°-∠ACB, ∴，∠CBE+∠BCF =180°-∠ABC+180°-∠ACB =360°-（∠ABC+∠ACB) =360°-120° =240°， ~BG平分∠CBE,CG平分∠BCF, 27179 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠CBG= ∠CBE,∠BCG= 2 1 LCBG+∠BCG= 1 BCF-(ZCBE+∠BCP=20 :∠BGC=180°-（∠CBG+∠BCG)=60°： (2)证明：过点G作GH⊥AE于点H,过点G作GM上AF于点M,过点G作GN⊥BC于点N,如图 所示： C B M 平分 平分 H▣ G .BG ∠CBE CG ∠BCF ..GH=GN,GM=GN, ∴.GH=GM, .AG平分∠BAC: ■对点练41(25-26八年级上·上海虹口期末)如图，在四边形ABCD中，BC=CD,过点C作 CE⊥AB于E,CF⊥AD于F且DF=BE. A (1)求证：AC平分∠DAB: (2)求证：AB+AD=2AE, 【详解】(1)证明：：CE⊥AB,CF⊥AD ·∠BEC=LF=90°， ,在RtACDF和Rt△CBE中， CD=CB DF=BE' :.RtACDFS≌RtACBE(直角三角形全等的判定定理)， ..CF=CE, 28179 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :CE⊥AB,CF⊥AD, AC平分∠DAB, (2) 证明：：在Rt△ACF和RtAACE中， AC=AC CF=CE' :.Rt△ACF≌Rt△ACE(直角三角形全等的判定定理)， .'AF AE. ·BE=DF .'AB+AD=AE+BE+AF-DF=AE+BE+AE-BE=2AE. ■对点练42(25-26八年级上·上海期中)如图，在△ABC中，∠CAB和∠ABC的平分线AD、BE交于 点P,连接CP B (1)求证：CP平分∠ACB: (2)∠ACB=60°，EP=DP？若成立，请证明：若不成立，请说明理由. 【详解】(I)证明：如图1，过P作PF⊥AB于点F,PG⊥AC于点G,PH⊥BC于点H, H 平分 P h B F 图1 AD ∠BAC .PF=PG BE平分∠ABC, ..PF PH, :PG=PH, ·.CP平分∠ACB; (2)EP=DP成立，证明如下： 29/79 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设LCAB<LCBA, 如图2，过P作PH⊥AC于点H,PM⊥CB于点M,PO LAB于点O, H D以M 则点 在线段 上，点在线段 上， 图2 H CE M BD :∠CAB和∠ACB的平分线AD、BE交于点P,∴PH=PO=PM, :∠ACB+∠CAB+∠ABC=180°，∠ACB=60°，.∠CAB+∠ABC=120°， AD、BE分别平分∠CAB、∠ABC,∠PAB+∠PBA=60°， :∠CEP=∠CAP+∠PAB+∠PBA=∠CAP+60°，∠ADB=∠CAP+∠ACD=∠CAP+6O°， 「∠HEP=∠MDP ,在 和 中， {∠EHP=∠DMP ∴.∠CEP=∠ADB △PHE△PMD PH=PM APHE≌aPMD(AAS)·EP=DP ■对点练43(25-26八年级上江西南昌阶段检测)已知，C为射线AD上一点，∠DAP=∠PBC, PA=PB」 图1 图2 (1)证明：CP平分∠DCB； (2)若AP与BC交M,∠APB=2∠CPA,证明：BM=AC+CM 【详解】(I)证明：过点P作PF⊥AD于点F,PE⊥BC于点E, D ∴.∠PFA=∠PEB=90 :∠DAP=∠PBC,PA=PB, 30179 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∴.△PAF≌aPBE(AAS). .PF =PE. :PF⊥AD,PE⊥BC, ∴CP平分∠DCB (2)证明：在CD上截取CE=CM,连接PE. D E B 由(1)得CP平分∠DCB, ∴.∠PCE=∠PCM .PC=PC, .aPCE≌aPCM(SAS). .∠EPC=∠MPC. :∠APB=2∠CPA. ∴.∠APB=∠APE ∠DAP=∠PBC,PA=PB, ∴.△PBM≌△PAE(ASA)」 ∴.BM=AE=AC+CE=AC+CM 题型 尺规作图与选址 例5(25-26八年级上·上海黄浦期末)为了解决市民的“菜篮子”问题，政府准备在$区建立一个蔬 菜配送中心E,A、B两个蔬菜基地向配送中心供应新鲜的蔬菜，再由配送中心通过m和两条高速公路 送到市区菜场，要使这个配送中心到蔬菜基地的距离相等，同时到两条公路的距离也相等，这个蔬菜配送 中心应该建于何处？在图上标出配送中心E的位置.（保留作图痕迹，不写作法，要写答句) 31179 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 n B m 【答案】解：如图，点E即为所求： B D m 【分析】本题考查了尺规作图--作角平分线，线段的垂直平分线，涉及角平分线的性质定理和线段垂直 平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质定理和线段垂直平分线的性质是解题的关键， 先连接线段AB,然后作出线段AB的垂直平分线，再作出两公路m、n夹角的角平分线QE,与线段AB的 垂直平分线相交于点E，根据角平分线的性质定理可知点E到m、的距离相等和线段垂直平分线的性质 知EA=EB,即点E为所求 I对点练5-1(25-26八年级上上海期末)如图，有三条公路a、b、c两两相交于A、B、C三点.现要建 设一个商场P,使得它到三条公路的距离相等. B (1)小海同学发现，符合条件的商场P的位置一共有4个，其中有一个在△4BC的内部.请用尺规作出在 △ABC外部的另外3个符合要求的点P(保留作图痕迹，不必写作法，可将作出的三个点分别标记为P、 P和B): (2)猜想：请你写出根据(1)的要求作出的三个点所围成的三角形所具有的一个特征：三角形P乃_， 【答案】(1)P、B和B如图所示： 32179 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：根据(1)的要求作出的三个点所围成的三角形所具有的一个特征：三角形BB是锐角三角形. ■对点练5-2(25-26八年级上·上海·期末)如图，三条公路两两相交于点A、B、C,现在要在公路边建一 所加油站P,要求加油站P的位置到三条公路的距离都相等. B (1)符合要求的位置有 个： (2)请你找出所有加油站P的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出结论）： (3)你的作图依据是 【详解】(1)解：三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，三角形相邻两个外角（共三组） 的平分线交点到三角形三边的距离相等， 故符合要求的位置有4个， 故答案为：4； ②)如图所示，R、B、乃、P即为加油站的位置， (3)解：作图的依据是角平分线的判定定理， 故答案为：角平分线的判定定理 33179 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ■对点练53(25-26八年级上上海普陀期末)如图，某公共绿地内有四条道路4、，、4、4，其中 1∥1,4与4、1分别交于A、B,14与1分别交于点D、C,AD=180米，AB=120米，BC=140米. 现规划在道路上的点A、D之间建一个凉亭P,要求凉亭P到道路2的距离相等. B (①)用直尺和圆规作出满足上述条件的点P；(不写作法和结论，仅保留作图痕迹，图中清楚地标注点P) (②)后期规划在点B、P之间修一条路，将四边形ABCD以BP为分割线分为两个区域种花，已知点P到 的距离为80米. ①求PD的长： ②求四边形PBCD的面积.（忽略道路的宽度） 【详解】（①）根据题意，点P即为所求。 P/ D (2)①解：：BP是∠ABC的平分线， .∠ABP=∠CBP 412, .∠APB=∠CBP, .∠APB=∠ABP, .AP=AB, :AD=180米，AB=120米， .AP=AB=120米， .PD=AD-AP=AD-AB=60(米)； ②解：过点P作PG⊥AB,PE⊥BC,垂足分别为点G,点E, 根据题意，得PG=PE=80米， 34179 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∴四边形PBCD的面积为： PD+8C)PE=×(60+140)x80=800(平方米). 题型6 性质+判定综合证明 I例6-1如图，点D在边BC的延长线上，∠ACE=28°，∠ABC的平分线交AD于点E,过点E作 EH⊥BD于点H,且∠CEH=62° F B H 0 (1)证明：AE平分∠CAF: (2)若AB=8,CD=10,AC=6,且SABE=16,求△ACD的面积. 【详解】(I)证明：过E点作EM⊥BF于M,EN⊥AC于N, BE平分∠ABC, .EM=EH, ∠ACE=28°，∠CEH=62°， .∠HCE=90°-∠CEH=90°-62°=28°=∠ACE, .EN =EH, .EM=EN, ∴.AE平分∠CAF: (2)解：AB=8,CD=10,AC=6,且S△BE=16, 16=Se= AB.EM-1X8EM, 2 .EM=4, ∴.EN=EH=EM=4, ∴.SAcD=S4cE+S.cED 35179 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 飞ACEN+CDEh 2 1 1 =-×6×4+-×10×4 =32, ∴△ACD的面积为32. B H D I例6-2在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，连接DE、CD,EF⊥CD于F,且DF=CF. H F G 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：DE=CE: (2)如图2，若∠AED=∠ABC,EG⊥BC于G,连接BE交CD于H,求证：∠ABE=∠CBE: (3)如图3，在(2)的条件下，若BC=6CG,DH=4,求HF的长. 【详解】(1)证明：：EF⊥CD,DF=CF, ∴.EF垂直平分CD, .DE=CE: (2)证明：如图，过点E作EM⊥AB于M, M D G C:EG⊥BC ∠EMD=∠EGC=90°， :∠AED+∠DEC=180°，∠AED=∠ABC, 36179 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .∠ABC+∠DEC=180°， :∠ABC+∠BCE+∠DEC+∠BDE-36O°， .∠BCE+∠BDE=180°， ∠ADE+∠BDE=180°， ∠ADE=LBCE, 在△EMD和△EGC中， ∠EMD=∠EGC=90° ∠ADE=∠BCE ED=EC :AEMD≌△EGC(AAS), .EM=EG, :EM⊥AB,EG⊥BC, BE平分∠ABC, .∠ABE=∠CBE (3)解：如图，过点B作BN⊥CD于N,过点E作EM⊥AB于M,过点H作H0⊥BC于Q,HP⊥AB 于P NH E QGC:AEMD≌AEGC :DM=GC,EM=EG, BE=BE 在RtABEM和R△BEG中 EM=EG' ∴.Rt△BEM≌RtABEG(HL), ∴BM=BG, .BC=6CG, .BD=BM-DM=BG-CG=BC-2CG=4CG, :BH平分∠ABC,HP⊥AB,HQ⊥BC. :HP=HO. 37179 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 maw号Bn-p号aci0=4:6=23, 5ww5cN:CHl DH:CH=2:3, DH=4, .CH=6, ∴.CD=DH+CH=4+6=10, cr-c0=5, .HF=CH-CF=6-5=1 I对点练6-1如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB=96°，∠ABC的平分线交AD于点E,过 点E作EH⊥BD,垂足为H,且∠CEH=48°， B (①)直接写出∠ACE的度数=一： (2)求证：AE平分∠CAF: (3)若AC+CD=14,AB=8,且SACD=21,求△ABE的面积. 【详解】(1)解：：∠ACB=96°， ∠ACD=180°-96°=84°. EH⊥BD, .∠CHE=90°， ,∠CEH=48°， ∠ECH=90°-48°=42° .∠ACE=∠ACD-∠ECH=84°-42°=42°， 故答案为：42° (2)证明：如图：过E点分别作EM⊥BF于M,EN⊥AC与N, 38179 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 M BE平分∠ABC, ∴.EM=EH, ,∠ACE=∠ECH=42°， .CE平分∠ACD, ∴.EN=EH, .EM=EN, ·AE平分∠CAF」 (3)解：：AC+CD=l4,S。ACD=21,EM=EN=EH. CENC(C+CD)-EM1 即2X14:EM=21,解得EM=3 AB=8, ∴S△ABE= 21B:EM=12 I对点练6-2在四边形ABDC中，点F在边AB上，DF=CD,连接CF,DE⊥CF于E,连接AD交CF 于点M, B 分 D M E A)求证：FE=CE: (2)若∠B=90°，∠AFD+∠ACD=180°，求证：∠DAB=∠DAC: (3)在(2)的条件下，若AC=6BF,ME=1,求MF. 【详解】(I)证明：：DF=CD,DE⊥CF, :FE=CE 39179 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2)证明：作DN⊥AC于点N, B M E NC:.∠DNC=∠DBF=90° :∠AFD+∠ACD=180°，∠AFD+∠BFD=180°， ∴.∠BFD=LDCN, ..DF =CD, .△DBF≌△DNC(AAS). :DB=DN, DN⊥AC,∠B=90°， AD平分∠BAC, ∠DAB=∠DAC; (3)解：作MP⊥AB于点P,作M01AC于点Q, B D M :AD平分∠BAC, ∴.MP=Mg 1 S.AME= AF.MP 2 AF SAMC AC.MO AC, 2 S.AME=FM 同理：S。AC M AF FM AC CM' 由(2)知， ADBF≌△DNC(AAS)」 .BF=NC, 40/79 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AC=6BF, ..AC=6NC, AN =5NC.AN_5 AC6 ∠DAB=∠DAC,∠B=∠AND=90°，AD=AD :△ADB≌△ADN(AAS), .AN=AB=5NC,AF=AB-BF =5NC-NC=4NC, AF 42 FM AC 6 3 CM' 设FM=2k,CM=3k」 则CF=5k, .FE=CE=2.5k, ∴.ME=EF-FM=2.5k-2k=0.5k=1, k=2, .MF=2k=4 I对点练6-3在四边形ABCD中，AC为对角线，∠ABC+∠ADC=180°，CB=CD G 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：AC平分∠BAD: (2)如图2，点G在CD上，点F在BC上，连接BG、DF,BG交DF于点E,∠BFD=∠BGC,且 AD=DE,求证：BA=BE: (3)如图3，在(2)的条件下，连接BD交AC于点K,SED=3SDK,DE=2,求AB的长. 【详解】(I)证明：如图，作CE⊥AB于E,CF⊥AD延长线于F, 41/79 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B E D ∴.∠CEB=∠CFD=90° :∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠CDF=180°， .∠ABC=LCDF, 在△CEB和△CFD中， ∠CEB=∠CFD ∠ABC=∠CDF, CB=CD ∴.△CEB≌aCFD(AAS). .CE=CF, CE⊥AB,CF⊥AD, ∴.AC平分∠BAD; (2)证明：如图，连接AE, G ∠BFD+∠CBG+∠BEF=180°∠BGC+∠CBG+∠BCD=180° 又∠BFD=∠BGC, .∠BEF=∠BCD, ∠BEF+∠BED=180,∠BCD+∠BAD=360°-(LABC+∠ADC)=180°， ·.∠BED=∠BAD, AD=DE, ∠AED=∠DAE, ∠BEA=∠BAE, .BE BA: (3)解：如图，过点K作KM⊥AB于M,KN⊥AD于N 42/79 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E G 图3 由(2)知BA=BE,DE=AD=2, 在△BED和△BAD中， DE=AD ∠BED=∠BAD BE=BA .△BED≌ABAD(SAS). ∴S.BED=S.BAD :S.BED=3S。ADK, BD DK=3, ..BK =2DK, ,KA平分∠DAB,KM⊥AB,KN⊥AD .KM =KN, S.4BK=2 AB.KM BK S。AKD =2, ·AD.KN KD .AB=2AD, AB=4. 刷好题 课时巩固精炼 基础通关 1.(25-26八年级上上海金山期末)上海正在建设一批精品口袋公园，如图所示，△ABC是一个正在修 建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭H,使该凉亭到公路AB、ACBC的距离都相等，则凉亭H是 △ABC的() 43/79 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 H B A.三条中线的交点 B.三条高的交点 C.三角形的内心 D.三角形的外心 【答案】C 【详解】解：：△ABC是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭H,使该凉亭到公路 AB、AC、BC的距离都相等，且角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴，应建在三条角平分线的交点处，即三角形的内心. 故选：C 2.(25-26八年级上·上海阶段检测)如图，BM是∠ABC的平分线，点D是BM上的一点，点P为直线 BC上的一个动点.若△ABD的面积为9，AB=6,则线段DP的长不可能是() M A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】A 【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB, D C 则父m24B-DE= X6DE=9. .DE=3 :点P为直线BC上的一个动点， :当DP⊥BC时，DP最短， :BM是∠ABC的平分线， 44/79 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当DP⊥BC时，DP=DE=3, ∴，线段DP的长不可能是2. 故选：A 3.(24-25八年级上上海静安期末)如图，在R1△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC于点 D,CD=5,AB=16,则△ABD的面积是 B 【答案】40 【详解】解：如图，过D作DE⊥AB于点E, B E .∠C=90°， CD⊥AC, :AD平分∠BAC, .CD=ED=5, ÷A4BD的面积是)ABx ED=)×16x5=40 4.(25-26八年级上上海虹口期末)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC,DE⊥AB于点 E,如果△BDE的周长为l2cm,AC长为4cm,则△ABC的周长为_cm, 45/79 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】20 【详解】解：：AD平分∠BAC,∠ACB=9O°，DE⊥AB, ..CD=ED C.BDE DE+BD+BE =12cm .CD+BD+BE=12cm. 即BC+BE=12cm, ,在RtAACD和Rt△AED中 AD=AD CD=ED :.Rt△ACD≌RtAAED(直角三角形全等的判定定理)， ∴.AE=AC=4cm, .'.C.AC=AC+BC+AB=AC+BC+BE+AE=4+12+4=20(cm) 故答案为：20 5.(25-26八年级上·上海阶段检测)如图，BD平分∠ABC,交AC于D,∠A=90,若AD=3cm,则 D点到BC的距离是 cm 【答案】3 【详解】解：如图，过点D作BC的垂线，垂足为E, D 平分 B E C..BD ∠ABC∠A=90°AD=3cm 'DE AD=3cm, 故答案为：3 6.(25-26八年级上·上海静安期末)如图，△ABC中，△ABC和△ACB的外角平分线BP、CP交于点P, PE⊥AC于点E,若△ABC的周长为12，PE=2,S△BC=3,则S△MBC= 46/79 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E A 【答案】6 【详解】解：如图，作PF⊥BC于F,PG⊥AB于G,连结PA, E B G :PC是∠ACB的外角平分线，PE⊥AC,PF⊥BC, ∴PE=PF, 同理，PF=PG. .PF =PG=PE=2. 1 SABrC BC.PF=3. 2 BC=2.S℃=2x3-=3. 3 PF 2 :△ABC的周长为12，即AB+AC+BC=12, .AB+AC=12-BC=12-3=9」 1 ∴.SPMB+SPMC=)×AB×PG+×AC×PE=9, 2 2 、SMc=9-3=6, 故答案为：6 7.(25-26八年级上上海静安期末)如图，AB‖CD,BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB,AD过点 P,且与AB垂直，垂足为A,交CD于点D若AD=16,则点P到BC的距离是一· B D 47/79 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】8 【详解】解：如图，过点P作PE⊥BC于点E, E ABIICD,PA⊥AB, .PD⊥CD, :BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB, ∴PA=PE,PD=PE, .'PE=PA=PD, ··PA+PD=AD=16 ∴.PA=PD=8, .PE=8. 故答案为：8. 8.(25-26八年级上上海阶段检测)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC,DE⊥AB于点 E,如果△ABC的周长为l6cm,AC长为4cm,则△BDE的周长为_cm. 【答案】8 【详解】解：：在△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC,DE⊥AB, .CD=ED 又：∠ACD=∠AED=90°，AD=AD, ÷.RIAACD≌RIAAED(HL), ∴AC=AE」 ,△ABC的周长为l6cm,AC长为4cm, .AC+BC+AB=16cm,4+BC+AB=16cm, 可得BC+AB=12cm, .BC=CD+BD=DE+BD,AB=AE+BE=AC+BE=4+BE 48/79 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .DE+BD+4+BE =12cm,DE+BD+BE =8cm, ∴.△BDE的周长为DE+BD+BE=8cm. 故答案为：8. 9.(25-26八年级上上海阶段检测)如图，己知：在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD⊥BC, DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为D、E、F.求证：BE=CF. D 【详解】证明：：AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB,DF⊥AC, .DE=DF,∠DAC=∠DAB :AD⊥BC, .∠ADC=∠ADB=90°， 又AD=AD, .△ADC≌△ADB(ASA). ∴DC=DB, 又DE=DF, :.Rt△ABDE≌Rt△CDF(HL), .'BE=CF 10. (25-26八年级上·上海闵行阶段检测)作图：在∠AOB的内部求作一点P,使得点P到射线OA、OB 的距离相等，且到点E、点F的距离相等（保留作图痕迹）， A B F 【答案】 如图，点P即为所求。 49/79 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是熟练掌握 五种基本作图，属于中考常考题型.作线段EF的垂直平分线，作∠AOB的角平分线，两线的交点即为点 P. 11.(2025八年级上·上海·专题练习)如图，在△ABC的边AC上作一点P,使点P到△ABC内心的距离等 于线段P℃的长度（不要求写作法，保留作图痕迹）， B 【详解】解：如图，分别作∠BAC和∠ACB的角平分线，交于O点，即点O为内心，连接CO,然后作线段 CO的垂直平分线，交AC于点P,连接PO,由垂直平分线性质可得PC=PO, ∴点P即为所求。 【分析】本题考查了尺规作图一一作已知角的角平分线，作已知线段的垂直平分线，分别作∠BAC和 ∠ACB的角平分线，交于O点，即点O为内心，连接CO,然后作线段CO的垂直平分线，交AC于点P, 连接PO,由垂直平分线性质可得PC=PO,点P即为所求，掌握知识点的应用是解题的关键。 12.(25-26八年级上：上海阶段检测)如图，在△ABC中，∠BCA=90°，CD⊥AB于点D,E在AB上， 且AE=EB,CF平分∠BCA,求证：∠ECF=∠DCF. 50/79 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E F D 【答案】证明：在△ABC中，∠BCA=90°，E是AB中点(AE=EB). ∴.CE=AE=BE=三AB 2 ∴.∠A=∠ACE .CD⊥AB,故∠CDA=90° 在△ACD中，∠A+∠ACD=90°： 又在△ABC中，∠A+∠B=90°， 且∠BCA=90° ·.∠BCD+∠ACD=90° ∴.∠A=∠BCD :∠A=∠ACE,∠A=∠BCD, ∴.∠ACE=∠BCD :CF平分∠BCA,且∠BCA=90°， ∠ACF=∠BCF= 5∠BCA=45° 由角的和差关系： ∠ECF=∠ACF-∠ACE=45°-∠ACE, ∠DCF=∠BCF-∠BCD=45°-∠BCD 又∠ACE=∠BCD .∠ECF=∠DCF ®素养提升 1.(25-26八年级上·上海闵行阶段检测)下列命题中，正确命题的个数有（) ①点P是∠AOB的平分线上一点，点MN分别在边OA、OB上，则PM=PW; ②在。MC中，CD是边B的中线，且D-,划。C是直角三角形： 1 ③在AMBC中，若CD是边AB的中线，则CD= ④已知点C是线段AB上的一点，点D是线段AB外的一点，且DA=DB,则直线CD是线段AB的垂直平 51179 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分线. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【答案】B 【详解】解：①当PM⊥OA,PN⊥OB时，PM=PW,原命题是假命题，不符合题意： ②在ABC中，CD是边AB的中线，且CD-B, 则：CD=AD=BD D .∠BAC=∠DCA,∠ABC=∠DCB :∠BAC+∠DCA+∠ABC+∠DCB=180°， ∴.∠BAC+∠ABC=90°， ∴.∠BCA=90°， ∴△ABC是直角三角形；原命题为真命题，符合题意： ③在。MBC中，当∠4CB=90~时，若CD是边4B的中线，则CD=B:原命腿为假命题，不符合思意」 ④已知点C是线段AB上的一点，点D是线段AB外的一点，且DA=DB,CD⊥AB,则直线CD是线段 AB的垂直平分线：原命题为假命题，不符合题意： 故选B 2.(25-26八年级上：上海期末)如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AD是∠BAC的平分线，CE是AB 边上的高，AD与CE交于点F,过点D作DG∥CE交AB于点G,连接CG.交AD于点H,则下列结论 中，不一定成立的是() H A.DC=DG B.GD=GB C.CF=GD D.FH=DH 【答案】B 52179 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：：CE是AB边上的高，DG∥CE, DG⊥AB ∠ACB=90°，AD是∠BAC的平分线， .DC⊥AC, .DC=DG,故A不符合题意： 假设GD=GB成立，则∠B=∠GDB=45°， ∴.∠CAB=∠B=45°， ·.AC=BC,无此已知条件， :GD=GB不一定成立，故B符合题意： :∠CAD=∠BAD,∠ACE=∠B=90°-∠BAC, .∠CFD=∠CAD+∠ACE=∠BAD+∠B=∠CDF, ..CF=CD .CD=GD :.CF=GD,故C不符合题意： .DGII CE ∴.∠DGC=∠FCH, CD=GD .∠DGC=∠DCH, ∴∠FCH=∠DCH, ∴.FH=DH,故D不符合题意. 3.(25-26八年级上·上海闵行阶段检测)如图，AD是△ABC的角平分线，已知AB-3W2,AC=2V2, BD 那么CD 【答案】2 【详解】解：证明：作DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F 53179 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E D 因为AD是△ABC的角平分线，所以DE=DF 1 BD SAABD AB·DE AB·DEAB3V23 所以CDSA4D 1 AC.DE AC·DFAC222 故答案为：2 4.(25-26八年级上上海普陀阶段检测)如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AB=12Cm AC=10cm,则CD:BD= D 【答案】5：6 【详解】解：如图，过点D分别作DM⊥AB,DN⊥AC,垂足分别为M,N, D ,AD是∠BAC的平分线， .DM DN 设点A到直线BC的距离为h, 则Sam-DM4n=BD,又m-DN4c= 2 hCD hCD DN-AC CD AC 10 5 六A-BD=DMAB,即BD=ABi26, 故答案为：5：6 5.(25-26八年级上·上海阶段检测)如图，依据尺规作图的痕迹，∠ABC=·, 54179 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 709 【答案】70 【详解】解：由尺规作图痕迹可知，所作是线段AB的垂直平分线和∠ABC的平分线， 设线段AB的垂直平分线和∠ABC的平分线相交于点D,线段AB的垂直平分线交AB于点E, 70 则AD=BD,DE⊥AB,∠ABD=∠CBD, ∴△ABD为等腰三角形， ∠ADE=∠BDE=x180°-70)=55°， ∴.∠DBE=180°-90°-55°=35° ∴.∠ABC=2∠DBE=70° 故答案为：70 6.(25-26八年级上上海阶段检测)如图，在△ABC中，B0,CO分别平分∠ABC,∠ACB OD⊥BC于点D.若OD=3,△ABC的面积是50，则△ABC的周长为一 00 【答案】3 【详解】解：连接OA,过点O作OE1AB于点E,作OF⊥AC于点F,如图所示： B 55179 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 由BO,CO分别平分∠ABC,∠ACB,OD⊥BC于点D,OD=3, 故OF=OE=OD=3, OFAC+OE:AR+OD-RC-50 2 2 2×3x(4C+AB+BC)=50, 解得AC+AB+BC=1 3 100 故答案为： 3· 7.如图，在△ABC中，点D是边BC上的一点，连接AD,且∠ADB=100°，BE平分∠ABC,交AC于点 E,过点E作EF⊥BC,垂足为F,连接DE,且∠DEF=50°.若AB=I6cm,AD+CD=28cm,△ABE 的面积是48cm2,则△ADC的面积是一cm2. B D 【答案】84 【详解】解：∠ADB=100° .∠ADC=180°-∠ADB=180°-100°=80°， EF⊥BC, ∴.∠EFD=90°， ,∠DEF=50°， .∠EDF=180°-90°-50°=40°， .∠ADE=80°-∠EDF=80°-40°=40°， .DE平分∠ADC, 如图，过E作EN⊥AD于N,延长BA,过E作EH⊥BA于H, H.Y A W、 E B > D ,BE平分∠ABC,EH⊥BA,EN⊥AD 56179 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :.EH =EN, ,DE平分∠ADC,EF⊥BC, .EF =NE. .EF =NE=EH, “ABE的面积-HMB, 8-hx16, ∴.EH=6cm, .EF NE =6cm, :AD+CD=28cm,且S△Mc=S△MDs+SACDE, ∴Sx-EAD+c-BR EF:(AD+DC) 2×6x28 =84(cm2）, 故答案为：84. 8.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D,若BD=5,BD:CD=5:3, AB=I0,则△ABD的面积是 A B D 【答案】15 【详解】解：过D作DE⊥AB于E, E 平分 B D 日C:AD ∠BAC ∠C=90° .DE=DC, 57179 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BD=5,BD:CD=5:3, ∴.CD=3 :在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于D, .DE =CD=3, AB=10, :△ABD的面积是： 1AB-DE=1x10x3=15 故答案为：15 9. (25-26八年级上·上海青浦期末)如图，D是△ABC的外心，∠ABE的平分线上一点，DA=DC -E (1)求证：∠DAB=∠DCB； (2)若△ABC是等腰三角形，AC=BC,AB与CD交于点F,求证：AC=AF, 【答案】(I)证明：过点D作DM⊥AB于M,DN⊥CE于N: M —E B N :BD平分∠ABE,DM⊥AB,DN⊥CE, .DM DN 在Rt△ADM和RtACDN中， (DA=DC DM DN' ∴.RtAADMS≌RtACDN(HL). ·∠DAM=∠DCN. 即∠DAB=∠DCB】 (2)证明：，AD=CD」 58179 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴∠DAC=∠DCA AC=BC, .∠CAB=∠CBA :∠AFC=∠DCB+∠CBA,∠DAB=∠DCB(已证)， ·∠AFC=∠DAB+∠CAB ,∠DAB+∠CAB=∠DAC, ∴.∠AFC=∠DAC :∠DAC=∠DCA, ∴.∠AFC=∠DCA ∴AC=AF 10.(25-26八年级上·上海闵行期末)如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC>BC D B (1)用直尺和圆规在边AB上求作一点P,使点P到边CA和CB的距离相等（保留作图痕迹，写出结论，不 写作法)： (2)如果∠B=60°，点D是边AC上一点，且CD=CB,AD=2,求BP的长. 【详解】(1)如图，点P即为所求： B (2)解：连接PD D B CP平分∠ACB, ∴.∠DCP=∠BCP. 59/79 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ·CD=CB,CP=CP .△DCP≌BCP(SAS), .DP=BP,∠CDP=∠B=60°， :∠ACB=90°， :.∠A=90°-∠B=30°， ∴、∠DPA=∠CDP-∠A=30°=∠A, .DA=DP=2. .BP=2 11.(25-26八年级上·上海普陀期末)如图，己知△ABC 6 A (1)操作： ①在∠A内部找一点P,使点P到∠A两边所在直线的距离相等，且PB=PC; ②连接PB、PC: (2)猜想∠PBA与∠PCA之间满足怎样的数量关系，并证明你的结论. 【答案】(1) 解：①如图，点P即为所求： 7八 ②如图，PB、PC即为所求： (2) 解：∠PBA+∠PCA=180°，理由如下： 如图，过点P作PE⊥AB交AB延长线于E,作PF⊥AC交AC于F,则∠E=∠PFC=90°， 60179 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AP平分∠BAC, .PE=PF, ,点P在BC的垂直平分线上， .PB=PC, .△PBE≌aPCF(HL), .∠PBE=∠PCF ·∠PBA+∠PBE=180°， ·∠PBA+∠PCA=180° 12.如图，△ABC中，∠B=90°，利用无刻度的直尺和圆规完成下列作图. A A B (1) (2) (1)在如图(1)边BC上求作一点D,使点D到点A、C两点的距离相等； S△磁=AB 2)在如图(2)边BC上求作一点B,使得SC AC 【答案】(I)点D即为所求， B (2) 点E即为所求 61179 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：如图，作线段AC的垂直平分线，交BC于点D,连接AD, 由垂直平分线的性质可知：AD=CD, 则点D即为所求 (2)解：如图，作∠BAC的平分线，交BC于点E, 此时点E到AB、AC的距离都等于BE的长度， SAABE X ABX BE AB :.SAACE xACxBE AC, 则点E即为所求。 13.如图，在△ABC中，D为△ABC外一点，连接CD,AC平分∠BAD,CE⊥AB于点E, ∠B+∠ADC=180° E B (1)求证：BC=CD: 2)若AB=8,BE=2,求AD的长. 【答案】(1) 证明：过点C作CF⊥AD,交AD延长线于点F, D 平分 E B:AC ∠BAD,CE⊥AB,CF⊥AD ∴.CE=CF,∠BEC=∠AFC=90° .·∠B+∠ADC=180°，∠CDF+∠ADC=180° 62179 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠CBE=LCDF, 在△CDF与△CBE中， '∠CEB=∠CFD ∠CBE=∠CDF CF=CE .△CDF≌aCBE(AAS), .BC=CD; (2)AD=4 (2)解：由(1)可得△CDF≌△CBE, ..DF=BE 在Rt△ACF与Rt△ACE中， 「AC=AC CF=CE' :RtaACFS≌RtAACE(HL), .AF=AE AB=AE+BE, .AB=AF+BE =(AD+DF)+BE 即AB=AD+2BE, AB=8,BE=2 ∴.AD=AB-2BE=8-4=4 14如图，△ABC中，AD平分∠BAC,DG⊥BC且平分BC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F B (1求证：BE=CF: (2)探究AB、AC和BE的数量关系，并说明理由. 【答案】(I)证明：如图，连接BD、CD, 63179 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 且平分 :DG⊥BC BC ∴.BD=CD AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F, .DE=DF,∠DEB=∠DFC=90°， 在Rt△BED与RIACFD中， DE=DF BD=CD· .RteBED≌RtACFD(HL), .BE=CF」 (2)AB=AC+2BE,理由如下： :AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F, ∴.DE=DF,∠DEB=∠DFC=90° AD=AD, ∴.RtAAED≌RtAAFD(HL), ..AE=AF, :AE=AF=AC+CF, .BE=CF, .AE=AC+BE .AB=AE+BE=AC+2BE 15.如图，CD是∠ACE的平分线.DP垂直平分AB于点P,DF⊥AC于点F,DE⊥BC于点E. B (1)求证：AF=BE: (2)若BC=6cm,AC=10cm,则CE= 【答案】(I)证明：连接AD,BD 64179 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 垂直平分 ·PD AB .AD=BD, :CD平分∠ACE,DE⊥BC,DF⊥AC, DE=DF,∠AFD=∠BED=90°， 在Rt△ADF和Rt△BDE中， (AD=BD DF=DE' .RteADF≌Rt△BDE(HL), ..AF =BE: (2)解：在RtACDF,Rt△CDE中， 「CD=CD DE=DE .RtACDFRtACDE(HL). ∴.CE=CF, 设CE=CF=x, AF=AC-CF=10-x,BE=BC+CE=6+x, .AF BE, 10-x=6+x, .x=2, ∴.CE=2cm 故答案为：2cm 迁移创新 1,(25-26八年级上上海期末)如图，在△ABC中，延长BA至点E,延长BC至点F,∠ABC∠EAC的 角平分线BP、AP交于点卫，BP交AC于点O,PM⊥BE,PN⊥BF,垂足分别为点MN.则下列结论中 正确的个数()· 65/79 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D B C NF ①CP平分∠ACF:②∠ABC+2∠ACP=180°：③∠ACB=2∠APB:④SAPAC=S△MMP+S△Nr:⑤ BA:BC=A0:CO A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】D 【详解】解：①如图：过点P作PD⊥AC于D, E M6 P G D B H C ,BP平分∠ABC,AP平分∠EAC,PM⊥BE,PN⊥BF,PD⊥AC, .PM=PN,PM=PD, ∴.PM=PN=PD ∴.CP平分∠ACF,故①正确： ②：PM⊥BE,PN⊥BF, ∴.∠ABC+90°+∠MPN+90°=360°， ∴.∠ABC+∠MPN=180°， 在RtAPAM和Rt△PAD中， PM=PD PA=PA RtAPAMRtAPAD(HL. ∴.∠APM=∠APD, 同理可得：RtAPCDS≌RtaPCN(HL), ∴.∠CPD=∠CPN. 66179 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 '.∠MPN=2∠APC, .∠ABC+2∠APC=180°， 由∠APC不一定等于∠ACP,故②错误： ③：BP平分∠ABC,AP平分∠EAC, ∠CM=∠ABC+∠ACB=2∠PMM,∠PAM=ABC+∠APB， &∠PiM=(ABC+∠ACB)-=ABc+∠APB, :.∠ACB=2∠APB,③正确： ④由②可知RtPAMS≌RtAPAD(HL),RtAPCDS≌RtAPCN(HL), S.APD=S.APM SACPD=SACPN .SPAC=SDaP+S,n=SMw+SaNC,④正确. 如图：过O作OG L AB,OH L BC, BP平分∠ABC, .0G=0H, S.AOB= 1 AB.OG AB BC.OH BC· S.40B=A0 BO AB AO BC=CO,即BA:BC=AO:CO' 故⑤正确. 综上，①③④⑤正确，共4个. 故选：D 2.(25-26八年级上·上海浦东新期末)如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O,过点 O作EF∥AB交BC于F,交AC于E,过点O作OD⊥BC于D,下列四个结论： 0∠A08=0+C:②E+B那=E:@当∠C=90时，E,F分别是AC,ac的中点：@若 OD=a,CE+CF=2b,则S△cr=ab.其中正确的结论有() 67179 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D A.①②④ B.①③ C.②③④ D.①②③④ 【答案】A 【详解】解：，AO、BO分别是∠BAC、∠ABC的平分线， &∠AB0=∠CB0=ABC∠BM0=∠CA0-)∠BAC, 2 ,∠ABC+∠BAC=180°-∠C :2A0+B10-ABc+号BaC-00-∠C=0r-C. 2 1 、.∠A0B=180°-（∠AB0+∠BAO)=90°+）∠C, 2 故①正确： EFI‖AB ∴.∠FOB=∠ABO,∠EOA=∠BAO ,∠ABO=∠CBO,∠BAO=∠CAO, ∴.∠FOB=∠CBO,∠EOA=∠CAO ..OF=BF,OE=AE. ∴.EF=OF+OE=BF+AE, 故②正确： 当∠C=90°时，AE+BF=EF<CE+CF, 即E、F不是中点， 故③错误； 如图，过点O作OH⊥AC于点H,连接OC, 则OH=OD, ∴.S.cBr=S.or+SOCE =CF.OD+CE.OH 2 -(CF+CE)-OD 68179 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1 ×2b×a =ab, 故④正确： D 综上，正确的有①②④： 故选：A. 3.如图，在△ABC中，∠A=60°，BD平分∠ABC交AC于点D,CE平分∠ACB交AB于点E,BD,CE OB 相交于点O,若SA0:SA0c=3:5,则OC的值为一 D B 【答案】2 【分析】本题考查了角平分线基本性质以及全等三角形的证明及性质，能够正确做出辅助线是解题关键： 在BC上取点H,使BH=BE,连接OH,DH,过H作M⊥BO于L,过H作HW⊥OC于J,利用角平分 OB_S0H,由 线和三角形内角和求出∠BOB=∠DOC=60o,证明AHO1≌AH0J:得到Hl=HW:则0cSmm △EBO2AHBO得到S.Os=SOH,再利用面积的和差关系和比例的性质即可得到答案， 【详解】解：如图，在BC上取点H,使BH=BE,连接OH,DH,过H作Ⅲ⊥BO于I,过H作 HW⊥OC于J, :∠A=60° ,·.∠ABC+∠ACB=180°-60°=120° :BD平分∠ABC交AC于点D,CE平分∠ACB交AB于点E, 69179 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠OBC= 5∠ABC、∠OCB= &20nc+∠0B=(ABc+∠ACa)=60, :∠B0C=180°-60°=120°， ∴∠BOE=∠D0C=60°. :BD平分∠ABC交AC于点D,CE平分∠ACB交AB于点E, .LOBC=∠OBE,∠OCB=∠OCA, 在△EBO和△HBO中， (BE BH ∠OBE=∠OBH, BO=BO ·.△EBO≌AHBO ∴.∠BOH=∠BOE=60° .∠C0H=120°-60°=60°=∠B0H, ..OH=OH, .△HOI≌aH0J, HI=HJ, OB S.BOHL :.OC S.CoH .△EBO≌AHBO .S.BOE=S.BOH OB S.BOHL= SBOH SBOE 3 :.OC S.com S.BOC-S.BOH S.ROC-S.BOE 2 E D B 3 故答案为： 2 4.(25-26八年级上·上海期末)(1)图1是课本P117中的用尺规作一个已知角的平分线的方法.根据 70/79 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 作法，我们可以用 的判定方法证明△OCD与△OCE全等，再根据全等三角形的 ,得 出∠COD=∠COE,即射线OC平分∠AOB 如图22-2-1，已知∠AOB,求作∠AOB的平分线. 作法 (1)以点O为圆心，以任意长度a为半径作弧，分别交OA、OB于点D、E: (2)分别以点D、E为圆心，以DE的长为半径作弧，两弧相交于∠AOB内的一点 C: (3)作射线OC 射线OC就是∠AOB的平分线（图22-2-2）. 图22-2-1 图22-2-2 图1 图2 (2)乐乐发现，将两把相同的三角尺按照图2放置：较短的直角边分别与∠C4B的两边重合，且两把三 角尺的斜边也重合，两个三角尺较长的直角边相交于点O,则射线AO即为∠CAB的平分线.请你根据乐 乐的作法，证明射线AO为∠CAB的平分线. 【详解】解：(1)如图，连接CD,CE, 根据作法可知，OD=OE,CD=CE, B 在△OCD和△OCE中， 71/79 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 OD=OE 0C=0C CD=CE .aOCD≌aOCE(SSS), .∠COD=∠COE,即OC平分∠AOB 综上，根据作法，我们可以用SSS的判定方法证明△OCD与△OCE全等，再根据全等三角形的对应角相等， 得出LCOD=∠COE,即射线OC平分∠AOB 故答案为：SSS,对应角相等； (2)证明：由题意可知，EF=DG,∠AEF=∠ADG=90°， 在△AEF和△ADG中， [∠AEF=∠ADG=90° ∠EAF=∠DAG EF=DG ·.△AEF≌aADG(AAS), .'AE AD. OA=OA 在R△AOE和 RtAAOD中， AE=AD' .RtAAOE2RtAAOD(HL). ∴.∠OAE=∠OAD. 即射线AO为∠CAB的平分线 5.(24-25八年级上·上海普陀期末)【例题回顾】本学期我们学习了角平分线定理及其逆定理，下面的 例题1同时运用了角平分线定理及其逆定理完成了该几何问题的证明。 例题1已知：如图，AO,B0分别是∠A,∠B的平分线，OD⊥BC,OE⊥AB,垂足分别为点D,E. B 求证：点O在∠C的平分线上 证明：过点O作OF⊥AC,垂足为点F, ,AO,BO分别是∠A,∠B的平分线（已知）， 72/79 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 OE⊥AB,OD⊥BC(已知)， OF⊥AC(所作)· :.OE=OD,OE=OF(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)， .OD=OF(等量代换)， ∴点O在∠C的平分线上（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）· 【研究老图形】 在例题1的图中，分别连接DE,EF,FD (1)点O为△ABC三条的交点，点O为△DEF三条_的交点（填写序号）； ①边的垂直平分线②角平分线③高④中线 (2)小普发现△DEF和△ABC的内角之间存在一定的数量关系，如果∠BAC=m°，那么∠EDF=_°； (用含m的代数式表示) 【解决新问题】 为了方便研究，小普同学把满足例1条件的△DEF叫做△ABC的“内三角形”，点O叫做“共心”， (3)己知aDEF是△ABC的“内三角形”，点O是“共心”，点D,E,F分别在边BC,AB,AC上， 且OE∥BC,先画出符合条件的示意图，再过点E作EG⊥DF于点G,求证：点G在直线AO上. 【详解】解：(1)已知A0,BO分别是∠A,∠B的平分线，OE⊥AB,OD⊥BC, 过点O作OF⊥AC 根据角平分线定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等， 因为AO是∠A的平分线，OE⊥AB,OF⊥AC, 所以OE=OF; 又因为BO是∠B的平分线，OE⊥AB,OD⊥BC, 所以OE=OD 由OE=OF且OE=OD, 通过等量代换可得OD=OF 因为OD=OF,OD⊥BC,OF⊥AC, 所以点O在∠C的平分线上 由于AO、BO、CO分别是△ABC三个角的平分线， 所以点O为△ABC三条角平分线的交点. 如图所示。 73179 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D 图1 在Rt△ODB和Rt△OEB中， OD=OE,OB=OB. ..RtAODBRtAOEB(HL). ∴.BD=BE, ∴点B在线段DE的垂直平分线上， ..OE =OD ∴，点O在线段DE的垂直平分线上， ∴.OB是线段DE的垂直平分线， 同理：OA是线段EF的垂直平分线，OC是线段DF的垂直平分线， 因此，点O为△DEF三条边的垂直平分线的交点， 故答案为：②，①： (2)如图1所示， B D 图1 ·OD=OEOD=OF 20DE=∠0ED-=080-∠D0A=90-2∠D0E,∠0DF=∠0rD=080-∠D0N=90-2D0F ∠BDF=∠0DE+∠0DF=0P-3D0E+90-∠D0F=180-D0E+∠D0, :OE⊥AB,OF⊥AC, .∠AEO=∠AFO=90°， 在△AEO和△AFO中， ∠AEO+∠AOE+∠OAE=180°，∠AFO+∠AOF+∠OAF=180° 74/79 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :.∠AE0+∠AOE+∠OAE+∠AFO+∠AOF+∠OAF=180°+180°， 即∠AEO+∠AFO+∠BAC+∠EOF=360°， :∠BAC=m°， .∠E0F=360°-∠AE0-∠AF0-∠BAC=360°-90°-90°-m°=180°-m°， ∠D0E+∠D0F=360°-∠E0F=360°-(（180°-m)=180°+m°， 小E0r-=10-2DoE+D0n-1wr-00+m)-(0-小 1 故答案为： 90-2m月 (3)证明：示意图如图2所示. 图2 OE∥BCOE⊥AB ∴.∠ABC=∠AEO=90°. 由(2)可知∠EFD=90°-1 ∠ABC=45° EG⊥DF, ∴.∠EGF=90°.∠GEF=90°-∠EFG=45°， ∴.∠GEF=∠EFG, ..EG=FG, ∴.点G在EF的垂直平分线上. 在△AEO和△AFO中， ∠AEO=∠AFO=90°，∠EAO=∠FAO,AO=AO, :△AEO≌△AFO(AAS): ..AE=AF,OE=OF, ∴AO是EF的垂直平分线， 点G在直线A0上. 6.(25-26八年级上上海阶段检测)如图，已知：在△ABC中，AD是它的角平分线. 75/79 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (图①) (图②) (图③) AB BD 1)特例发现：如图②，当AB=AC时，根据一，可知BD=CD, 由此可推得AC CD;(填“ >”、“=”或“<”) (2)一般归纳：如图①，当AB≠AC时，那么(1)中推得的结论仍然成立吗？如果成立，请证明： AO 5 BO ③)综合应用：如图③，BE是A4BC的角平分线，且与AD相交于点0：若∠C=60°，OD-3,求40的 值.（直接写出答案） 【详解】(1)解：：AB=AC,AD平分∠BAC, AD平分BC, .:BD=CD, AB BD ·ACCD' 故答案为：=： (2)(1)中的结论还成立： 证明：设△ABC边AB上的高为h, :AD平分∠BAC, .△ABC边AC上的高也为h, 1 AB.h S.ABD 2 AB 则SADC 1 AC.h AC' 2 S.ABD BD 又：SAc D AB BD ·ACCD (3)解：在AB上取AF=AE, 76/79 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A B :∠ACB=60° .∠BAC+∠CBA=120° :AD平分∠BAC,BE平分∠ABC, &<0AB-号B4C,084=A8c, ∠0aB+0BA=B4c+号ABc-B4C+2MBc)-x120=0 2 .∠A0B=180°-60°=120°. .∠B0D=180°-∠A0B=180°-120°=60°=∠A0E, :AD平分∠BAC, ∴.∠EAO=∠FAO」 又，AE=AF,AO=AO, ·.△EAO≌aFAO(SAS), ∠AOE=∠AOF=60°， ∴∠BOF=60°， ∠AOF=∠BOF=60°. .∠BOD=∠BOF=60°， ,∠OBD=LOBF,OB=OB, .△BOD≌aBOF(ASA), ∴BD=BF, :OF是△AOC的角平分线， AO AF ·BOBF, 又，BO是△ABD的角平分线， AB AO 5 BD-OD3' AB 5 ·BF3 77/79 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 BF 3 ·AF2' ,OF是△AOC的角平分线， BO BF 3 六A0AF2 7.(25-26八年级上·上海浦东新期末)学习完角平分线，小希同学总结了学习心得：“对称是一种解题 方法，即分析问题时我们要善于观察并利用问题自身条件的某些对称性.”结合以上内容解决问题： 已知在△OMN中，点A,B分别在OM,ON的延长线上，OP平分∠AOB,MP平分∠AMN. B (1)求证：NP平分∠MNB, (2)若∠OMN=28°，则∠OPN=. (3)在△OMN中，作∠OMN的平分线交OP于点H,若MN=10,且S,Pw=20,Soww=30,求点H到射 线OB的距离. 【答案】(1) 证明：如图，过点P作PC⊥OA,垂足为C,过点P作PD⊥MN,垂足为D,过点P作PE⊥OB,垂足为 E, 平分 n E B.MP ∠AMN PC⊥OA PD⊥MW ∴PC=PD :OP平分∠AOB,PC⊥OA,PE⊥OB, .PC=PE, ∴PD=PE, .NP平分∠MNB: (2)解：OP平分∠AOB,MP平分∠AMN,NP平分∠MNB, ∴.∠AOP=∠BOP,∠AMP=∠PMN,∠MNP=∠PNB, 在△OMN中，∠OMN=28°，则∠AMN=180°-28°=152°， 78179 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在PwN中，PN-Aw=7e,∠P-B, 在aOPN中，∠OPN=180°-∠PON-∠PWO. :∠PoN=∠A0B,∠NB=B, :∠0PN=∠NB-∠oN=号B-408-号0w-x2=1: 21 故答案为：14°： (3)解：S.p=20,，MN=10, :p到MN的距离-20-2x20=4, MN 10 MP平分∠AMN,OP平分∠AOB,NP平分∠MNB, .点P到OM,MN,OB的距离相等，即距离都是4， S.ow-]x4OM+x4ON-x4MN=30. 1 2 2 -x40M+分x4oN-4w=30, S.OMN= 2 .OM+ON=25, .OM+ON+MN=35. :PH是∠OMN的平分线，OP平分∠AOB, .点H到OM,MN,OB的距离相等，设为x, M B 1 ∴.Soww=×OMx+5×ON.x+5×MWx=30 2 即(OM+ON+MN）x=60, 12 ..X=- 7 12 即点H到射线OB的距离为 79179