3.3 圆的对称性【分层作业】- 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

3.3 圆的对称性【分层作业】 2026—2027学年苏科版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.基础巩固 2 【题型1】圆的对称性、圆心角概念辨析 2 【题型2】同圆或等圆中圆心角‑弧‑弦基础应用 2 三.综合提升 4 【题型1】圆心角、弧、弦之间关系计算 4 【题型2】垂径定理基础计算 5 【题型3】垂径定理推论辨析 7 【题型4】作辅助线（弦心距）简单计算 8 四.拓展探究 9 【题型】垂径定理综合探究（勾股定理结合） 9 五.中考链接 10 六.自我评价 10 一.知识梳理（前置作业） 【学习要求】结合教材自主完成填空 1. 圆是________对称图形，经过圆心的____________都是圆的对称轴，圆有________条对称轴；圆也是________对称图形，________是它的对称中心；圆具有旋转不变性，绕圆心旋转________角度都可以与自身重合。 2. 顶点在________的角叫做圆心角。在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的________相等，所对的________相等；在同圆或等圆中，若圆心角、弧、弦三组量中有一组相等，则其余两组量________。 3. 垂径定理：垂直于弦的________平分弦，并且平分弦所对的____________。 4. 垂径定理推论：平分弦（________的弦除外）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 5. 圆中常用辅助线：遇到弦的计算，常常过圆心作弦的________，连接半径，构造________三角形，利用勾股定理：进行计算（为半径，为弦心距）。 二.基础巩固 【题型1】圆的对称性、圆心角概念辨析 1．（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）下列说法正确的是（　　） A．弧长相等的弧一定是等弧 B．所对圆心角相等的弧是等弧 C．同弧或等弧所对的圆周角相等 D．平分弦的直径必垂直于弦 2．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．等弧所对的弦相等 B．相等的弦所对的弧相等 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．相等的圆心角所对的弦相等 3．（26-27九年级上·浙江宁波·开学考试）下列4个说法中：①直径是弦；②平分弦的直径垂直于弦；③任何一条直径都是圆的对称轴；④相等的圆心角所对的弧相等；正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2026·广东深圳·模拟预测）下列说法中，正确的个数为（   ） ①在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等； ②平分弦的直径垂直于这条弦； ③圆的对称轴是直径； ④弧分为优弧和劣弧； ⑤在同圆或等圆中，弦相等则所对的圆周角相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4 【题型2】同圆或等圆中圆心角‑弧‑弦基础应用 1.（25-26九年级上·全国·随堂练习）如图，是的直径，．求的度数． 2.（26-27九年级上·北京·课堂例题）在中，圆心角，则弦与弦的关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 3.（2026九年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，，则______． 4.（24-25九年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，弦、于点E，且．求证：．    三.综合提升 【题型1】圆心角、弧、弦之间关系计算 1.（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，为半圆的直径，点C、D在半圆上． （1）若，求和的大小； （2）若点C、D在半圆上运动，并保持弧的长度不变，（点C、D不与点A、B重合）．试比较和的大小． 2.（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，已知是的弦，且，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3.（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，是以为直径的半圆上一点，上一点关于直线对称的点落在上，若，，则的长是______． 4.（2025九年级·全国·专题练习）如图，已知的半径为3，弦AB，CD所对的圆心角分别是，．若与互补，弦，求弦AB的长． 【题型2】垂径定理基础计算 1.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在半径为1的中，弦的长为1． （1）求的度数； （2）求点O到的距离． 2.（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，圆弧形桥拱的跨度，拱高．则拱桥的半径为（     ） A． B． C． D． 3.（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，是的直径，弦于，若，，则的长为______． 4.（26-27九年级上·北京·单元测试）有一种叫云南的生活：冬日暖阳，倚桥观鸡，滨朴倒影，如诗如画．如图1，大观河上的这座圆弧形拱桥建于上世纪70年代．图2是拱桥的示意图，它的跨度米，拱高米． （1）求圆弧所在的圆的半径r的长； （2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即米时，是否要采取紧急措施？ 【题型3】垂径定理推论计算 1.（2026·湖北黄石·三模）如图，内接于，非直径弦与半径相交于点，且，点是射线上一点，且平分． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 2.（24-25九年级上·山西吕梁·期中）石拱桥是中国传统的桥梁四大基本形式之一，是用天然石料作为主要建筑材料的拱桥，以历史悠久，形式优美，结构坚固等特点闻名于世，它的主桥是圆弧形．如图，某石拱桥的跨度（所对的弦的长）约为，拱高（的中点到弦的距离）约为，则所在圆的半径为（   ） A． B． C． D． 3.（2025·陕西·中考真题）如图，为的直径，，，则的度数为______． 4.（2026·安徽合肥·模拟预测）如图，在中，，经过A，C两点的交于点D，交于点E，过点C作于点F，延长交于点G，且G恰好是的中点． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【题型4】作辅助线（弦心距）简单计算 1.（26-27九年级上·浙江杭州·开学考试）如图，圆的直径与弦相交于点，若，，，求的长． 2.（25-26九年级上·山东滨州·期中）已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（    ） A．或 B．或 C． D． 3.（26-27九年级上·浙江宁波·开学考试）在中，弦，，则的半径为___________． 4.（25-26九年级上·全国·课堂例题）如图，是的直径，是的弦，的延长线交于点M．若，求的值． 四.拓展探究 【题型】垂径定理综合探究（勾股定理结合） 1.（2026·湖北·三模）如图，，是中相等的两条弦，过点O分别作于点F，于点G． （1）求证：； （2）延长交于点D，连接交的延长线于点E．若，，求的半径． 2.（2026·湖北黄冈·模拟预测）如图，为的直径，为的弦，C为优弧的中点，，垂足为D．若，，则的半径为（     ） A．6 B．5 C． D． 3.（第二十八章 圆 高效同步练习28.3 圆心角和圆周角 第1课时 圆心角、弦、弧之间的关系）如图，点A是半圆上的一个三等分点，点是的中点，点P是直径上一个动点，的半径为1，则的最小值为________． 4.（2025·安徽淮北·二模）如图，为直径，E为弦的中点，连接． （1）求证：为等腰三角形； （2）连接，若，四边形的面积为40，求的长． 五.中考链接 一、单选题 1．（2026·甘肃临夏·中考真题）如图，的半径是，是的直径，弦丄，垂足为，若，则的面积是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·四川南充·中考真题）如图，为直径，弦于E，，则长为（     ） A．1 B． C．2 D． 3．（2025·湖北武汉·中考真题）如图，四边形内接于，．若，则的半径是（    ） A． B． C． D．5 二、填空题 4．（2025·陕西·中考真题）如图，为的直径，，，则的度数为______． 5．（2026·内蒙古呼和浩特·中考真题）如图，内接于且，弦平分，连接，．若，，则________，________．    6．（2026·河南周口·一模）如图，某城市新建了一座圆形观景台，台边设置了，，，四个观景位．已知观景台边缘，观景位与之间的直线距离为，观景位与之间的直线距离为，则这座圆形观景台的半径是______． 三、解答题 7．（2026·广西·中考真题）如图，已知是的外接圆，．点D，E分别是，的中点，连接并延长至点F，使，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）求证：与相切； 8．（2026·福建漳州·模拟预测）如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”，如图2是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出的月洞门的设计图，月洞门呈圆弧形，用表示，点是所在圆的圆心，是月洞门的横跨，是月洞门的拱高，现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图． 解答下列问题： （1）如图3，已知月洞门的横跨为，拱高为，用尺规作图的方法在图3中作出月洞门的设计图（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，，求的半径长． 六.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 基础巩固 □顺利 □有困难 综合提升 □顺利 □有困难 拓展探究 □顺利 □有困难 中考链接 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $3.3圆的对称性【分层作业】 2026一2027学年苏科版九年级数学上册（双减分层核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 二基础巩固 2 【题型1】圆的对称性、圆心角概念辨析2 【题型2】同圆或等圆中圆心角-弧-弦基础应用 .2 三.综合提升 【题型1】圆心角、弧、弦之间关系计算 .7 【题型2】垂径定理基础计算 13 【题型3】垂径定理推论辨析 18 【题型4】作辅助线（弦心距）简单计算 .24 四.拓展探究 28 【题型】垂径定理综合探究（勾股定理结合） 28 五.中考链接 34 六.自我评价 .34 一.知识梳理（前置作业） 【学习要求】结合教材自主完成填空 1.圆是 对称图形，经过圆心的 都是圆的对称轴，圆有」 条对称轴；圆也是 对称图形 是它的对称中心；圆具有旋转不变性 绕圆心旋转 角度都可以与自身重合。 2.顶点在」 的角叫做圆心角。在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 相 等，所对的 相等；在同圆或等圆中，若圆心角、弧、弦三组量中有一组相等 则其余两组量 3.垂径定理：垂直于弦的 平分弦，并且平分弦所对的 4.垂径定理推论：平分弦（ 的弦除外)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两 条弧。 5.圆中常用辅助线：遇到弦的计算，常常过圆心作弦的 连接半径，构造 三角形利用勾股定理：r2=d+月弦长进行计算(r为半径，d为弦心 距)。 参考答案： 1.轴；直线；无数：中心；圆心任意 2.圆心；弧；弦；分别相等 3.直径；两条弧 4.不是直径 5.垂线；直角 二.基础巩固 【题型1】圆的对称性、圆心角概念辨析 1.(25-26八年级下·江苏盐城阶段检测)下列说法正确的是（) A.弧长相等的弧一定是等弧 B.所对圆心角相等的弧是等弧 C.同弧或等弧所对的圆周角相等 D.平分弦的直径必垂直于弦 【答案】C 【分析】本题考查了圆的有关定义和性质，根据等弧的定义、圆周角定理、垂径定理的推论逐 项判断即可求解，掌握圆的有关定义和性质是解题的关键 解：A、弧长相等的弧不一定是等弧，原说法错误，不合题意： B、所对圆心角相等的弧不一定是等弧，原说法错误，不合题意： C、同弧或等弧所对的圆周角相等，该说法正确，符合题意： D、平分弦（不是直径）的直径必垂直于弦，原说法错误，不合题意： 故选：C. 2.(25-26九年级上：湖北武汉·阶段检测)下列说法正确的是（) A.等弧所对的弦相等 B.相等的弦所对的弧相等 C.相等的圆心角所对的弧相等 D.相等的圆心角所对的弦相等 【答案】A 【分析】根据在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们 所对应的其余各组量都分别相等，即可解答. 解：A、等弧所对的弦一定相等；故原说法正确： B、在同圆和等圆中，相等的弦所对的弧相等，故原说法错误； C、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故原说法错误： D、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.故原说法错误： 故选：A 【点拨】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，此题比较简单，注意掌握定理的条件（在同圆或 等圆中)是解此题的关键， 3.（26-27九年级上浙江宁波·开学考试)下列4个说法中：①直径是弦：②平分 弦的直径垂直于弦；③任何一条直径都是圆的对称轴：④相等的圆心角所对的弧相 等：正确的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】A 【分析】需关注各圆相关结论的适用前提，结合定义判断说法的正确性. 解：①直径是经过圆心的弦，故①正确： ②平分弦的直径垂直于弦的前提是被平分的弦不是直径，该说法缺少此前提，故②错误： ③圆的对称轴是直径所在的直线，直径是线段，不是对称轴，故③错误： ④相等的圆心角所对的弧相等的前提是在同圆或等圆中，该说法缺少此前提，故④错误： 综上，正确的说法共1个. 4.(2026·广东深圳模拟预测)下列说法中，正确的个数为() ①在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等： ②平分弦的直径垂直于这条弦： ③圆的对称轴是直径： ④弧分为优弧和劣弧： ⑤在同圆或等圆中，弦相等则所对的圆周角相等， A.1个 B.2个 C.3个 D.4 【答案】B 【分析】根据圆心角，弧，弦之间的关系和垂径定理一一判断即可· 解：①在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等，故正确： ②平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，故错误： ③圆的对称轴是直径所在的直线，故错误： ④弧分为优弧和劣弧，故正确： ⑤在同圆或等圆中，弦相等则所对的圆周角相等或互补，故错误。 故选：B, 【点拨】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系和垂径定理，解题的关键是掌握圆心角，弧，弦 之间的关系。 【题型2】同圆或等圆中圆心角~孤~弦基础应用 1.(25-26九年级上全国随堂练习)如图，AB是⊙0的直径， BC=CD=DE,∠COD=35°.求∠AOE的度数. D B 0 【答案】75 【分析】由BC=CD=DE,∠COD=35°，可求得∠BOC-∠EOD=∠COD=35°，继而可求 得∠AOE的度数. 解：：BC=CD=DE,∠C0D=35, .∠BOC=∠EOD=∠COD=35°， ∴.∠AOE=180°-∠EOD-∠COD-∠BOC=75° 【点拨】此题考查了弧与圆心角的关系.此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用. 2.(26-27九年级上·北京课堂例题)在⊙0中，圆心角∠A0B=2∠COD,则弦AB与 弦CD的关系是（) A,AB=2CD B.AB>2CD C.AB<2CD D.不能确定 【答案】C 【分析】作∠AOB的平分线构造等圆心角，得到等弦，结合三角形三边关系比较弦长大小. 解：如图，作∠AOB的平分线OE,交⊙O于点E,连接AB、CD、AE、BE, D B 则∠AOB=2∠AOE=2∠BOE, .∠AOB=2∠COD. ∴.∠AOE=∠BOE=∠COD, ,在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等， .AE=BE=CD, 在△ABE中，AE+BE>AB, :CD+CD>4B,即 AB<2CD 3.(2026九年级上江苏·专题练习)如图，在⊙0中，AB=CD,4=30°，则∠2= B 【答案】30°/30度 【分析】由AB=CD可得BD=AC,再根据圆心角、弧、弦之间的关系即可求解. 解：在⊙0中，AB=CD, :AB-BC=CD-BC, :.BD=AC. .∠1=∠2， ∠1=30°， ∠2=30° 4.(24-25九年级上辽宁大连期末)如图，在⊙0中，弦AB、CD于点E,且 AB=CD.求证：AC=BD. E B 【答案】证明：：AB=CD .4B=CD, .4B-BC=CD-BC, .AC=BD, ..AC=BD 【分析】本题考查圆的相关性质，解题的关键是利用在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等 这一性质进行推理。 先根据已知弦相等得出弧相等，再通过弧的运算得到AC=BD,最后根据弧与弦的关系得出弦 相等。 解：略 三.综合提升 【题型1】圆心角、弧、弦之间关系计算 1.(25-26九年级上浙江课后作业)如图，AB为半圆的直径，点C、D在半圆上. (1)若BC=3AD,CD=2AD,求∠DAB和∠ABC的大小： (2)若点C、D在半圆上运动，并保持弧CD的长度不变，（点C、D不与点A、B 重合)·试比较∠DAB和∠ABC的大小. 【答案】(1)∠DAB=75°：∠ABC=45°；(2)连接OD、OC,如图： ①若AD<CB,则∠AOD<∠BOC, 则∠AOD+∠DOC<∠BOC+∠DOC,即∠AOC<∠DOB, 又：AC=AC,DB=DB, ∠ABC=)∠AOC,∠DAB=∠DOB, ∠DAB>∠ABC: ②若AD=CB,同理可证∠DAB=∠ABC: ③若AD>CB,同理可证∠DAB<∠ABC. 【分析】本题考查了圆心角、弦、弧之间的关系，圆周角定理等知识点，解题的关键是正确的 利用三者之间的关系。 ()根据弧和圆心角之间的关系可以得到圆周角的大小： (2)利用相等的弧所对的圆周角相等可以判断圆周角的大小关系， (1)解：连接OD、OC,如图： BC=3AD,CD=2AD ∴.∠BOC=3∠AOD,∠COD=2∠AOD .∠BOC+∠COD+∠AOD=180°， ∴.∠AOD=30°，∠BOC=90°，∠COD=60° :∠DAB=)∠BOD=(∠B0C+∠COD)=75°. 2 ∠ABC= 1∠A0C =(∠40D+∠C0D)=45°， (2)略 2.(25-26九年级上陕西榆林期末)如图，已知AB,CD是⊙0的弦，且AB=CD, 若∠BOD=84°，则∠AC0的度数是（) B A.50° B.48° C.44 D.42° 【答案】B 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角之间的关系，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质. 根据弧、弦、圆心角之间的关系，可得∠AOB=∠COD,从而得到∠BOD=∠AOC=84°，再根据 等边对等角的性质求解即可. 解：连接OA, AB=CD. .AB=CD, ∴.∠AOB=∠COD ∴.∠AOB-∠AOD=∠COD-∠AOD ÷.∠BOD=∠A0C=84°， 0A=OC. ∠Ac0=∠C40=180-,40c=48, 2 故选：B. 3.(25-26九年级上浙江绍兴期中)如图，C是以AB为直径的半圆上一点，BC上 一点D关于直线BC对称的点落在AB上，若AC=3,BC=4,则BD的长是一 【答案】5 【分析】本题考查了轴对称图形的特征，圆周角与弦、弧之间的关系，解直角三角形，勾股定 理，过点D作DH⊥BC于点H,通过轴对称的性质，可证∠DBC=∠ABC,AC=CD,然后 tan∠DBH=D H =tan∠ABC=3 ,不妨设AC=3a,BC=4a,然后在Rt△CDH利用勾股定理 求得答案。 解：过点D作DH⊥BC于点H,如图所示： B :BC上一点D关于直线BC对称的点落在AB上， ∠DBC=∠ABC, :.AC=CD, AC=3, .CD=3 AB是直径， ∠ACB=90°， BC=4, .tan∠ABC= AC 3 BC 4' :∠DHB=90°-∠ACB,∠DBC=∠ABC tan∠DBH= DHAC_3 BHBC4· 不妨设AC=3a,BC=4a, :.CH=CB-BH=4-4a.BD=AC2+BC2=(3a)+(4a)=5a .CH2+DH2 CD2. (4-4a2+(3a2=32, 7 a=1（舍去)或a=25, 77 ∴.BD=5a=5× 255· 1 5 故答案为： 4.(2025九年级全国·专题练习)如图，已知⊙0的半径为3，弦AB,CD所对的圆 心角分别是∠AOB,∠COD.若∠AOB与∠COD互补，弦CD=4,求弦AB的长， D 【答案】25 【分析】延长AO交⊙O于点T,连接BT,利用等角的补角相等得到∠BOT=∠COD,则根据 圆心角、弧、弦的关系得到BT=CD=4,接着利用圆周角定理得到∠ABT=90°，然后利用勾 股定理计算AB的长. 解：如图，延长AO交⊙0于点T,连接BT. B :∠AOB+∠BOT=180°，∠AOB+∠COD=180°， .∠COD=∠BOT, ∴.CD=BT=4 ..OA=OB=OT, ∴.∠OAB=∠OBA,∠OBT=∠OTB. ∴∠AB0+∠0BT=80P-∠A0B)+80P-∠C0D) =180°- 5A0B+∠CoD)=90P .∠ABT=90° AT=2×3=6, ∴AB=VAT2-BT2=2V5 【点拨】本题考查了圆的基本性质，解题的关键是应用圆的性质和勾股定理解决问题： 【题型2】垂径定理基础计算 1.(26-27九年级上·全国课后作业)如图，在半径为1的⊙0中，弦AB的长为1. (1)求∠AOB的度数： (2)求点O到AB的距离. B 【答案】(1) 60°；(2) 5 【分析】(1)利用OA=OB=AB可得△OAB为等边三角形，进而得到∠AOB的度数： (2)过点O作0C⊥AB于C,根据垂径定理求出AC,再根据勾股定理求出OC即可. (1)解：在⊙0中，OA=OB=1,AB=1, ..OA=OB=AB, ∴.△OAB为等边三角形 ∴.∠AOB=60° (2)解：过点O作OC⊥AB于点C, B 在⊙0中，OC⊥AB于点C, :.AC=1AB, 2 AB=1, 0 在R△0AC中，40=1：4C- 0c=ao-4c-r--9 5 .0 0到B的距离为 2 2.(26-27九年级上·浙江宁波阶段检测)如图，圆弧形桥拱的跨度AB=24m,拱高 CD=8m.则拱桥的半径为() A.12m B.13m C.14m D.11m 【答案】B 【分析】设圆心为O,半径为m,则OA=OC=m,OD=(-8)m,由垂径定理得 )AB=2m,再由勾股定理列方程2=12+r-8计算 解：如图，设圆弧形桥拱的圆心为O,半径为m,则OA=OC=m,OD=OC-CD=(r-8)m ,由题意得CD⊥AB, ÷AD=AB=12m, 2 在Rt△A0D中，由勾股定理得A02=AD2+0D2,即：r2=122+(r-8)2, 解得r=13, 13m 拱桥的半径为 3.(26-27九年级上·黑龙江哈尔滨阶段检测)如图，BD是⊙0的直径，弦AC⊥BD 于E,若AC=24,BE=8,则OC的长为 D E 【答案】13 【分析】利用垂径定理求出CE的长，设半径为r,表示出OE的长，在Rt△OEC中利用勾股 定理列方程求解， 解：：BD是⊙O的直径，AC⊥BD,AC=24, :CE=)AC=12, 设OC=r,则OB=r, ,BE=8, ..OE =OB-BE=r-8. 在Rt△OEC中，由勾股定理得OE2+CE2=OC2, .(0-82+122=r2, 解得r=13, :0c=13 4.(26-27九年级上北京单元测试)有一种叫云南的生活：冬日暖阳，倚桥观鸡， 滨朴倒影，如诗如画.如图1，大观河上的这座圆弧形拱桥建于上世纪70年代. 图2是拱桥的示意图，它的跨度AB=60米，拱高PD=18米. 图1 图2 (1)求圆弧所在的圆的半径r的长： (2)当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米， 即PE=4米时，是否要采取紧急措施？ 【答案】(1)34米；(2)不需要采取紧急措施 【分析】(I)连接OA,利用r表示出OD的长，在Rt△AOD中根据勾股定理求出r的值即 可： (2)连接OA',在Rt△AEO中，由勾股定理得出A'E的长，进而可得出AB的长. (1)解：连接OA, 由慰意得：4D-)4B=30米，OD=-18米， 在RtsAD0中，有r2=30+(V-18)2,解得r=34米： (2)解：连接OA'。 :OE=OP-PE=30米， ∴.在Rt△AE0中，AE=VAO2-OE2=16(米)， .AB=32米. .·A'B=32>30 ∴，不需要采取紧急措施. 【题型3】垂径定理推论计算 1.(2026湖北黄石三模)如图，△ABC内接于⊙0，非直径弦AC与半径OB相交于 点D,且AD=CD,点E是射线OB上一点，且AB平分∠DAE. (1)求证：AE是⊙0的切线： (2)若BD=2,OD=3,求AE的长 B 【答案】(1)证明：连接OA,则OA=OB, B ∴.∠OAB=∠OBA. :AD=CD,OB是半径， .OB⊥AD, ∠ADB=90°， .∠DAB+∠OBA=90°， 'AB平分∠DAE,即∠EAB=∠DAB. ∴.∠EAB+∠OAB=∠DAB+∠OBA=90°，即∠OAE=90°， .AE⊥OA OA是半径， ,AE与⊙0相切于点A. 0 2)3 【分析】(1)连接OA,则OA=OB，,所以∠OAB=∠OBA,由垂径定理可得∠ADB=90°， 则∠DAB+∠OBA=90°，进而可得∠EAB+∠OAB=90°，再根据切线的判定定理即可证明结论： (2)因为BD=2,OD=3,所以OA=OB=5,由勾股定理得AD=4,再根据 m∠406=5=404 DAOD3,可得4E=子0A,即可求出 3 解：(1)略 (2)解：BD=2,OD=3, ⊙ A ..OA=OB=OD+BD=3+2=5. .∠AD0=90° AD=VO-0D2=V52-32=4, :tan∠AOE=AE、AD OA OD' AE 4 .53 AE=20 【点拨】连接过切点的半径，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键。 2.(24-25九年级上山西吕梁·期中)石拱桥是中国传统的桥梁四大基本形式之一， 是用天然石料作为主要建筑材料的拱桥，以历史悠久，形式优美，结构坚固等特点 闻名于世，它的主桥是圆弧形.如图，某石拱桥的跨度AB(AB所对的弦的长)约 为36m,拱高CD（AB的中点到弦AB的距离)约为6m,则AB所在圆的半径OA为 () A.30m B.27m C.6v17m D.25m 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理的推论以及勾股定理，点O圆心，连接OA、OB,由垂径定理的 推论可得OD⊥AB,进而利用勾股定理求出半径即可，掌握垂径定理的推论是解题的关键. 解：如图，点O圆心，连接OAOB, 由题意可得，CD=6m:D AB=18m,OD⊥AB' 2 .∠AD0=90°， 设圆的半径为xm,则OD=(x-6)m, AD2 +OD2 0A2, .182+(x-6}=x2, 解得x=30 ∴.0A=30m, 故选：A, 3.(2025·陕西中考真题)如图，AB为⊙0的直径，BC=BD,∠CDB=24°，则 ∠ACD的度数为 B D 【答案】66 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质 内容是解题的关键.先根据AB为⊙O的直径，BC=BD,则∠A+∠ACD=90°，再根据 BC=BC,即∠A=∠CDB=24°，代入∠ACD=90°-∠A进行计算，即可作答. 解：：AB为OO的直径，BC=BD, .AB⊥CD 即∠A+∠ACD=90°， .BC=BC, .∠A=∠CDB=24°， 则∠ACD=90°-∠A=90°-24°=66°， 66° 故答案为： 4.(2026·安徽合肥模拟预测)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，经过A,C两点的 ⊙O交BC于点D,交AB于点E,过点C作CF⊥AD于点F,延长CF交AB于点G, 且G恰好是AB的中点. (1)求证：LCAB=LCDA, (2)若CG=8,AC=4V5,求GE的长. O F 刀 E B 【答案】(1)证明：：∠ACB=90°，CF⊥AD ∴.∠ACG=∠CDA=90°-∠DCF :∠ACB=90°，点G恰好是AB的中点 ∴.GA=GC .∠CAB=∠ACG. .∠CAB=∠CDA: (2)2 【分析】(1)根据同角的余角相等以及直角三角形斜边中线的性质证明即可： (2)连接CE,连接CO并延长交AG于点H,先得到CA=CE,再由垂径定理的推论得到 CH上4E,利用三线合一得到AH=H匹=。AE,设H=HEx,然后对 Rt△ACH,Rt△GCH运用勾股定理建立方程求解即可. 解：(1)略 (2)解：连接CE,连接C0并延长交AG于点H, E B .'∠CAB=∠CDA ∴.CA=-cE ∴.CA=CE ,CO经过圆心， .CH⊥AE :AH HE=AE 2 设AH=HE=x GA=GC=8 .∴.HG=GA-AH=8-x .CH2=CA2-AH2.CH2=CG2-HG2 .CA2-AH2=CG2-HG2 (45-x2=82-(8-x 解得x=5 .AE=2AH=10 GE=AE-AG=10-8=2 【题型4】作辅助线（弦心距)简单计算 1.(26-27九年级上浙江杭州开学考试)如图，圆O的直径AB与弦CD相交于点E ,若BE=1,AE=5,∠AED=45°，求CD的长. D O E 【答案】2万 【分析】首先由BE=1,AE=5算出圆的直径AB=6,得到圆的半径OD=3,再算出OE=2. 过圆心O作OH⊥CD于点H,由∠AED=45°，可知△OHE是等腰直角三角形，求出圆心到 弦CD的距离OH=√2，然后在RtAODH中利用勾股定理求出半弦长DH=V万，最后由垂径定 理，OH平分弦CD,求出CD=2V7. 解：如图，过点O作OH⊥CD于点H,连接OD B E .AE=5,BE=1 ∴.AB=AE+BE=6, ∴.OA=OD=3. ∴.OE=AE-OA=5-3=2 ∠AED=45°，OH⊥HE, ∴△OHE为等腰直角三角形， :.OH=HE 由勾股定理，OE2=OH2+HE2=4, .20H=4,0H=√2 由勾股定理，在RtAODH中，DH2=OD2-OH, ÷DH=OD2-0m=32-(2}=7, OH⊥CD, ∴由垂径定理，CH=DH=万， :.CD=2DH=2√7 2.(25-26九年级上山东滨州期中)已知⊙0的直径为34cm,AB,CD是⊙0的两 条弦，AB‖CD,AB=30cm,CD=16cm,则AB和CD之间的距离是() A.7cm或23cmB.14cm或46cm C.7cm D.23cm 【答案】A 【分析】解题需分情况讨论弦AB、CD与圆心O的位置关系，避免漏解，先求出圆心到两条 弦的距离，再分情况计算两弦间的距离。 解：①当弦AB和CD在圆心同侧时， 连接OA,OC,过点O作OE⊥AB于点E并延长交CD于点F.则OF⊥CD,如图， B ..AB=30cm,CD=16cm. .EB15cm,CF-CDm 2 .0A=OC=17cm, ..EO=042-AE2 =8cm,OF=042-CF2 =15cm, ∴EF=OF-OE=7cm: ②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图， D B .AB=30cm,CD=16cm, .AE=4B=15cm,CF-CD=8cm, ..OA=OC=17cm, :.EO=VOA-AE2 =8cm,OF =VOA2-CF2 =15cm, ∴.EF=OF+OE=23cm AB与CD之间的距离为 7cm 23cm “或 3.(26-27九年级上浙江宁波·开学考试)在⊙0中，弦AB=9,∠A0B=120°，则⊙0 的半径为 【答案】35 【分析】过圆心作弦的垂线，利用垂径定理得到直角三角形，再结合等腰三角形和含30°角的 直角三角形即可求解。 解：如图，过点O作OC⊥AB于点C, B ,OA,OB都是⊙0的半径， .OA=OB. :OC⊥AB,AB=9, ·由垂径定理得AC=4B=? 2 29 :∠AOB=120°，OA=OB, ∠04C=180°，120°=30°， 2 在RaM0c中，0C=tan30°×4C=5x933 322 OA=20C=2 35-33 4.(25-26九年级上·全国课堂例题)如图，AB是⊙0的直径，CD是⊙0的弦， CD CD,AB的延长线交于点M,若∠AOC=3∠M=45,求DM的值. D 【答案】V3 【分析】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键：连接OD,过点 O作0H1CD于点H,由题意易得∠M=15°，∠C=30°=∠ODC,则有OD=DM=OC,然后 可设OH=a,则OC=OD=DM=2a,进而问题可求解 解：连接OD,过点O作OH⊥CD于点H. B M .∠AOC=3∠M=45° ∠M=15,∠C=30°=∠0DC, .∠M=∠D0M=15°， OD=DM=OC.设OH=a,则OC=OD=DM=2a, :.CH=DH=a,CD=23a, CD 23a =5 DM 2a 四.拓展探究 【题型】垂径定理综合探究（勾股定理结合） 1.(2026湖北三模)如图，AB,AC是⊙0中相等的两条弦，过点0分别作 OF⊥AB于点F,OG⊥AC于点G (1)求证：OF=OG: (2)延长OG交⊙0于点D,连接BD交FO的延长线于点E.若OE=3，,AB=24,求 ⊙0的半径. B G D 【答案】(1)证明：连接OA. OF⊥AB,OG⊥AC, 0EAE0GM=90’AF=24B,AG、/ 2 ..AB=AC, .AF=AG. OA=OA, ∴.Rt△OAF≌Rt△OAG, .0F=0G: G (2)13 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质；掌握垂径定理，添 加恰当的辅助线是解题的关键 (1)连接OA,证明Rt△OAF≌Rt△OAG,即可求证： (2)连接AD,根据垂径定理可得∠EBF=∠DAG,可证明△BEF≌△ADG,可得EF=DG,设 OF=x,则OG=x,DG=EF=OE+OF=3+x,OA=OD=2x+3.在Rt△OAG中，根据勾股定 理可得x的值，即可求解， 解：(1)略 (2)解：连接AD. .OG⊥AC, .AD=CD, ∴.∠EBF=∠DAG. AG=AF=BF,∠AGD=∠BFE=90°， ∴.△BEF≌△ADG, ..EF =DG 设OF=x,则OG=x, DG=EF=OE+OF=3+x OA=OD=2x+3 由(1)得4G=)4C=号4B=12 2 2 在Rt△OAG中，OA-OG=AG, .(2x+3}-x2=12 ∴.x=5或9（舍去）， :0A=13 ,即⊙0的半径为13. 2.(2026·湖北黄冈·模拟预测)如图，AB为⊙O的直径，AE为OO的弦，C为优弧 ABE的中点，CD1AB,垂足为D.若AE=8,DB=2,则OO的半径为() B A.6 B.5 C.42 D.45 【答案】B 【分析】如图，连接C0,延长CO交AE于点工，设OO的半径为，证明 △AOT≌aCOD(AAS),推出CD=AT=4,在RtACOD中，根据OC=VCD2+OD2， 构建方程 求解. 解：连接C0,延长CO交AE于点T,设⊙O的半径为， C为优弧ABE的中点， ..AC=CE, 由垂径定理得CT⊥AE, :AT=7E=4B=4, 在△AOT和△COD中， I∠ATO=∠CDO=90° ∠AOT=∠COD A0=CO .△AOT≌aCOD(AAS), ..CD=AT=4, 在RtACOD中，根据OC=VCD2+OD2, .r=V42+(r-2)2 解得=5 3.（第二十八章圆高效同步练习28.3圆心角和圆周角第1课时圆心角、弦、弧 之间的关系)如图，点A是半圆上的一个三等分点，点B是AW的中点，点P是直 径MN上一个动点，⊙O的半径为1，则AP+BP的最小值为 【答案】√2 【分析】作点A关于MN的对称点A',连接A'B,交MN于点P,连接OA',OB,PA,则 ∠AON=∠AON=60°，PA=PA,求出∠AOB=90°，再结合勾股定理计算即可得出结果. 解：作点A关于MN的对称点A',连接A'B,交MN于点P,连接OA',OB,PA, :点A与A'关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点， ∴.∠A'ON=∠AON=60°，PA=PA 点B是AWN的中点， ∴.∠BON=30°， .∠AOB=∠AON+∠BON=90° 又OA=OA=OB=1, ∴B=VOA2+OB2=√2. 当点，P,不在一条直线上时，此时P+BP最小，为B的值，即最小值是2 4.(2025·安徽准北二模)如图，AD为直径，E为弦BC的中点，连接AB,AC (1)求证：△ABC为等腰三角形： (2)连接BD,CD,若AD=10,四边形ABDC的面积为40，求DE的长. B E 【答案】(1)证明：：E为弦BC的中点，AD为直径， ∴.AD⊥BC,BE=CE, :AB=AC, △ABC为等腰三角形： (2)2 【分析】(I)由垂径定理得AD⊥BC,BE=CE,然后由线段垂直平分线的性质可得答案： (2)连接OB,由四边形ABDC的面积为40求出BC=8,在Rt△OBE中，由勾股定理求出 OE=3,然后根据DE=OD-OE即可求解。 解：(1)略 (2)如图，连接OB, B :四边形ABDC的面积为40， 2×10xBC=40, BC=8, BE=4, AD=10,则OB=OD=5, 在Rt△OBE中，OE=VOB2-BE2=V52-42=3, .DE=OD-OE=5-3=2 五.中考链接 一、单选题 1.(2026甘肃临夏·中考真题)如图，⊙0的半径是5，AB是⊙0的直径，弦CD⊥ AB,垂足为P,若CD=8,则△ACD的面积是() O P D B A.16 B.24 C.32 D.48 【答案】C 【分析】连接OD:由垂径定理可知PD-CD=4,在OPD中利用勾股定理可得OP=3 从而可知AP=8,再借助三角形面积公式即可计算. 解：连接OD, P B :⊙0的半径是5，AB是⊙0的直径，弦CD⊥AB,CD=8, :PD=CD=4. 2 .0P=V0D2-PD=V5-4-=3, ∴.AP=OA+OP=5+3=8, .Sm=CD-MP=)x8×8=32 2.(2026四川南充中考真题)如图，AB为⊙0直径，弦CD1AB于E,OB=CD=2 ,则OE长为() A.1 B.5 C.2 D.5 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理及勾股定理，根据垂径定理求出CE的长，再在RtAOCE中利用勾 股定理求出OE的长即可. 解：AB为⊙O直径，CD⊥AB,OC=OB=CD=2, :.CE=1CD=1, 在Rta0CE中，OE=VOC2-CE2=-V22-1下=V3 3.(2025·湖北武汉·中考真题)如图，四边形ABCD内接于⊙0，AB=2CD.若 AB=6,CD=3,则⊙0的半径是() 0 A.4 B. 2 C. D.5 【答案】A 【分析】本题考查垂径定理，圆心角、弦、弧之间的关系，勾股定理，掌握垂径定理，圆心 角、弦、弧之间的关系，勾股定理是正确解答的关键.根据垂径定理，圆心角、弦、弧之间的 关系，勾股定理进行计算即可. 解：如图，过点O作OE⊥AB,垂足为F,交⊙0于点E,连接OA,AE, -0 E 则花=BE,MF=BF=)AB=3, AB=2CD, .AE=CD, .AE=CD=13, 在R1△AEF中，AE=V3,AF=3, .EF=AE2-AF2=2, 设半径为R, 在Rt△AOF中，OA=R,OF=R-2,AF=3 由勾股定理得，042=0F2+AF2,即R2=(R-2}+32, 解得R=13 4· 故选：A 二、填空题 4.(2025陕西中考真题)如图，AB为⊙0的直径，BC-BD,∠CDB=24°，则 ∠ACD的度数为 【答案】66° 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质 内容是解题的关键.先根据AB为⊙O的直径，BC=BD,则∠A+∠ACD=90°，再根据 BC=BC,即∠A=∠CDB=24°，代入∠ACD=90°-∠A进行计算，即可作答. 解：，AB为⊙O的直径，BC=BD, .AB⊥CD 即∠A+∠ACD=90°， BC=BC, ∴.∠A=∠CDB=24°， 则∠ACD=90°-∠A=90°-24°=66°， 故答案为：66°. 5.(2026·内蒙古呼和浩特中考真题)如图，△ABC内接于⊙0且∠ACB=90°，弦 CD平分∠ACB,连接AD,BD.若AB=5,AC=4,则BD=,CD= 【答案】 30 35 【分析】首先利用已知条件得到AB为直径，然后可以证明△ADB为等腰直角三角形，由此求 出BD,接着把△ACD绕D逆时针旋转9O°得到△DBE,证明△DCE为等腰直角三角形即可解决 问题. 解：：△ABC内接于⊙0且∠ACB=90°， AB为⊙O的直径， ∠ADB=90°， .∠DAC+∠DBC=180°， 弦CD平分∠ACB, ∴.∠ACD=∠BCD=45° :AD=BD. :AB=5,AC=4, CB=3.4D-BD-2 ∴.如图把△ACD绕D逆时针旋转9O°得到△DBE, .∠DBE=∠DAC,BE=AC, .∠DBC+∠DBE=180°， ∴.C、B、E三点共线， :aDCE为等腰直角三角形， ∴.CE=AC+BC=7. CD-DE-72 故答案为： 12 E 【点拨】此题分别考查了三角形的外接圆、圆周角定理及其推论、角平分线的性质及勾股定 理，有一定的综合性。 6.(2026河南周口·一模)如图，某城市新建了一座圆形观景台，台边设置了A, B,C,D四个观景位.已知观景台边缘AB=2CD,观景位A与B之间的直线距离 为8，观景位C与D之间的直线距离为5，则这座圆形观景台的半径是 5 【答案】6 【分析】过O作OM⊥AB于点M,延长OM交⊙O于点N,连接OA,AN,BN,则有 4M -BM-24B-4.AN-BN-2B ∠AMN=∠AMO=90°，从而可得A=BN=CD' 则AW=B=CD=5,然后通过勾股定理求出MN=3,设⊙O为r,则OM=r-3,通过勾股 定理得2=(-3)+4，再求出r的值即可 解：如图，过O作OM⊥AB于点M,延长OM交O0于点N,连接OA,AN,BN, D -- M ->B :4AM=BN-号4B=4,N=丽-号B,∠AN=∠AM0=0e AB=2CD, .AN=BN CD, .AN=BN=CD=5, :.MN=VAN2-AM2=52-4=3, 设⊙0为r,则OM=r-3, .OA2=OM2+AM2 2=(r-3)2+42, 25 ..r= 6 25 ,这座圆形观景台的半径是 6· 三、解答题 7.(2026广西中考真题)如图，已知⊙0是△ABC的外接圆，AB=AC.点D,E 分别是BC,AC的中点，连接DE并延长至点F,使DE=EF,连接AF, (1)求证：四边形ABDF是平行四边形： (2)求证：AF与⊙0相切： E B 【答案】(1)证明：：点D,E分别是BC,AC的中点， ∴.BD=CD,AE=CE, 又：∠AEF=∠CED,DE=EF, ∴.△AEF≌ACED, .AF=CD,∠F=∠EDC, ∴.AF=BD,AFI‖BD :.四边形ABDF是平行四边形： (2)证明：如图，连接AD, :AB=AC,D为BC中点， .AD⊥BC, E ,AD过圆心， .AF II BD, ∴.AF⊥AD, 而OA为半径， .AF为⊙O的切线： (3)10 【分析】(I)先证明BD=CD,DE=EF,再证明△AEF≌aCED,可得AF=CD, ∠F=LEDC,再进一步解答即可： (2)如图，连接AD,证明AD⊥BC,可得AD过圆心，结合AFI‖BD,证明AF⊥AD,从 而可得结论： 解：(1)略 (2)略 【点拨】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，平行 四边形的判定与性质，切线的判定，垂径定理的应用，做出合适的辅助线是解本题的关键， 8.(2026福建漳州模拟预测)如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门 洞，形如满月，故称“月洞门”，如图2是古人根据《营造法式》中的“五举 法”作出的月洞门的设计图，月洞门呈圆弧形，用ACB表示，点O是ACB所在圆的 圆心，AB是月洞门的横跨，CD是月洞门的拱高，现在我们也可以用尺规作图的方 法作出月洞门的设计图. 解答下列问题： (1)如图3，己知月洞门的横跨为AB,拱高为a,用尺规作图的方法在图3中作 出月洞门的设计图（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若AB=lm,CD=2.5m,求⊙0的半径长. 已知： 0 AB a ADB 图1 图2 图3 【答案】(1)如图， M D A B a 图3 (2)⊙0的半径长为1.3m 【分析】(1)作AB的垂直平分线MN交AB于点D,以点D为圆心，a为半径画弧交MW于 点C,连接AC,作AC的垂直平分线交MN于点O,以点O为圆心，OC为半径画弧ACB: (2)如图，连接OA,设⊙0的半径为r,则0A=0C=r,OD=(2.5-r）m,由垂径定理得 到4D=)4B=0.5m,然后在直角AO4D中利用勾股定理求解。 解：(1)略 (2)解：如图，连接0A,设⊙0的半径为r,则0A=0C=r,0D=(2.5-r)m, ADB 由题意可知，CD垂直平分AB, ∠O0A=90,4D-号4B=05n, 在直角△OAD中，OP=OD2+AD2, r2=(2.5-r}2+0.52, 解得r=1.3m 答：⊙0的半径长为1.3m. 六.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 基础巩固 口顺利口有困难 综合提升 口顺利口有困难 拓展探究 口顺利口☐有困难 中考链接 口顺利口有困难