3.3圆的对称性（分层作业，12大题型）数学新教材苏科版九年级上册

**基本信息** 分层清晰，从理解到运用三级进阶，覆盖圆的对称性核心知识点，通过基础巩固、能力提升到思维拓展的路径，培养抽象能力、推理意识与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|圆的对称性、弧弦圆心角关系、垂径定理基础应用|选择、填空、作图题为主，夯实概念理解与基本技能| |B组|垂径定理推论、平行弦问题|综合解答题，强化逻辑推理与知识迁移能力| |C组|对称性求最值、新定义与规律探究|开放探究题，发展创新意识与数学表达能力|

分层作业 3.3 圆的对称性 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 圆的对称性 题型02 弧、弦、圆心角间的关系 题型03 求圆弧的度数 题型04 利用垂径定理求值 题型05 利用垂径定理求同心圆问题 题型06 利用垂径定理求解其他问题 题型07 垂径定理的实际应用 题型08 尺规作图 B组 能力进阶 题型01 垂径定理的推论 题型02 利用垂径定理求平行弦问题 C组 思维拔高 题型01 利用圆的对称性求最值 题型02 新定义与规律探究 圆的对称性题型01 1．下列说法中，正确的是（   ） A．同心圆的周长相等 B．面积相等的圆是等圆 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．平分弧的弦一定经过圆心 2．如图，以等边的一边为直径的半圆交于点，交于点，若，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 3．请完善本课时的知识结构． 垂径定理（1） 定理：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径_________，并且_______． ∵是直径，，垂足为点 ， ∴__________， ∴________．    4．（25-26九年级上·上海·月考）下列说法中，正确的序号是____________． ①长度相等的弧是等弧；②平分弦的直径垂直于弦；③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等；④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等． 5．如图，A，B是圆上的任意两点，如何找到关于这两点的对称轴？你有哪些方法？ 弧、弦、圆心角间的关系题型02 1．（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期末）下列有关圆的一些结论：①等弧所对的弦相等；②相等的圆心角所对的弧相等；③平分弦的直径垂直于弦；并且平分弦所对的弧，④任意三点确定一个圆．其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．如图，在同圆中，若，则与的大小关系是（　　） A． B． C． D．不能确定 3．如图，点 ，，， 在上． （）若，则 ________________； （）若，则 ________________． 4．如图，是的直径，，，则_____．    5．如图，为的直径，C、D分别为的中点，，点E、F都在上， 求证： (1)； (2)； (3)． 求圆弧的度数题型03 1．如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆分别交、于点D、点E，则弧的度数为（　　） A． B． C． D． 2．如图，是的弦，延长相交于点E，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知点C是⊙O的直径AB上的一点，过点C作弦DE，使CD=CO．若的度数为35°，则的度数是_____． 4．（24-25九年级上·江苏盐城·月考）如图，在中，，，以点O为圆心，的长为半径的交、于点、． (1)求、的度数． (2)如果弦的长为，那么的半径是多少? 5．弦把分成，连接、，过的中点A作，交于B，求的度数． 利用垂径定理求值题型04 1．（25-26九年级上·云南昆明·期末）如图，是的直径，是的弦，，垂足为，若，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，半径长为，圆心到弦的距离，则弦的长为(　　) A． B． C． D． 3．如图，在中，弦交于点P，且，，的半径为（   ） A． B．4 C． D．5 4．如图，在中，于点C，若，，则的半径长为_________．    5．（25-26九年级上·广东珠海·期中）如图，在中，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 利用垂径定理求同心圆问题题型05 1．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于C点，AB=12cm，AO=8cm，则OC长为（ ）cm A．5 B．4 C． D． 2．如图，两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于两点，大圆的半径为10，小圆半径为7．若，则弦的长是__________． 3．如图，两个同心圆的半径分别为2和4，矩形的边和分别是两圆的弦，则矩形面积的最大值是______． 4．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）． 求证：AC=BD. 5．（2026·广东清远·模拟）综合与实践 某地的景观湖湖面成鱼型，如图1，鱼身外围有一条圆弧形水道，在圆弧形水道外侧有一条圆弧形道路，它们的圆心相同．某学习小组想要借助所学的数学知识探索该景观湖的大小，如图2，学习小组来到了圆弧形道路内侧A处，将所携带的200米绳子拉直至圆弧道路内侧另一点B处，并测得绳子中点C与圆弧形道路内侧中点D的距离为10米，圆弧形水道外侧到道路内侧的距离为22米（点D，C，E在同一直线上），请计算圆弧形水道外侧的半径． 利用垂径定理求解其他问题题型06 1．如图，扇形中，，半径是的中点，，交于点，则的长为（  ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，经过原点，交y轴于点B，若，则点B的纵坐标是________． 3．如图，AB是⊙C的弦，直径MN⊥AB于点O，MN=10，AB=8，如图以O为原点建立坐标系．我们把横纵坐标都是整数的点叫做整数点，则线段OC长是_____，⊙C上的整数点有_______个． 4．如图所示，的两条弦，互相垂直且相交于点P，，，垂足分别为E，F，．求证：四边形是正方形． 5．（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，内接于圆O，过点A作于D，E为弧中点，连接交于点F． (1)求证：； (2)如图2，过点A作的垂线，交圆O于点G，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接与交于点H，连接并延长交于点N，连接，若，，，求的长． 垂径定理的实际应用题型07 1．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径，水面宽，则截面圆心O到水面的距离是（    ） A．3 B．4 C． D．6 2．如图，《九章算术》记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，其大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯子去锯这根木材，锯口深为1寸，锯道长1尺（1尺寸），问圆形木材的直径是（   ） A．26寸 B．13寸 C．12寸 D．5寸 3．如图是某风景区的一个圆拱形门，路面宽为，净高，则圆形拱门所在圆的半径为_____． 4．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知一根排水管的截面圆直径为． (1)如图1所示，当水面宽时，求水面的最大深度； (2)在图1的情况下，如果排水量增大，当水面上升到宽度时，求水面上升了多少厘米？ 5．（25-26九年级上·云南昆明·期中）如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度米，拱高米，且． (1)求圆弧所在的圆的半径r的长； (2)当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米（即米）时，求此时跨度的长度，并判断是否要采取紧急措施？ 尺规作图题型08 1．如图，在中，用尺规按照下面步骤作图： ①作线段的垂直平分线； ②作线段的垂直平分线，交于点； ③以为圆心，长为半径作，分别交于点M，N． 嘉嘉和瑣瑣分别给出了一个结论．嘉嘉：点O是的外心． 瑣瑣：若，则． 对于两人的结论，下列判断正确的是（   ） A．两人的结论都正确 B．两人的结论都不正确 C．嘉嘉的结论正确，瑣瑣的结论不正确 D．瑣瑣的结论正确 ，嘉嘉的结论不正确 2．某地出土一个明代残破圆形瓷盘，为复制该瓷盘需确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心和半径．（保留作图痕迹） 3．如图，图①中△ABC内接于⊙O且∠ABC＝90°，图②中内接于⊙O，AC是直径且，请仅用无刻度的直尺按要求画图． (1)在图①中，画出将△ABC的面积平分为两等份的弦； (2)在图②中，画出将的面积平分为两等份的弦． 4．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，已知是的一条弦，请根据要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）： (1)在图①中，利用无刻度的直尺作一条弦，使； (2)如图②，点是上的一点，利用无刻度的直尺和圆规作弦，使； (3)如图③，过圆心作于，点是内的一点，连接，若利用无刻度的直尺和圆规作弦，使经过点且． 5．（2025·天津·模拟）如图是由小正方形组成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，⊙O经过A，B，C三个格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)在图（1）中画弧的中点D； (2)如图（2），延长至格点F处，连接． ①直接写出∠F的度数； ②P为上一点，连接，将绕点B顺时针旋转得到，画出线段，并简要说明． 垂径定理的推论题型01 1．下列说法正确的是（    ） A．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧 B．平分弦的直径垂直于弦 C．垂直于直径的弦平分这条直径 D．过弦（不是直径）的中点的直径平分弦所对的两条弧 2．如图，的弦，为的中点，且，则的半径为（    ）    A．8 B．6 C．5 D．4 3．垂径定理推论：平分弦（不是直径）的直径__________，并且平分弦所对的_______． 4．（25-26九年级上·江苏南京·月考）如图，在平面直角坐标系中，点，，都在格点上，过，，三点作一圆弧，则圆心的坐标是______． 5．如图，AB是半圆的直径，O是圆心，C是半圆上一点，D是弧AC的中点，OD交弦AC于E，连接BE．若AC=8，DE=2，求BE的长度． 利用垂径定理求平行弦问题题型02 1．（25-26九年级上·甘肃平凉·期末）已知半径是13，弦，，，则与之间距离为（    ） A．7 B．17 C．7或17 D．无法计算 2．如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8．AB＝10，则CD与AB之间的距离是_____． 3．已知AB、CD是⊙O的两条平行弦，⊙O的半径为17cm，，，则AB、CD间的距离为________． 4．已知的半径为1，是的两条弦， ．求弦和弦之间的距离． 情况一：两条弦位于圆心的同侧 情况二：两条弦位于圆心的异侧 解答过程： 解答过程： 综上所述，弦和弦之间的距离为____________． 5．如图，A，B，C，D在上，经过圆心O的线段于点F，与交于点E，已知半径为5． （1）若，，求的长； （2）若，且，求弦的长； 利用圆的对称性求最值题型01 1．（2026·河北·一模）如图，小高和小雪分别沿着环形跑道的内侧跑道和外侧跑道进行慢跑训练，两个人的速度相同，已知内圈跑道的半径为20米、外圈跑道的半径为25米，则慢跑过程中两人的距离不可能是（   ） A．5米 B．15米 C．40米 D．50米 2．如图，的直径是定值，是的一条弦，于M，点N为的中点，连接，下列说法正确的是（　　） A．有最大值 B．有最小值 C．为定值 D．以上说法都不正确 3．如图，矩形的顶点，在半径为5的上，，当点在上运动时，点也随之运动，则矩形的对角线的最小值为（    ）． A． B． C． D． 4．如图，在⊙O中，弦AB＝2，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为___． 5．如图，AB，CD是半径为15的⊙O的两条弦，AB＝24，CD＝18，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上任意一点，则PA＋PC的最小值为_____． 新定义与规律探究题型02 1．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）小滨、小江在研究圆心角定理时发现，除了定理中提到的四对量以外，还有其它量，比如三角形的面积、弓形的周长、扇形的面积等．于是，就有了这样的思考：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距、两个三角形的面积、两个弓形的周长、两个扇形的面积中有一对量相等，那么其余的量是否也相等？因而，他们提出了如下猜想：点A，B，C，D均在⊙O上，其中，，均小于． 小滨：若，则和的面积相等． 小江：若和的面积相等，则． 请判断小滨、小江所提的猜想是否正确，并说明理由． 2．综合与实践 【问题情境】如图1，贴窗花是我国特有的喜庆文化之一，我们可以从寓意团圆平安的窗花图案中抽象出一个由两个同心圆构成的几何图形（共同的圆心称为中心），如图2，我们称这种图形为“环花”． 【实践探究】设直线与“环花”从左到右依次交于点，，，． (1)如图2，当直线经过中心时，请直接写出线段与的数量关系； (2)如图3，当直线不经过中心时，请证明（1）中的结论仍然成立； 【问题深化】 (3)如图4，当把“环花”中的两个圆形换成两个相似的菱形时（中心点是这两个菱形对角线的公共交点，且，，，四点均在对角线上），类似地形成了“方花”，直线不经中心时，与“方花”从左到右依次交于点，，，，求的值． 3．综合与实践． 主题活动 探究窗花图案的几何知识 文化背景 窗花的历史可以追溯到汉代，当时人们用各种材料制作薄片，通过镂空雕刻的艺术形式创造出各种图案，贴在窗户上作为装饰．随着造纸术的发明和普及，纸张逐渐成为窗花的主要材料，使得窗花艺术得到更广泛的发展．如图1的窗花寓意着团圆平安，欢乐祥和． 实践探究 从图1的窗花图案中可抽象出一个由两个同心圆构成的几何图形(如图2)，我们称这种图形为“环花”，设直线l与“环花”从左到右依次交于点A，B， C， D． 探究1：写出图2中线段与的数量关系：____________；小明经过观察认为当直线l 不经过中心O时(如图3)，结论仍然成立；请给出证明． 探究2：若图3中，且大圆面积是小圆面积的3倍，求大圆半径的长． 拓展迁移 探究3：将两个同心圆替换成两个菱形，如图4，点O是这两个菱形对角线的公共交点， 且F，B，D，H 四点均在对角线上，直线l不经中心O，与两个菱形从左到右依次交于点M，N，P，Q，求的值． 4．（24-25九年级下·河南焦作·联考）【新知引入】定义：如图（1），点M，N把线段分割成和，若以为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段的勾股分割点． （1）已知点M，N是线段的勾股分割点，若，则___________． 【探究证明】 （2）如图（2），在中，，M，N在线段上，且．求证：点M，N是线段的勾股分割点． 【拓展应用】 （3）如图（3），在中，圆心角，P是上一动点，连接，分别作的垂直平分线，分别交直线于点C，D，已知，当是以为底边的等腰三角形时，请直接写出线段的长．    试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 3.3 圆的对称性 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 圆的对称性 题型02 弧、弦、圆心角间的关系 题型03 求圆弧的度数 题型04 利用垂径定理求值 题型05 利用垂径定理求同心圆问题 题型06 利用垂径定理求解其他问题 题型07 垂径定理的实际应用 题型08 尺规作图 B组 能力进阶 题型01 垂径定理的推论 题型02 利用垂径定理求平行弦问题 C组 思维拔高 题型01 利用圆的对称性求最值 题型02 新定义与规律探究 圆的对称性题型01 1．下列说法中，正确的是（   ） A．同心圆的周长相等 B．面积相等的圆是等圆 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．平分弧的弦一定经过圆心 【答案】B 【分析】A、周长相等的两个圆，半径就相等，就能重合，所以是等圆，不是同心圆； B、利用等圆的条件进行分析解答； C、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，不能缺少“在同圆或等圆中”这个条件； D、根据垂径定理即可得出结论． 【详解】解：A、圆心相同，半径不相等的圆是同心圆，所以周长不相等，故此选项错误，不符合题意； B、面积相等的圆半径一定相等，所以是等圆，故此选项正确，符合题意； C、在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故此选项错误，不符合题意； D、平分弧的弦不一定经过圆心，故此选项错误，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查的是对圆的认识，主要考查的是直径，弦，弧，半圆，等弧，等圆，这几个基本概念．对这几个基本概念作出正确的理解，然后进行判断． 2．如图，以等边的一边为直径的半圆交于点，交于点，若，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，，，可得，，都是等边三角形，从而得弓形的面积弓形的面积，进而得阴影部分的面积的面积，进而即可求解． 【详解】连接，，， 是等边三角形， ，， ， ，，，都是等边三角形， ， 弓形的面积弓形的面积， 阴影部分的面积的面积， ， 是等边三角形，边长为， 过点作于点，则，， 的面积， 阴影部分的面积． 故选：A． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，弧与圆心角的关系，圆的对称性，得出阴影部分的面积等于的面积是解题的关键． 3．请完善本课时的知识结构． 垂径定理（1） 定理：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径_________，并且_______． ∵是直径，，垂足为点 ， ∴__________， ∴________．    【答案】 平分这条弦 平分这条弦所对的弧 【分析】根据垂径定理内容进行作答即可． 【详解】解：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧． ∵ 是直径，，垂足为点， ∴， ∴． 故答案为：平分这条弦，平分这条弦所对的弧，， 【点睛】本题主要考查的是垂径定理内容，正确掌握垂径定理内容是解题的关键． 4．（25-26九年级上·上海·月考）下列说法中，正确的序号是____________． ①长度相等的弧是等弧；②平分弦的直径垂直于弦；③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等；④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等． 【答案】③④##④③ 【分析】本题考查圆的基本性质，包括等弧的定义、垂径定理、圆心角定理以及三角形的外心的性质，根据这些知识逐项判断即可． 【详解】解：①长度相等的弧不一定是等弧，因为等弧必须是在同圆或等圆中能够完全重合的弧，故①错误； ②平分弦的直径不一定垂直于弦，当弦是直径时，平分弦的直径可能不垂直于弦，垂径定理的推论指出：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故②错误； ③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，这是圆心角定理的内容，故③正确； ④三角形的外心是三角形外接圆的圆心，到三个顶点的距离都相等，等于外接圆的半径，故④正确． 综上，说法正确的序号是③④． 故答案为：③④． 5．如图，A，B是圆上的任意两点，如何找到关于这两点的对称轴？你有哪些方法？ 【答案】见解析 【分析】根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，即可得出三种方法． 【详解】有以下三种方法： 方法1：连接AB，则AB是圆的一条弦，过圆心作AB的垂线即为对称轴； 方法2：取弧AB中点C，连接圆心与C的直线即为对称轴； 方法3：做线段AB的垂直平分线即为对称轴． 【点睛】本题考查圆的对称性，解决本题的关键是掌握垂径定理以垂直平分线的性质． 弧、弦、圆心角间的关系题型02 1．（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期末）下列有关圆的一些结论：①等弧所对的弦相等；②相等的圆心角所对的弧相等；③平分弦的直径垂直于弦；并且平分弦所对的弧，④任意三点确定一个圆．其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查圆的基本性质，需注意定理的适用条件． 根据圆的性质判断每个结论的正确性即可． 【详解】解：“等弧”的定义已包含“在同圆或等圆中”的前提，故“等弧所对的弦相等”是正确的，①正确； 相等的圆心角所对的弧相等，需在同圆或等圆中，否则不一定成立，②错误； 平分弦的直径垂直于弦并平分弧，需弦非直径，否则不一定成立，③错误； 任意三点确定一个圆，需三点不共线，否则不成立，④错误； ∴只有①正确，共1个． 故选：B． 2．如图，在同圆中，若，则与的大小关系是（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系以及三角形的三边关系；熟练掌握三角形的三边关系，熟记圆心角、弧、弦的关系是解题的关键．根据角平分线的性质得出，进而利用圆心角与弧的关系以及三角形的三边关系可直接求解． 【详解】解：作的角平分线，交于E，连接、、、，如图所示： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 3．如图，点 ，，， 在上． （）若，则 ________________； （）若，则 ________________． 【答案】 = = 【分析】本题题考查了圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等，即四者有一个相等，则其它三个都相等． 【详解】解：（1）∵， ∴． 故答案为：=； （2）∵， ∴． 故答案为：=． 4．如图，是的直径，，，则_____．    【答案】 【分析】根据同圆或等圆中相等的弧所对的圆心角相等即可求解． 【详解】∵， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了弧与圆心角的关系，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角相等是解题的关键． 5．如图，为的直径，C、D分别为的中点，，点E、F都在上， 求证： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) 证明：连接，如图， ∵为的直径，C、D分别为的中点， ∴， ∴， 而， ∴， ∴； (2) 证明：在中，取的中点G，连接， ∴， ∴. ∵， ∴, ∴. ∵是的外角， ∴， ∴， 解得， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； (3) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理以及含30度的直角三角形三边的关系， 1.连接，根据半径相等得到，则根据“”可判断，所以； 2.先说明，易得到，根据圆心角、弧、弦的关系即可得到； 3.由得，根据三角形外角性质有，则，所以，于是得到． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 求圆弧的度数题型03 1．如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆分别交、于点D、点E，则弧的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆心角，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握圆心角的定义；先求出，再根据等腰三角形的性质求出，即为弧的度数，即可得解． 【详解】解：， ， ， ， ， 弧的度数为， 故选：． 2．如图，是的弦，延长相交于点E，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理，圆心角等知识．明确角度之间的数量关系是解题的关键． 如图，连接，由三角形内角和求，，，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为， 故选：C． 3．如图，已知点C是⊙O的直径AB上的一点，过点C作弦DE，使CD=CO．若的度数为35°，则的度数是_____． 【答案】105°． 【分析】连接OD、OE，根据圆心角、弧、弦的关系定理求出∠AOD=35°，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：连接OD、OE， ∵的度数为35°， ∴∠AOD=35°， ∵CD=CO， ∴∠ODC=∠AOD=35°， ∵OD=OE， ∴∠ODC=∠E=35°， ∴∠DOE=180°-∠ODC-∠E=180°-35°-35°=110°， ∴∠AOE=∠DOE-∠AOD=110°-35°=75°， ∴∠BOE=180°-∠AOE=180°-75°=105°， ∴的度数是105°． 故答案为105°． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 4．（24-25九年级上·江苏盐城·月考）如图，在中，，，以点O为圆心，的长为半径的交、于点、． (1)求、的度数． (2)如果弦的长为，那么的半径是多少? 【答案】(1)的度数为，的度数为 (2)的半径是 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）连接，先证明为等边三角形，得出，即可得出的度数，求出，即可得出的度数； （2）由等边三角形的性质即可得解． 【详解】（1）解：如图：连接， ， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，即的度数为， ∴，即的度数为； （2）解：由（1）可得：为等边三角形， ∵弦的长为， ∴， ∴的半径是． 5．弦把分成，连接、，过的中点A作，交于B，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，垂直平分线的性质，借助辅助线构造等边三角形是解题关键． 连接、、，延长交于点C，利用弦把分成1:3，可计算出，由于，所以，由于点A为的中点，可得垂直平分，根据垂直平分线的性质可判断为等边三角形，则，根据，可求的度数． 【详解】解：如图，连接、、， ∵弦把分成， ∴， ∵， ∴， ∵点A为的中点， ∴点C为的中点， 即垂直平分， ∴， 而， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴的度数为． 答：的度数为． 利用垂径定理求值题型04 1．（25-26九年级上·云南昆明·期末）如图，是的直径，是的弦，，垂足为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查垂径定理，即垂直于弦的直径平分这条弦，根据垂径定理得即可解答． 【详解】解：∵为直径，， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 2．如图，在中，半径长为，圆心到弦的距离，则弦的长为(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了垂径定理与勾股定理．由勾股定理即可求得的长，然后由垂径定理求得的长． 【详解】解：依题意，，，，由勾股定理得： ， ， ， 故选：C． 3．如图，在中，弦交于点P，且，，的半径为（   ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，矩形的判定与勾股定理，作垂线利用垂径定理是解题的关键． 过O分别作，垂足分别为F、E，连接；由垂径定理得F、E分别是的中点，得；设，由勾股定理求得；易得四边形为矩形，则，，由勾股定理得：，由半径相等可求得x的值，从而求得半径． 【详解】解：如图，过O分别作，垂足分别为F、E，连接； 由垂径定理知，F、E分别是的中点， ∵， ∴， ∴； 设，由勾股定理得； ∵，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴， 解得：； ∴， ∴． 故选：C． 4．如图，在中，于点C，若，，则的半径长为_________．    【答案】5 【分析】本题考查了勾股定理与垂径定理，解题的关键是熟练的掌握勾股定理与垂径定理． 连接，先根据垂径定理求出的长，再在中利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：连接，    ∵于点C，， ∴， 在中： ∴． ∴的半径长为5． 故答案为：5 5．（25-26九年级上·广东珠海·期中）如图，在中，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了垂径定理以及勾股定理，解题的关键是正确添加辅助线构造直角三角形． （1）先求出的度数，再求出所对的弧的度数，即可得出答案； （2）作，根据垂径定理得到，再利用勾股定理计算出，接着利用面积法计算出，然后利用勾股定理计算出，从而得到的长． 【详解】（1）解：连接， ，， ， ， ， ， ， 的度数为； （2）解：作，则， 在中，， ， ， 在中，， ． 利用垂径定理求同心圆问题题型05 1．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于C点，AB=12cm，AO=8cm，则OC长为（ ）cm A．5 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】解： O为圆心的两个同心圆的圆心，大圆的弦AB与小圆相切于C点， C点是AB的中点，即AC=BC==6； 并且OC⊥AB，在中， 由勾股定理得， 所以；AO=8cm， 所以， 所以OC= 故选： 【点睛】本题考查弦心距，勾股定理，解答本题要求考生掌握弦心距的概念和性质，熟悉勾股定理的内容. 2．如图，两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于两点，大圆的半径为10，小圆半径为7．若，则弦的长是__________． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，过圆心作弦的垂线构造直角三角形是解题的关键． 作于点，连接、，根据垂径定理可得，，再利用勾股定理分别求出和的长，即可得出答案． 【详解】解：如图，作于点，连接、， ∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 3．如图，两个同心圆的半径分别为2和4，矩形的边和分别是两圆的弦，则矩形面积的最大值是______． 【答案】16 【分析】过点O作OP⊥AB于P并反向延长交CD于N，作OM⊥AD于点M，连接OA、OD，根据面积之间的关系得出S△AOD=S矩形APND=S矩形ABCD，从而得出S矩形ABCD最大时，S△AOD也最大，过点D作AO边上的高h，根据垂线段最短可得h≤OD，利用三角形的面积公式即可求出S△AOD的最大值，从而求出结论． 【详解】解：过点O作OP⊥AB于P并反向延长交CD于N，作OM⊥AD于点M，连接OA、OD ∴AO=2，OD=4，四边形APND和四边形PBCN为矩形，PN⊥CD， ∴OM=AP 根据垂径定理可得：点P和点N分别为AB和CD的中点， ∴S矩形APND=S矩形ABCD ∵△AOD的高OM等于矩形APND的宽，△AOD的底为矩形APND的长 ∴S△AOD=S矩形APND=S矩形ABCD ∴S矩形ABCD最大时，S△AOD也最大 过点D作AO边上的高h，根据垂线段最短可得h≤OD（当且仅当OD⊥OA时，取等号） ∴S△AOD=AO·h≤AO·OD=×2×4=4 故S△AOD的最大值为4 ∴S矩形ABCD的最大值为4÷=16 故答案为：16． 【点睛】此题考查的是垂径定理、各图形面积的关系和三角形面积的最值问题，掌握垂径定理、利用边的关系推导面积关系和垂线段最短是解决此题的关键． 4．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）． 求证：AC=BD. 【答案】 过O作OE⊥AB于点E， 则CE=DE，AE=BE， ∴BE-DE=AE-CE. 即AC=BD. 【分析】过圆心O作OE⊥AB于点E，根据垂径定理得到AE=BE，同理得到CE=DE，又因为AE-CE=BE-DE，进而求证出AC=BD． 【详解】略 【点睛】本题考查垂径定理的实际应用． 5．（2026·广东清远·模拟）综合与实践 某地的景观湖湖面成鱼型，如图1，鱼身外围有一条圆弧形水道，在圆弧形水道外侧有一条圆弧形道路，它们的圆心相同．某学习小组想要借助所学的数学知识探索该景观湖的大小，如图2，学习小组来到了圆弧形道路内侧A处，将所携带的200米绳子拉直至圆弧道路内侧另一点B处，并测得绳子中点C与圆弧形道路内侧中点D的距离为10米，圆弧形水道外侧到道路内侧的距离为22米（点D，C，E在同一直线上），请计算圆弧形水道外侧的半径． 【答案】圆弧形水道外侧的半径为483米 【分析】根据垂径定理可知，，的长度，进而根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，设两同心圆的圆心为O，连接，，， ∵C为的中点，D为圆弧形道路内侧中点， ∴，， ∴O，E，C，D四点共线，（米）， 设米，则（米）． 在中，由， 得， 解得． ∴（米）． ∴圆弧形水道外侧的半径为483米． 利用垂径定理求解其他问题题型06 1．如图，扇形中，，半径是的中点，，交于点，则的长为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接OC，延长CD交OB于点E，如图，易得△AOB、△COE、△BDE都是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求出CE与DE的长，从而可得答案． 【详解】解：连接OC，延长CD交OB于点E，如图， ∵，是的中点， ∴∠COE=45°， ∵，， ∴CE⊥OB， ∴∠OCE=∠COE=45°， ∴CE=OE=， ∴BE=OB－OE=， ∵OA=OB，， ∴∠ABO=45°， ∴∠BDE=∠ABO=45°， ∴EB=ED=， ∴CD=CE－DE=． 故选：D． 【点睛】本题考查了圆心角和弧的关系、等腰直角三角形的判定和性质等知识，属于常考题型，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质是解此题的关键． 2．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，经过原点，交y轴于点B，若，则点B的纵坐标是________． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．作轴交y轴于点C，由和垂径定理，可得，再由图可知点B在y轴的负半轴上，即可解答． 【详解】解：如图，作轴交y轴于点C， ，轴， ，， ， 由图可知，点B在y轴的负半轴上，则点B的纵坐标是． 故答案为：． 3．如图，AB是⊙C的弦，直径MN⊥AB于点O，MN=10，AB=8，如图以O为原点建立坐标系．我们把横纵坐标都是整数的点叫做整数点，则线段OC长是_____，⊙C上的整数点有_______个． 【答案】 3 12 【分析】过C作直径UL∥x轴，连接AC，根据垂径定理求出AO=BO=4，根据勾股定理求出OC，再得出答案即可． 【详解】解：过C作直径UL∥x轴， 连接CA，则AC=×10=5， ∵MN过圆心C，MN⊥AB，AB=8， ∴AO=BO=4，∠AOC=90°， 由勾股定理得：CO= =3， ∴ON=5-3=2，OM=5+3=8， 即A（-4，0），B（4，0），M（0，8），N（0，-2）， 同理还有弦QR=AB=8，弦WE=TS=6，且WE、TS、QR都平行于x轴， Q（-4，6），R（4，6），W（-3，7），E（3，7），T（-3，-1），S（3，-1），U（-5，3），L（5，3）， 即共12个点， 故答案为：3；12． 【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理和坐标与图形的性质，能找出符合条件的所有点是解此题的关键． 4．如图所示，的两条弦，互相垂直且相交于点P，，，垂足分别为E，F，．求证：四边形是正方形． 【答案】证明：连接，如图 ，，， 四边形是矩形， ， ，即， ， ，，垂足分别为，， ，， ， ，，， ， 四边形是正方形． 【分析】先由垂直条件证明四边形为矩形，再利用等弧对等弦及已知得出，再结合垂径定理以及勾股定理得到弦心距，最后根据“一组邻边相等的矩形是正方形”得证． 【详解】略 5．（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，内接于圆O，过点A作于D，E为弧中点，连接交于点F． (1)求证：； (2)如图2，过点A作的垂线，交圆O于点G，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接与交于点H，连接并延长交于点N，连接，若，，，求的长． 【答案】(1) 证明：因为E为弧中点，连接交于点F， 所以，且， 因为， 所以； (2) 证明：延长，交于点Q， 因为，，， 所以四边形是矩形， 所以， 所以， 所以， 故； (3) 【分析】（1）利用垂径定理的推论，得到，根据平行线的判定证明即可； （2）延长，交于点Q，证明四边形是矩形，结合垂径定理，证明即可； （3）以点F为原点，以所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，得到，故，，利用待定系数法，解方程组求解即可． 【详解】（1）略； （2）略； （3）解：以点F为原点，以所在直线为x轴，建立平面直角坐标系如下， 设，则， ， 所以 所以， 因为， 所以， 所以， 故，， 因为，， 所以， 所以， 根据（2）的结论，得， 设， 根据勾股定理，得， 故， 整理，得， 解得（舍去）， 故，， 故，，， 设直线的表达式为， 将分别代入直线的表达式得： ， 解得， ∴直线的表达式为：． 设直线的表达式为， 将分别代入直线的表达式得： ， 解得， ∴直线的表达式为． 设直线的表达式为， 将分别代入直线的表达式得： ， 解得， ∴直线的表达式为：． 根据题意，得， 解得， 故， 设直线的表达式为， 将分别代入直线的表达式得： ， 解得， ∴直线的表达式为：． 根据题意，得， 解得， 故， 故． 垂径定理的实际应用题型07 1．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径，水面宽，则截面圆心O到水面的距离是（    ） A．3 B．4 C． D．6 【答案】A 【分析】先根据垂径定理得到，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴在中，由勾股定理得， 故选A． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，熟知垂直于弦的直径平分弦是解题的关键． 2．如图，《九章算术》记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，其大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯子去锯这根木材，锯口深为1寸，锯道长1尺（1尺寸），问圆形木材的直径是（   ） A．26寸 B．13寸 C．12寸 D．5寸 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理的应用，过圆心O作于点C，延长交圆于点D，连接，则寸，，设圆的半径为x寸，利用勾股定理在中，列出方程，解方程可得半径，进而直径可求． 【详解】解：过圆心O作于点C，延长交圆于点D，连接，如图 ∵， ∴，， 则寸，（寸）， 设圆的半径为x寸，则寸， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴圆材直径为（寸）． 故选：A． 3．如图是某风景区的一个圆拱形门，路面宽为，净高，则圆形拱门所在圆的半径为_____． 【答案】 【分析】如图所示，连接，设⊙O的半径为r，则，利用垂径定理得到，再利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接，设⊙O的半径为r，则， ∵， ∴， 由勾股定理，得：，即：， 解得， ∴圆拱形门所在圆的半径为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 4．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知一根排水管的截面圆直径为． (1)如图1所示，当水面宽时，求水面的最大深度； (2)在图1的情况下，如果排水量增大，当水面上升到宽度时，求水面上升了多少厘米？ 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． （1）连接，过点作垂足为，交于．由垂径定理可得出的长，由即可得出结论； （2）分水面在水面平行的直径下方和水面在水面平行的直径上方，两种情况结合垂径定理和勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：连接，过点作垂足为，交于． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：水面的最大深度是． （2）解：①当水面在与水面平行的直径下方． 过点作于点， 且与交于点， ∵，， ∴，， 在中，， ∴； 在中， ， 上升的距离为； ②当水面在水面平行的直径上方，过点作于点，过点作于点， 同理可得：，， ∴上升的距离为：． 答：排水管水面上升了或． 5．（25-26九年级上·云南昆明·期中）如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度米，拱高米，且． (1)求圆弧所在的圆的半径r的长； (2)当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米（即米）时，求此时跨度的长度，并判断是否要采取紧急措施？ 【答案】(1) (2)32米，不需要采取紧急措施． 【分析】本题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）由垂径定理和圆的性质可得米，米，再由勾股定理可得方程，解方程即可得到答案； （2）由垂径定理和圆的性质可得，米，利用勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：设点O为该圆弧所在的圆的圆心，连接， ∵米，米，且， ∴米，米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴圆弧所在的圆的半径r的长为； （2）解：如图所示，连接， 由题意得，， ∴， ∵ 米， ∴米， ∴米， ∴米， ∵， ∴不需要采取紧急措施． 尺规作图题型08 1．如图，在中，用尺规按照下面步骤作图： ①作线段的垂直平分线； ②作线段的垂直平分线，交于点； ③以为圆心，长为半径作，分别交于点M，N． 嘉嘉和瑣瑣分别给出了一个结论．嘉嘉：点O是的外心． 瑣瑣：若，则． 对于两人的结论，下列判断正确的是（   ） A．两人的结论都正确 B．两人的结论都不正确 C．嘉嘉的结论正确，瑣瑣的结论不正确 D．瑣瑣的结论正确 ，嘉嘉的结论不正确 【答案】C 【分析】本题考查了作图复杂作图,尺规作图和三角形外心的性质．根据三角形外心的定义对嘉嘉的结论进行判断；利用垂径定理对瑣瑣的结论进行判断． 【详解】解：点是和的垂直平分线的交点， 点是的外心，故嘉嘉的结论正确； ， ∴，不能说明， 和的长度不确定，故瑣瑣的结论不正确． 故选：C． 2．某地出土一个明代残破圆形瓷盘，为复制该瓷盘需确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心和半径．（保留作图痕迹） 【答案】 【分析】本题考查的是确定残弧的圆心与半径，根据弦的垂直平分线过圆心作图即可． 【详解】解：（1）在圆上取两条弦，； （2）分别作，的垂直平分线，交于一点O． 则点O就是所求的圆心． （3）连接，则就是这个圆的半径． 3．如图，图①中△ABC内接于⊙O且∠ABC＝90°，图②中内接于⊙O，AC是直径且，请仅用无刻度的直尺按要求画图． (1)在图①中，画出将△ABC的面积平分为两等份的弦； (2)在图②中，画出将的面积平分为两等份的弦． 【答案】(1) 解：如图所示，连接BO并延长交圆O于D，则BD即为所求； (2) 解：如图所示，连接，作直线过O和的交点交圆O为D、E，则线段DE为线段的垂直平分线，则DE于的交点即为的中点，连接B和的中点并延长交圆O于F，则BF即为所求； 【分析】（1）根据三角形中线将三角形面积平分进行求解即可； （2）根据题意可知四边形是等腰梯形，连接梯形对角线，对角线的交点与O的连线即为线段的垂直平分线，再结合三角形中线将三角形面积平分进行求解即可； 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查了垂径定理，等腰梯形的性质，三角形中线的性质等等，熟知三角形中线把三角形面积分成相等的两部分是解题的关键． 4．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，已知是的一条弦，请根据要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）： (1)在图①中，利用无刻度的直尺作一条弦，使； (2)如图②，点是上的一点，利用无刻度的直尺和圆规作弦，使； (3)如图③，过圆心作于，点是内的一点，连接，若利用无刻度的直尺和圆规作弦，使经过点且． 【答案】(1)如图，弦即为所求； (2) 如图，弦和即为所求； (3) 如图，弦即为所求． 【分析】本题主要考查了圆的基本性质、尺规作图等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接，即为所求； （2）以为圆心，长为半径画弧，与交于点； （3）以为圆心为半径画弧，交于，连接，作，在上截取，过、两点作弦即可． 【详解】（1）解：连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接， 理由：， ； （2）解：如图，弦和即为所求； 理由：， ； （3）解：以为圆心为半径画弧，交于，连接，作，在上截取，过、两点作弦， 理由： 连接，由作法可得， ， ∵， ∴， ∴ ， ， ， ， 同理， ， ， ， ． 5．（2025·天津·模拟）如图是由小正方形组成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，⊙O经过A，B，C三个格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)在图（1）中画弧的中点D； (2)如图（2），延长至格点F处，连接． ①直接写出∠F的度数； ②P为上一点，连接，将绕点B顺时针旋转得到，画出线段，并简要说明． 【答案】(1) 如图所示； (2)① ②取点M，连接，延长交于点K，作直径，连接并交于点Q，线段即为所求作.如图所示. 理由如下：取的中点N，连接，则，结合，可得四边形是正方形， ∴. ∵直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴将绕点B旋转得到. 【分析】对于（1），先取的中点，连接，延长交于点D，根据垂径定理可得点D是的中点； 对于（2），①先证明是等腰直角三角形，即可得出答案； ②取点M，连接，延长交于点K，作直径，连接并交于点Q，线段即为所求作. 【详解】（1）略 （2）解：①∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴. 故答案为：45； ②略 【点睛】本题主要考查了尺规作图，垂径定理，等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理是求线段长的常用方法，应该熟练掌握. 垂径定理的推论题型01 1．下列说法正确的是（    ） A．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧 B．平分弦的直径垂直于弦 C．垂直于直径的弦平分这条直径 D．过弦（不是直径）的中点的直径平分弦所对的两条弧 【答案】D 【分析】根据垂径定理及其推论，进行判断即可． 【详解】解：A、垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧，选项错误； B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，选项错误； C、垂直于直径的弦被直径平分，选项错误； D、过弦（不是直径）的中点的直径平分弦所对的两条弧，选项正确． 故选D． 【点睛】本题考查垂径定理．熟练掌握垂径定理，是解题的关键． 2．如图，的弦，为的中点，且，则的半径为（    ）    A．8 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【分析】连接，，由和是的半径，则，利用垂径定理可得，，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，，如图所示：    和是的半径， ， 又为的中点，且， ，， ， 在中，，， ， 的半径为：5， 故选C． 【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握勾股定理及垂径定理，借助辅助线解决问题是解题的关键． 3．垂径定理推论：平分弦（不是直径）的直径__________，并且平分弦所对的_______． 【答案】 垂直于弦 两条弧 【分析】根据垂径定理的推论的内容直接得出答案． 【详解】平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 故答案为：垂直于弦，垂直于弦． 【点睛】本题考查了垂径定理的推论，解答时熟悉垂径定理的推论的内容是关键． 4．（25-26九年级上·江苏南京·月考）如图，在平面直角坐标系中，点，，都在格点上，过，，三点作一圆弧，则圆心的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分弦”． 根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， 可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示，则圆心是． 故答案为：． 5．如图，AB是半圆的直径，O是圆心，C是半圆上一点，D是弧AC的中点，OD交弦AC于E，连接BE．若AC=8，DE=2，求BE的长度． 【答案】 【详解】试题分析：连接BC，设OD＝OA＝x，在Rt△AEO中，根据  求出x的值，在Rt△ABC中求出BC的长度，再Rt△CBE中求BE的长度； 试题解析： 解：如图，连接BC D是弧AC的中点 OD垂直平分AC EA=EC=   设OD=OA=x，则OE=x-2，    即， 解得x=5 AB=2OA=10 答：BE的长度为. 利用垂径定理求平行弦问题题型02 1．（25-26九年级上·甘肃平凉·期末）已知半径是13，弦，，，则与之间距离为（    ） A．7 B．17 C．7或17 D．无法计算 【答案】C 【分析】本题考查圆中两条平行线间的距离，解题的关键是根据勾股定理分别求出两弦的弦心距，分两弦在圆的同侧和异侧进行讨论．由勾股定理，垂径定理，分两种情况讨论，即可求解． 【详解】解：当在点的两侧，作于M，延长交于N，连接， ，，， 则，   ， ，， ， 此时弦与的距离为17； 当在点O的同侧，作于Q，交于P，连接，   同理， ， ，， ， 此时弦与的距离为7， 弦与的距离为17或7． 故选：C． 2．如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8．AB＝10，则CD与AB之间的距离是_____． 【答案】3 【分析】过点O作OH⊥CD于H，连接OC，先利用垂径定理得到CH=4，然后在Rt△OCH中，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：过点O作OH⊥CD于H， 连接OC，如图，则CH＝DH＝CD＝4， 在Rt△OCH中，OH＝＝3， 所以CD与AB之间的距离是3． 故答案为3． 【点睛】此题主要考查垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题关键． 3．已知AB、CD是⊙O的两条平行弦，⊙O的半径为17cm，，，则AB、CD间的距离为________． 【答案】7或 【分析】过圆心作两条平行线的垂线，根据垂径定理分别在直角三角形中计算即可． 【详解】如图，当两条弦在圆心两侧时： AB、CD是⊙O的两条平行弦， 过圆心作MN分别垂直于AB、CD， 则根据垂径定理可得：，， 在中，； 同理在中，； 则， 同理可得：当两条弦位于圆心同侧时，， 故答案为：7或． 【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理解直角三角形，熟练掌握垂径定理并仔细计算是解题关键． 4．已知的半径为1，是的两条弦， ．求弦和弦之间的距离． 情况一：两条弦位于圆心的同侧 情况二：两条弦位于圆心的异侧 解答过程： 解答过程： 综上所述，弦和弦之间的距离为____________． 【答案】 解：情况一：两条弦位于圆心的同侧： 过点作于点，交于点． ∵， ∴． 根据垂径定理，已知⊙的半径，由勾股定理可得： ， ． ∴此时弦和之间的距离为:． 情况二：两条弦位于圆心的异侧： 过点作于点，延长交于点． ∵， ∴． 同理，，，，． ∴此时弦和之间的距离为：． 综上，弦和弦之间的距离为：或． 【分析】利用垂径定理和勾股定理，分两条弦位于圆心同侧和异侧两种情况进行讨论． 【详解】略 【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题关键是分情况讨论两条弦相对于圆心的位置，利用垂径定理求出弦心距，再根据位置关系计算弦之间的距离． 5．如图，A，B，C，D在上，经过圆心O的线段于点F，与交于点E，已知半径为5． （1）若，，求的长； （2）若，且，求弦的长； 【答案】（1）7；（2）8 【分析】（1）连接AO和DO，由垂径定理得，再由勾股定理求出OF的长，同理求出OE的长，即可求出EF的长； （2）连接BO和DO，先由垂径定理和勾股定理求出OE的长，设，在中，利用勾股定理列式求出x的值，得到BF的长，即可求出AB的长． 【详解】解：（1）连接AO和DO， ∵，且EF过圆心， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理， ， ∴； （2）如图，连接BO和DO， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ，解得，（舍去）， ∴， ∴． 【点睛】本题考查垂径定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理，并能够结合勾股定理进行运用求解． 利用圆的对称性求最值题型01 1．（2026·河北·一模）如图，小高和小雪分别沿着环形跑道的内侧跑道和外侧跑道进行慢跑训练，两个人的速度相同，已知内圈跑道的半径为20米、外圈跑道的半径为25米，则慢跑过程中两人的距离不可能是（   ） A．5米 B．15米 C．40米 D．50米 【答案】D 【分析】根据同心圆上两点之间的最值问题进行解决． 【详解】解：根据同心圆的半径可知， 两圆上两点最远的距离为（米）， 两圆上两点最近的距离为（米）， ∴两人的距离不可能是50米． 2．如图，的直径是定值，是的一条弦，于M，点N为的中点，连接，下列说法正确的是（　　） A．有最大值 B．有最小值 C．为定值 D．以上说法都不正确 【答案】A 【分析】延长交于点T，连接，再说明是的中位线，可得，可得答案. 【详解】如图，延长交于点T，连接， ∵是直径，， ∴. ∵， ∴是的中位线， ∴. ∵有最大值，没有最小值， ∴有最大值， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，三角形中位线的性质等，构造适当的三角形是解题的关键． 3．如图，矩形的顶点，在半径为5的上，，当点在上运动时，点也随之运动，则矩形的对角线的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，取的中点，连接，，在Rt中，为中点，，当时，最小，此时矩形的对角线最小. 、、三点共线时，最小，此时在Rt中，设，知道，长度，根据勾股定理建立方程，即可求解的长度，进而求得的长度. 【详解】解：如图，取的中点，连接，， 在Rt中，为中点，， 当时，最小，此时矩形的对角线最小， ∵，为弦，为中点， ∴在过的直径上， 而为圆心，则、、三点都在一条直线上； 故、、三点共线时，最小； 此时在Rt中，设，知道，， 有， 有， 解得，(舍去)， ， 故选A． 【点睛】本题考查了圆内动点问题、垂径定理等知识，根据垂径定理作出图形是解题的关键． 4．如图，在⊙O中，弦AB＝2，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为___． 【答案】1 【分析】连接OD，根据勾股定理求出CD，利用垂线段最短得到当OC⊥AB时，OC最小，根据垂径定理计算即可． 【详解】连接OD，如图， ∵CD⊥OC， ∴∠DCO＝90°， ∴CD＝＝， 当OC的值最小时，CD的值最大， 而OC⊥AB时，OC最小，此时D、B两点重合， ∴CD＝CB＝AB＝×2＝1， 即CD的最大值为1， 故答案为1． 【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键． 5．如图，AB，CD是半径为15的⊙O的两条弦，AB＝24，CD＝18，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上任意一点，则PA＋PC的最小值为_____． 【答案】 【分析】由于A、B两点关于MN对称，因而PA＋PC＝PB＋PC，即当B、C、P在一条直线上时，PA＋PC的值最小，即BC的值就是PA＋PC的最小值． 【详解】解：连接BC，OB，OC，作CH垂直于AB于H． ∵AB＝24，CD＝18，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F， ∴BE＝AB＝12，CF＝CD＝9， ∴，， ∴CH＝OE＋OF＝9＋12＝21， BH＝BE＋EH＝BE＋CF＝12＋9＝21， 在Rt△BCH中，根据勾股定理得：， 即PA＋PC的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查垂径定理以及最短路径问题，灵活根据垂径定理确定最短路径是解题关键． 新定义与规律探究题型02 1．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）小滨、小江在研究圆心角定理时发现，除了定理中提到的四对量以外，还有其它量，比如三角形的面积、弓形的周长、扇形的面积等．于是，就有了这样的思考：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距、两个三角形的面积、两个弓形的周长、两个扇形的面积中有一对量相等，那么其余的量是否也相等？因而，他们提出了如下猜想：点A，B，C，D均在⊙O上，其中，，均小于． 小滨：若，则和的面积相等． 小江：若和的面积相等，则． 请判断小滨、小江所提的猜想是否正确，并说明理由． 【答案】 小滨的结论正确． 理由：如图1中， ∵，， ∴， ∴的面积＝的面积； 小江的结论错误． 理由：如图2中， 当A，O，D共线时，的面积＝的面积， 但是不一定等于, 故小江的结论错误． 【分析】本题考查三角形的面积，全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．小滨的结论正确．利用全等三角形的性质证明即可；小江的结论错误．画图举反例说明即可． 【详解】略 2．综合与实践 【问题情境】如图1，贴窗花是我国特有的喜庆文化之一，我们可以从寓意团圆平安的窗花图案中抽象出一个由两个同心圆构成的几何图形（共同的圆心称为中心），如图2，我们称这种图形为“环花”． 【实践探究】设直线与“环花”从左到右依次交于点，，，． (1)如图2，当直线经过中心时，请直接写出线段与的数量关系； (2)如图3，当直线不经过中心时，请证明（1）中的结论仍然成立； 【问题深化】 (3)如图4，当把“环花”中的两个圆形换成两个相似的菱形时（中心点是这两个菱形对角线的公共交点，且，，，四点均在对角线上），类似地形成了“方花”，直线不经中心时，与“方花”从左到右依次交于点，，，，求的值． 【答案】(1) (2) 证明：如图，过点作于点， ∵， ∴，， ∴， ∴． (3)1 【分析】（1）根据，，再利用线段的和差即可求解； （2）过点作于点，利用垂径定理得到，，再利用线段的和差即可证明； （3）连接，过点作交于点，过点作交于点，利用平行四边形的判定得到是平行四边形，得出，，同理可得，，再利用菱形的性质证明，推出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴． （2）略 （3）解：如图，连接，过点作交于点，过点作交于点， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 同理可得，，， ∵四边形与四边形均为菱形，为它们的中心， ∴，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理、菱形的性质、相似图形的性质、平行四边形的性质与判定、全等三角形的性质与判定，学会添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 3．综合与实践． 主题活动 探究窗花图案的几何知识 文化背景 窗花的历史可以追溯到汉代，当时人们用各种材料制作薄片，通过镂空雕刻的艺术形式创造出各种图案，贴在窗户上作为装饰．随着造纸术的发明和普及，纸张逐渐成为窗花的主要材料，使得窗花艺术得到更广泛的发展．如图1的窗花寓意着团圆平安，欢乐祥和． 实践探究 从图1的窗花图案中可抽象出一个由两个同心圆构成的几何图形(如图2)，我们称这种图形为“环花”，设直线l与“环花”从左到右依次交于点A，B， C， D． 探究1：写出图2中线段与的数量关系：____________；小明经过观察认为当直线l 不经过中心O时(如图3)，结论仍然成立；请给出证明． 探究2：若图3中，且大圆面积是小圆面积的3倍，求大圆半径的长． 拓展迁移 探究3：将两个同心圆替换成两个菱形，如图4，点O是这两个菱形对角线的公共交点， 且F，B，D，H 四点均在对角线上，直线l不经中心O，与两个菱形从左到右依次交于点M，N，P，Q，求的值． 【答案】探究1：； 当直线l 不经过中心O时(如图3)，结论仍然成立，证明如下： 如图，过点作于点， ∵， ∴，， ∴， ∴． 探究2：； 探究3：1 【分析】探究1：根据，，再利用线段的和差即可求解；过点作于点，利用垂径定理得到，，再利用线段的和差即可证明； 探究2：同理探究1得：，，连接，设，根据大圆面积是小圆面积的3倍，得到，在中，，即，在中，，即，由此建立方程求解即可； 探究3：连接，过点作交于点，过点作交于点，利用平行四边形的判定得到是平行四边形，得出，，同理可得，，再利用菱形的性质证明，推出，即可得出答案． 【详解】探究1： 解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：（相等） 探究2： 同理探究1得：，， ∵， ∴，， 连接， 设， 则大圆面积为，小圆面积为， ∵大圆面积是小圆面积的3倍， ∴，即， 在中，，即， 在中，，即， ∴，即， 解得（负值舍去）， ∴，即大圆的半径长为； 探究3： 解：如图，连接，过点作交于点，过点作交于点， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 同理可得，，， ∵四边形与四边形均为菱形，为它们的中心， ∴，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理、菱形的性质、相似图形的性质、勾股定理，平行四边形的性质与判定、全等三角形的性质与判定，学会添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 4．（24-25九年级下·河南焦作·联考）【新知引入】定义：如图（1），点M，N把线段分割成和，若以为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段的勾股分割点． （1）已知点M，N是线段的勾股分割点，若，则___________． 【探究证明】 （2）如图（2），在中，，M，N在线段上，且．求证：点M，N是线段的勾股分割点． 【拓展应用】 （3）如图（3），在中，圆心角，P是上一动点，连接，分别作的垂直平分线，分别交直线于点C，D，已知，当是以为底边的等腰三角形时，请直接写出线段的长．    【答案】（1）或； （2）证明：， ， 将绕点逆时针旋转得到，连接，则，，，．    ∵，， ∴，即， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴在中，，即， ∴点，是线段的勾股分割点． （3）或 【分析】（1）分是直角三角形的斜边和直角边两种情况，分运用由勾股分割点的求解即可； （2）将绕点逆时针旋转得到，连接，证明，得到，在中，，即，即可得到点，是线段的勾股分割点； （3）分点P在上方和下方两种情况讨论，连接，当点P在上方，根据题意易得都是等腰三角形，同理（2）可证点C，D是线段的勾股分割点，得到，证明，推出，设，则，利用勾股定理即可建立一元二次方程求解即可，点P在下方，同理求解即可． 【详解】（1）解：∵点，是线段的勾股分割点， ∴分两种情况： 当为斜边时，． 当为斜边时，． ∴或； 故答案为：或； （2）略 （3）解：如图，当点P在上方时，连接，    ∵点在上， ∴是的内接三角形， ∴分别在的垂直平分线上， ∵， ∴都是等腰三角形， ∴， ∵是以为底边的等腰三角形， ∴， ∴，， ∴， ∵圆心角， ∴， 由（2）同理可证点C，D是线段的勾股分割点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则． ∴，即， 解得：或（舍去）， ∴， ∴； 当点P在下方时，如图，    ∵， ∴， 同理得点A，B是线段的勾股分割点， ∴， 同理上一种情况得， 设，则， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴； 综上，的长为或． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了新定义“勾股分割点”、勾股定理、等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解一元二次方程等知识点，正确添加辅助线、构造全等三角形解决问题是解题的关键． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $