3.3 圆的对称性 同步练习 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 《3.3圆的对称性》同步练习通过基础巩固-中档应用-综合拓展三级分层，实现从概念辨析到实际问题解决的递进，适配新授课知识内化与核心素养培养需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|等弧、圆心角、弦的关系等核心概念|选择1-5、填空9-12聚焦概念辨析，如“等弧定义”判断，强化抽象能力与几何直观| |中档|垂径定理及推论的综合计算|选择6-8、填空13-16结合图形计算，如填空11《九章算术》圆材问题，培养推理能力| |提升|实际情境中的圆对称性应用|解答19-22以弓形桥洞、石拱桥为背景，如解答22判断货船通行，发展应用意识与模型观念|

答案和解析 1.【答案】B 2.【答案】D 3.【答案】A 4.【答案】C 5.【答案】B 解：AD=BC, .∴.AD=BC ∴.AD+BD=BC+BD 即ADC=CBD .∴.AB=CD 故选B. 6.【答案】C 7.【答案】C 【解析】如图，AB是直径，过点P作CD⊥AB,交圆于C,D两点，由垂径定理知，点P是CD的中点， 由勾股定理得PC=VOC2-0P=8' ∴.CD=2PC=16,∴.CD是过点P最短的弦，长为16，AB是过P最长的弦，长为20， 第1页，共1页 .∴.过点P且长度为整数的弦还有长为17,18,19的各两条，∴.总共有8条过点P且长度为整数的弦故选C. B 8.【答案】C 解：连接AC,AO, .⊙O的直径CD=10cm,AB⊥CD,AB=8cm, AM=I AB=-x8=4cm,OD=OC=5cm 2 当C点位置如图1所示时， 'OA=5cm,AM=4cm,CD L AB, .0M=/52-42=3cm, .CM=OC+OM=5+3=8cm, .AC=V82+42=4V5cm; 当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm, .OC=5cm, .MC=5-3=2cm, 第2页，共1页 在Rt△AMC中，AC=V42+22=2V5cm. A D D B 图1 图2 9.【答案】60 【解析】如图，连接0A,OB,AB=OA=OB:△ABC为等边三角形，∠AOB=60,.AB 的度数是60°. 0 A B 10.【答案】72° 解：，弦AB把圆周分成1：4的两部分， 弦AB所对的圆心角的度数=，1 -×360°=72°. 4+1 故答案为72°. 11.【答案】10 第3页，共1页 【解析】连接OA,如图， E D 0 .AB⊥DC,且AB=6寸， AE=BE=3寸， 设⊙O的半径为a寸，则OC=OD=OA=a寸， .ED=1寸， .0E=(a-1)寸， .在Rt△AOE中，AO2-OE2=AE2, a2-(a-1=32解得a=5 ..CD=5×2=10寸 12.【答案】14或2 13.【答案】2 解：.OM⊥AB,ON⊥AC, ∴.AM=BM'AN=CN' .'MN=1BC, 第4页，共1页 .MN=1' ∴BC=2 14.【答案】3 15.【答案】6 16.【答案】20 解：如图，找出石拱桥圆弧形的圆心O,连接OA, D B O 设半径为r米，则OD=r-4米， .跨度AB为24米，OC⊥AB, ∴.AD=BD=12米， 由勾股定理得：0A=0D+AD2, .r2=r-42+122 解得：r=20, ∴.这个弧形石拱桥设计的半径为20米， 故答案为：20. 17.【答案】证明：如图，过点O作OE⊥AB于点E.在小⊙O中，.OE⊥CD,∴.EC=ED.在大 ⊙O中，.OE⊥AB,.∴.EA=EB.∴.EA-EC=EB-ED,即AC=BD D78 第5页，共1页 18.【答案】解：如图，连接OB、OC, :OA=OB”OC=OD'∴△OAB△OCD均为等腰三角形. ∴∠A=∠ABO'∠OCD=∠D .:∠A=65°，∠D=60°，∴.∠AOB=180°-2∠A=50°，∠C0D=180°-2∠D=60°. 的度数为150，.∠A0D=150 .AD" .∴.∠BOC=∠AOD-∠AOB-∠COD=150°-50°-60°=40°. 的度数为40 ∴.BC 0 D B C 19.【答案】【小题1】 连接OA,如图，设⊙O的半径为r米，则OF=(8-r)米， :F1ABAF=RF=号AB=4米. 在R△OAF中，4+(8-rP=r2解得，=5 .桥洞所在圆的半径为5米. 【小题2】 第6页，共1页 连接OC,如图，AB11CD,EF⊥AB,.EF⊥CD,.CG=DG,:OF=8-5=3(米)， .OG=GF-0F=5-3=2(米)， 在Rt△OCG中，CG=VOC2-0G=V52-2=V21(米)，∴.CD=2CG=2V21米，即此时水面CD的 宽为2V21米. E C D 、G 0 B 20.【答案】【小题1】 证明：连接AF A为圆心， ∴.AB=AF .∴.∠ABF=∠AFB 四边形ABCD为平行四边形， ∴.AD/IBC ∴.∠AFB=∠DAF'∠GAD=∠ABF 第7页，共1页 .∴.∠DAF=∠GAD ∴.GE=EF 【小题2】 解：B所对圆心角的度数为70 ∴.∠BAF=70 AB=AF, .∠B=∠AFB=(180°-∠BAF)=55. :四边形ABCD为平行四边形， ∴.AB/CD ∴.∠C=180°-∠B=125 21.【答案】【小题1】 如图，延长AD交OO于点E,:OC⊥AD,AE=2AC,AE=2AD.:AB=2ACAE=AB, .∴AB=AE,.∴.AB=2AD B 0 D 【小题2】 第8页，共1页 由(1)可得AB=2AD,即AD=4,如图，连接OA,设⊙O的半径为r,则OC=r, OD=r-2.:0C1AD'.在Rt△A0D中，0A2=0D2+AD2:即2=r-2}+4,解得，=5 ∴.⊙O的半径为5，此时OD=3. B 04 D 22.【答案】解：如图，连接ON、OB. :0C上ABD为AB的中点 :AB=7.2m,.BD=AB=3.6m 又.CD=2.4m,设OB=OC=ON=m,则OD=(r-2.4)m. 在Rt△BOD中，根据勾股定理，得OB=OD+BD, 即，2=r-2.4}+3.62解得r=3.9 CD=2.4m' 船舱顶部高出水面AB2mCE=2.4-2=0.4(m.0E=3.9-0.4=3.5(m) 在Rt△OEN中，EN=VON2-0E=V3.g2-3.52=V2.96(m' .∴.MN=2EN=2×V2.96≈3.44m)）" 3.44>3’:.此货船能顺利通过这座拱桥 第9页，共1页 M N E D: 0 第10页，共1页3.3圆的对称性同步练习 一、选择题： 1.下列说法中，正确的是() A.长度相等的弧是等弧 B.在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等 C.在同圆或等圆中，较长的弧所对的弦较长 D.相等的圆心角所对的弧相等 2.如图，在⊙O中，AB=CD,过点O分别作OM 1 AB于点M,ON1CD于点N,则下列结论不一定成立的 是() M中 B D A.AB=CD B.∠AOB=∠COD C.OM=ON D.AB =BC 3.如图，AB是⊙0的弦，半径0C1AB于点D.若AB=8,OC=5,则0D的长是() B A.3 B.2 C.6 D.2.5 4如图，0A、OB是⊙0的两条半径，且∠A0B=100°，则4mB的度数是() B 第1页，共5页 A.100° B.130° C.260° D.300° 5.如图，A,B,C,D是⊙O上的四点，且AD=BC,则AB与CD的大小关系为() A.AB>CD B.AB=CD C.AB<CD D.不能确定 6.如图，在⊙O中，AB的度数是CD度数的2倍，则弦AB与2CD的数量关系是() B A 0 A.AB>2CD B.AB=2CD C.AB 2CD D.AB≤2CD 7.已知⊙0的半径为10，P为⊙0内一点，且0P=6,则过P点且长度为整数的弦有() A.5条 B.6条 C.8条 D.10条 8.已知⊙O的直径CD=10c,AB是⊙O的弦，AB1CD,垂足为M,且AB=8cm,则AC的长为() A.2v5cm B.4v5cm C.2W5cm或4v5cm D.2V3cm或4V3cm 二、填空题： 9.⊙0中，弦AB的长恰好等于半径，则AB的度数是. 10.已知⊙0的一条弦AB把圆的周长分成1：4的两部分，则弦AB所对的圆心角的度数为 11.《仇章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深 一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为如图，CD为⊙O的直径，弦AB1DC于E,ED=1寸， 第2页，共5页 AB=6寸，求直径CD的长则CD的长是寸. A E C B 12.AB,CD是⊙0的两条弦，且AB//CD,若⊙0的直径为20，AB=16,CD=12,则AB,CD之间的距 离是一 13.如图，AB、AC、BC都是⊙O的弦，OM1AB,ON1AC,垂足分别为M、N,若MN=1,则BC的长为一· B 14.如图，AB和DE是⊙O的直径，弦AC/DE.若弦BE=3,则弦CE的长为· C E B 0 D 15.如图，⊙0的半径为5，P为圆内一点，P点到圆心0的距离为4，则过P点的弦长的最小值是 第3页，共5页 16.温州有很多历史悠久的石拱桥，它们是圆弧的桥梁.如图是温州某地的石拱桥局部，其跨度AB为24米， 拱高CD为4米，则这个弧形石拱桥设计的半径为米. C. D B 三、解答题： 17.如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C,D两点，求证：AC=BD. 18.如图，⊙0经过五边形0ABCD的四个顶点.若AD的度数为150°，LA=65°，LD=60°，求BC的度数： 0 B C 19.一个弓形桥洞截面示意图如图所示，弦AB是水底，弦CD表示水面，EF过圆心O且EF1AB,EF=AB=8 米，CD/IAB E (1)求桥洞所在圆的半径 (2)当水深GF为5米时，求此时水面CD的宽. C D 0 A B 第4页，共5页 20.如图，以口ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，分别交AD,BC于点E,F,延长BA交⊙A于点 G. (1)求证：GE=F: G (2)若BF所对圆心角的度数为70°，求∠C的度数. y E B 21.如图，在⊙0中，AB=2AC,AD1OC于点D. (1)求证：AB=2AD: (2)若AB=8,CD=2,求⊙O的半径及0D的长. B A 22.某地有一座圆弧形拱桥，所在圆的圆心为点0，桥下水面宽度AB为7.2m,过点0作0C1AB于点D,交 圆弧于点C,CD=2.4m(如图)现有一艘宽3m、船舱顶部高出水面AB2m的货船要经过这座拱桥，此货船 能否顺利通过这座拱桥？ M E D 40 第5页，共5页 3.3 圆的对称性 同步练习 一、选择题： 1.下列说法中，正确的是(    ) A. 长度相等的弧是等弧 B. 在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等 C. 在同圆或等圆中，较长的弧所对的弦较长 D. 相等的圆心角所对的弧相等 2.如图，在中，，过点分别作于点，于点，则下列结论不一定成立的是(    ) A. B. C. D. 3.如图，是的弦，半径于点若，，则的长是(    ) A. B. C. D. 4.如图，、是的两条半径，且，则的度数是(    ) A. B. C. D. 5.如图，，，，是上的四点，且，则与的大小关系为(    ) A. B. C. D. 不能确定 6.如图，在中，的度数是度数的倍，则弦与的数量关系是(    ) A. B. C. D. 7.已知的半径为，为内一点，且，则过点且长度为整数的弦有(    ) A. 条 B. 条 C. 条 D. 条 8.已知的直径，是的弦，，垂足为，且，则的长为(    ) A. B. C. 或 D. 或 二、填空题： 9.中，弦的长恰好等于半径，则的度数是           10.已知的一条弦把圆的周长分成的两部分，则弦所对的圆心角的度数为          ． 11.九章算术是我国古代著名数学著作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何”用数学语言可表述为如图，为的直径，弦于，寸，寸，求直径的长则的长是          寸 12.，是的两条弦，且，若的直径为，，，则，之间的距离是          ． 13.如图，、、都是的弦，，，垂足分别为、，若，则的长为          ． 14.如图，和是的直径，弦若弦，则弦的长为          ． 15.如图，的半径为，为圆内一点，点到圆心的距离为，则过点的弦长的最小值是          ． 16.温州有很多历史悠久的石拱桥，它们是圆弧的桥梁．如图是温州某地的石拱桥局部，其跨度为米，拱高为米，则这个弧形石拱桥设计的半径为          米． 三、解答题： 17.如图，两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于，两点，求证：． 18.如图，经过五边形的四个顶点若的度数为，，，求的度数． 19.一个弓形桥洞截面示意图如图所示，弦是水底，弦表示水面，过圆心且，米，． 求桥洞所在圆的半径． 当水深为米时，求此时水面的宽． 20.如图，以▱的顶点为圆心，为半径作圆，分别交，于点，，延长交于点                                                                                     求证： 若所对圆心角的度数为，求的度数． 21.如图，在中，，于点． 求证：； 若，，求的半径及的长． 22.某地有一座圆弧形拱桥，所在圆的圆心为点，桥下水面宽度为，过点作于点，交圆弧于点，如图现有一艘宽、船舱顶部高出水面的货船要经过这座拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $