3.1 圆的相关概念3.2确定圆的条件--同步练-2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 本同步练习针对初中数学“圆”章节，采用“基础提质+能力提升”分层设计，通过概念辨析到综合应用的进阶路径，覆盖圆的定义、弦弧圆心角、确定圆的条件等知识点，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础提质|单一知识点（圆的定义、弦的性质、确定圆的条件）|以选择、填空为主，如墨子“一中同长”辨析圆的定义，夯实概念理解| |能力提升|综合知识点（四点共圆证明、外接圆计算、动态问题）|含证明、作图题，如四点共圆证明、作圆找交点，提升推理与空间观念|

第3 章 圆 3.1 圆的相关概念 第1课时 圆的定义 学科网（北京）股份有限公司 基础提质 知识点 圆的定义 1.墨子在《墨经》中对某个几何图形的描述是“一中同长”，则这个几何图形是( ) A.圆 B.正方形 C.梯形 D.三角形 2.小明没有圆规，用如图所示的方法成功画出了圆，他画圆时( ) A.保持圆心位置不变 B.保持圆的半径不变 C.保持圆心位置和圆的半径不变 D.圆心的位置可以改变 3.如图,⊙O 的半径为4 cm,∠AOB=60°,则AB 的长为 cm. 能力提升 4.如图,点 M,G,D 在半圆O 上,四边形OEDF 和四边形 HMNO 均为矩形,EF=b,NH=c，则b与c之间的大小关系是b c.(填“>”“<”或“=”) 5.如图所示，在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,求证:A,B,C,D四点在同一个圆上. 6.如图,A,B,C是⊙O上的三点,BO平分∠ABC.求证:BA=BC. 7.设AB=2cm,求作到点A和点B的距离都等于1.5cm 的所有点. 学科网（北京）股份有限公司 第2课时 弦、弧和圆心角 基础提质 知识点 弦、弧和圆心角 1.小明在半径为5的圆中测量弦AB 的长度，下列测量结果中一定错误的是( ) A.4 B.5 C.10 D.11 2.下列说法正确的是 ( ) A.弦是直径 B.弧是半圆 C.直径是圆中最长的弦 D.半圆是圆中最长的弧 3.如图，该圆中有 条直径， 条弦，以A为一个端点的优弧有 条，以A为一个端点的劣弧有 条. 4.如图,AB是⊙O 的直径,CD 是⊙O 的弦,AB,CD的延长线交于点 E,已知AB=2DE,若△COD为直角三角形,求∠E 的度数. 能力提升 5.如图，将两个正方形按如图所示的方式放置，若AB=3，EF=2，点O在线段BC上，以OF为半径作半圆O，点A 在半圆O上,点B,C,E在半圆O 的直径上,则OD的长是( ) A.4 C.3 6.如图，AB 是半径为2的⊙O的弦，C是⊙O上的一个动点.若M，N分别是 AB,BC 的中点,则 MN 的最大值是 . 7.如图，在两个同心圆中，大圆的半径OA 和 OB 分别交小圆于点 C,D,分别连接AD,BC,交于点 P. (1)求证:△OAD≌△OBC. (2)求证:△PAC≌△PBD. (3)点 P 在∠AOB的平分线上吗?为什么? 3.2确定圆的条件 基础提质 知识点 1 确定圆的条件 1.如图,点A,B,C,D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 2.小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，四块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是( ) A.① B.② C.③ D.④ 知识点 2 三角形的外接圆与外心 3.如图,点O 是△ABC的外心,且∠BOC=110°,则∠OCB= °. 4.小明家的房前有一块空地，空地上有A，B，C三棵树(如图)，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上.请你帮小明把花坛的位置画出来(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹). 知识点3 多边形的外接圆 5.下列图形中，一定有外接圆的是( ) A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形 能力提升 6.如图，O为等腰三角形ABC 的外心,AB=AC,连接 OB,记∠C =α,∠CBO=β,则α,β满足的关系式为( ) A.2β-α=90° B.2β-α=180° D.2α-β=90° 7.若过平面直角坐标系中的三个点A(1,0),B(0,2),C(-m,能确定一个圆，则m≠ . 8.在Rt△ABC中,AC=3,BC=4，则它的外接圆的半径为 . 9.如图，在由小正方形组成的网格中建立一平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A(0,2),B(4,2),C(6,0),解答下列问题： (1)请在图中确定该圆弧所在圆的圆心点 D 的位置，则点D 的坐标为 . (2)连接AD,CD,求出∠ADC 的度数. 第3章 圆 3.1圆的相关概念 第1课时 圆的定义 基础提质 1. A“一中同长”表示圆心到圆上各点的距离都相等，即半径都相等，所以这个几何图形是圆.故选 A. 2. C小明画圆时的窍门是保持圆心位置和圆的半径不变.故选 C. 3.答案 4 解析 ∵OA=OB,∠AOB=60°, ∴△OAB为等边三角形,∴AB=OA=4 cm. 能力提升 4.答案 = 解析 如图,连接OM,OD, ∵四边形 OEDF 和四边形HMNO 都是矩形, ∴OD=EF=b,OM=NH=c, ∵OM=OD,∴b=c. 5.证明 如图,连接AC,取AC的中点O,连接OB,OD, ∵∠ABC=∠ADC=90°, ∴OB=OA=OC=OD, ∴A,B,C,D四点在同一个圆上. 6.证明 连接OA,OC,如图, ∵OA=OB,OB=OC, ∴∠ABO=∠BAO,∠CBO=∠BCO, ∵BO平分∠ABC,∴∠ABO=∠CBO, ∴∠BAO=∠BCO, 又∵ BO=BO,∴△OAB≌△OCB,∴AB=BC. 7.解析 如图，分别以点A，B为圆心，1.5cm 为半径画⊙A 和⊙B,它们的交点C,D 即为所求. 第2课时 弦、弧和圆心角 基础提质 1. D ∵半径为5 的圆的直径为10，∴在半径为5的圆中测量弦AB 的长度,AB 长的取值范围是0<AB≤10,∴弦AB的长度不可能为11.故选 D. 2. C直径是弦，但弦不一定是直径，故A 错误； 半圆是弧，但弧不一定是半圆，故B 错误； 直径是圆中最长的弦，故C 正确； 半圆是小于优弧而大于劣弧的弧，故D错误.故选 C. 3.答案 1;3;4;4 解析 该圆中只有AB一条直径，有AB，CD，EF 三条弦，以A为一个端点的优弧有共4条，以A 为一个端点的劣弧有AC,AF,AE,AD,共4条. 4.解析 ∵AB 是⊙O 的直径, ∴AB=2DO,∵AB=2DE,∴DO=DE,∴∠DOE=∠E, ∵△COD 为直角三角形,OC=OD, ∴△COD为等腰直角三角形,∴∠CDO=45°, ∵∠CDO=∠DOE+∠E=2∠E, 技巧归纳 圆中常用的辅助线——连接半径，利用圆的半径都相等来构造等腰三角形. 能力提升 5. B 如图,连接OA,则OA=OF, ∵四边形 ABCD,四边形 EFGC 都是正方形,∴∠ABC=∠DCB=∠FEC=90°,BC=CD=AB=3,CE=EF=2.设OC=x,则BO=BC-OC=3-x,OE=OC+CE=x+2,在 Rt△ABO和Rt△EFO中, 即 ∵OA=OF, 解得x=1,即OC=1,在 Rt△DOC 中, .故选B. 6.答案 2 解析 ∵M,N分别是AB,BC 的中点,∴ MN是△ABC的中位线，∴ 由题意可得，当AC 为直径时，AC的值最大，最大值是4，∴MN的最大值是2. 7.解析 (1)证明:在△OAD和△OBC中, ∴△OAD≌△OBC(SAS). (2)证明:∵△OAD≌△OBC,∴∠A=∠B. ∵OA=OB,OC=OD,∴OA-OC=OB-OD,即AC=BD,在△PAC和△PBD中, ∴△PAC≌△PBD(AAS). (3)点 P 在∠AOB的平分线上.理由如下: 如图,连接OP,∵△PAC≌△PBD,∴AP=BP, 在△PAO和△PBO中, ∴△PAO≌△PBO(SSS),∴∠AOP=∠BOP, ∴OP平分∠AOB,即点 P在∠AOB的平分线上. 3.2确定圆的条件 基础提质 1. D根据“不在同一条直线上的三点确定一个圆”可得，经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为6，故选 D. 2. A碎片①上有一条弧，可在这条弧上任作两条不重合的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径，可根据圆心和半径确定圆.故选 A. 3.答案 35 解析 ∵点O为△ABC的外心,∴OB=OC, ∴∠OCB=∠OBC. ∵∠BOC=110°, 4.解析 如图所示，⊙O 即为所求. 5. A任何三角形的三条边的垂直平分线都交于一点，且该点到三角形三个顶点的距离相等，该点即为外心，∴三角形一定有外接圆，故选 A. 能力提升 6. D ∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=α, ∴∠CAB=180°-2α, 如图,连接OC,OA, ∵O 为等腰三角形ABC 的外心,∴ OB=OA=OC,∴∠BCO=∠CBO=β,∴ ∠ABO = ∠ACO = α-β,∴∠CAO=∠ACO=∠ABO=∠BAO=α-β,∴∠CAB=2(α-β)= 180°-2α,∴2α-β=90°.故选 D. 7.答案 4或-2 解析 设直线 AB 的解析式为y= kx+b(k≠0),把A(1,0),B(0,2)代入得 解得(k=-2,2,∴y=-2x+2,扌把 代入y=-2x+2得,2m+2= 解得 ∴当m≠4且m≠-2时,点A，B，C能确定一个圆.故答案为4或-2. 8.答案或2 解析 ①如图1,当∠C=90°时,∵BC=4,AC=3, ∴ Rt△ABC 的外接圆的半径为 ②如图2,当∠A=90°时,∵BC=4, ∴ Rt△ABC 的外接圆的半径为BC/₂=2. 综上所述，Rt△ABC 的外接圆的半径为\frac{5}{2}或2. 9.解析 (1)如图,连接AB,BC,作线段AB 和线段BC的垂直平分线，两条直线的交点即为点 D，点D 的坐标为(2,-2). (2)如图,连接AC. ∴∠ADC=90°. 学科网（北京）股份有限公司 $