3.2 确定圆的条件【分层作业】- 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

3.2 确定圆的条件【分层作业】 2026—2027学年苏科版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.基础巩固 2 【题型1】过点作圆的规律、定理辨析 2 【题型2】外接圆、外心基础概念识别 2 三.综合提升 3 【题型1】判断外心位置，判断三角形形状 3 【题型2】特殊三角形外接圆半径计算 4 【题型3】概念正误辨析 5 【题型4】简单说理与尺规作图分析 6 四.中考链接 7 五.自我评价 8 一.知识梳理（前置作业） 【学习要求】结合教材自主完成填空 1. 过一个已知点，可以作________个圆；过两个已知点，可以作________个圆，圆心都在这两点连线的________上。 2. 定理：________________________________________的三点确定一个圆；三点如果在同一条直线上，________（填“能”或“不能”）画出经过这三点的圆。 3. 经过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的________；这个三角形叫做圆的________三角形。 4. 三角形外接圆的圆心叫做三角形的________，它是三角形三边____________的交点；外心到三角形____________的距离相等，该距离就是外接圆的半径。 5. 外心的位置：锐角三角形外心在三角形________；直角三角形外心在____________；钝角三角形外心在三角形________。 6. 一个三角形有________个外接圆；一个圆有________个内接三角形。 二.基础巩固 【题型1】过点作圆的规律、定理辨析 1．（25-26九年级上·河北沧州·期中）经过两点可以作______个圆，不在同一直线的______个点可以确定一个圆． 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）过一点可以作___________个圆；过两点可以作___________个圆，这些圆的圆心在两点所连线段的___________上；过不在同一条直线上的三个点可以作___________个圆． 3．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，已知点，和线段，．用直尺和圆规作，使过点，，且半径为，则这样的圆可以作（   ） A．1个 B．2个 C．4个 D．无数个 【题型2】外接圆、外心基础概念识别 1．（26-27九年级上·北京·课堂例题）下列关于三角形外心的说法中，错误的是（     ） A．三角形的外心到三个顶点的距离相等 B．三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点 C．等腰三角形的外心在三角形内 D．任何一个三角形有且只有一个外接圆 2．（26-27九年级上·北京·课后作业）对于三角形的外心，下列说法错误的是（     ） A．它到三角形三个顶点的距离相等 B．它到三角形三个顶点的连线平分三内角 C．它到任意一顶点的距离等于这三角形的外接圆的半径 D．以它为圆心，它到三角形一顶点的距离为半径作圆，必通过另外两个顶点 3．（2026·河南商丘·模拟预测）三角形有“四心”——内心，外心，重心，垂心（三条高线所在直线的交点）．任意一个三角形的________心都在该三角形内部，则横线上填的四心种类共有（     ）种． A．1 B．2 C．3 D．4 三.综合提升 【题型1】判断外心位置，判断三角形形状 1．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如果一个三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 2．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）的外心在三角形的一边上，则是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）以的斜边为直径作圆，点在__________（填“圆内”“圆上”或“圆外”中的一个）． 4．（25-26九年级上·河北唐山·期中）如图为的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是的______． 【题型2】特殊三角形外接圆半径计算 1．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）在中，，，，那么的外接圆半径为（     ） A．5 B．3 C．2 D． 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，A，B，C是上的三点，是等边三角形．若，则的半径是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，在中，，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是________． 4．（2026·上海静安·三模）已知一个三角形的三边长分别为、、，则其外接圆的半径为_________． 5．（25-26九年级下·江苏泰州·阶段检测）在中，的重心与外心的距离是__________． 【题型3】概念正误辨析 1．（25-26九年级下·江苏苏州·开学考试）已知点O是的外心，作正方形，下列说法：①点O是的外心；②点O是的外心；③点O是的外心；④点O是的外心．其中说法一定正确的是（    ） A．②④ B．①③ C．②③④ D．①③④ 2．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段检测）下列说法中，正确的是（   ） A．长度相等的弧是等弧 B．三个点确定一个圆 C．三角形外心到三边距离相等 D．不在同一条直线上的三个点确定一个圆 3．（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）在下列说法中：①三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点；②若两条弧的度数相等，则它们是等弧；③直径是圆中最长的弦；④如果两条弦相等，那么这两条弦所对的圆心角相等；其中说法正确的是___________ 【题型4】简单说理与尺规作图分析 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）张华不小心把家里的一块圆形玻璃镜打碎了，为了定制一块同样大小的玻璃镜，需要确定原玻璃镜的半径．工人师傅在如图所示的玻璃镜残片的边缘描出了点，给出，你能找到这块圆形玻璃镜的半径吗？作图说明． 2．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，弧是某个圆的一部分，请你用直尺和圆规确定圆心的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 3．（2026·山东青岛·一模）已知：如图，，分别是两边，上的点，连接．求作：，使满足以线段为弦，且圆心到两边的距离相等． 4．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图是小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，请用无刻度直尺在给定网格中按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）． （1）如图1，将绕点O逆时针旋转得，画出； （2）如图2，请用尺规画出这个圆的圆心． 四.中考链接 一、单选题 1．（2025·江苏南京·中考真题）下列图形中，一定有外接圆的是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 2．（2026·河南三门峡·一模）如图，在中，．观察图中尺规作图的痕迹，则的半径是（   ） A． B．5 C．6 D．10 二、填空题 3．（2025·广东广州·二模）三边长为3，4，5的三角形，它的外接圆半径为_______． 4．（2025·上海·二模）我们把一个三角形的重心与外心之间的距离叫做该三角形的“变形值”．已知等腰三角形的腰长为5，底边长为8，那么它的“变形值”等于______． 5．（2025·陕西西安·二模）如图，有一圆弧形拱桥，请用尺规作图确定圆弧所在圆的半径．    五.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 基础巩固 □顺利 □有困难 综合提升 □顺利 □有困难 拓展探究 □顺利 □有困难 中考链接 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2 确定圆的条件【分层作业】 2026—2027学年苏科版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.基础巩固 2 【题型1】过点作圆的规律、定理辨析 2 【题型2】外接圆、外心基础概念识别 3 三.综合提升 5 【题型1】判断外心位置，判断三角形形状 6 【题型2】特殊三角形外接圆半径计算 8 【题型3】概念正误辨析 13 【题型4】简单说理与尺规作图分析 15 四.中考链接 19 五.自我评价 23 一.知识梳理（前置作业） 【学习要求】结合教材自主完成填空 1. 过一个已知点，可以作________个圆；过两个已知点，可以作________个圆，圆心都在这两点连线的________上。 2. 定理：________________________________________的三点确定一个圆；三点如果在同一条直线上，________（填“能”或“不能”）画出经过这三点的圆。 3. 经过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的________；这个三角形叫做圆的________三角形。 4. 三角形外接圆的圆心叫做三角形的________，它是三角形三边____________的交点；外心到三角形____________的距离相等，该距离就是外接圆的半径。 5. 外心的位置：锐角三角形外心在三角形________；直角三角形外心在____________；钝角三角形外心在三角形________。 6. 一个三角形有________个外接圆；一个圆有________个内接三角形。 参考答案： 1. 无数；无数；垂直平分线 2. 不在同一条直线上；不能 3. 外接圆；内接 4. 外心；垂直平分线；三个顶点 5. 内部；斜边的中点；外部 6. 唯一；无数 二.基础巩固 【题型1】过点作圆的规律、定理辨析 1．（25-26九年级上·河北沧州·期中）经过两点可以作______个圆，不在同一直线的______个点可以确定一个圆． 【答案】 无数 三 【分析】根据确定圆的条件解答即可． 解：经过两点可以做无数个圆， 不在同一直线的三个点可以确定一个圆， 故答案为：无数，三． 【点拨】本题考查了确定圆的条件，属于基础题，熟练掌握相关知识是解题的关键． 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）过一点可以作___________个圆；过两点可以作___________个圆，这些圆的圆心在两点所连线段的___________上；过不在同一条直线上的三个点可以作___________个圆． 【答案】 无数 无数 垂直平分线 一 【分析】利用过点作圆的个数即可求解． 解：过一点可以作无数个圆；过两点可以作无数个圆；这些圆的圆心在两点所连线段的垂直平分线上；过不在同一条直线上的三个点可以作一个圆， 故答案为：无数；无数；垂直平分线；一． 【点拨】本题考查了确定圆的个数，熟练掌握基础知识是解题的关键． 3．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，已知点，和线段，．用直尺和圆规作，使过点，，且半径为，则这样的圆可以作（   ） A．1个 B．2个 C．4个 D．无数个 【答案】B 【分析】本题考查作图-复杂作图、确定圆的条件，熟练掌握与圆有关的性质是解答本题的关键．连接，作线段的垂直平分线，以点（或）为圆心，线段的长为半径画弧，交线段的垂直平分线于点，分别以为圆心，线段的长为半径画圆即可． 解：如图，满足题意． 这样的圆可以作2个． 故选：B． 【题型2】外接圆、外心基础概念识别 1．（26-27九年级上·北京·课堂例题）下列关于三角形外心的说法中，错误的是（     ） A．三角形的外心到三个顶点的距离相等 B．三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点 C．等腰三角形的外心在三角形内 D．任何一个三角形有且只有一个外接圆 【答案】C 【分析】可通过外心位置与三角形形状的对应关系判断错误选项． 解：A选项，符合三角形外心的定义与性质，说法正确． B选项，符合三角形外心的定义与性质，说法正确． C选项，等腰三角形若为钝角三角形，外心在三角形外部；若为直角三角形，外心在斜边中点， 故等腰三角形的外心不一定在三角形内，说法错误． D选项，任何一个三角形有且只有一个外接圆，说法正确． 2．（26-27九年级上·北京·课后作业）对于三角形的外心，下列说法错误的是（     ） A．它到三角形三个顶点的距离相等 B．它到三角形三个顶点的连线平分三内角 C．它到任意一顶点的距离等于这三角形的外接圆的半径 D．以它为圆心，它到三角形一顶点的距离为半径作圆，必通过另外两个顶点 【答案】B 【分析】根据三角形外心的定义和其性质逐一判断即可． 解：A、三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，所以外心到三角形三个顶点的距离相等，故选项A正确，该选项不符合题意； B、到三角形三个顶点的连线平分三内角的是内心，不是外心，故选项B错误，该选项符合题意； C、三角形的外心即外接圆的圆心，三角形三个顶点都在外接圆上，所以外心到任一顶点的距离等于这个三角形的外接圆的半径，故选项C正确，该选项不符合题意； D、三角形的外心是三边垂直平分线的交点，所以它到三角形三个顶点的距离相等，则以它为圆心，它到三角形一顶点的距离为半径作圆，必通过另外两个顶点，故选项D正确，该选项不符合题意． 3．（2026·河南商丘·模拟预测）三角形有“四心”——内心，外心，重心，垂心（三条高线所在直线的交点）．任意一个三角形的________心都在该三角形内部，则横线上填的四心种类共有（     ）种． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】分别判断三角形四心在任意三角形中的位置，统计满足“任意三角形中都在内部”的心的个数即可得到答案． 解：内心是三角形内角平分线的交点，任意三角形的内心都在三角形内部； 重心是三角形中线的交点，任意三角形的重心都在三角形内部； 外心是三角形三边垂直平分线的交点，钝角三角形的外心在三角形外部，直角三角形的外心在斜边中点，因此外心不满足条件； 垂心是三角形高线所在直线的交点，钝角三角形的垂心在三角形外部，直角三角形的垂心在直角顶点，因此垂心不满足条件． 综上所述，满足条件的心共有种． 三.综合提升 【题型1】判断外心位置，判断三角形形状 1．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如果一个三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查三角形的外心，根据外心的形成和性质直接判断即可． 解：三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点，该点是到三角形三个顶点的距离相等， 如果一个三角形的外心在三角形的外部，说明有一个圆周角大于． 故选：C 2．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）的外心在三角形的一边上，则是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 【答案】B 【分析】根据三角形外心与三角形的位置关系可判断三角形的形状，因此可得到答案． 解：当的外心在的内部时，则是锐角三角形； 当的外心在的外部时，则是钝角三角形； 当的外心在的一边时，则是直角三角形，且这边是斜边． 故选B． 【点拨】本题考查了三角形的外心，解决本题的关键是经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）以的斜边为直径作圆，点在__________（填“圆内”“圆上”或“圆外”中的一个）． 【答案】圆上 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的外接圆，以及点与圆的位置关系，当点到圆心的距离小于半径的长时，点在圆内；当点到圆心的距离等于半径的长时，点在圆上；当点到圆心的距离大于半径的长时，点在圆外． 求出点C到圆心的距离，然后根据点与圆的位置关系判断即可． 解：如图， ∵斜边为直径， ∴圆心O是斜边的中点， ∴， ∴点C在圆上． 故答案为：圆上． 4．（25-26九年级上·河北唐山·期中）如图为的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是的______． 【答案】外心 【分析】本题考查了三角形的外心的定义，勾股定理，解题关键是根据勾股定理得出．根据勾股定理得出，进而得到答案． 解：由图中信息可得：， ∴点O在的外心上， 故答案为：外心． 【题型2】特殊三角形外接圆半径计算 1．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）在中，，，，那么的外接圆半径为（     ） A．5 B．3 C．2 D． 【答案】D 【分析】先根据勾股定理逆定理判断是直角三角形，再利用直角三角形外接圆半径等于斜边一半计算即可． 解：∵，且， ∴， ∴，则是直角三角形， ∵直角三角形的外接圆直径等于斜边长， ∴的外接圆半径为． 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，A，B，C是上的三点，是等边三角形．若，则的半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，直角三角形的性质，掌握等边三角形的性质，应用垂径定理和勾股定理解题是关键． 连接、，过点作，结合同弧所对的圆心角是圆周角的两倍、等腰三角形的性质和三角形内角和为得到，再利用垂径定理，直角三角形的性质，勾股定理即可求出的半径． 解：连接、，过点作， ∵是等边三角形的外接圆， ∴， ∴， ， 又∵， ∴， 在中，利用勾股定理得，． 故选：． 3．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，在中，，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．找一个三角形的外心，就是找一个三角形的两条边的垂直平分线的交点．也考查了等腰三角形的性质和勾股定理．求出的外接圆半径即可． 解：作于D，如图， ∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴的外心O在上， 连接，设的外接圆的半径为r，则 在中，，解得， ∵能够完全覆盖这个三角形的最小圆为的外接圆， ∴能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径为． 故答案为：． 4．（2026·上海静安·三模）已知一个三角形的三边长分别为、、，则其外接圆的半径为_________． 【答案】 【分析】在 中， ， ，过点 作 于点 ，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出，利用勾股定理求出，利用三角形外接圆圆心在各边的垂直平分线上，可知圆心在底边的高所在直线上，设半径后利用勾股定理列方程求解即可． 解：如图，在 中， ， ，过点 作 于点 ， ∵ ， ， ∴ ， 垂直平分 ， ∴ ， ∵三角形外接圆圆心在三角形任意一边的垂直平分线上， ∴外接圆圆心 在射线上，连接，设外接圆半径为 ，则 ， ∴ ， 在 中， ， ∴， 解得：．即外接圆的半径为． 5．（25-26九年级下·江苏泰州·阶段检测）在中，的重心与外心的距离是__________． 【答案】/ 【分析】先由勾股定理求出，再确定重心与外心的位置，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及重心的性质求解． 解：∵在中，， ∴， 如图，的外心为的中点，记为点D，三角形的重心G在线段上， ∵，， ∴， ∴， 即的重心与外心的距离是． 【点拨】重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为． 【题型3】概念正误辨析 1．（25-26九年级下·江苏苏州·开学考试）已知点O是的外心，作正方形，下列说法：①点O是的外心；②点O是的外心；③点O是的外心；④点O是的外心．其中说法一定正确的是（    ） A．②④ B．①③ C．②③④ D．①③④ 【答案】B 【分析】根据三角形的外心得出OA=OC=OB，根据正方形的性质得出OA=OC＜OD，求出OA=OB=OC=OE≠OD，再逐个判断即可． 解：连接OB、OD、OA， ∵O为三角形ABC的外心， ∴OA=OC=OB， ∵四边形OCDE为正方形， ∴OE=OC＜OD， ∴OA=OB=OC=OE≠OD， ∴OA=OE=OB，即O是△AEB的外心，故①正确； OA=OC≠OD，即O不是△ADC的外心，故②错误； OB=OC=OE，即O是△BCE的外心，故③正确； OB=OA≠OD，即O不是△ABD的外心，故④错误； 故选：B． 【点拨】本题考查了正方形的性质和三角形的外心与外接圆，能熟记知识点的内容是解此题的关键，注意：三角形的外心到三个顶点的距离相等，正方形的四边都相等． 2．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段检测）下列说法中，正确的是（   ） A．长度相等的弧是等弧 B．三个点确定一个圆 C．三角形外心到三边距离相等 D．不在同一条直线上的三个点确定一个圆 【答案】D 【分析】根据等弧的定义对进行判断；根据三角形外心的定义对进行判断；根据确定圆的条件对进行判断． 解：、能够完全重合的弧叫等弧，所以选项错误，不符合题意； 、不在同一直线上的三个点确定一个圆，所以选项错误，不符合题意； 、三角形的外心是三边垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等，所以选项错误，不符合题意； 、不在同一直线上的三个点确定一个圆，所以选项正确，符合题意． 故选：D． 【点拨】本题考查了圆的认识，三角形的外心，等弧的定义，解题的关键是掌握圆可以看做是所有到定点的距离等于定长的点的集合，掌握与圆有关的概念． 3．（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）在下列说法中：①三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点；②若两条弧的度数相等，则它们是等弧；③直径是圆中最长的弦；④如果两条弦相等，那么这两条弦所对的圆心角相等；其中说法正确的是___________ 【答案】①③/③① 【分析】本题考查等弧，直径的概念，弦与圆心角的关系，三角形的外心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，据此一一判断即可， 解：①三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点．正确． ②两条弧的度数相等，它们不一定是等弧，原说法错误； ③直径是圆中最长的弦，正确； ④两条弦相等，这两条弦所对的圆心角不一定相等，原说法错误． 故答案为：①③． 【题型4】简单说理与尺规作图分析 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）张华不小心把家里的一块圆形玻璃镜打碎了，为了定制一块同样大小的玻璃镜，需要确定原玻璃镜的半径．工人师傅在如图所示的玻璃镜残片的边缘描出了点，给出，你能找到这块圆形玻璃镜的半径吗？作图说明． 【答案】如图所示，即为所求半径， 【分析】根据不在同一直线上的三个点确定一个圆，垂直平分线上的点到线段两端距离相等，三角形三边垂直平分线的交点就是外接圆的圆心，圆心到顶点的距离就是半径，作的垂直平分线，它们的交点就是圆心，圆心到点任意一点的距离就是半径． 解：分别作线段和的垂直平分线，两条垂直平分线交于一点，记为点，以点为圆心，连接就是原玻璃镜的半径． 2．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，弧是某个圆的一部分，请你用直尺和圆规确定圆心的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 【分析】在弧上任取一点C（不与A，B重合），连接弦、弦；再分别作线段的垂直平分线、线段的垂直平分线；两条垂直平分线的交点即为圆心O． 解：略 3．（2026·山东青岛·一模）已知：如图，，分别是两边，上的点，连接．求作：，使满足以线段为弦，且圆心到两边的距离相等． 【答案】解：先作的角平分线；再作线段的垂直平分线，二线交于点O，以O为圆心，以为半径作． 则即为所求． 【分析】先作的角平分线；再作线段的垂直平分线，二线交于点O，以O为圆心，以为半径作即可． 解：略 4．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图是小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，请用无刻度直尺在给定网格中按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）． （1）如图1，将绕点O逆时针旋转得，画出； （2）如图2，请用尺规画出这个圆的圆心． 【答案】（1）如图，即为所作； （2）如图，点即为这个圆的圆心． 【分析】（1）分别取格点，，，使，顺次连接即可； （2）取弦，分别作它们的垂直平分线，交于点，则点为这个圆的圆心． 解：（1）略 （2）略 四.中考链接 一、单选题 1．（2025·江苏南京·中考真题）下列图形中，一定有外接圆的是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】A 【分析】本题考查了外接圆．外接圆是指多边形的所有顶点都在同一个圆上．三角形一定有外接圆，因为三角形的三条垂直平分线交于一点（外心），该点到各顶点距离相等，四边形、五边形、六边形不一定有外接圆，只有特殊的多边形（如圆内接多边形）才有，据此进行分析，即可作答． 解：∵任何三角形的三条垂直平分线都交于一点（外心）,且外心到三个顶点的距离相等， ∴ 三角形一定有外接圆， 四边形、五边形、六边形不一定有外接圆，只有特殊的多边形（如圆内接多边形）才有， 故选：A 2．（2026·河南三门峡·一模）如图，在中，．观察图中尺规作图的痕迹，则的半径是（   ） A． B．5 C．6 D．10 【答案】B 【分析】由作法得：点O为的三边垂直平分线的交点，则为的外接圆，连接，由圆周角定理可得，可得为等边三角形，即可求解． 解：由作法得：点O为的三边垂直平分线的交点，则为的外接圆， 如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 即的半径是5． 二、填空题 3．（2025·广东广州·二模）三边长为3，4，5的三角形，它的外接圆半径为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形的外接圆与外心、勾股定理的逆定理等知识点，掌握直角三角形的外心就是斜边中点是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理，可以判断这个三角形是直角三角形，且斜边就是外接圆的直径，据此即可解答． 解：∵三角形的三边长分别为3，4，5， 又∵， ∴这个三角形是直角三角形， ∴这个三角形的外接圆的直径的长就是斜边的长为5， ∴此三角形的外接圆半径是． 故答案为． 4．（2025·上海·二模）我们把一个三角形的重心与外心之间的距离叫做该三角形的“变形值”．已知等腰三角形的腰长为5，底边长为8，那么它的“变形值”等于______． 【答案】 【分析】此题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、重心和外心等知识．求出和，即可得到答案． 解：如图，中，，作于点， ∴， ∴， 设三角形的外心为，外接圆半径为， ∵等腰三角形的外心在底边的垂直平分线上， ∴在所在直线上， 设， 在中，，即， 解得， ∴， 重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点距离是到对边中点的距离两倍， ∴重心G在在上，且， ∴“变形值”等于， 故答案为： 5．（2025·陕西西安·二模）如图，有一圆弧形拱桥，请用尺规作图确定圆弧所在圆的半径．    【答案】如图所示，即为所求作：    【分析】本题主要考查了尺规作垂线，垂直平分线的性质，圆心的确定方法，掌握圆心的确定方法是解题的关键． 根据圆心到圆上的各点的距离相等，垂直平分线的性质，尺规作垂线即可求解． 解：连接，分别以点为圆心，以大于为半径画弧，得到两个交点，连接两交点得到线段的垂直平分线，交圆弧于点，交于点， 同理，连接，作线段的垂直平分线交于点，连接， ∴即为所求． 五.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 基础巩固 □顺利 □有困难 综合提升 □顺利 □有困难 拓展探究 □顺利 □有困难 中考链接 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $