第2章、第3章综合测试卷【培优卷】- 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

第2章、第3章综合测试卷【培优卷】 考试时间：100分钟　　满分：120分 范围：苏科版九上第2章 反比例函数；第3章 圆 1、 选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（2026·吉林·中考真题）关于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．函数图象过点 B．函数图象位于第一、三象限 C．当时，随的增大而减小 D．当时， 2．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期末）下列说法：①三点确定一个圆；②三角形的外心是各边垂直平分线的交点；③圆的对称轴是直径；④平分弦的直径，平分这条弦所对的弧．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2026·江苏扬州·三模）若点、都在双曲线上，且，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．（2026·陕西西安·二模）如图，半径长，点A、B、C是三等分点，D为圆上一点，连接，且，交于点E，则（　　）    A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·广东河源·阶段检测）如图，反比例函数，的图象在平面直角坐标系中，点B为的图象上一点，过点B分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别为，线段被的图象上一点D分成两部分，且，连接，则的面积为（   ） A．2 B． C． D．1 6．（2026·江苏泰州·一模）点P的坐标为，点是垂直于y轴的直线l上的一点，经过点P，且与直线l相切于点A，则点M的纵坐标为（　　） A． B．1 C．2 D．4 7．（专题25定弦定角构造辅助圆-【微专题】2025-2026学年九年级数学上册常考点微专题提分精练（人教版））如图，在平面直角坐标系中，线段在轴上移动，在运动过程中，直线上的点如果满足，则点为好点，当在轴上运动到某一位置时，好点的个数最多有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（24-25九年级上·山东济宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数（，）的图象上，分别以点A，1为半径作圆，当与y轴相切，连接．若，则k的值为（　　） A．2 B．3 C．3 D．4 2、 填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 9．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）反比例函数的图象上有三点，且，则的大小关系是___________．（用“”号连接） 10．（25-26九年级上·山东泰安·阶段检测）双曲线、在第一象限的图象如图所示，，过上的任意一点作轴的平行线交于点，交轴于点，如果，那么的函数表达式是______． 11．（2023·河南郑州·二模）如图，在的网格图中，每个小正方形的边长均为1，点，，，都在格点上，线段与弧交于点，则图中弧的长度为________．    12．（25-26九年级上·河北邢台·期末）如图，、切于点、，，则________；切于点，交、于、两点，则的周长是________． 13．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，A是双曲线上的一点，点C是的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，交双曲线于点B，则的面积是______． 14．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）如图，内接于，于点D，若，当时，则半径与的比值为________．    15．（25-26九年级下·吉林长春·期中）如图，分别以边长为1的正六边形的顶点为圆心，正六边形的边长为半径在正六边形内部作弧，则图中阴影部分周长和为___________． 16．（2026·浙江杭州·模拟预测）如图，在平行四边形中，，，，以点A为圆心，的长为半径画弧交于点E，连接，则阴影部分的面积是______． 17．（2025·江苏扬州·二模）如图，平面直角坐标系中，原点为正六边形的中心，轴，点在双曲线（为常数，）上，将正六边形向上平移1个单位长度，点恰好落在双曲线上，则的值为________．    18．（2026·山西太原·一模）如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心的圆与反比例函数在第一象限的图象交于两点．已知点的横坐标为1，点的横坐标为，连接，则的长为__________．（结果保留） 三、解答题（本大题共9小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19.（本题8分）（2026九年级上·全国·专题练习）如图，直线与双曲线（）相交于，两点，与轴相交于点． （1）分别求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求点的坐标． 20.（本题8分）（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，是的直径，是弦，于点，交圆于点，连接． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 21.（本题6分）（24-25九年级上·山东淄博·期中）已知如图，反比例函数和一次函数的图象都经过点和点． （1）求m，n的值； （2）若点P是该反比例函数的图象上任意一点，过点P作轴，垂足为Q．随着点P的运动，的面积是否发生变化？如果不变，求出面积的值；如果变化．说明理由． 22.（本题6分）（26-27九年级上·北京·课堂例题）如图，内接于，、是的高，H是的交点，的延长线交于G． （1）试说明：． （2）若，，求的面积． 23.（本题6分）（2026·辽宁沈阳·三模）如图，是的直径，为上的一点，的平分线交于点，过点的直线交的延长线于点，交的延长线于点．且． （1）求证：为的切线； （2）若，，直接写出半径的长． 24.（本题8分）（26-27九年级上·全国·课后作业）港口的起重机每小时可往一艘轮船上装载货物，一艘轮船的货物装载完毕恰好用了． （1）此轮船到达另一港口后开始卸货，起重机平均卸载速度（单位：）与卸载完所有货物的总时间（单位：）之间有怎样的函数关系？ （2）由于遇到紧急情况，要求轮船上的货物不超过卸载完毕，那么起重机平均每小时至少要卸载多少货物？ 25.（本题8分）（2026·江苏南通·中考真题）如图，是的直径，为上一点，过点作的切线，交的延长线于点，，垂足为． （1）求证：平分． （2）若，，求的长． 26.（本题8分）（25-26九年级上·河南漯河·期末）如图，反比例函数的图象经过点，以点O为圆心，长为半径画弧，交x轴正半轴于点B，以O、A、B为顶点作菱形，且． （1）求反比例函数的表达式； （2）求图中阴影部分的面积． 27.（本题8分）（2025·河南开封·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数 的图象交于A，B 两点，其中点A 的坐标为．以点为圆心，长为半径作弧，分别交y 轴正半轴、x轴正半轴 于点G，H．在扇形中作正方形，使点C 在圆弧上，点D 在上，点E，F  在上．同样，在第 四象限的扇形内作正方形，使点P 在圆弧上，点N在上，点M，Q 在上． （1）求a，k 的值； （2）判断点B是否在圆弧上，并说明理由； （3）直接写出图中阴影部分的面积之和 学科网（北京）股份有限公司 $第2章、第3章综合测试卷【培优卷】 考试时间：100分钟满分：120分 范围：苏科版九上第2章反比例函数；第3章圆 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) 1,(2026吉林长春·中考真题)关于反比例函数y=-,下列说法正确的是 () A.函数图象过点(2,3) B.函数图象位于第一、三象限 C.当x<0时，y随x的增大而减小 D.当6<x<-1时，1<y<6 【答案】D 【分析】根据反比例函数的性质依次判断各选项即可. 解：A选项，将x=2代入y= x’得y=-3≠3，函数图象不过点(2,3)，A错误： B选项，k=6<0, ·函数图象位于第二、四象限，B错误 C选项，当x<O时，'随x的增大而增大，C错误： D选项，当6<x<-1时，x<0,y随x的增大而增大， 当x6时，=名， 当x1时，y=吾=6， .1<y<6,D正确. 2.(25-26九年级上·辽宁盘锦·期末)下列说法：①三点确定一个圆；②三角形的 外心是各边垂直平分线的交点：③圆的对称轴是直径：④平分弦的直径，平分这条 弦所对的弧.其中正确的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】A 【分析】本题考查了圆的基本概念辨析，判断确定圆的条件，三角形外接圆的概念辨析，垂径 定理的推论等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解， 根据圆的相关概念，包括确定圆的条件、三角形外心的定义、圆的对称轴以及垂径定理的推 论，需逐一分析每个说法的正误. 解：不在同一直线上的三点才能确定一个圆， 故①错误： 三角形的外心是三角形外接圆的圆心，它到三角形三个顶点的距离相等， 而各边垂直平分线的交点到三个项点距离相等， 故②正确： 对称轴是直线，直径是线段，圆的对称轴是直径所在的直线， 故③错误： 平分弦（非直径）的直径，才平分这条弦所对的弧， 当弦为直径时该结论不成立， 故④错误： 综上所述，正确的只有1个， 故选：A 3.（2026江苏扬州三模)若点4(202小、B(202,)都在双曲线y=3+2 上， 且>y2,则a的取值范围是() 3 A.a<0 B. a>0 C.a>- 2 D.a<-3 【答案】D 【分析】首先要判断A、B两点是否在同一象限，然后根据>y2得3+2a<0,从而得出a的 取值范围. 解：，-2021<0,2022>0，且>2， ∴.点A在第二象限，点B在第四象限， 反比例函数y=3+2 的比例系数3+2a<0 3 解得a<-2 4.(2026陕西西安·二模)如图，⊙0半径长2cm,点A、B、C是⊙0三等分点，D 为圆上一点，连接AD,且AD2N2cm,CD交AB于点E,则∠BED() A.75° B.65 C.60° D.55 【答案】A 【分析】本题主要考查了弧与圆周角之间的关系，圆周角定理，勾股定理的逆定理，三角形内 角和定理，连接OD,OABD,利用勾股定理的逆定理证明∠AOD=90°，则由圆周角定理得 到∠DBE=40D=4S”,再由点4，反，C是O0三等分点，得到∠BDC=1s0x写6心， 即可利用三角形内角和定理求出答案， 解：如图所示，连接ODOA,BD, ,⊙0半径长2cm, ∴.OA=OD=2cm, .AD=2v2cm. .0A+0D2=22+22=8=AD2, ∴.△AOD是直角三角形，且∠AOD=90°， :.∠DBE=)∠A0D=45°. :点A、B、C是⊙0三等分点， 1 .∠BDC=180°×。=60°， 3 .∠BED=180°-∠BDE-∠DBE=75°， 故选：A. A D 5.(2526九年级上广东河源阶段检测》如图，反比例函数n=(:<0, 为(x<0)的图象在平面直角坐标系中，点日为%=生(x<0)的图象上一点，过 点B分别向×轴，y轴作垂线，垂足分别为么C,线段C被片(<0)的图象上一 点D分成两部分，且BD:CD=1:2,连接AC,则△ABC的面积为() A.2 B.2 互 C. D.1 【答案】B 2m. 则B 3m k+1 【分析】由题意设点D m: 3m 由点B和点D的纵坐标相同得出k=2' 进而可求出△ABC的面积. 解：，BD:CD=1:2, 设点D2m, 由题意知，点B和点D的纵坐标相同， kk+1 2m3m' 解得：k=2, k+13 .为= x x' ·S4BC三)S矩形C0白 k+1_3 2 Γ2 6.(2026江苏泰州·一模)点P的坐标为(02)，点A(2,2)是垂直于y轴的直线1上 的一点，⊙M经过点P,且与直线I相切于点A,则点M的纵坐标为() A. B.1 C.2 D.4 【答案】A 【分析】根据切线的性质得到MA⊥AB,求得点M的横坐标为2，设M(2,m),过M作 MH上y轴于H,连接MP,MA,则OH=m,MA=2+m,根据勾股定理即可得到结论. 解：，直线AB是⊙M的切线， ∴.MA⊥AB, :AB⊥y轴， MA∥y轴， 点A(2,-2), .点M的横坐标为2， 设M(2,m), 过M作MH⊥y轴于H,连接MP,MA, 则OH=m,MA=2+m,MH=2, ..MP=2+m, :点P的坐标为(0,2)， ∴.OP=2, :PH =2-m, 在Rt△PMH中，PH2+MH=MP2, 即(2-m)2+22=(2+m}2, 解得m= 2 .点M的纵坐标为2· 故选：A. D .M T B 【点拨】本题考查了切线的性质，平行线的性质，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键. 7.(专题25定弦定角构造辅助圆-【微专题】2025-2026学年九年级数学上册常考 点微专题提分精练（人教版))如图，在平面直角坐标系中，线段AB在x轴上移 动，在运动过程中，直线y=V3x上的点P如果满足∠APB=30°，则点P为好点，当 AB在x轴上运动到某一位置时，好点P的个数最多有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B 【分析】先确定AB的位置后，作辅助圆C,与直线y=V3x上的交点就是满足∠APB=30°的 点P. 解：如下图，当AB在x轴的正半轴时，构建等边三角形ABC,以C为圆心，以CA为半径作 辅助圆C,直线y=V3x与⊙C的交点就是点P, 此时∠APB=)∠ACB=30°， 好点P最多有两个， 同理在x轴的负半轴时，也存在两个好点P, 故选：B 【点拨】本题考查了圆周角定理，借助辅助圆得出P点位置是解题的关键. 8.(24-25九年级上山东济宁·期末)如图，在平面直角坐标系中，点A,B在反 比例函数y=x(k>0:x>0)的图象上，分别以点A,1为半径作圆，当⊙A与y轴 相切，连接AB.若AB=3W2,则k的值为() A.2 B.3 C.3V2 D.4 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质的应用，勾股定理，切线性质，熟练掌握反比例 函数的图象与性质是解题的关键 根据切线的性质可得点A,B两点的横坐标和纵坐标，结合反比例函数解析式，表示出A,B 两点坐标，通过作辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理，得到结果 解：过A点作AC⊥x轴于点C,过B点作BD1y轴于点D,BD相交于E点， ,圆的半径为1，⊙A与y轴相切， ∴A点横坐标为1，B点纵坐标为1， “点4，B在反比例函数y=x,(x>0)的图象上， ∴A点纵坐标为k,B点横坐标为k, .AE=k-1,BE=k-1, 在Rt△ABE中，∠AEB=90°，AB=3VN2, .AE2+BE2=AB2, .(k-1)2+(k-1)}2=18, ∴.k=4或k=-2, :k>0, ∴.k=4 故选：D 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 9.(24-25八年级下·江苏泰州期末)反比例函数y=的图象上有三点 A(x,),B(x,)C(,),且x<0<x<x,则乃的大小关系是 (用“<”号连接) 【答案】<片<y2 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征解 答即可 解：反比例函数比例系数k=3>0, ∴.反比例函数图象分布在第一三象限，在每个象限内y随x的增大而减小， <0<<, ∴y<<y2 故答案为：出<<2. 10.(25-26九年级上·山东泰安阶段检测)双曲线片、2在第一象限的图象如图 所示，5=24 ,过上的红意一点4作：轴的平行线交为于点B,交y辅于点c 如果S△os=4,那么为的函数表达式是 16 【答案】= x 【分析折】设双曲线头的解折式为-车，由Bx轴，可得 1 S.40B =SBOC-SA0C= BC0C-AC~0C=4,再根据反比例函数比例系数的几何意义可 BC0C=24:4c0C-k:期2-=4，市此即可得到答案 2 解：设双曲线y的解析式为= x ABIx轴， S.on-.woe-S. =2BC.0C-AC.0C=4, 2 24 :A在双曲线片上，B在双曲线为= 上， ∴.BC-0C=24,AC.OC=k 12-k=4 ∴.k=16, 16 :双曲线y的解析式为片= 11.(2023河南郑州二模)如图，在2×3的网格图中，每个小正方形的边长均为 1,点A,B,C,D都在格点上，线段CD与弧AC交于点E,则图中弧AE的长度 为 E B A 【倍】 【分析】连接AC、AD,根据90度的圆周角所对的弦是直径，推出AC是直径，再利用勾股 定理，推出AD=AC=V5,△ACD是等腰直角三角形，然后利用等腰直角三角形的性质，推 出∠A0B=90,再求出OE=0A=5 ，即可利用弧长公式求出弧4E的长度. 解：连接AC、AD, :∠ABC是直角， .AC是直径， AD2=22+12=5,AC2=22+P=5,CD2=12+32=10, :.AD=AC=5,ADP+AC2=CD2, :△ACD是等腰直角三角形， .∠ACD=45°， 0E=0C, ÷.∠0EC=∠0CE=45°， ∴.∠AOE=90° :0E=01=号4c=5 90zr5 l=180 4 故答案为： 4 D E A 【点拨】本题考查了90度的圆周角所对的弦是直径，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性 质，弧长公式，求出半径以及AE所对的圆心角是解题关键. 12.(25-26九年级上河北邢台期末)如图，PA、PB切⊙0于点A、B,PA=10 ,则PB=;CD切OO于点E,交PA、PB于C、D两点，则aPCD的周长是 B 【答案】 10 20 【分析】由切线长定理可得，PA=PB,CA=CE,DB=DE,则△PCD的周长为2PA, 解：：PA、PB切⊙O于点A、B, .PA=PB=10, 又，CD切OO于点E .CA=CE,DB=DE, ..CD CE DE CA DB. ∴.△PCD的周长为PC+CD+PD=PC+CA+DB+PD=PA+PB=2PA=20. 13。(2026陕西西安模拟预测)如图，4是双曲线y=(x>0)上的一点，点C是 OA的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D,交双曲线于点B,则△ABD的面积是 D B 【答案】2 【分析】根据点C是OA的中点和三角形中线的可得S4cm=SoCn,S4Cs=SoB,进而可得 S4m=S根据点B在双曲线V=x>0)上.再结合BD1y轴可得S.om-2即可解答. 解：点C是OA的中点， S.ACD=S.OCD:S.4CB=S.0CB SACD+SA4CB=SOCD+SOCB, S.ABD=S.OBD, 点B在双曲线y=（>0)上，BDLy轴， 1 ·.S08m=7×4=2, 2 SAAD=2. 答案为：2 【点拨】本题考查了三角形中线的性质、反比例函数的k的几何意义等知识点，掌握反比例函 数k的几何意义是解题的关键， 14.(25-26九年级上浙江宁波期中)如图，△ABC内接于⊙0，AD⊥BC于点D, AB10 若∠ACB=2∠BAD,当AC=S时，则o0半径与BC的比值为 【答案】 00 66 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线 的交点，叫做三角形的外心.圆周角定理、垂径定理.作直径CE交AB于H点，连接AE,BE AB 102 ，如图，利用AC=5=5,可设AB=V2x,4C=V5x:先根据圆周角定理得 ∠CBE=∠CAE=9O°，则AD∥BE,所以∠ABE=∠BAD,再证明∠ACE=∠BCE,根据垂径 定理得到CH⊥AB,AH=BH=Y5x 2x,则CB=CA=N5x,接着利用勾股定理计算出 CH= 32 CE 10 2 x,然后证明ACBB∽ACHB'利用相似三角形的性质得到BC 3 从而得到 OC 10 BC 6 解：作直径CE交AB于H点，连接AE,BE,如图， AB 102 AC55, 设AB=V2x,AC=V5x, CE为直径， :∠CBE=∠CAE=90°， AD⊥BC, ∠ADC=90°， .AD∥BE, ·∠ABE=∠BAD, :∠ABE=∠ACE, ∴.∠ACE=∠BAD .∠ACB=2∠BAD .∴∠ACE=∠BCE 即CE平分∠ACB, .AB=BE,∠AEC=∠BEC, CB=CA=5x, .CO垂直平分AB, CH LAB.H -BH= 2t, 在 RtAACH :∠BCH=∠ECB,LBHC=LEBC, .∴ACBE∽ACHB CE BC 10 3 .oc o BC=6 V10 故答案为： 6 15.(25-26九年级下·吉林长春·期中)如图，分别以边长为1的正六边形的顶点为 圆心，正六边形的边长为半径在正六边形内部作弧，则图中阴影部分周长和为 【答案】4π 【分析】根据正六边形的性质可得∠ABC=120°，由图形可知阴影部分6条圆心角为120°的弧 围成，由此求解即可 解：如下图， B E :六边形ABCDEF为正六边形，且边长为1， :∠ABC=(6-2)x1800 6 =120°，AB=BC=CD=DE=EF=AF=I' 120 ∴.阴影部分的周长和=6× -×2元×1=4π」 360 16.(2026浙江杭州·模拟预测)如图，在平行四边形ABCD中，AD=3,AB=6, ∠A=30°，以点A为圆心，AD的长为半径画孤弧交AB于点E,连接CE,则阴影部分 的面积是 D A30° B 27-3π 【答案】4 【分析】过C作CF⊥AB交AB的延长线于点F,先利用平行四边形的性质得到AD=BC=3 ·∠CBF=∠A=30,然后利用含30度角的直角三角形的性质求得CF=)BC=3 2 2， 由阴影部 分的面积为S平行网边形ABCD一S形DMB一S,BCE求解即可. 解：过C作CF⊥AB交AB的延长线于点F,如图所示， A30° B ,四边形ABCD是平行四边形，AD=3,∠A=30°， .DA∥CB,AD=BC=3, .∴∠CBF=∠A=30° .CF=IBC=3 2 2 .AE=AD=3.AB=6. .BE=AB-AE=3. :.阴影部分的面积为S平行四边形BCD一S扇形DMB一S,CE 31 330元×32 =6× 22 ×3× 2360 =27-3m 4 17.(2025江苏扬州二模)如图，平面直角坐标系中，原点0为正六边形 ABCDEF的中心，EF川x轴，点E在双曲线y=x(k为常数，k>0)上，将正六边 形ABCDEF向上平移1个单位长度，点D恰好落在双曲线上，则k的值为 y=(0) E A D 【答案】 4v3 3 【分析】本题考查了正多边形的性质、等边三角形的判定与性质、反比例函数与几何综合，作 EH⊥x轴与H,连接OE,证明△OED是等边三角形，得出DE=OD,设OD=2m,则 OH=m,HE=V3m,得出Em,3m,D(2m,0),根据平移的性质可得点(2m,l)在双曲线 上，代入计算即可得解. 解：如图，作EH⊥x轴与H,连接OE, y k>0) E D B :原点O为正六边形ABCDEF的中心， .0E=OD,∠E0D=360°÷6=60°， ∴.△OED是等边三角形， .DE =OD, EH⊥OD, :.OH DH =1DO. :.EH-DR-DI-OD 2 设OD=2m,则OH=m,HE=V3m, .Em,v3m）,D(2m,0), ,将正六边形ABCDEF向上平移1个单位长度，点D恰好落在双曲线上， ∴点(2m,1)在双曲线上， ,点E也在双曲线上， ..k=2m.1=m.v3m. 2V5 解得：m= =0（舍去)， 3或 4v5 .k=2m1= 3， 45 故答案为： 3 18.(2026山西太原·一模)如图，在平面直角坐标系中，以点0为圆心的圆与反 比例函数y=5在第一象限的图象交于4B两点。已知点的板坐标为L,点月的横 坐标为V3,连接OA,OB,则AB的长为 (结果保留π) π，1 【答案】350 【分析】过点A作AE⊥y轴于点E,过点B作BF⊥x轴于点F,可求出A,V③，B(V5,, 进而解直角三角形得到∠AOE=∠BOF=30°，则∠AOB=30°，利用勾股定理求出OA的长， 再利用弧长公式求解即可· 解：如图所示，过点A作AE1y轴于点E,过点B作BF⊥x轴于点F, 在ys3 中，当x=1时，y=5,当x=5时，y=1 A,5B3,, .AE=1,OE=3,BF =1,OF=3. m0-a能-方-9.m∠0r BF15 OF 3 ∴.∠AOE=∠BOF=30°， .∠AOB=∠EOF-∠AOE-∠BOF=30°， 又，OA=VAE2+OE2=2, 0×π×2π 六AB的长为 180 3· 4 E B 三、解答题（本大题共9小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19.(本题8分】(2026九年级上全国专题练习)如图，直线y=+b与双曲线 y=(x<0)相交于43，，6两点，与x轴相交于点C(4,0). (1)分别求一次函数与反比例函数的解析式： (2)求点B的坐标. B 【答案】（山反比例函数为y=3 x:一次函数为y=x+4:(2)点B的坐标为(-1,3) 【分析】(1)利用待定系数法求出函数解析式即可： (2)联立两个函数解析式求出x的值，代入某个函数解析式求出y的值，即可得到点B的坐 标. )解：将4-3，)代入y=” X: 13 得m=1x(-3)=-3, ·反比例函数为y=-3 直线y=c+b经过A(-3,1)和C(4,0),代入得方程组： 1=-3k+b① 0=-4k+b② ①-②得：k=1, 将k=1代入②得0=-4×1+b, 解得b=4, .一次函数为y=x+4: (2)解：联立一次函数和反比例函数的方程组： y=x+4① y=-3@ 将①代入②：x+4=-3 解得：x=-1或x=-3 当x=-3时，y=-3+4=1,即点A(-3,), 当x=-1时，y=-1+4=3,即点B(-1,3), B -1,3) ∴点的坐标为 20.(本题8分)(25-26九年级上福建福州期中)如图，AB是⊙0的直径，BC是 弦，OD⊥BC于点E,交圆于点D,连接AC. 求证：o-号4C (2)若BC=16,ED=4,求⊙0的半径. 【答案】(I)证明：BC是弦，OD⊥BC于点E, ∴，由垂径定理可得点E为BC的中点， ,点O为AB中点， .OE为△ABC的中位线， :0B=)4C 2 (2)10 【分析】本题考查了垂径定理，三角形中位线的性质，直径所对的圆周角为90°，勾股定理解 三角形，解决本题的关键是熟练掌握以上性质，并设出未知数由勾股定理求解， (I)根据垂径定理可得点E为BC中点，再由三角形中位线的性质即可证明： (2)设OE=x,则可得OD=4+x,再根据勾股定理求解即可. 解：(1)略 (2)解：设OE=x,则OD=4+x, .'AC=20E =2x, .AB=20D=2(4+x)=8+2x, ,AB是⊙O的直径， ∴.∠ACB=90°， 在Rt△ACB中，AC2+BC2=AB2」 即(2x)}+162=(8+2x2, 可得4x2+256=64+32x+4x2,解得x=6, .0D=4+6=10. ⊙O 即求的半径为10. 21.(本题6分)(24-25九年级上·山东淄博·期中)已知如图，反比例函数 y=”x>0)和一次函数y=+b的图象都经过点A,4)和点Bm,少· (1)求m,n的值： (2)若点P是该反比例函数=贸6x>0的图象上任意一点，过点P作P阳1x轴， 垂足为Q.随着点P的运动，△PO的面积是否发生变化？如果不变，求出面积的 值：如果变化.说明理由 B 【答案】(1)m=4,n=4;(2)△PO0的面积不变.Spog=2 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的k的几何意义，熟练掌握 以上知识点并灵活运用是解此题的关键. (山)先把4,4)代入反比例函数求出y=t,再将Bm,)代入反比例函数解析式即可得解： 4 (2)根据反比例函数的k的几何意义即可得解. (解：把A.利代入y=x>0得：m=x4=4 4 .y= 把Bm,)代入y=得：1=4 4 n 解得n=4: (2)解：△PO0的面积不变. :点P是反比例函数y=4(x>0)的图象上一点， 00P0=}xy=}x4=2 .Sr00=2 1 2 2 22.(本题6分)(26-27九年级上北京课堂例题)如图，△ABC内接于⊙0，AD、 BE是△ABC的高，H是ADBE的交点，AD的延长线交OO于G. (1)试说明：HD=DG. (2)若∠BAD=30°，BH=4,求⊙0的面积. B 【答案】(I)解：连接BG. B AD、BE是△ABC的高， .∠AEH=∠BDH=90° :∠AHE=∠BHD .∠DBH=∠EAH, .∠CBG=∠CAG .∴∠HBD=∠GBD 在△BDH与△BDG中， [∠HBD=∠GBD BD=BD ∠BDH=∠BDG=90° ∴△BDH≌BDG(ASA). .DH=DG (2)16元 【分析】(1)连接BG,先根据三角形的高线定义和三角形的内角和定理推导出 ∠HBD=∠GBD,再证明△BDH≌aBDG(ASA),然后根据全等三角形的对应边相等可证得结 论： (2)连接OB、OG.先利用圆周角定理可得∠B0G=2∠BAG=60°，进而可证明△0BC为等 边三角形得到BG=OB=OG,结合全等三角形的性质可得OB=OG=4,最后利用圆的面积公 式求解即可. 解：(1)略 (2)解：连接OBOG. ∠BAD=30°， ∴.∠BOG=2∠BAG=60° :0B=0G, ∴△OBG为等边三角形， ∴.BG=OB=OG :ABHD≌ABGD :BH=BG=4. ..OB=OG=4. ∴.S=42.π=16π 23.(本题6分)(2026辽宁沈阳·三模)如图，AB是⊙0的直径，E为⊙0上的一 点，∠ABE的平分线交⊙O于点C,过点C的直线交BA的延长线于点P,交BE的延 长线于点D.且∠PCA=∠CBD, (1)求证：P℃为O0的切线： (2)若PC=2N2BO,PB=12,直接写出半径的长. D B 【答案】(1)证明：连接OC, BC平分∠ABE, ∴.∠ABC=∠CBD :OC=OB, ∴.∠ABC=∠OCB. '∠PCA=∠CBD ∴.∠PCA=∠OCB :AB是直径， .∠ACB=90°. ∴.∠AC0+∠OCB=90° ∴.∠PCA+∠ACO=90° :.∠PC0=90° .OC⊥PC, :OC是半径， ∴PC是OO的切线： (2)3 【分析】(1)连接OC,根据角平分线求得∠ABC=∠CBD,由等边对等角可得 ∠PCA=∠OCB,由AB是直径和等量代换可得∠PC0=90°，即可得证： (2)连接OC,设OB=OC=r,证明OP=3r,可得4r=12,推出r=3,即可求解. 解：(1)略 (2)解：连接OC,如图， B 设OB=OC=r, PC=220B, .PC=22r, :.0P=v0C2+PC2=VP2+(2W2r)}=3r, PB=12, .4r=12, r=3, 【点拨】本题考查了切线的判定，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是学会添加常用 辅助线，构造平行线解决问题. 24.(本题8分)(26-27九年级上·全国课后作业)港口的起重机每小时可往一艘轮 船上装载700t货物，一艘轮船的货物装载完毕恰好用了9h. (1)此轮船到达另一港口后开始卸货，起重机平均卸载速度v(单位：h)与卸 载完所有货物的总时间t(单位：h)之间有怎样的函数关系？ (2)由于遇到紧急情况，要求轮船上的货物不超过6h卸载完毕，那么起重机平均 每小时至少要卸载多少货物？ 【答案】(1)v=6300 ,;(2)至少要卸载1050t货物 【分析】(1)先求出总的货物重量，再由货物总量=t求解即可： (2)令1=6，代入(1)中所求函数解得v,结合反比例函数中v与‘的关系分析求解即可 (1)解：由题意可知货物总量为700×9=6300(0)，则6300=W, :起重机平均卸载速度，与卸载完所有货物的总时间，之何的函数关系为v-6300 可得v=6300 ②解：把1=6代入v-630 6 1050(th), 6300 对于函数v=1，当>0时，越大、v越小， 6h 一要求轮船上的货物不超过”卸载完毕，那么起重机平均每小时至少要卸载 050t 货物。 25.(本题8分)(2026江苏南通中考真题)如图，AB是⊙0的直径，C为⊙0上一 点，过点C作OO的切线，交BA的延长线于点D,CE⊥AB,垂足为E. (1)求证：CA平分∠DCE, (2)若∠DCA=25°，AB=6,求AC的长. B 【答案】(1)证明：连接OC CD是OO的切线， ∴.∠DCO=∠DCA+∠ACO=90°. CE⊥AB, ∠CAE+∠ACE=90°， 又，OC=OA, .∠CAE=∠ACO. ∴.∠DCA=∠ACE, .CA平分∠DCE 5 (2)6. 【分析】(1)连接OC,根据切线性质可知∠DC0=∠DCA+∠AC0=90°，再由CE⊥AB可 得LCAE+∠ACE=90°，利用等角的余角相等即可得出结论. (2)利用(1)的结论结合∠DCA=25°，求出∠CAE=∠AC0=65°，进而求出AC所对圆心 角度数，由此得出结论， 解：(1)略 (2):∠DCA=∠ACE,∠DCA=25° ∴.∠ACE=25 又：∠CAE+∠ACE=90°，∠CAE=∠ACO. ∴.∠CAE=∠AC0=65° .∠AOC=180°-∠CA0-∠AC0=50° 5065 的长180*2刀 X-π=-π 6 26.(本题8分)(25-26九年级上河南漯河期未)如图，反比例函数y-(x>0的 图象经过点A(2,m),以点0为圆心，OA长为半径画弧，交x轴正半轴于点B,以 O、A、B为顶点作菱形OACB,且∠AOB=60°. (I)求反比例函数的表达式： (2)求图中阴影部分的面积. B 【答案】()y=45 ;(2)Sw=85-8 3 【分析】本题考查的是反比例函数的性质、菱形的性质、扇形面积计算，掌握扇形面积公式、 菱形的面积公式是解题的关键. (1)过点A作AE⊥OB于点E,根据正切的定义求出AE,得到点A的坐标，利用待定系数 法求出反比例函数表达式： (2)根据扇形面积公式、菱形的面积公式计算，得到答案， 解：(1)过A作AD⊥OB于点D, A D B 在Rt△AOD中，∠AOD=60°，OD=2 .AD=OD.tan Z40B=23,0A=4. .A2,23), 反比例函数y=元x>0)的图象经过点42,2V “23=k 2 即k=4V3, 4V3 ,反比例函数的表达式为：y= (2)在菱形AOBC中， ..OB=OA=4 三膳=S爱形0x-S0形oB=4x25_60×元4 360° =8V5-8 27.(本题8分）(2025河南开封一模)如图，一次函数y=-x的图象与反比例函数y=冬 的图象交于A,B两点，其中点A的坐标为(-3，).以点0为圆心，OA长为半径作弧，分别 交y轴正半轴、x轴正半轴于点G,H.在扇形AOG中作正方形CDEF,使点C在圆弧上，点 D在OA上，点E,F在OG上.同样，在第四象限的扇形内作正方形MNP9,使点P在圆弧 上，点N在OB上，点M,Q在OH上. (1)求a,k的值； (2)判断点B是否在圆弧上，并说明理由： (3)直接写出图中阴影部分的面积之和 G A D M OH 0 【答案】(1)a=3,k=-9:(2)点B在圆弧上， 理由：一次函数y=-x、反比例函数y=x的图象均关于原点O对称， .它们的交点A、B关于原点O对称， ∴.OB=OA. ·点B在圆弧上： 9π27 (3)4-5 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数与几何综合，解题的关键是掌握一次函数、反 比例函数的性质及扇形面积的公式， (1)将点A的坐标（-3，a)代入y=-x,求得a,进而可求k: (2)根据一次函数及反比例函数图象的中心对称性质即可得结论； (3)把不规则图形的面积转化为规则图形面积的和差即可. (1)解：将A(-3,a)代入y=-x, 得a=3, A(-3,3), 将A(-3,3)代入y= 得k=-9: (2)略 (3)解：连接0C, A G M “A在直线y=-x上， ∴.∠AOG=45°，OE=DE=EF=CF,OC=OA=V32+32=3N2, 设OE=x,则OF=2x,CF=x, .0C2=5x2, (32j=5x2. x2=18 1189 SoE255’0E方形mm六日 5 SCG=S阴影poH, ·.S影=S阴影POH+S阴影ACD =S扇形OAG-S.ODE-S正方形DBr 45元×32918 360 55 数 ·8