第3章圆 综合测试卷(1) 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦圆的性质与应用，通过动态几何（26题矩形与半圆运动）、探究性问题（27题内切圆面积关系）等设计，考查几何直观与推理能力，适配单元复习巩固与提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|圆的位置关系、圆心角、切线性质|结合网格（19题）考查抽象能力| |填空题|8/16|内接四边形、中点轨迹、圆锥半径|以正六边形（14题）体现空间观念| |解答题|10/74|动态几何、内切圆面积关系、动点等腰三角形|通过探究性问题（27题）发展推理意识与创新意识|

第3章圆 综合测试卷(1) 考试时间：120分钟 满分：120分 成绩：________ 一、选择题(每小题3分，共30分) 1.如图，在中，弦的长为，点在上，所在的平面内有一点.若，则点与的位置关系是（ ） A.点在上 B.点在内 C.点在外 D.无法确定 2.如图，是的直径，是弦，，，则的度数为（ ） A.30° B.45° C.60° D.75° 3.如图，的半径为2，四边形是圆内接四边形，，则的长为（ ） A. B. C. D. 4.如图，与相切于点，的延长线交于点，，且交于点.若，则的度数为（ ） A.30° B. C.60° D.75° 5.如图，四边形ABCD内接于，，为对角线，且交于点，经过圆心C.若，则与之间的大小关系是（ ） A. B. C. D.不能确定 6.如图，扇形的半径为3，边长为的菱形的顶点分别在上.若把扇形ODE围成一个圆锥，则此圆锥的高为（ ） A. B. C.3 D. 7.如图，在中，，以为直径的与，分别交于，两点，连接.若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 8.如图，在平面直角坐标系中，正六边形的对称中心与原点重合，，两点分别在反比例函数位于第一、三象限的图象上.当，两点在反比例函数的图象上运动时，正六边形的内切圆半径的最小值为（ ） A.4 B. C. D. 9.如图，是的直径，是的弦，先将沿翻折交于点，再将沿翻折交于点.若，且，则的度数所在的范围是（ ） A. B. C. D. 10.已知半径为5的是锐角三角形的外接圆，，连接，延长交弦于点.若是直角三角形，则弦的长为（ ） A.或 B. C. D.10 二、填空题(每小题2分，共16分) 11.如图，是的切线，为切点，是直径，，则________. 12.如图，四边形是的内接四边形，是的直径.若110°，则∠BEC的度数为________. 13.如图，的直径为10，，，，是上四个动点，且，.若分别是弦的中点，则线段的长的取值范围是________. 14.如图，在边长为6的正六边形中，以点为圆心，的长为半径作，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为________. 15.如图，在扇形中，，，点在上，且，延长到点，使.以，为邻边作平行四边形，则图中阴影部分的面积为________.(结果保留) 16.如图，是半圆的直径，半圆的半径为4，，两点在半圆(不与，两点重合)上，是上一个动点，连接，则的最小值为________. 17.如图，在Rt中，，半径为1的在Rt内平移可以与该三角形的边相切)，则点到上的点的距离的最大值为________. 18.如图，在平面直角坐标系中，交轴于，两点，交轴于两点，是上一动点，连接是的中点，连接，则线段的长的最小值是________. 三、解答题(共74分) 19.(6分)如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过格点，，C. (1) 请画出该圆弧所在圆的圆心的位置； (2) 请在(1)的基础上，解答下列问题： ①的半径为________； ②的长为________； ③点在格点上，判断直线与之间的位置关系，并说明理由. 20.(6分)如图，的弦的延长线相交于点，且.求证：. 21.(6分)如图，为的直径，是弦延长线上一点，，连接并延长交于点，连接. (1) 求证：； (2) 若的度数为，求的度数. 22.(6分)如图，在中，以为直径的交于点，连接，，垂足为的两条弦相交于点. (1) 求证：直线是的切线； (2) 若，求扇形的面积. 23.(6分)已知在△ABC中，，以为直径作，与相交于点，连接，与相交于点. (1) 如图①，连接，求的度数； (2) 如图②，若为的中点，且，求的长. 24.(6分)如图，，为的直径，过点的切线与的延长线交于点，，是的中点，弦相交于点. (1) 求的度数； (2) 若，求的直径. 25.(8分)如图，是的直径，是的中点，是的弦，且，垂足为，连接交于点，连接. (1) 求证：； (2) 若，求的长. 26.(8分)如图①，矩形与以为直径的半圆在直线的上方，线段与，两点都在直线上，且，点以每秒1个单位长度的速度从点处出发，沿射线方向运动，矩形随之运动，运动的时间为秒. (1) 如图②，当时，求半圆在矩形内的弧长； (2) 在点运动的过程中，当，都与半圆相交时，设这两个交点分别为，，连接，.若为直角，求此时的值. 27.(10分)结果如此巧合！ 下面是小颖对一道题目的解答. 题目：如图，Rt的内切圆与斜边相切于点，，，求的面积. 解：设的内切圆分别与相切于两点，的长为.则. 由勾股定理，得，整理，得.所以 小颖发现12恰好就是，即的面积等于与的积.这仅仅是巧合吗?请你帮她完成下面的探索. 已知的内切圆与相切于点，，. 可以一般化吗? (1) 若，求证：的面积等于； 倒过来思考呢? (2) 若，求证：； 改变一下条件…… (3) 若，用，表示的面积. 28.(12分)如图，在中，，，，为边上的一个动点，连接，以 为直径的交于点，过点作，交于点，连接，. (1) 当时，求的长； (2) 求证：； (3) 是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由. 答案 1.C 2.C 3.C 4.C 5.C 解析：连接.因为，所以，又，所以.又是的直径，所以，即.所以，即.所以，即. 6. 解析：连接.设的交点为，圆锥的高为，底面圆半径为.因为四边形是菱形，所以.又，所以.在Rt中，，由勾股定理，得，所以，即.所以.所以.所以，解得.又，所以(负值已舍去)，即此圆锥的高为. 7.A 解析：连接.因为为的直径，所以，即1，.所以平分.所以.又，所以，即.所以，即.所以，又，所以，即.所以，即. 8. 解析：由题意，得当两点是反比例函数图象与一次函数图象的交点时，正六边形最小，此时正六边形的内切圆半径最小.易得点的坐标为.过点作轴，则.在Rt中，由勾股定理，得.过点作于点，所以，即.所以.在Rt中，由勾股定理，得，所以正六边形的内切圆半径的最小值为. 9.B 解析：如图，连接.因为，所以.又，所以.又，所以.又，所以，即.又，所以.因为是的直径，所以，即.所以，解得.则的度数所在的范围是. 10.A 解析：因为是锐角三角形，所以不可能等于.所以有和两种情况.分类讨论如下：①如图①，连接.当，即时.因为，所以.所以.因为，所以，即是等边三角形.所以平分，即.因为，所以.在Rt中，由勾股定理，得.所以；②如图②，当时.因为.在Rt中，，由勾股.在Rt中，，由勾股定理，得.综上，弦的长为或. 11. 12. 13. 14. 解析：因为六边形是边长为6的正六边形，所以.所以.所以.同理，得.所以.过点作于点，则.在Rt中，由勾股定理，得，所以.所以.设这个圆锥的底面圆半径为，则，所以，即这个圆锥的底面圆半径为. 15. 解析：过点作于点，则.因为，所以.又，所以，即.又，所以，即.在中，由勾股定理，得，所以，解得(负值已舍去).则.又，四边形是平行四边形，所以，即.所以 16. 解析：连接.因为是半圆的直径，所以.又，所以垂直平分，即.所以，仅当点在线段上时，等号成立.，所以，即.所以.又半圆的半径为4，所以，即.在中，由勾股定理，得.则的最小值为. 17. 解析：由题意，得当与都相切时，的长最大(如图)，即点到上的点的距离最大，且最大值为的长与的半径之和.设此时与的切点为.连接，则.所以.过点作于点，则.又，所以四边形是矩形，即.又的半径为1，所以.在中，，由勾股定理，得，所以.所以.又，所以，即.所以.在中，由勾股定理，得.所以，即.在中，，由勾股定理，得.所以点到上的点的距离的最大值为. 18. 解析：如图，过点分别作轴，轴，垂足分别为，连接，取的中点，连接.又是的中点，所以是的中位线，即.由题意，得，所以，即.又，所以四边形是正方形.所以，即点的坐标为.所以点的坐标为.由勾股定理，得，所以，即.又，所以当点在线段上时，的长取最小值，且最小值为 19.(1) 圆心即为线段，的垂直平分线的交点，图略. (2) ① ② ③直线与相切.理由如下：连接.由勾股定理，得，且，所以，即.又是的半径，所以直线与相切. 20.连接.因为，所以.所以，即，所以.所以. 21.(1) 连接.因为是的直径，所以，即.又，所以垂直平分，即.所以. (2) 因为的度数为，所以.由(1) ，得，且，所以，即. 22.(1) 连接.因为，所以.又，所以，即.所以.又，所以.又是的半径，所以直线是的切线. (2) 因为是的直径，所以.所以，即.由(1) ，得，所以.又，所以(ASA).所以.又，所以，即.又，所以，即.在中，由勾股定理，得，所以，解得(负值已舍去).则.所以.所以扇形的面积为. 23.(1) 在直径左侧的半圆上任取一点，连接，则四边形是的内接四边形，.所以.因为，所以为的中点.又，所以，即.所以，即. (2) 连接.由(1)，得.因为，为的中点，所以.又，所以，即是等边三角形.所以，即.所以， 24.(1) 因为是的切线，所以，即.又，所以.又，所以，即.又，所以. (2) 连接.因为是的直径，所以.又是的中点，所以，即.由(1)，得，且，所以，即.又，所以是等边三角形，即.所以，即.所以.又，所以(AAS).所以.又，所以，即.在Rt中，由勾股定理，得，所以，即的直径为. 25.(1) 因为是的中点，所以.因为是的直径，且，所以，即.所以.又，所以(AAS). (2) 连接交于点.因为是的中点，是的半径，所以垂直平分，即是的中点.又是的中点，所以是的中位线，即.又，所以.由(1) ，得，，所以.所以，即.又，所以.所以.在中，，由勾股定理，得.在Rt中，由勾股定理，得.所以. 26.(1) 设边与半圆交于点，连接，，如图①.当时，.因为，所以，即.5.所以.又四边形为矩形，所以.所以，即，又，所以(SAS).所以，即.所以是等边三角形，即.所以.则半圆在矩形内的弧长为. (2) 如图②，由题意，得当都与半圆相交时，.因为，所以.又四边形为矩形，所以，即.又，所以.又，所以.所以(AAS).所以.又，所以.因为，所以.在中，由勾股定理，得，所以，解得.则的值为8或9. 27.设的内切圆分别与相切于两点，，则.所以.(1) 如图①，在中，由勾股定理，得，所以，整理，得.所以. (2) 由，得，整理，得.所以.由勾股定理的逆定理，得. (3) 如图②，过点作，垂足为.所以，即.因为，所以.所以.在Rt中，由勾股定理，得.又，所以在中，由勾股定理，得，即.整理，得.所以...则的面积为. 28.(1) 因为，所以.因为，所以.所以.所以.所以.又，所以.(2) 因为，所以.又，所以，即.又是的直径，所以，即.又，所以. (3) 存在.在中，，，由勾股定理，得.连接并延长，交于点.因为四边形为的内接四边形，所以.又，所以.因为是以为腰的等腰三角形，所以有或两种情况.分类讨论如下：①如图①，当时，.又，所以.因为为的直径，所以.因为，所以，即.所以.因为，所以(AAS).所以.所以.设，则.在中，由勾股定理，得，所以，解得，即；②如图②，当时，.因为，所以.又，所以.同理，得，则，即.又，所以(ASA).所以.设，则.在Rt中，由勾股定理，得，所以，解得.则.综上，的长为3或. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $