第3章《圆》单元自测卷2026-2027学年苏科版九年级数学上册

第3章《圆》单元自测卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.下列各图中的∠1为圆周角的是() A. B. 0 2.下列命题正确的是() A.各边相等的多边形是正多边形 B.正多边形一定是中心对称图形 C.各角相等的圆内接多边形是正多边形 D.正多边形外接圆的半径是正多边形的半径 3.已知⊙0的半径为3cm,线段OA=5cm,则点A与⊙0的位置关系是() A.点A在O0外B.点A在⊙O上 C.点A在⊙O内 D.不能确定 4.如图，BC是⊙O的直径，A,D是⊙0上的两点，连接AB,AD,BD,若∠ADB=70°，则 ∠ABC 的度数是() B D A.20° B.30° C.40° D.50° 5.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5cm,BC=12cm,则它的外心与顶点的距离为(). A.6cm B.13cm C.7cm D.6.5cm 6.如图，AB是⊙0的弦，半径0C1AB于点D.若AB=16,CD=4.则OC的长是() 0% D A.5 B.6 C.8 D.10 7.我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计 算圆的面积，可以用圆内接正十二边形的面积S来近似估计⊙0的面积，如图，若取⊙0及其 内接正十二边形的四分之一图，测得⊙0半径为2Cm,则图中圆部分去掉圆内接正十二边形部 分的剩余面积为() A.(π-3)cm2 B.(π-4)cm c.(-2V5)cm D.(π-2V2)cm2 8.如图，正六边形ABCDEF的边长为1.扇形EAC(阴影部分)的面积为() E A V3π A.8 B.2 C.2 D.π 9.如图，直线AB与O0相切于点A,线段AC,CD是O0的两条弦，且CDAB;若⊙0的半 径为10，CD=16,则弦AC的长为() A A.20 B.16 C.85 D.85 10.如图，PA,PB是⊙0的切线，A,B是切点，点C在⊙0上，且∠ACB=58°，则∠APB= ) A.54° B.58° C.64° D.68° 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.已知⊙0的半径为5cm,P是⊙0内一点，OP=3cm,则点P到⊙0上各点的最大距离是 cm 12.如图，AB是⊙0的内接正多边形的一条边，连接OA,OB,∠AOB=40°，则这个正多边 形的边数为 A B 13.一直角三角形的两直角边是方程x2-4x+3=0的两个根，则此直角三角形的外接圆的直径 为 14.如图，⊙0中，∠A0B=100°，点C、D是弧AmB上任两点，则∠C+∠D的度数是 m 15.如图，已知点B为AC的中点，CD切⊙0于点G,点A,O,D在一条直线上.若∠D=36°， 则∠BAC= B 16.如图，PA是⊙0的切线，A是切点，过点A作OP的平行线，交⊙0于点B,若OB=3, ∠APO=36° ,则图中阴影部分的面积为 (结果保留). B 三、解答题（共9小题，共72分） 17.(4分)如图，在△ABC中，AC=BC,以AB为直径的⊙0分别交AC,BC于点E,F求 证：AE=BF. E ⊙ 0 18.(6分)如图，四边形ABCD内接于⊙0，∠AOD=150°，∠B=105°.比较AC,AD的大小， 并说明理由. D 0 B 19.(6分)已知：如图，AB是⊙0的直径，点C、D在⊙0上，∠EAC=∠D=60°.求证： ME是o0的切线： B 20.(8分)如图1是一块钟表残片，图2是其示意简图.弦AB的垂直平分线交弧AB于点 C,交弦AB于点D,连接AC. 、11 10 9 D B (1)请用无刻度的直尺和圆规作出残片所在圆的圆心O,(保留作图痕迹，不写作法) (2)若AB=12,CD=3,求残片所在圆的半径. 21.(8分)如图，AB,AC是⊙O的弦，AB=AC,半径OE,OF分别与弦AB,AC垂直，垂 足分别为G,H,AM∥OF,交OE于点M,AW∥OE交OF于点N,连接OA. E M N B (1)求证：∠AOE=∠AOF: (2)求证：四边形AMON是菱形. 22.(10分)如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，CD1AB于点E,连接DO并延长交⊙O于点 F,连接AF交CD于点G,连接AC,CF,且CG=AG. E D (1)求证：AC=CF; (2)若CF=65,求GD的长. 23.(10分)已知四边形ABCP是⊙0的内接四边形，∠ABC=2∠P,连接OC、OA、AC. ● E A B B 图① 图② (1)如图①.求∠OCA的度数； (2)如图②，连接OB、OB与AC相交于点E,若LCOB=90,OC=2W5,求BC的长和阴影部分的 面积. 24.(10分)如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的中线，∠ACB=90°，以CD为直径作⊙O, 分别交AC,BC于点M,N,过点M作ME⊥AB于点E. M D (1)求证：ME是⊙O的切线； (2)若CD=5,AC=8,求ME的长. 25.(10分)大圆O和小圆0为同心圆，正六边形ABCDEF为大圆O的内接正六边形，连接 AC,CE 连接B与4C交于点瓜，同时小圆O与C“4相切于点： CA E D (1)求证：CE是小圆O的切线. (2)若O水=5，求阴影部分的面积.（结果用元表示） 参考答案 一、选择题 1.C 解：根据圆周角的定义，选项C中的∠1为圆周角. 2.D 解：A、各边相等的多边形不一定是正多边形，如菱形各边相等但角不等，故该选项不符合题 意； B、正多边形不一定是中心对称图形，只有当边数为偶数时才是，如正三角形不是中心对称图 形，故该选项不符合题意； C、各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形，如矩形各角相等但边不等，故该选项不符合 题意； D、正多边形外接圆的半径就是正多边形的半径，故该选项符合题意； 故选：D 3.A 解：.⊙0的半径为3cm,OA=5cm,且5>3， ∴.点A在⊙0外. 4.A 解：如图，连接AC, B 0 D ,∠ADB与∠ACB都是AB所对的圆周角， ∴.∠ACB=∠ADB=70°， .BC是⊙O的直径， ∴.∠BAC=90°， .∴.∠ABC=90°-∠ACB=90°-70°=20° 5.D 解：，Rt△ABC,∠C=90°，AC=5cm,BC=12cm, :.4B=VAC2+BC2=S2+122=V169=13cm .RtAABC外心为斜边AB的中点， :外接圆半径R=-=65m 22 ∴.外心与顶点的距离为6.5cm. 故选：D. 6.D 解： 连接OB, OC⊥AB,且AB=16, :40=DB=8, 设圆的半径为R, .CD=4, 则在RtODB中，有OD+BD2=OB即(R-4'+8=R2 解得R=10,即OC=10, 故选项D符合题意. 7.A 解：设圆半径为r,则r=2, 90° “四分之一圆的圆心角为， 四分之一圆的面积0x2a “正十二边形的中心角为 360°÷12=30° “图中四分之一正十二边形包含90°+30°=3 个全等的等腰三角形， 设其中一个等腰三角形为△OAB，OA=OB=2,∠AOB=30°， 过点A作AD⊥OB于点D, 在RtAOAD中，∠AOD=30°，OA=2, 4D=01=司， .5.om=OB.4D-1x2xl-1 2 小四分之一正十二边形的面积 S2=3×S04B=3 ·剩余面积 S=S,-S2=(π-3)cm2 8.C 解：正六边形ABCDEF的边长为1， ∠FAB=∠B=(6-2)x180 6 =120°，AB=BC' ∠BAC=∠BCM=180°-120° =30° 2 同理可得：∠FAE=30°， ∴，∠EAC=∠FAB-∠FAE-∠BAC=120°-30°-30°=60° 过点B作BG⊥AC于G, B AB=BC AG-GC-AC 2 .∠BAC=30° G=号4B 2, ..AG=AB2-BG2 w- ∴AC=2AG=V3 60π×(5_ :扇形EAC(阴影部分)的面积= 360 2 9.C 解：如下图所示，连接AO并延长，交CD于点E,连接OC, “直线4B与0相切于点4， ∴OA⊥AB CD‖AB ,AE⊥CD .CD=16 .CE=1CD-8 *⊙0 10 的半径为， ..OC=OA=10 .0E=V0C2-CE2=V102-82=6 .AE=OA+OE=10+6=16 :AC=VCE2+AE2=V82+162=8V5 E D O A B 10.C 解：如图，连接A0,延长A0,交⊙0于E,连接BE,则AE为⊙O的直径， B ,AE为⊙O的直径， ..∠ABE=90°， ,∠ACB和∠AEB都是AB所对的圆周角，∠ACB=58°， ∴.∠AEB=∠ACB=58, .∠EAB=90°-∠AEB=32°， PA,PB是⊙O的切线，A,B是切点， ∴AE⊥PA,PA=PB, :.∠PAB=90°-∠EAB=58°，∠PAB=∠PBA, ∠APB=180°-2∠PAB=64° 二、填空题 11.8 解：⊙0的半径为5cm,OP=3cm, .∴.OP<5cm p.⊙O 即点在 内， “点P到O0上各点的最大距离为5+3=80m 12.9 解：圆内接正多边形的中心角之和为360°，且每个中心角相等. 已知该正多边形的一个中心角∠AOB=40°，设正多边形的边数为n,则： 360°360° n=- =9 ∠AOB40° 13.v10 解：x2-4x+3=0, (x-1)(x-3)=0 解得=1或为=3， 故两直角边长分别为1和3. 由勾殷定理，斜边长为P+3=V+9=0 故外接圆直径为0， 故答案为：V10」 14.100 解：，∠AOB=100°，∠C和∠D都是AB所对的圆周角，点C、D是弧AmB上任两点， 2C=2D=5408=50, ∴.∠C+∠D=50°+50°=100°. 15.31.5° 解：：CD是OO的切线， ∴.∠0CD=90°， ∴.∠C0D=90°-∠D=90°-36°=54°， .∠A0C=180°-∠C0D=180°-54°=126°， ,点B为AC的中点， ∠B0c=∠40BA0c=63, 由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知：∠B4C=)∠B0C=x63=315” 2 2 故答案为：31.5°」 9 16.5元 解：如图所示，连接OA. ○ ,点A是切点， .∠0AP=90°， .∠AP0=36°， ∴.∠A0P=90°-36°=54° :AB∥OP, ∴.∠OAB=∠AOP=54° .OA=OB .△AOB为等腰三角形， ∴.∠OBA=∠OAB=54° .∠A0B=180°-54°-54°=72°， .△AOB与△ABP同底等高， S6408=SAABP :半径r=3,圆心角n=72°， 扇形面积S=_72×πx329 360360=5元。 三、解容题 17.证明：AC=BC, ∴.∠CAB=∠CBA :'BE=AF .'AF-EF=BE-EF, ∴.AE=BF, .'AE=BF. 18.AC=AD,理由如下： “四边形 ABCD ⊙0 内接于， ∴.∠B+∠ADC=180° ,∠B=105° .∴.∠ADC=180°-105°=75°， ,∠AOD=150° .∠ACD-2 ∠A0D=75°， .∠ADC=∠ACD .AC=AD 19.证明：AB是⊙0的直径， .∠ACB=90° aC-AC ∴.∠B=∠D=60° ∴.∠BAC=90°-∠B=30° ∴.∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90° 即：BA⊥AE, :AE是 ⊙0 的切线； 20.(1)解：如图，点0即为所求； B (2)解：如图，连接OA, 设圆的半径为r,则OA=r,OD=r-3, .CD⊥AB,AB=12, 4D-34B-6. 在RtAAOD中，AD2+QD2=OA2, :62+0-3}=2 解得：r=7.5, 即圆的半径为7.5 21.(1) 证明：，AB=AC, .'AB=AC, :半径OE,OF分别与弦AB,AC垂直， .AE-BE.AF-CF .'AE=BE=AF=CF, ∴.∠AOE=∠AOF; (2) 证明：.AM∥OF,AN∥OE, ∴.四边形AMON为平行四边形， :半径OE,OF分别与弦AB,AC垂直， G-AB.AH =IAC 2 AB=AC, .'.AG=AH, :S四边形MON=OM·AG=ON,AH ∴.OM=ON, ∴.四边形AMON为菱形. 22.（1)证明：连接AD, B .'AB⊙O CD CD⊥AB 为的直径， 为弦， 于点E, :CE=DE AC=AD AC=AD .CG=AG ∴.∠ACD=∠CAF :∠ACD=∠AFD∠CAF=∠CDF ∴.∠AFD=∠CDF .AD=CF ..AC=CF (2)解：根据题意，得AC=CF, ∴.∠CAF=∠CFA ∴.∠ACD=∠AFD=∠CAF=∠CDF=∠CFA ∴.GD=GF :DF⊙O 为的直径， ∴.∠DCF=90° .∠CAF=∠CDF=∠CFA=30° 在Rt△GCF中，FG=2CG, (GF+(6J-CF2 解得：GF=12, ∴.GD=GF=12 G E 0 23.(1)解：，四边形ABCP是⊙O的内接四边形 ∴.∠ABC+∠P=180°， .∠ABC=2∠P, .∠P+2∠P=180°， ∴.∠P=60°， .∠A0C=2∠P=120°， :0A=0C, ∠0AC=∠0CA=180°-∠40C=30° 2 (2).∠COB=90°，∠AC0=90°， ∴.EC=20E, 在RtAOCE中，OC=2V3, ..OE2+OC2=EC2, 解得OE=2, :Saowc-OE-OC-1x2x23=2 2 90*25，-3. ∴.S扇形O8C 360 :.S影=Sm形0ac-S.0c=3r-25 24.(1)证明：连接OM,如图所示： E D :∠ACB=90°D 为斜边B的中点， CD=DA=DB=AB .∠ACD=∠A .OC=OM ∴.∠ACD=∠OMC ∴.∠OMC=∠A ∴.OM∥AB ME⊥AB, ∴.ME⊥OM 又：OM为⊙0的半径， ME是o0 的切线. (2)解：连接DM,如图所示： .CD=5 六由(1)可知， BD=AD=CD=5 .CD⊙O 为的直径， ∴.∠CMD=90° .DM⊥AC 在等腰。MDC中，由三线合一性质可得DM是边AC上的中线，即4M=CM4C=4, “在RtCDM中，由勾股定理可得DM=CD-CM=VS-4=3 1 .S.4DM= AM.DM=AD-ME 2 2 ME=4MDM-43=24 AD 5 25. (1)证明：如图所示，连接OE,OC,OD,设OD,CE交于H, ,正六边形ABCDEF为大圆O的内接正六边形， ∴DE=DC=BC, .∠DOC=∠BOC, 又.OE=OC, ∴.OD垂直平分CE, ∴.∠0HC=90°， .小圆O与CA相切于点K, ∴.∠OKC=90°=LOHC, 又.0C=0C, :aOHC≌OKC(AAS) ..OH=OK, .点H在小圆O上， 又.OH⊥CE, .CE是小圆O的切线； E D B (2)解：正六边形ABCDEF为大圆O的内接正六边形， ∠B0C=360 =60°，0B=OC 6 ∴△OCB是等边三角形， .小圆O与CA相切于点K, .CK⊥OK, .OC=OB=20K=2W3, Ck=0c2-0K=3 5am0a-CK-=×25x3=35, :.SE六边形RCDEF=6 SOC=18V5 .例影=S大0-SE六边形cDEr=π×(2V5-18V5=12π-18V3