13.3 分式方程（第1课时）（教学课件）数学沪教版五四制2024七年级上册

该初中数学课件聚焦分式方程第1课时，涵盖概念、解法、增根及验根等核心知识。课堂导入先复习分式概念与运算性质，再通过京沪高铁提速问题引导学生发现等量关系，搭建新旧知识联系的学习支架。 其亮点是以实际问题培养数学眼光，如京沪高铁问题引导观察数量关系，通过概念辨析和解题步骤培养推理意识与运算能力，像增根问题分析及新定义“差分式”题型。助力学生掌握方法提升解决问题能力，也为教师提供系统教学资源，便于高效备课与课堂实施。

13.3 分式方程 第1课时 第13章分式 沪教版五四制2024·七年级上册 章节导读 13.1分式及其性质 13.2 分式的运算 13.3分式方程 整数指数幂 分式的乘除 分式基本性质 分式的概念 分式的加减 分式方程应用 分式方程 学 习 目 标 1 2 3 理解分式方程的概念． 理解分式方程的求解方法，会求解可化为一元一次方程的分式方程. 理解解分式方程时产生增根的原因，掌握解分式方程的验根方法，逐步养成重依据、 尊重逻辑的思维习惯． 复习引入 复习回顾 什么是分式？具有哪些运算性质？ 分式的概念：对于两个整式 A、B（B 是非零整式），A÷B 可以表示为 的形式， 叫做分式，也称为有理式，其中 A 称为分子，B 称为分母． 1.分式的乘法法则： 2.分式的除法法则： 3.分式加减法法则： 同分母分式相加减，分母不变，分子相加减. 异分母分式相加减，先将它们通分，然后进行加减. 新知探究 问题思考 京沪高铁上海虹桥站至北京南站全程约1318km. 若某趟列车平均速度提高 ，其从上海虹桥站至北京南站行驶时间将缩短37min，那么这趟列车提速前后平均速度分别为多少(结果精确到1km/h)？ 【分析】找出题干中的等量关系是列方程的关键． 提速后的平均速度= 提速前的平均速度 提速前的行驶时间－提速后的行驶时间= 37min 设这趟列车提速前的平均速度是 x km/h， 提速后的平均速度是 x km/h. = － 该方程和之前所学有什么不同？ 新知探究 概念 1.分式方程：像这样，分母里含有未知数的方程叫作分式方程. 2.整式方程：像一元一次方程等分母里不含有未知数的方程称为整式方程. 3.方程的根：只含有一个未知数的方程的解称为这个方程的根 = － 新知探究 概念辨析 下列哪些方程是分式方程？ √ × 分母里含有未知数 分母里含有未知数 √ 分母里不含未知数 √ 分母里含有未知数 （1） （2） （3） （4） 请归纳判断方程是分式方程的要素！ 分母里含有未知数 新知探究 问题思考 如何解分式方程 ？ 方程的两边都乘 ，得到 解得 公分母 所以这趟列车提速前的平均速度约为 305 km/h，提速后的平均速度约为 356 km/h. 分式方程： 整式方程 （一元一次方程） 去分母 转化 新知探究 问题思考 如何解分式方程 ？ 公分母 由于 x=0 使 的分母的值为0， 因此，0不是原分式方程的根，原分式方程无解. 解： 解得 一元一次方程 方程的两边都乘 ，得到 x=0是不是原方程的根呢？ 增根！ 新知探究 概念 1.分式方程：像这样，分母里含有未知数的方程叫作分式方程. 2.整式方程：像一元一次方程等分母里不含有未知数的方程称为整式方程. 3.方程的根：只含有一个未知数的方程的解称为这个方程的根 4.分式方程的增根： 在分式方程变形时，有时会产生不符合原分式方程的根，这种根叫作原分式方程的增根，应舍去.检验一个数是否是方程的根的过程，称为验根. 例1 解方程 典例分析 注意事项 在分式方程两边同乘一个整式，由于这个整式的值可能为0，这就可能产生增根. 去括号,得 将 x=3 代入原方程检验，得 左边= 所以原方程的解是 x=3. 解： 方程两边同乘 ，得 移项，化简，得 检验 例2 解方程 典例分析 注意事项 若代入后分母为0，则方程无解。除了整体代入，也可以将解直接代入公分母进行检验。 不要漏乘 将 x=1代入原方程检验， 此时方程中分式的分母的值为 0，分式无意义. 所以 x=1不是原方程的解. 方程两边同乘 ，得 . 移项，化简，得 . 原方程无解. 分式方程的解 分式方程的增根 检验 请归纳解分式方程的一般步骤！ 新知探究 概念 5.分式方程的步骤 分式方程 整式方程 解整式方程 整式方程的解 分式方程的解 去分母 转化 分式方程的增根 验根 分式方程的概念 题型一 题型探究 练习1 判断下列方程是不是关于的分式方程（经审题可知，下列各方程的未知数均是字母）． (1)； (2)； (3)（是常数．）； (4)． 【分析】本题考查分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键．由分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫分式方程．根据定义结合选项即可求解． （1）解：是整式方程，不是关于的分式方程； （2）是关于的分式方程； （3）是整式方程，不是关于的分式方程； （4）是关于的分式方程 解简单的分式方程 题型二 题型探究 练习2 解方程(1)； (2)． 【分析】本题考查的是解分式方程，先将分式方程去分母转化为整式方程，求出方程的解，经检验即可得到分式方程的解； （1）解： 方程两边同乘以，得 ， 解得． 检验：把代入，得， 所以，是原方程的解． （2）解： 方程两边同乘以，得 ，解得． 检验：把代入， 得， 所以原分式方程无解． 分式方程增根问题 题型三 题型探究 练习3 增根是在分式方程转化为整式方程的过程中产生的，如果分式方程去分母后得到的整式方程的根使所乘的公分母值为0，该根即为增根，增根是整式方程的根，但不是原分式方程的根．已知关于x的分式方程．(1)若方程的增根为，求m的值；(2)若方程有增根，求m的值；(3)若方程无解，求m的值． 【分析】本题考查分式方程的增根与无解问题，涉及分式方程的解法、整式方程的求解及分类讨论思想的应用．解题的关键是明确增根的定义（使公分母为 0 的整式方程的根，非原分式方程的根）和分式方程无解的两种情况（产生增根导致无解；整式方程本身无解导致分式方程无解）． 分式方程增根问题 题型三 题型探究 练习3 增根是在分式方程转化为整式方程的过程中产生的，如果分式方程去分母后得到的整式方程的根使所乘的公分母值为0，该根即为增根，增根是整式方程的根，但不是原分式方程的根．已知关于x的分式方程．(1)若方程的增根为，求m的值. 【分析】先确定公分母并化为整式方程，将增根代入整式方程，求解 m 的值； 解： （1）解：去分母，得． 整理，得． 若增根为，则， 解得． 分式方程增根问题 题型三 题型探究 练习3 增根是在分式方程转化为整式方程的过程中产生的，如果分式方程去分母后得到的整式方程的根使所乘的公分母值为0，该根即为增根，增根是整式方程的根，但不是原分式方程的根．已知关于x的分式方程． (2)若方程有增根，求m的值； 【分析】先找出所有可能的增根（使公分母为 0 的 x 值），再分别将增根代入整式方程，求解对应的 m 值； （2）解：若原分式方程有增根，则， 所以或． 当时，，解得； 当时，， 解得， 所以若原分式方程有增根，则． 分式方程增根问题 题型三 题型探究 练习3 增根是在分式方程转化为整式方程的过程中产生的，如果分式方程去分母后得到的整式方程的根使所乘的公分母值为0，该根即为增根，增根是整式方程的根，但不是原分式方程的根．已知关于x的分式方程． (3)若方程无解，求m的值． 【分析】分两种情况讨论：一是整式方程产生增根导致分式方程无解，利用（2）的结果；二是整式方程化为一元一次方程时，x 的系数为 0 导致整式方程无解，进而分式方程无解，综合两种情况得 m 的值． （3）解：由（2）知，当时，原分式方程有增根，即无解； 去分母后的整式方程为． 当时，整式方程无解． 综上，若原分式方程无解，则或． 解复杂的分式方程 题型四 题型探究 练习4 解方程． 【分析】本题主要考查了解分式方程和数字的变化类规律探究．先把方程左边的每一项拆分为两个分式的差，方程即可化简，最后解方程并检验即可． 解：， ， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 原方程的解是． 分式方程综合 题型五 题型探究 练习5如果两个分式的差为常数，我们称这两个分式互为“差离分式”，这个常数为差离值．如，所以与互为“差离分式”，差离值为3． (1)已知：，，判断A与B是否互为“差离分式”．若是，求出差离值；若不是，请说明理由． (2)已知：，，若C与D互为“差离分式”，且差离值为，求E所代表的代数式． (3)已知：，（m，n为非零常数），若P与Q互为“差离分式”，求的值． 【分析】本题主要查了分式的混合运算，解分式方程，理解新定义是解题的关键． 分式方程综合 题型五 题型探究 练习5如果两个分式的差为常数，我们称这两个分式互为“差离分式”，这个常数为差离值．如，所以与互为“差离分式”，差离值为3． (1)已知：，，判断A与B是否互为“差离分式”．若是，求出差离值；若不是，请说明理由． 【分析】根据异分母分式减法法则计算即可． （1）解：∵ ， ∴A与B是互为“差离分式”，差离值为2； 分式方程综合 题型五 题型探究 练习5如果两个分式的差为常数，我们称这两个分式互为“差离分式”，这个常数为差离值．如，所以与互为“差离分式”，差离值为3． (2)已知：，，若C与D互为“差离分式”，且差离值为，求E所代表的代数式． 【分析】根据新定义，列出方程，即可求解； （2）解：由题意可得：， 即， ∴， 即， ∴， 解得：； 分式方程综合 题型五 题型探究 练习5如果两个分式的差为常数，我们称这两个分式互为“差离分式”，这个常数为差离值．如，所以与互为“差离分式”，差离值为3． (3)已知：，（m，n为非零常数），若P与Q互为“差离分式”，求的值． 【分析】根据题意可得，再由新定义，可得，即可求解． （3）解： ； ∵P与Q互为“差离分式”，， ∴，∴， ∴． 课堂小结 想一想 1.本节课学了哪些新知识？ 2.和之前学习的知识有怎样的关系？ 分式方程 整式方程 解整式方程 整式方程的解 分式方程的解 去分母 转化 分式方程的增根 验根 感谢聆听! $