13.3 分式方程（第1课时）2026-2027学年沪教版（五四制）七年级数学上册

第13章 分式 13.3 分式方程 （第1课时）分式方程的概念与解法 年 级：七年级 学 科：数学（沪教版） 复习引入 分母不为零是解题的前提 当时，分式分别是否有意义？有意义时求值。 答：依次为、无意义、。 解 时，。 时，分母为；时值为。 方法：先看分母，再代入求值。 注意：分母为零时不能继续计算。 复习引入 回顾一元一次方程的解法 解方程：。 答：。 解 去括号：。 移项、合并：。 代入，两边均为。 方法：去括号、移项、合并同类项。 注意：去括号时，括号内每一项都要乘。 复习引入 高铁提速：由时间差列方程 京沪高铁上海虹桥站至北京南站全程约 km。如果某趟列车的平均速度提高，其从上海虹桥站至北京南站的行驶时间将缩短 min，那么这趟列车提速前后的平均速度分别为多少（结果精确到 km/h）？ 答：。 解 设提速前平均速度为 km/h，。 提速后速度为 km/h。 min h；原时间减新时间。 方法：利用时间路程速度。 注意：速度用 km/h，时间要化成小时。 新知讲授 分式方程、整式方程与根 分式方程 像这样，分母里含有未知数的方程叫作分式方程。 整式方程 像一元一次方程等分母里不含有未知数的方程称为整式方程。 根 只含有一个未知数的方程的解称为这个方程的根。 新知讲授 判断分式方程：看未知数的位置 （1）是分式方程。 × 分母不含未知数，是整式方程。 （2）是分式方程。 √ 未知数在分母里。 （3）是分式方程。 √ 分母含有未知数。 （4）是分式方程。 × 分母是常数，是整式方程。 方法：观察分母里是否含有未知数。 注意：出现分数不等于分式方程。 新知讲授 高铁提速：去分母并求解 京沪高铁上海虹桥站至北京南站全程约 km。如果某趟列车的平均速度提高，其从上海虹桥站至北京南站的行驶时间将缩短 min，那么这趟列车提速前后的平均速度分别为多少（结果精确到 km/h）？ 答：提速前约 km/h，提速后约 km/h。 解 由，两边同乘。 得。 解得；。 方法：把含未知数的分母去掉。 注意：两边每一项都乘同一个公分母。 新知讲授 高铁提速：检验与取近似值 京沪高铁上海虹桥站至北京南站全程约 km。如果某趟列车的平均速度提高，其从上海虹桥站至北京南站的行驶时间将缩短 min，那么这趟列车提速前后的平均速度分别为多少（结果精确到 km/h）？ 答：检验成立；提速前约 km/h，提速后约 km/h。 解 取精确值，原分母均不为。 代入得时间差 h。 提速后的精确速度为 km/h。 方法：先用精确值检验，再按要求取近似值。 注意：不要用四舍五入后的值代替精确值验根。 新知讲授 一个需要继续检验的结果 解方程：。 答：原方程无解。 解 两边同乘：。 解得。 使分母为，不能作为原方程的根。 方法：去分母后得到的解必须检验。 注意：整式方程的解可能不适合原方程。 新知讲授 增根与验根 增根 在分式方程变形时，有时会产生不符合原分式方程的根，这种根叫作原分式方程的增根，应舍去。 验根 检验一个数是否是原方程的根的过程，称为验根。 具体观察 在刚才的方程中，是增根，原方程无解。 新知讲授 去分母为什么可能产生增根 变形时的条件 在分式方程两边同乘一个整式，由于这个整式的值可能为，这就可能产生增根。 代入观察 满足，却使无意义。 结论 去分母之后，必须回到原方程检验；不能只检查化成的整式方程。 新知讲授 解分式方程的一般步骤 一般步骤 解分式方程的一般步骤是： （1）去分母，转化成整式方程并求解； （2）验根，并写出结论。 去分母之前 观察各分母，必要时先因式分解，找出公分母。 本课范围 研究可化为一元一次方程的分式方程。 例题讲解 例 1 解方程：。 答：原方程的解是。 解 两边同乘：。 ，解得。 检验：。 方法：用两分母的公分母整体相乘。 注意：分子有两项时，加括号再乘。 例题讲解 变式 例 1 解方程：。 答：原方程的解是。 解 两边同乘：。 解得。 检验：分母为，左边。 方法：先把分母看成一个整体。 注意：右边的也要乘整个分母。 例题讲解 辨析 错解辨析：整项不能漏乘 解时，小明去分母得到，认为任意都满足。错在哪里？ 答：正确解为。 解 正确去分母：。 解得。 检验：左边，右边。 方法：两边每一项都乘。 注意：整式项不能漏乘；无意义。 例题讲解 例 2 解方程：。 答：是增根，原方程无解。 解 两边同乘：。 解得。 检验：，原方程中的分式无意义。 方法：求解后先观察原分母。 注意：不能把增根写成原方程的解。 例题讲解 变式 例 2 解方程：。 答：是增根，原方程无解。 解 两边同乘：。 ，得。 检验：，舍去这个增根。 方法：按同一流程求解不同形式的方程。 注意：无解时要写清增根及原因。 新知讲授 根与增根：两个不同的判断 对于方程，判断与是否为根；能称为本题求解产生的增根吗？ 答：是根；不是根，也不是本题求解产生的增根。 解 去分母得，解得。 检验：。 虽使分母为，却不满足化成的整式方程。 方法：增根须来自变形后方程的解。 注意：使分母为零的数不能不加判断就称为增根。 例题讲解 变式 变式　相反的分母先统一符号 解方程：。 答：原方程的解是。 解 ，得。 解得。 检验：左边，右边。 方法：先用统一分母。 注意：分母提出负号后，分式的符号也要改变。 方法总结 解方程时的两个关键检查 方法1　去分母 ① 先分解分母并确定公分母。 ② 公分母乘遍等号两边每一项。 ③ 遇到多项式分子，保留括号。 方法2　验根与结论 ① 先检查原分母是否为零。 ② 代入原方程核对两边的值。 ③ 根写出，增根舍去并说明无解。 课堂练习 练习1 下列方程中，哪些是分式方程？ （1） （2） （3） （4） 解第（1）题 是分式方程。 分母含有未知数。 解第（2）题 是分式方程。 分母含有未知数。 方法：只看未知数是否出现在分母里。 注意：这道题只需分类，不必解方程。 课堂练习 练习1 下列方程中，哪些是分式方程？ （1） （2） （3） （4） 解第（3）题 是整式方程。 分母都不含未知数。 解第（4）题 是分式方程。 分母含有未知数。 方法：只看未知数是否出现在分母里。 注意：这道题只需分类，不必解方程。 课堂练习 练习2 解方程： （1） （2） （3） （4） 解第（1）题 。 去分母得，解得。 检验：分母不为，。 解第（2）题 。 ，解得。 检验：两分母非零，两边均为。 方法：去分母、解整式方程，再验根。 注意：相反分母应先统一符号。 课堂练习 练习2 解方程： （1） （2） （3） （4） 解第（3）题 。 同乘：，得。 检验：。 解第（4）题 。 ，得。 检验：左边，右边。 方法：去分母、解整式方程，再验根。 注意：相反分母应先统一符号。 课堂练习 练习3 是下列哪个分式方程的解？ （1） （2） （3） 解第（1）题 是。 代入：左边。 解第（2）题 不是。 代入：左边。 方法：先看有无意义，再比较两边的值。 注意：本题只需代入检验，不要求解出全部根。 课堂练习 练习3 是下列哪个分式方程的解？ （1） （2） （3） 解第（3）题 不是。 代入，分母，左边无意义。 方法：先看有无意义，再比较两边的值。 注意：本题只需代入检验，不要求解出全部根。 课堂总结 分式方程 的概念与解法 识别 分母里含有未知数的方程是分式方程。 转化 两边各项同乘公分母，转化成整式方程。 求解 解所得的一元一次方程，得到待检验的数。 验根 代入原方程；根保留，增根舍去。 特别提醒：去分母不漏项，解出数值不忘验根。 针对训练 训练1　选择：辨认方程类型 下列哪个方程是分式方程？ A. B. C. D. 答：C 解 A、B、D的分母均不含未知数。 C的分母含有未知数。 方法：依据未知数在分母中的位置分类。 注意：不要被分数线本身误导。 针对训练 训练2　选择：先检查取值 若的某个数值是解，它必须满足什么条件？ A. 即可 B. 即可 C. D. 且 答：D 解 两个分母都不能等于。 所以且。 方法：分别列出每个分母非零的条件。 注意：条件要同时满足。 针对训练 训练3　填空：补出去分母结果 方程的两边同乘，得到______；解得______。 答：；。 解 乘遍两边各项，得。 检验：。 方法：逐项约去分母后再化简。 注意：右边要变为。 方法总结 识别与去分母 方法1　识别方程 ① 看分母中有没有未知数。 ② 分母是常数时属于整式方程。 方法2　完整去分母 ① 公分母包含各分母的因式。 ② 两边每一项都要乘公分母。 ③ 计算前先写清分母非零条件。 针对训练 训练4　判断：解与检验 （1）是的根。 × 使原分式无意义。 （2）是的根。 √ 代入后两边都等于。 （3）是的根。 × 代入左边为，不等于。 方法：先检查分母，再比较两边。 注意：分母非零还需满足原方程。 针对训练 训练5　改错：分子外的乘数 有人解，写出，得。请纠正。 答：正确的解是。 解 应为。 ，得。 检验：。 方法：先保留括号，再使用分配律。 注意：乘数要乘分子中的每一项。 针对训练 训练6　解答：单个未知分母 解方程：。 答：。 解 去分母：，得。 检验：，分母非零。 方法：先解最简单的分式方程。 注意：答案必须写成原方程的解。 方法总结 求解后如何判断结果 方法1　检验有意义 ① 把求得的数代入原分母。 ② 若任一原分母为零，应舍去。 方法2　检验等式 ① 分母非零时比较原方程两边。 ② 验算可及时发现运算错误。 ③ 按检验结果写出根或无解。 针对训练 训练7　解答：合并同类分母 解方程：。 答：。 解 同乘：。 解得。 检验：。 方法：选用作公分母。 注意：去分母后右边变为。 针对训练 训练8　解答：处理相反分母 解方程：。 答：。 解 统一符号，去分母：。 解得。 检验：左边，右边。 方法：先把写成。 注意：负号需要随分式一起改变。 针对训练 训练9　解答：检出增根 解方程：。 答：是增根，原方程无解。 解 去分母：。 解得。 检验：，故应舍去。 方法：按去分母、求解、验根顺序完成。 注意：去分母得到的唯一数值也可能是增根。 方法总结 符号与增根的检查 方法1　处理相反分母 ① 把相反多项式改成同一个形式。 ② 提出负号时改变整个分式符号。 方法2　处理增根 ① 先确认它是整式方程的解。 ② 再检查原分母是否为零。 ③ 舍去增根后写出原方程无解。 针对训练 训练10　解答：因式分解后去分母 解方程：。 答：。 解 。 去分母得，解得。 检验：左边，右边。 方法：先分解二次分母，再去分母。 注意：减去一个多项式时，各项都变号。 针对训练 训练11　解答：因式分解与验根 解方程：。 答：是增根，原方程无解。 解 同乘：。 ，解得。 检验：，应舍去。 方法：去分母后的方程仍是一元一次方程。 注意：公分母含两个因式，要逐个检查。 针对训练 训练12　应用：列方程并求解 两地相距 km，快车速度是普通车速度的倍。快车走完全程比普通车少用 h。求两车的速度。 答：普通车 km/h，快车 km/h。 解 设普通车速度为 km/h，快车为 km/h。 列式：。 同乘：，得。 方法：同路程比较时间，慢车时间减快车时间。 注意：速度与时间单位要一致。 针对训练 训练12　应用：验根与检验题意 两地相距 km，快车速度是普通车速度的倍。快车走完全程比普通车少用 h。求两车的速度。 答：普通车 km/h，快车 km/h。 解 使原分母非零。 原式左边。 ，速度比也符合题意。 方法：既检验方程，也核对实际数量。 注意：设的是普通车速度，别漏答快车速度。 针对训练 训练13　应用：列方程并求解 甲、乙两组分别捐书本、本。乙组比甲组多人，两组人均捐书本数相等。求甲、乙两组各有多少人。 答：甲组人，乙组人。 解 设甲组人，乙组人。 列式：。 ，解得。 方法：用总本数除以人数表示人均本数。 注意：人数差为正，应写乙组人数为。 针对训练 训练13　应用：验根与检验题意 甲、乙两组分别捐书本、本。乙组比甲组多人，两组人均捐书本数相等。求甲、乙两组各有多少人。 答：甲组人，乙组人；人均本。 解 使原分母均非零。 ，方程成立。 两组人数均为正整数，且。 方法：验根后核对人数差与实际意义。 注意：实际问题要写清数值和单位。 方法总结 分式方程应用的基本方法 方法1　从数量关系列式 ① 设未知量，并明确单位及取值。 ② 用分式表示时间、人均数量等。 ③ 依据时间差或数量相等列方程。 方法2　求解并检验 ① 去分母后解一元一次方程。 ② 代入原方程检验并核对题意。 ③ 回到所问数量，写出完整答案。 $