13.3 分式方程（第2课时）2026-2027学年沪教版（五四制）七年级数学上册

第13章 分式 13.3 分式方程 （第2课时）分式方程的应用 年 级：七年级 学 科：数学（沪教版） 复习引入 解分式方程时必须验根 解方程：。 答：。 解 去分母：，得。 检验：两边都等于，原分母均非零。 方法：去分母、求解、验根。 注意：实际问题还要检验结果是否符合题意。 复习引入 用分式表示三个常见数量 行程 路程为 km，速度为 km/h，则时间为 h。 购物 总价为元，单价为元，则数量为。 人均数量 总量为，人数为，则人均数量为。 复习引入 把倍数关系翻译成数量式 若慢车速度为 km/h，快车速度是它的倍，两车各行 km。分别表示速度和时间，谁用时较少？ 答：快车速度为 km/h；慢车、快车用时分别为 h、 h，快车较少。 解 实际速度要求。 同样的路程下，速度越大，所用时间越少。 方法：先明确比较的基准量。 注意：速度增加到倍，时间不增加到倍。 新知讲授 从实际问题到分式方程 设未知数 选定所求量或方便的中间量，写清单位和实际取值要求。 表示数量 利用时间、单价、人均数量、浓度等关系表示相关量。 列方程 找出相等的量，或把相差、倍数关系改写成等式。 新知讲授 列式之后还要完成什么 求解 两边同乘公分母，把分式方程化成一元一次方程求解。 验根 代入原方程，检查分母非零及等式成立。 检验题意 检查正负、整数、单位和原有数量关系，再回答问题。 例题讲解 例 3 现有一包 g的果汁粉，用水冲泡成浓度为的饮料，需要加多少水（浓度）？ 答：设加水 g，可列。 解 果汁粉质量为 g；加水后饮料质量为 g。 由浓度关系，溶质质量除以溶液质量等于。 方法：分清溶质质量与溶液总质量。 注意：分母应为，不是水的质量。 例题讲解 例 3 现有一包 g的果汁粉，用水冲泡成浓度为的饮料，需要加多少水（浓度）？ 答：需要加 g水。 解 ，去分母得。 解得。 检验：，且。 方法：把百分数化成分数或小数再计算。 注意：总质量为 g，所求是加水质量。 例题讲解 变式 例 3 将 g果汁粉用水冲成浓度为的饮料，需要加多少水？ 答：需要加 g水。 解 设加水 g：。 ，解得。 检验：，且。 方法：先列浓度等式，再解方程。 注意：求出的饮料总质量不是加水质量。 例题讲解 辨析 错解辨析：浓度的分母是什么 把 g饮料粉加水配成浓度为的饮料。有人列，说应加水 g。请纠正。 答：若表示加水质量，应加 g水。 解 应列。 解得。 检验：； g是总质量。 方法：先核对未知数的含义。 注意：如果把设为总质量，列式后还要减去粉末质量。 新知讲授 优惠问题：价格与购买数量 价格变化 优惠前单价为元，每件减免元，优惠后为元。 同样总价 总价均为元，对应数量为和。 数量增加 数量比原来多，表示新数量等于原数量乘；要求。 例题讲解 例 4 某商店促销，购买某款电器每台可享受减免元的优惠。若同样用元购买若干台此款电器，优惠后可购买的台数比优惠前多，这款电器优惠前的售价为多少元？ 答：，其中。 解 设优惠前单价为元，优惠后为元。 优惠后台数等于优惠前台数的倍。 方法：围绕购买台数的倍数关系列式。 注意：“多”的比较基准是优惠前台数。 例题讲解 例 4 某商店促销，购买某款电器每台可享受减免元的优惠。若同样用元购买若干台此款电器，优惠后可购买的台数比优惠前多，这款电器优惠前的售价为多少元？ 答：优惠前售价为元。 解 方程约去：。 ，解得。 检验：。 方法：先约去等式两边共同的非零数。 注意：，两分母非零，售价符合题意。 例题讲解 例 4 某商店促销，购买某款电器每台可享受减免元的优惠。若同样用元购买若干台此款电器，优惠后可购买的台数比优惠前多，这款电器优惠前的售价为多少元？ 答：优惠前可买台，优惠后可买台；原价元符合题意。 解 优惠后的单价为元。 ，。 ，两次数量均为正整数。 方法：通过真实数量检查百分率关系。 注意：台数增幅为，不能当作价格降幅。 例题讲解 变式 例 4 某款学习用品每件降价元。用同样的元购买，降价后可购买的件数比降价前多。求降价前每件售价。 答：降价前每件元。 解 设原价元：。 ，得。 方法：先用总价除以单价表示数量。 注意：实际条件要求。 例题讲解 变式 例 4 某款学习用品每件降价元。用同样的元购买，降价后可购买的件数比降价前多。求降价前每件售价。 答：降价前每件元，降价后每件元。 解 原分母为，都不为。 。 原买件，现买件，增幅为。 方法：把单价、件数和增幅一起核对。 注意：数量要符合题目中的完整件数。 方法总结 分析浓度与优惠问题 方法1　浓度关系 ① 溶液质量等于溶质质量加水的质量。 ② 用溶质质量除以溶液质量列等式。 ③ 检验加水质量为正且浓度正确。 方法2　优惠关系 ① 单价减少，用减法表示新单价。 ② 同总价时，用总价除以单价。 ③ 数量增幅以原数量为比较基准。 例题讲解 车型 速度/（km/h） 路程/km 时间/h 快车 慢车 例 5 甲地至乙地的铁路路程约 km。如果行驶在这一路段的快车与慢车的车速之比为，快车比慢车快 h到达，那么甲地至乙地的快车与慢车的速度各是多少？ 答：。 设快车为、慢车为，。 方法：按速度比设未知数，再列表。 注意：快车用时比慢车少1 h。 例题讲解 例 5 甲地至乙地的铁路路程约 km。如果行驶在这一路段的快车与慢车的车速之比为，快车比慢车快 h到达，那么甲地至乙地的快车与慢车的速度各是多少？ 答：；快车约 km/h，慢车约 km/h。 解 列方程：。 两边同乘：。 得，所以、。 方法：用比例中共同的份数设未知数。 注意：是一份的速度，不是某辆车的速度。 例题讲解 例 5 甲地至乙地的铁路路程约 km。如果行驶在这一路段的快车与慢车的车速之比为，快车比慢车快 h到达，那么甲地至乙地的快车与慢车的速度各是多少？ 答：快车约 km/h，慢车约 km/h。 解 ，原分母均非零。 。 速度比，符合题意。 方法：验根、时间差、速度比三处互相印证。 注意：写答案时要对应快车与慢车。 例题讲解 例 5 甲地至乙地的铁路路程约 km。如果行驶在这一路段的快车与慢车的车速之比为，快车比慢车快 h到达，那么甲地至乙地的快车与慢车的速度各是多少？ 答：设慢车速度为 km/h，可得。 解 快车速度为 km/h。 ，得。 检验：，快车约 km/h。 方法：同一数量关系可以配合不同设法。 注意：设未知数后，所有式子都要保持同一含义。 例题讲解 辨析 错解辨析：谁的用时应放在前面 两车行驶相同路程 km，快车与慢车速度分别为、 km/h，快车早 h到达。有人列，错在哪里？ 答：应列；。 解 慢车用时较多，应减去快车用时。 去分母：，得。 检验：。 方法：先按实际大小排列两个时间。 注意：速度大的一方，所用时间较少。 课堂练习 练习1 某中学七年级学生到距离学校 km的青少年营地活动，先遣部队的行进速度是大部队行进速度的倍，预计比大部队早 h到达目的地。求先遣部队与大部队各自的行进速度。 答：设大部队速度为 km/h，可列。 解 先遣部队速度为 km/h，。 大部队用时比先遣部队多 h。 方法：同路程、速度倍数、时间差构成关系。 注意：不要把先遣部队速度写成。 课堂练习 练习1 某中学七年级学生到距离学校 km的青少年营地活动，先遣部队的行进速度是大部队行进速度的倍，预计比大部队早 h到达目的地。求先遣部队与大部队各自的行进速度。 答：先遣部队 km/h，大部队 km/h。 解 ，得。 检验：。 两分母非零，，符合题意。 方法：把解换算成题目要求的两种速度。 注意：按题目顺序回答先遣部队、大部队。 课堂练习 练习2 甲、乙两单位为爱心基金捐款，甲单位捐款元，乙单位捐款元。已知乙单位捐款人数比甲单位多人，且两单位人均捐款额相等。这两单位共有多少人捐款？人均捐款额是多少？ 答：设甲单位捐款人数为，可列。 解 乙单位有人。 人均捐款额相等，分别用总额除以人数。 方法：抓住人均金额相等这一条件。 注意：最后要求总人数与人均金额两个量。 课堂练习 练习2 甲、乙两单位为爱心基金捐款，甲单位捐款元，乙单位捐款元。已知乙单位捐款人数比甲单位多人，且两单位人均捐款额相等。这两单位共有多少人捐款？人均捐款额是多少？ 答：共人捐款，人均捐款元。 解 ，得，乙为人。 检验：，原分母非零。 人数差为；总人数。 方法：先求各单位人数，再求总人数与人均额。 注意：人数须为正整数，并保留金额单位。 课堂练习 练习3 小华和小海一起做速算练习，小海每分钟比小华多做道速算题，结果在相同的时间内，小海做了道速算题，小华只做了道速算题。小华每分钟做多少道速算题？ 答：设小华每分钟做道，可列。 解 小海每分钟做道，。 两人的做题时间相同，用总题数除以每分钟题数。 方法：把“相同时间”翻译成两个分式相等。 注意：题数和对应的速度要一一对应。 课堂练习 练习3 小华和小海一起做速算练习，小海每分钟比小华多做道速算题，结果在相同的时间内，小海做了道速算题，小华只做了道速算题。小华每分钟做多少道速算题？ 答：小华每分钟做道速算题。 解 ，解得。 检验：，原分母非零。 ，小海每分钟多做道。 方法：在时间相等的条件下列比例式。 注意：求的是小华每分钟题数，不是总时间。 课堂总结 分式方程 的应用 设与表示 明确未知量、单位和取值，表示相关数量。 列方程 依据相等、差或倍数关系建立方程。 去分母求解 转化为一元一次方程，准确求出数值。 双重检验 检验原方程，再检验实际意义，完整作答。 特别提醒：未知数的含义要一致；所得数值不一定就是最终所求量。 针对训练 训练1　选择：浓度关系 将 g饮料粉加入 g水中，配成浓度为的饮料，正确方程是（　）。 A. B. C. D. 答：B 解 溶液总质量为 g。 浓度等于。 方法：先确定分式分子与分母的含义。 注意：饮料粉质量占总质量的百分比。 针对训练 训练2　填空：时间单位要统一 路程为 km，两次速度分别为、 km/h。若第二次少用 min，应列方程______。 答：；方程解为。 解 min h。 ，得。 检验：，分母非零。 方法：速度用 km/h，时间差就用小时。 注意：不能把分钟直接写成等式右边的。 方法总结 从题意准确写出分式 方法1　选择分子与分母 ① 总路程除以速度，得到时间。 ② 总额除以单价，得到购买数量。 ③ 溶质质量除以溶液质量，得到浓度。 方法2　统一量与单位 ① 每个字母始终表示同一个量。 ② 分式两边表示的数量应相同。 ③ 分钟与小时先统一，再列式。 针对训练 训练3　判断：倍数与百分率 （1）原价元，优惠元后单价为元。 × 应为元。 （2）原数量为，增加后为。 √ 新数量。 （3）同路程，快车速度为慢车的倍，用时也为倍。 × 快车用时为慢车的。 方法：区分增加的具体数与增加的百分比。 注意：比较倍数或增幅时先找基准量。 针对训练 训练4　改错：式子要对应同一个人 小亮每分钟比小文多做道题，小文做道与小亮做道用时相同。设小文每分钟做道，有人列，请纠正。 答：应列，解为。 解 小文对应与，小亮对应与。 ，得。 检验： min。 方法：逐人对应总量和单位时间完成量。 注意：不能把两个人的数据交叉配对。 针对训练 训练5　解答：求出模型中的未知量 某行程问题得到，其中表示慢车速度，单位为 km/h。解方程并求快车速度。 答：慢车 km/h，快车 km/h。 解 ，去分母得。 解得，快车速度为。 检验：。 方法：先解出所设量，再按倍数求另一量。 注意：不要把的值直接写为两车共同速度。 方法总结 检验数量之间是否对应 方法1　列表或分组 ① 同一对象的总量与单价、速度对应。 ② 先写各自的时间或平均数量。 ③ 再按等量关系把两个式子连接。 方法2　完整回答 ① 确认表示直接所求量还是中间量。 ② 需要时再求倍数、和或差。 ③ 写上单位，核对问题是否都已回答。 针对训练 训练6　选择并求解：增幅的基准 某商品原价元，降价元后，同样的总金额可多购买。下列等式中正确的是哪一个？并求。 A. B. C. D. 答：B；。 解 同总价，数量与单价成反比，故。 ，解得。 检验：，且。 方法：用原数量乘表示新数量。 注意：“数量增加”并非价格下降。 针对训练 训练7　解答：换设法看同一个模型 甲、乙两组分别完成件、件作品，人均完成件数相同，乙比甲多人。设人均完成件数为，列方程并求两组人数。 答：；甲人、乙人。 解 ，得。 检验：，分母非零。 ，，均为正整数。 方法：可把共同的人均数量设为未知数。 注意：设法改变后，分式表示的是人数。 方法总结 选择便于求解的设法 方法1　按比例设 ① 两量之比为时，可设为。 ② 由已知总量分别表示对应时间。 ③ 求出后还原实际所求量。 方法2　按共同量设 ① 人均数量相同，可设共同的人均量。 ② 同一总价，可先约去相同非零数。 ③ 不同设法都要检验原方程与题意。 针对训练 训练8　辨析：方程的解与实际限制 方程中，表示甲组人数，乙组比甲组多人。有人解得，只写“分母非零”，检验完整吗？ 答：不完整；还应验算原方程并核对人数要求。 解 ，得。 检验：。 均为正整数，人数差为。 方法：把方程检验与实际意义检验分别写清。 注意：分母非零只是必要检查之一。 针对训练 训练9　比较设法：给出同一个答案 某物品每件降价元，同样的元可多买。甲设原价元，乙设现价元。分别列方程，求。 答：，；。 解 甲：，得。 乙：，得。 检验：，，增幅为。 方法：不同设法应得到相容的价格关系。 注意：原价与现价相差元，两个答案对应不同未知量。 针对训练 训练10　应用：浓度与平均分装 将 g果汁粉加入适量水中，配成浓度为的饮料。需要加多少克水？配成的饮料恰好平均装入个杯子，每杯饮料的质量是多少克？ 答：需加 g水，每杯饮料 g。 解 设加水 g：。 ，得。 饮料总质量为 g，每杯 g。 方法：先求加水量，再用总质量计算分装量。 注意：分装的是整杯饮料，不是仅把水平均分。 针对训练 训练10　应用：验根与实际检验 将 g果汁粉加入适量水中，配成浓度为的饮料。需要加多少克水？配成的饮料恰好平均装入个杯子，每杯饮料的质量是多少克？ 答：需加 g水，每杯饮料 g。 解 原分母为。 ，原方程成立。 ，，分装质量也符合题意。 方法：把浓度、质量与分装数量全部核对。 注意：总质量包括果汁粉与水。 针对训练 训练11　应用：价格与购买数量 某商店的文具盒每个降价元。用同样的元购买，降价后可购买的个数比降价前多。求降价前每个文具盒的售价，以及降价后可以买多少个。 答：降价前每个元，降价后可买个。 解 设原价元：。 化简得，解得。 现价元，可买个。 方法：根据购买个数的增幅建立等式。 注意：设原价时，新价格应为。 针对训练 训练11　应用：验根与实际检验 某商店的文具盒每个降价元。用同样的元购买，降价后可购买的个数比降价前多。求降价前每个文具盒的售价，以及降价后可以买多少个。 答：降价前每个元，降价后可买个。 解 均为非零正数。 ，方程成立。 原可买个，现买个，增幅为。 方法：原方程成立后，再检查完整个数与增幅。 注意：不要漏答原售价和现购买个数。 方法总结 应用题求解的最后两步 方法1　检验方程 ① 先代入原分母，确认分式有意义。 ② 再比较原方程两边是否相等。 ③ 舍去不符合原方程的增根。 方法2　检验实际意义 ① 检查正数、整数、单位与数量关系。 ② 设中间量时，继续算出最终所求量。 ③ 用完整句子回答题目中的各个问题。 $