13.2 分式的运算（第2课时）2026-2027学年沪教版（五四制）七年级数学上册

第13章 分式 13.2 分式的运算 （第2课时）分式的加减 年 级：七年级 学 科：数学（沪教版） 复习引入 复习　先判断能否直接约分 化简：；。 答：前者为；后者不能约分。 解 。 第二个分式的分子、分母没有公因式。 方法：约分要把分子、分母看成整体。 注意：只能约去公因式。 复习引入 分数的同分母加减 计算：；。 答：； 解 。 。 方法：同分母时保留分母，计算分子。 注意：加减后还要看能否约分。 复习引入 从同分母分数到分式 计算：；。 答：； 解 。 。 方法：把分母看成同一个整体。 注意：原式要求。 新知讲授 同分母分式的加减法则 法则 同分母分式相加减，分母不变，分子相加减。 字母表示 使用条件 先确认分母完全相同，并且不为。 新知讲授 减去一个多项式要加括号 计算：。 答： 解 。 分子为。 方法：被减去的分子是多项式时先加括号。 注意：括号前是负号，括号内各项都变号。 例题讲解 例 4 计算： （1） （2） （3） 解第（1）题 分母不变，分子相加。 已不能约分。 解第（2）题 。 约去，得。 方法：保持分母不变，分子相加减后化简。 注意：第（2）题的要提出负号。 例题讲解 例 4 计算： （1） （2） （3） 解第（3）题 分子为。 。 方法：先把三个分子合并，再分解因式。 注意：减去时，两个项都要变号。 例题讲解 变式 变式　先合并再约分 计算：。 答： 解 分子为。 。 方法：先合并分子，最后检查公因式。 注意：不要看到相似项就提前约分。 例题讲解 辨析 辨析　分母能不能也相加 小青写。指出错误并改正。 答：错误，应为。 解 两式分母相同，分母应保留。 相加的是分子和。 方法：用同分母分数的加法检验法则。 注意：同分母加法中，分母不相加。 新知讲授 异分母分式怎样相加 计算：；。 答：； 解 。 。 方法：先把分母变成相同的整式。 注意：分母乘什么，分子也要乘什么。 新知讲授 什么叫通分 概念 将几个异分母分式分别化为与原来分式的值相等的同分母分式的过程叫作通分。 例子 ，。 公分母 称为和的公分母。 新知讲授 单项式分母怎样选择公分母 观察分母 对与，系数可取。 保留所需因式 字母因式取能被两个分母整除的。 检查倍数 取后，两式分别需乘与。 新知讲授 多项式分母先分解 将与通分。 答：， 解 。 第二式分子、分母同乘。 方法：先分解因式，再看哪个因式缺少。 注意：通分时分子、分母必须同时乘。 新知讲授 分母互为相反式时先变号 计算：。 答： 解 。 。 方法：将相反分母统一成一个方向。 注意：只变分母的符号会改变分式的值。 新知讲授 异分母分式的加减法则 法则 异分母分式相加减，先将它们通分，然后再进行加减。 具体过程 。 最后检查 合并分子后，结果还应化为最简分式。 例题讲解 例 5 计算： （1） （2） （3） 解第（1）题 公分母取。 。 解第（2）题 公分母取。 。 方法：选择公分母，找出各分母缺少的因式。 注意：第（2）题分子是。 例题讲解 例 5 计算： （1） （2） （3） 解第（3）题 公分母取。 。 方法：三项统一为公分母后合并。 注意：减去时注意两个项的符号。 例题讲解 变式 变式　含平方差的加减 计算：。 答： 解 。 。 方法：已有的分母包含另一分母时，保留大分母。 注意：减去后，应得到。 例题讲解 公分母可选，计算应简便 计算时，取还是更简便？ 答：取更简便；结果为。 解 已含因式。 。 方法：优先选择没有重复多余因式的公分母。 注意：两种都能通分，但运算量不同。 例题讲解 加减与乘法混合 计算：。 答： 解 括号内为。 。 方法：先算括号中的加法，再做分式乘法。 注意：原式要求都不为。 例题讲解 整式也能参与分式加减 计算：。 答： 解 。 。 方法：把整式写成与原式同分母的分式。 注意：减去时，常数项变成。 课堂练习 练习1 计算： （1） （2） （3） 解第（1）题 解第（2）题 方法：同分母分子相减，化简到最简。 注意：（2）先合并分子，再约去。 课堂练习 练习1 计算： （1） （2） （3） 解第（3）题 。 。 方法：将改为。 注意：第二项整个分子前都要变号。 课堂练习 练习2 下列各式的计算正确吗？如果不正确，应该如何改正？ （1） （2） （3） 解第（1）题 不正确，应为。 分子应为。 错在减去时没有变号。 解第（2）题 不正确，应为。 。 错在通分时没有同时改变分子。 方法：逐行检查去括号和通分步骤。 注意：分母变化时，分子必须相应变化。 课堂练习 练习2 下列各式的计算正确吗？如果不正确，应该如何改正？ （1） （2） （3） 解第（3）题 不正确，应为。 分子为。 去括号后应为。 方法：展开分子时保留每个乘积的正负号。 注意： 课堂练习 练习3 计算： （1） （2） （3） 解第（1）题 公分母取。 。 解第（2）题 。 分子为，再约分。 方法：先选公分母，分子合并后再约分。 注意：减去的分子要作为整体处理。 课堂练习 练习3 计算： （1） （2） （3） 解第（3）题 。 分子。 方法：分母分解为后通分。 注意：分子合并后还可以分解并完全约去。 课堂总结 分式 加减 同分母 分母不变，分子相加减。 异分母 先分解分母、选择公分母，再通分。 符号 减多项式先加括号；相反分母先变号。 化简 合并分子，再分解因式、约成最简。 特别提醒：通分分子分母同时变；约分必须在因式之间进行。 针对训练 训练1　选择：同分母相加 在原式有意义时，等于（　）。 A. B. C. D. 答：B 解 分子相加得到。 。 方法：先合并分子，再看能否约分。 注意：分母不能写成。 针对训练 训练2　填空：补全通分 。依次填空。 答：，，。 解 第一式分子、分母同乘。 第二式分子、分母同乘。 方法：用公分母除以原分母，确定所乘因式。 注意：分子、分母要乘同一个因式。 针对训练 训练3　判断并改正 （1）。 √ 合并后分子为。 （2）。 × 应为。 （3）。 √ 分母互为相反式。 方法：识别同分母、异分母或相反分母。 注意：判断均以原式有意义为前提。 方法总结 选择、填空与判断的方法 方法1　先看分母结构 ① 相同分母直接合并分子。 ② 相反分母先统一符号。 ③ 不同分母先通分。 方法2　再查变形依据 ① 通分依据分式的基本性质。 ② 分子、分母变化必须对应。 ③ 代入允许值可辅助排错。 针对训练 训练4　计算：同分母多项式 计算：。 答： 解 分子为。 合并得，不能约分。 方法：先加括号，再去括号合并同类项。 注意：分子没有因式或。 针对训练 训练5　计算：不同单项式分母 计算：。 答： 解 公分母取。 。 方法：系数取合适公倍数，字母因式保留。 注意：第二项分子应乘。 针对训练 训练6　计算：分母含多项式 计算：。 答： 解 通分得。 分子化简为。 方法：先作因式分解，再通分。 注意：分子分母没有相同因式时停止约分。 方法总结 计算题中的通分与化简 方法1　正确通分 ① 分母先分解因式。 ② 确定公分母及所缺因式。 ③ 每个分子乘上相应因式。 方法2　正确合并 ① 减去多项式先加括号。 ② 合并同类项后再分解。 ③ 检查能否约成最简分式。 针对训练 训练7　纠错：分子怎样改变 小明写。指出错误并改正。 答： 解 第二个分子应乘。 。 方法：逐项核对原分母缺少的因式。 注意：两个分式所补的因式不同。 针对训练 训练8　先化简再求值 先化简，再求时的值。 答：；。 解 通分后分子为。 当时，。 方法：先化简，再代入允许的数值。 注意：原式要求。 针对训练 训练9　比较：计算两个数的差 已知，比较与的大小。 答：。 解 。 由，可知。 方法：先求差，再根据差的正负比较。 注意：判断分母符号必须使用。 方法总结 纠错、求值与比较的方法 方法1　逐步检查变形 ① 核对通分所乘的每个因式。 ② 重点检查减号与括号。 ③ 约分前确认已合并分子。 方法2　利用化简结果 ① 求值时先检查取值限制。 ② 比较大小可先求两式之差。 ③ 结合题设判断结果的符号。 针对训练 训练10　综合：加减后相乘 计算：。 答： 解 括号内为。 分子为，相乘约分得。 方法：先按运算顺序算括号中的差。 注意：原式要求。 针对训练 训练11　整体观察与简算 计算：。 答： 解 通分得。 分子为，约分得。 方法：观察一个分母是否已包含另一个分母。 注意：化简后仍要求。 针对训练 训练12　应用：往返时间 小林骑车去图书馆，单程千米，去时速度为千米/时，回程速度为千米/时，。求往返总时间。 答：小时。 解 总时间。 。 方法：分别列出两段时间，再把时间相加。 注意：不能把路程和速度分别相加再相除。 针对训练 训练13　应用：比较笔记本单价 甲用元买本笔记本，乙用元买本同类笔记本，为正整数。甲的单价比乙高多少元？ 答：元。 解 单价差。 。 方法：先用总价除以数量，再求单价差。 注意：“甲比乙高”对应甲的单价减乙的单价。 方法总结 应用题的数量关系与运算 方法1　先列每个分式 ① 时间等于路程除以速度。 ② 单价等于总价除以数量。 ③ 求总量用加法，求差量用减法。 方法2　再检验计算结果 ① 统一所求量的单位。 ② 通分合并后化为最简。 ③ 结合情境检查结果的正负。 $