12.1 因式分解的意义（第1课时）2026-2027学年沪教版（五四制）七年级数学上册

第12章 因式分解 12.1 因式分解的意义 （第1课时）因式分解的意义 年 级：七年级 学 科：数学（沪教版） 复习引入 学习目标 概念 理解因式和因式分解，说清变形的起点与终点。 判断 能依据定义判断变形，能说明理由。 运用 根据已知乘法等式反向书写，并用展开检验。 复习引入 整式乘法的结果 单项式乘多项式 。 两个多项式相乘 。 相同因式相乘 。 复习引入 思考　等式反向书写 已知，把写成几个整式的积。 答：。 解 等号两边表示同一个整式。 把原等式左右两边交换位置。 方法：利用已有乘法等式反向书写。 注意：本题的结果由题中已知等式得到。 复习引入 思考　已有乘法的逆向使用 已知，。把两个右边的整式分别写成积。 答：；。 解 交换第一条等式的两边，得到两个不同因式的积。 交换第二条等式的两边，幂表示相同因式的积。 方法：先看已知等式，再反向书写。 注意：表示两个相乘。 知识讲授 因式与因式分解 几个整式相乘，其中每个整式都称为积的因式．把含多个项的整式化为几个次数更低的整式的积，叫作把这个整式因式分解． 起点是含多个项的整式。 终点是几个次数更低的整式的积。 变形前后的整式必须相等。 知识讲授 定义中的三个条件 起点 含有两项。 终点 是两个整式的积。 次数 与的次数均为1，低于原式的次数2。 知识讲授 因式的含义 例子 ，因此、是的因式。 辨认 因式是参加相乘的整个整式。不能拆成与1两个因式。 检验 计算，得到。 知识讲授 幂也是积的形式 展开写法 。 因式次数 每个的次数都是1，乘积的次数是2。 辨认关键 看到平方时，可先把它理解为两个相同因式的积。 知识讲授 整体的运算形式 符合定义 ，右边整体是乘积。 尚未成为积 ，右边整体是和。 观察位置 判断右边最后进行的是乘法，还是加减法。 知识讲授 分解完成的要求 观察已有等式 。 比较两个结果 第一个结果中的还能写成。 本章要求 因式分解一般要分解到每个因式都不能再分解为止。本课先理解这一要求。 知识讲授 等式成立与次数降低 等式成立 写成乘积后，要展开核对原式的每一项。 次数降低 虽然相等，但有因式的次数没有降低。 判断结论 只增加一个因式1，不能完成定义所要求的变形。 环节归纳 因式分解与整式乘法 变形方向 （1）整式乘法：由几个整式的积得到一个整式。 （2）因式分解：由含多项的整式得到几个整式的积。 相互检验 （1）把分解结果展开，应还原原式。 （2）先依据已有等式反写，再检验。 例题讲解 例 1 下列等式中，哪些从左到右的变形是因式分解？ （1） （2） （3） （4） 解第（1）题 不是。 左边是两个整式的积。 右边是展开后的和，属于整式乘法。 解第（2）题 是。 左边为两项之和。 右边是与的积。 第（1）题：先辨认变形方向。 注意：由积变成和不符合因式分解的方向。 第（2）题：按定义逐项核对条件。 注意：两个因式的次数均低于原式。 例题讲解 例 1 下列等式中，哪些从左到右的变形是因式分解？ （1） （2） （3） （4） 解第（3）题 是。 右边可写成。 原式化为两个一次整式的积。 解第（4）题 不是。 右边最后进行加法。 它是与3的和。 第（3）题：把幂看成相同因式的积。 注意：平方形式也可以表示因式分解结果。 第（4）题：关注右边整体的运算。 注意：部分写成积还不够。 例题讲解 辨析 变式1　乘积形式还要相等 小明说：，右边是乘积，所以完成了因式分解。他的判断对吗？ 答：不对。正确的等式是。 解 展开他写的右边，得到。 它与不同。 展开，恰好还原原式。 方法：用展开核对每一项。 注意：形式像乘积，不能代替等式成立。 例题讲解 变式 变式2　依据给定乘法反向填写 先计算，再根据所得等式将写成几个整式的积。 答：。 解 。 合并得。 交换等式两边，得到所需的积。 方法：把本题给出的乘法结果反向使用。 注意：反向书写须以正确的乘法等式为依据。 环节归纳 例题环节归纳 概念判断 （1）起点含多项，终点整体为积。 （2）各因式次数降低，等式必须成立。 常见误区 （1）幂可以是乘积的简写。 （2）部分改写成积，整体仍为和时不符合。 课堂练习 （口答）下列等式中，哪些从左到右的变形是因式分解？ （1） 不是 理由：右边整体是1与乘积的和。 （2） 不是 理由：从积到和，是整式乘法。 （3） 是 理由：原式化为两个次数更低的整式的积。 （4） 是 理由：原式化为两个一次整式的积。 方法：方向正确，结果为整式的积。 注意：还须检验等式成立。 课堂练习 练习2 利用整式的乘法计算下列各式： （1） ________ （2） ________ （3） ________ （4） ________ 解第（1）题 。 ，把两项相加。 解第（2）题 展开得。 合并两个一次项。 第（1）题：逐项相乘。 注意：括号内每项都要乘。 第（2）题：用整式乘法展开。 注意：。 课堂练习 练习2 利用整式的乘法计算下列各式： （1） ________ （2） ________ （3） ________ （4） ________ 解第（3）题 写成。 展开后合并。 解第（4）题 展开得。 合并。 第（3）题：平方写成两个相同因式的积。 注意：中间项不能遗漏。 第（4）题：展开后合并同类项。 注意：常数项为。 课堂练习 练习2 根据上述算式，完成下列因式分解： （5） ________ （6） ________ （7） ________ （8） ________ 解第（5）题 对应。 把这个乘法等式反向书写。 解第（6）题 对应。 反向书写两个因式。 第（5）题：对照已完成的第（1）题。 注意：括号内是。 第（6）题：对照已完成的第（2）题。 注意：两个一次因式中的常数符号相反。 课堂练习 练习2 根据上述算式，完成下列因式分解： （5） ________ （6） ________ （7） ________ （8） ________ 解第（7）题 对应。 平方表示两个相同因式的积。 解第（8）题 对应。 把这个乘法等式反向书写。 第（7）题：对照已完成的第（3）题。 注意：展开检验中间项为。 第（8）题：对照已完成的第（4）题。 注意：展开核对一次项与常数项。 课堂练习 思考　两种变形的关系 因式分解和整式乘法有什么关系？试举例说明。 答：两者是方向相反的变形。例如与。 解 整式乘法从几个整式的积得到一个整式。 因式分解把含多项的整式化成几个整式的积。 同一个恒等式可展示这两种方向。 方法：用同一等式的两个方向说明关系。 注意：等号两边相等，变形的方向不同。 环节归纳 课堂练习归纳 由乘法得到分解 （1）先准确展开，保留所有项。 （2）再交换等式两边，写出原来的积。 用展开检查分解 （1）依次检查最高次项、其余项及常数项。 （2）比较整个整式，不能只比较某一项。 课堂小结 因式分解 的意义 概念与因式 把含多个项的整式化为几个次数更低的整式的积。乘积中的每个整式称为因式，如与。 变形的方向 整式乘法从积得到整式，因式分解从含多项的整式得到积。两者方向相反，可利用已有乘法等式反向书写。 判断的依据 先确认等式成立，再看起点是否含多项、终点是否整体为积、因式次数是否降低。幂也可表示相同因式的积。 检验与完成 把分解结果展开，应与原式完全相同。一般分解到每个因式不能再分解为止，不能只把原式中的部分写成积。 特别提醒：整体是积，并且展开后还原原式。 针对训练 训练1　选择：变形方向 下列从左到右的变形中，是因式分解的是哪一项？ A. B. C. D. 答：选B。 解 B把两项之和化成两个一次整式的积。 A是整式乘法，C的右边整体为和。 D含有与原式相同次数的因式。 方法：用定义排除不符合条件的选项。 注意：等式成立只是条件之一。 针对训练 训练2　填空：辨认因式 已知。按右边写出的两个整式填空：它们分别是________与________。 答：与。 解 右边是乘以。 整个作为一个因式。 方法：沿乘法结构识别整个因式。 注意：不要把拆成两个因式。 针对训练 训练3：概念判断 （1）是因式分解。 对 理由：右边表示两个一次因式的积。 （2）是因式分解。 错 理由：右边整体是和。 （3）把分解结果展开，可以检验分解是否正确。 对 理由：展开结果应当与原式相同。 （4）是正确的因式分解。 错 理由：右边展开为，等式不恒成立。 方法：先看变形方向，再看结果的整体形式。 注意：判断为因式分解还须保证等式成立。 方法总结 概念题的方法 从整体判断 （1）先看变形的起点与终点。 （2）右边出现括号不等于整体是积。 从等式检验 （1）展开全部因式，合并同类项。 （2）错误等式不能算作因式分解。 针对训练 训练4　计算：用乘法结果反写 先计算，再据此把写成几个整式的积。 答：；。 解 把分别乘以和。 交换等式两边，得到分解结果。 方法：先完成给定乘法，再反向使用。 注意：负号随同参与相乘。 针对训练 训练5　填空：幂与重复因式 已知。把写成积，并写出其中两个相同的因式。 答：；两个因式都是。 解 反写题中给出的恒等式。 。 方法：把平方改写为两个相同因式的积。 注意：重复出现的因式不能少写一次。 针对训练 训练6　计算：利用已知积 先计算，再据此完成________。 答：。 解 展开得。 合并得。 把乘法等式反向书写。 方法：通过给定乘积找到反向表达。 注意：计算中间项时保留符号。 方法总结 反向书写的方法 乘法计算 （1）每一项都参加相乘。 （2）合并同类项，得到完整整式。 反向表达 （1）交换等号两边，保留整个乘积。 （2）再展开检查一次项及常数项。 针对训练 训练7　辨错：因式中的常数 小华写出。判断并改正。 答：错误。应为。 解 展开原答案得，不等于原式。 展开得。 方法：展开候选结果逐项比较。 注意：括号中的数还要与括号外的相乘。 针对训练 训练8　说理：部分变积 等式成立。它从左到右是因式分解吗？请说明理由。 答：不是。右边整体是与5的和。 解 虽然已经写成积，但原式还含有5。 整个右边最后进行加法，未化为几个整式的积。 方法：观察整个右边的最后一步运算。 注意：局部出现乘法不能代表整体是积。 针对训练 训练9　说理：一次代入够不够 某同学用检验，两边都为2，于是断定等式恒成立。这个依据充分吗？ 答：不充分。例如时，左边为0，右边为1。 解 一次代入只能说明这一取值时相等。 代入得到不同的值，推翻其判断。 检验分解应通过展开比较整个整式。 方法：用反例否定错误的恒等判断。 注意：某个数值相等，不代表所有取值都相等。 方法总结 辨错与说理的方法 发现错误 （1）展开核对各项，找到不相同之处。 （2）指出整体运算形式是否符合定义。 说明理由 （1）理由对应定义中的具体条件。 （2）一个反例可以否定错误的恒等式。 针对训练 训练10　检验：两个乘积 小明把写成，小红写成。谁正确？ 答：小明正确，。 解 小明的结果展开为。 小红的结果展开为。 合并后分别为与。 方法：展开两个候选积作比较。 注意：常数项相同仍要检查一次项。 针对训练 训练11　构造：同一等式的两个方向 已知。写出一个从左到右表示整式乘法的等式，再写出一个从左到右表示因式分解的等式。 答：整式乘法：。因式分解：。 解 题中已有等式是由积变成和。 交换两边，就是由和变成积。 方法：利用同一个恒等式展示两种方向。 注意：需要明确从左到右观察。 方法总结 综合判断的方法 候选结果检验 （1）分别展开每个候选乘积。 （2）逐项比较，尤其关注符号。 表达变形方向 （1）同一个等式可以反向书写。 （2）用“由积到整式”或“由整式到积”说明。 针对训练 训练12　应用：两块展板拼接 矩形ABCD中，E在AB上，F在DC上，EF平行于AD。已知AE为米，EB为米，AD为米，且。两块展板AEFD、EBCF拼成整块展板。分别用面积之和与长乘宽表示总面积，并写出等式。 答：平方米。 解 两块展板的面积分别是和。 整块展板的长为，宽为。 同一总面积得到。 方法：用同一面积的两种算法写出恒等式。 注意：长度均为正，面积单位是平方米。 针对训练 训练13　应用：合并购书费用 学校两个班分别购买本和本同款书，每本定价元，其中为正整数，。分别按班计算和按总本数计算费用。若，，，共需多少元？ 答：；共需600元。 解 分班计算得元。 总本数为，总费用为元。 代入得元。 方法：通过同一数量关系写出和与积。 注意：总本数相加，单价保持一致。 方法总结 应用题的方法 同量的两种表示 （1）先分部分计算，再按整体计算。 （2）同一数量的两种表示应当相等。 结果的解释 （1）写清每个字母表示的量和正值条件。 （2）代入求值后补上正确单位。 $