专题12.1-12.2 因式分解（1）— 提公因式及公式法优等生讲义 2026-2027学年沪教版（五四制）数学七年级上册

本初中数学讲义聚焦因式分解核心知识点，从理解因式分解意义（与整式乘法互逆）入手，通过公因式确定方法（系数最大公约数、字母最低次幂）搭建基础，逐步过渡到提公因式法（ma+mb+mc=m(a+b+c)）、公式法（平方差公式、完全平方公式），最终实现提公因式与公式法的综合运用，形成从定义到方法再到综合应用的学习支架。 资料以思维导图总览课程内容，结合几何示意（如完全平方公式的面积分割验证）培养几何直观（数学眼光），通过典型例题渗透试根法、换元法提升推理意识（数学思维）。5大考点精讲与课后巩固设计，课中辅助教师系统授课，课后助力学生查漏补缺，强化分解彻底的解题习惯，发展代数推理与应用能力。

专题12.1-12.2 因式分解（1）—提公因式及公式法 优等生讲义 新沪教版（五四制）数学七年级上册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解因式分解的意义，能判断一个变形是否为因式分解。 · 掌握公因式的确定方法，会用提公因式法分解因式。 · 掌握平方差公式、完全平方公式，并能运用公式法分解因式。 · 能综合运用提公因式法与公式法进行因式分解，做到分解彻底。 · 了解“试根法”“换元法”“数形结合”等方法，提升代数推理能力。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1. 因式分解的意义 定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解。因式分解与整式乘法是互逆变形。 典型例题：下列从左到右的变形，属于因式分解的是（　）。 A. (x-2)²=x²-4x+4　B. x²+3x+2=x(x+3)+2　C. x²-9=(x+3)(x-3)　D. 2x+2=2(x+1x) 解析：A是整式乘法；B右边不是积的形式；D右边含分式，不是整式；C左边是多项式，右边是两个整式的积，符合因式分解定义。故选C。 ☆ 2. 公因式 定义：多项式各项都含有的公共因式，叫做这个多项式各项的公因式。确定公因式时，系数取各项系数的最大公约数，字母取各项都含有的相同字母的最低次幂。 典型例题：多项式 4x²y-6xy²+2xy 的公因式是（　）。 A. 2x　B. 2y　C. 2xy　D. 4xy 解析：系数4、-6、2的最大公约数是2；相同字母x的最低次幂是x¹，y的最低次幂是y¹，所以公因式是2xy。故选C。 ☆ 3. 因式分解-提公因式法 方法：ma+mb+mc=m(a+b+c)。公因式可以是单项式，也可以是多项式。提公因式后，括号内项数与原多项式项数相同。 典型例题：分解因式：6x(x-y)²+3(y-x)³。 解析：原式=6x(x-y)²-3(x-y)³=3(x-y)²[2x-(x-y)]=3(x-y)²(x+y)。 ☆ 4. 因式分解-运用公式法 平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)。完全平方公式：a²±2ab+b²=(a±b)²。 典型例题：分解因式：x⁴-16。 解析：x⁴-16=(x²+4)(x²-4)=(x²+4)(x+2)(x-2)。 几何示意：边长为(a+b)的大正方形，可分割为1个边长为a的正方形、1个边长为b的正方形、2个长为a宽为b的长方形。 由图可得：a²+2ab+b²=(a+b)²。 ☆ 5. 提公因式法与公式法的综合运用 方法：先观察是否有公因式，有公因式先提公因式；再观察是否符合平方差公式或完全平方公式；分解要彻底，直到不能再分解为止。 典型例题：分解因式：-13x³+23x²y-13xy²。 解析：原式=-13x(x²-2xy+y²)=-13x(x-y)²。 知识总结表 核心概念 定义/方法 注意事项 因式分解 把多项式化为几个整式的积的形式 与整式乘法互逆，右边必须是整式积 公因式 各项都含有的公共因式 系数取最大公约数，字母取最低次幂 提公因式法 ma+mb+mc=m(a+b+c) 注意符号，提完后括号内项数不变 平方差公式 a²-b²=(a+b)(a-b) 两项、异号、平方形式 完全平方公式 a²±2ab+b²=(a±b)² 三项、首尾平方、中间两倍积 综合运用 先提公因式，再用公式法 分解要彻底，整体思想、换元法可简化 核心考点 ·5大典型考点精讲 【考点1】因式分解的意义（第1-10题） · 判断标准：左边是多项式，右边是几个整式的积。 · 求参数：展开后比较对应项系数，或代入特殊值。 · 试根法：若f(a)=0，则多项式含因式(x-a)。 1．（2025秋•奉贤区期末）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A．（x﹣2）2＝x2﹣4x+4 B．x2+3x+2＝x（x+3）+2 C．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3） D． 【分析】因式分解的定义为：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解． 【解答】解：根据因式分解的定义逐项分析判断如下： A选项：变形是整式乘法，右边不是积的形式，从左到右的变形不属于因式分解，不符合题意； B选项：右边是和的形式，不是整式的积，从左到右的变形不属于因式分解，不符合题意； C选项：左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，从左到右的变形属于因式分解，符合题意； D选项：右边含分式，不是整式，从左到右的变形不属于因式分解，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了因式分解的定义，熟练掌握该知识点是关键． 2．（2025秋•金山区期末）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．a（a+b）＝a2+ab B．a2+2a+1＝a（a+2）+1 C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．2a2﹣6ab＝2a（a﹣3b） 【分析】把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式．据此作答即可． 【解答】解：A．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意； B．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意； C．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意； D．符合定义，故选项正确，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了因式分解，解题的关键是理解因式分解的定义． 3．（2025秋•浦东新区期末）关于等式①2a﹣4＝2（a﹣2）和②3x2+3xy＝3x（x+y）从左到右的变形，下列说法中，正确的是（　　） A．①和②都是因式分解 B．①和②都不是因式分解 C．①是因式分解，②不是因式分解 D．①不是因式分解，②是因式分解 【分析】把一个多项式化成几个整式的乘积形式叫做因式分解，据此逐一判断即可． 【解答】解：①2a﹣4＝2（a﹣2），属于因式分解； ②3x2+3xy＝3x（x+y），属于因式分解； 所以①和②都是因式分解． 故选：A． 【点评】本题主要考查了因式分解的定义，熟练掌握因式分解的定义是关键． 4．（2025秋•崇明区校级期中）已知关于x的整式x2+mx+6＝（x+a）（x+b），其中a、b为整数，能使这个因式分解过程成立的m的值共有（　　）个． A．5 B．4 C．3 D．2 【分析】将（x+a）（x+b）展开并计算后得到ab＝6，再根据题意求得a，b的值，然后将其相加即可． 【解答】解：∵（x+a）（x+b） ＝x2+ax+bx+ab ＝x2+（a+b）x+ab ＝x2+mx+6， ∴m＝a+b，ab＝6， ∵a、b为整数， ∴a，b的值可以是1和6中的一个或﹣1和﹣6中的一个或2和3中的一个或﹣2和﹣3中的一个， 那么m＝1+6＝7或﹣1﹣6＝﹣7或2+3＝5或﹣2﹣3＝﹣5， 综上，能使这个因式分解过程成立的m的值共有4个， 故选：B． 【点评】本题考查因式分解的意义，熟练掌握因式分解及整式乘法的互逆原则是解题的关键． 5．（2025秋•徐汇区校级期中）已知整式x2﹣x+k可以因式分解为（x+m）（x﹣5），则m的值为　4　 ． 【分析】将因式分解形式展开后与原多项式比较系数，建立方程求解． 【解答】解：x2﹣x+k＝x2+（m﹣5）x﹣5m， ∴m﹣5＝﹣1， ∴m＝4． 故答案为：4． 【点评】本题考查的是根据因式分解的结果求参数，熟练掌握该知识点是关键． 6．（2025秋•浦东新区期末）如果二次三项式3a2+7a﹣k中有一个因式是3a﹣2，那么k的值为　6　 ． 【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 【解答】解：设3a2+7a﹣k＝B（3a﹣2）， B＝（3a2+7a﹣k）÷（3a﹣2）＝a+3， ∴（3a﹣2）（a+3）＝3a2+7a﹣k， 解得k＝6． 故答案为：6． 【点评】本题考查了因式分解的意义，利用整式的除法得出另一个因式是解题关键． 7．（2024秋•普陀区期末）已知整式x2+mx﹣3可以因式分解为（x+p）（x+q），如果m、p，q都为整数，那么m的值为 　±2　 ． 【分析】由题意可得式x2+mx﹣3＝（x+p）（x+q），则pq＝﹣3，m＝p+q，根据m、p，q都为整数确定m的值即可． 【解答】解：由题意可得x2+mx﹣3＝（x+p）（x+q）， 则pq＝﹣3，m＝p+q， ∵m、p，q都为整数， ∴p＝1，q＝﹣3或p＝﹣1，q＝3， 则m＝1﹣3＝﹣2或﹣1+3＝2， 故答案为：±2． 【点评】本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键． 8．（2025秋•虹口区校级月考）已知（x+1）（x2+ax+5）＝x3+bx2+3x+5，求a与b的值． 【分析】首先利用整式的乘法计算出等号左面的算式，按照x的降幂排列，与等号右边的式子对应，建立 【解答】解：（x+1）（x2+ax+5） ＝x3+ax2+5x+x2+ax+5 ＝x3+（a+1）x2+（a+5）x+5＝x3+bx2+3x+5， 得出a+5＝3，a+1＝b， 所以a＝﹣2，b＝﹣1． 【点评】此题考查整式的乘法，以及多项式的意义，注意对应项的指数与系数的关系． 9．（2024秋•徐汇区校级期中）因为x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1），这说明多项式x2+2x﹣3有一个因式为x﹣1，我们把x＝1代入多项式，发现x＝1能使多项式x2+2x﹣3的值为0． 利用上述规律，回答下列问题： （1）若x﹣3是多项式x2+kx+12的一个因式，求k的值． （2）若x﹣3和x﹣4是多项式x3+mx2+12x+n的两个因式，试求m、n的值，并将该多项式因式分解． （3）分解因式：2x3﹣x2﹣5x﹣2． 【分析】（1）由已知条件可知，当x＝3时，x2+kx+12＝0，将x的值代入即可求得； （2）由题意可知，x＝3和x＝4时，x3+mx2+12x+n＝0，由此得二元一次方程组，从而可求得m和n的值； （3）将x＝﹣1代入原式得：﹣2﹣1+5﹣2＝0则x+1是原式的因式，利用竖式除法可得另一个因式，据此分解即可． 【解答】解：（1）∵x﹣3是多项式x2+kx+12的一个因式， ∴x＝3时，x2+kx+12＝0， ∴9+3k+12＝0， ∴3k＝﹣21， ∴k＝﹣7， ∴k的值为﹣7； （2）（x﹣3）和（x﹣4）是多项式x3+mx2+12x+n的两个因式， ∴x＝3和x＝4时，x3+mx2+12x+n＝0， ∴， 解得， ∴m、n的值分别为﹣7和0， 原多项式＝x3﹣7x2+12x ＝x（x2﹣7x+12） ＝x（x﹣3）（x﹣4）． （3）将x＝﹣1代入原式得：﹣2﹣1+5﹣2＝0， ∴x+1是原式的因式，根据用竖式除法可得：2x3﹣x2﹣5x﹣2＝（2x2﹣3x﹣2）（x+1）＝（x﹣2）（2x+1）（x+1）． 【点评】本题考查了分解因式的特殊方法，根据阅读材料仿做，是解答本题的关键． 10．（2024秋•嘉定区期中）阅读下列材料，然后解答问题： 问题：因式分解：x3﹣5x2+4 解答：对于任意一元整式f（x），其奇次项系数之和为m，偶次项系数之和为n，若m＝n，则f（﹣1）＝0，若m＝﹣n，则f（1）＝0，在x3﹣5x2+4中，因为m＝1，n＝﹣5+4＝﹣1，所以把x＝1代入整式x3﹣5x2+4，得其值为0，由此确定整式x3﹣5x2+4中有因式（x﹣1），于是可设x3﹣5x2+4＝（x﹣1）（x2+px+q）分别求出p，q值，再代入x3﹣5x2+4＝（x﹣1）（x2+px+q），就可以把整式x3﹣5x2+4因式分解，这种因式分解的方法叫做“试根法”． （1）上述式子中P＝　﹣4　 ，q＝　﹣4　 ； （2）对于一元整式x3+6x2+11x+6，必定有f（　﹣1　 ）＝0； （3）请你用“试根法”分解因式：x3+6x2+11x+6． 【分析】（1）根据多项式乘多项式的运算法则计算（x﹣1）（x2+px+q），结合已知可得出关于p，q的方程，解方程即可； （2）根据题意，分别求出奇次项系数之和和偶次项系数之和，即可得出答案； （3）根据“试根法”分解即可． 【解答】解：（1）∵x3﹣5x2+4 ＝（x﹣1）（x2+px+q） ＝x3+px2+qx﹣x2﹣px﹣q ＝x3+（p﹣1）x2+（q﹣p）x﹣q， ∴p﹣1＝﹣5，﹣q＝4， ∴p＝﹣4，q＝﹣4． 故答案为：﹣4，﹣4； （2）∵x3+6x2+11x+6的奇次项系数之和为1+11＝12，偶次项系数之和为6+6＝12， 则f（﹣1）＝0． 故答案为：﹣1； （3）把x＝﹣1代入x3+6x2+11x+6，得﹣1+6﹣11+6＝0， ∴x3+6x2+11x+6＝（x+1）（x2+ax+b） ＝x3+ax2+bx+x2+ax+b ＝x3+（a+1）x2+（a+b）x+b， ∴a+1＝6，b＝6， 解得：a＝5，b＝6， ∴x3+6x2+11x+6＝（x+1）（x2+5x+6）＝（x+1）（x+2）（x+3）． 【点评】本题考查了因式分解的意义，新定义，读懂题目信息并熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【考点2】公因式（第11-16题） · 系数取各项系数的最大公约数。 · 字母取各项都含有的相同字母的最低次幂。 · 整体公因式要整体识别，如(m+n)。 11．（2026秋•常宁市校级月考）多项式4x2y﹣6xy2+2xy的公因式是（　　） A．2x B．2y C．2xy D．4xy 【分析】一个多项式各项的公因式是这个多项式各项系数的最大公约数与各项都含有的字母的最低次幂的积，据此即可获得答案． 【解答】解：根据题意可知，多项式的各项系数为4，﹣6，2，最大公约数是2，x的最低次数为1，y的最低次数为1， ∴多项式4x2y﹣6xy2+2xy的公因式为2xy． 故选：C． 【点评】本题考查了公因式，掌握公因式的定义是关键． 12．（2026春•皇姑区期末）多项式2x3y2+3x4y3﹣6x2y中，各项的公因式是（　　） A．xy B．x2y C．2x2y D．3x2y 【分析】确定多项式的公因式，从系数的最大公约数、各项共有的相同字母、相同字母的最低次幂这三方面分析组合． 【解答】解：多项式2x3y2+3x4y3﹣6x2y各项的公因式是x2y． 故答案为：B． 【点评】本题考查多项式公因式的确定方法，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键． 13．（2026•常宁市校级开学）整式A＝x﹣1，B＝x2﹣x，下列结论：①A•x＝B；②A，B的公因式为x．下列判断正确的是（　　） A．①正确，②不正确 B．①不正确，②正确 C．①②都正确 D．①②都不正确 【分析】先计算①的左边进行验证，再对B因式分解后确定公因式，即可判断结论正误． 【解答】解：计算①的左边进行验证，再对B因式分解后确定公因式如下： 由条件可知A•x＝x（x﹣1）＝x2﹣x＝B，因此①正确； 对B因式分解得 B＝x2﹣x＝x（x﹣1），A＝x﹣1， 可得公因式为x﹣1，不是x，因此②不正确； 故选：A． 【点评】本题考查整式乘法运算与公因式的概念，熟练掌握以上知识点是关键． 14．（2025秋•武都区期末）多项式a2（m+n）和bm+bn的公因式是　（m+n）　 ． 【分析】先把bm+bn化为b（m+n），再找出公因式即可． 【解答】解：∵bm+bn＝b（m+n）， ∴多项式a2（m+n）和bm+bn的公因式是（m+n）， 故答案为：（m+n）． 【点评】本题考查了公因式，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键． 15．（2025秋•武威校级期末）多项式4x3y2﹣10y3z2+6x2yz2各项的公因式是　2y ． 【分析】根据公因式的定义，找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，然后即可确定公因式2y，即可求解． 【解答】解：∵多项式系数的最大公约数是2，相同字母的最低指数次幂y， ∴该多项式的公因式为2y， 故答案为：2y． 【点评】本题考查多项式的公因式，掌握多项式每项公因式的求法是解题的关键． 16．（2026春•漳州期末）多项式6a3b3+12a3b2c﹣3a2b，则各项的最大公因式是　3a2b/3ba2 ． 【分析】按照先找系数的最大公约数，再找各项共有的相同字母的最低次幂，将两者相乘即可得到结果． 【解答】解：多项式中各项系数为6，12，﹣3，其绝对值的最大公约数是3． 各项都含有的字母为a，b，c只出现在第二项中， ∴公因式不含c．a的最低次幂是2，b的最低次幂是1． ∴最大公因式为3a2b． 故答案为：3a2b/3ba2． 【点评】本题考查多项式最大公因式的求解，正确计算是解题关键． 【考点3】因式分解-提公因式法（第17-25题） · 先确定公因式，再提取。 · 注意符号变化，如(y-x)=-(x-y)。 · 提完后检查括号内是否还能继续分解。 17．（2025秋•松江区校级月考）如图，边长为a，b的长方形，它的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为（　　） A．24 B．70 C．40 D．140 【分析】根据长方形的周长、面积公式得出2（a+b）＝14，ab＝10，再利用提公因式法将a2b+ab2分解因式，即可代入求值． 【解答】解：由题意得，2（a+b）＝14，ab＝10， ∴a+b＝7， ∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝10×7＝70， 故选：B． 【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法，列代数式，熟练掌握提公因式法分解因式是解题的关键． 18．（2025秋•虹口区校级期中）下列各数中，不是（﹣8）2026+（﹣8）2024因数的是（　　） A．10 B．13 C．15 D．16 【分析】将原式写成13×5×2×2×2×8×82022，再进行判断即可． 【解答】解：∵（﹣8）2026+（﹣8）2024 ＝（﹣8）2024•[（﹣8）2+1] ＝65×82024， ＝13×5×82024， ＝13×5×8×8×82022， ＝13×5×2×2×2×8×82022， ∴（﹣8）2026+（﹣8）2024有因数10，13，16，没有因数15， 故选：C． 【点评】本题考查提公因式分解因式，将原式写成13×5×2×2×2×8×82022是正确解答的关键． 19．（2023秋•闵行区校级期中）把多项式x3+mx分解因式得时，m、n的值分别可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用多项式乘多项式的运算法则，把展开，利用等式的性质列方程，求解即可． 【解答】解：∵ ＝x（x2x+nxn） ＝x3+（n）x2nx ∴x3+mx＝x3+（n）x2nx， ∴n0，n＝m， ∴n，m． 故选：B． 【点评】本题考查了多项式乘多项式，等式的性质，掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 20．（2026春•上海校级月考）因式分解：a（x﹣1）﹣3（x﹣1）＝　（x﹣1）（a﹣3）　 ． 【分析】先确定公因式，再提取即可． 【解答】解：a（x﹣1）﹣3（x﹣1）＝（x﹣1）（a﹣3）， 故答案为：（x﹣1）（a﹣3）． 【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键． 21．（2025秋•普陀区期末）因式分解：2（a﹣1）2﹣a+1＝　（a﹣1）（2a﹣3）　 ． 【分析】先变形，再提公因式即可． 【解答】解：2（a﹣1）2﹣a+1 ＝2（a﹣1）2﹣（a﹣1） ＝（a﹣1）[2（a﹣1）﹣1] ＝（a﹣1）（2a﹣3）， 故答案为：（a﹣1）（2a﹣3）． 【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键． 22．（2024秋•浦东新区校级期末）因式分解：﹣20x4y3+28x2y4z＝　4x2y3（7yz﹣5x2）　 ． 【分析】确定公因式4x2y3即可即可求解． 【解答】解：﹣20x4y3+28x2y4z＝4x2y3（7yz﹣5x2）． 故答案为：4x2y3（7yz﹣5x2）． 【点评】本题考查了提公因式法分解因式：系数，取各项系数的最大公因数，字母，取各项都含有的相同字母，并且相同字母的指数取次数最低的．准确的找出公因式是解题的关键． 23．（2025秋•青浦区校级期中）分解因式：（m﹣n）（x+3y）﹣（n﹣m）（x﹣y）． 【分析】先对原式变形得到公因式，再提取公因式化简整理即可得到结果． 【解答】解：原式＝（m﹣n）（x+3y）+（m﹣n）（x﹣y） ＝（m﹣n）[（x+3y）+（x﹣y）] ＝（m﹣n）（x+3y+x﹣y） ＝（m﹣n）（2x+2y） ＝2（m﹣n）（x+y）． 【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法，掌握因式分解的方法是关键． 24．（2025秋•宝山区校级期中）因式分解：6x（x﹣y）2+3（y﹣x）3． 【分析】利用提公因式法进行分解，即可解答． 【解答】解：6x（x﹣y）2+3（y﹣x）3 ＝6x（x﹣y）2﹣3（x﹣y）3 ＝3（x﹣y）2[2x﹣（x﹣y）] ＝3（x﹣y）2（x+y）． 【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握因式分解﹣提公因式法是解题的关键． 25．（2025秋•上海期中）因式分解：（a+b）（x﹣y）+（a﹣b）（y﹣x）． 【分析】先凑出公因式（x﹣y），然后再提取公因式即可解答． 【解答】解：原式＝（a+b）（x﹣y）﹣（a﹣b）（x﹣y） ＝（x﹣y）[（a+b）﹣（a﹣b）] ＝（x﹣y）2b ＝2b（x﹣y）． 【点评】本题主要考查了因式分解，灵活运用提取公因式法进行因式分解是解题的关键． 【考点4】因式分解-运用公式法（第26-37题） · 平方差公式：两项、异号、平方形式。 · 完全平方公式：三项、首尾平方、中间两倍积。 · 高次幂先提公因式，再套公式，分解要彻底。 26．（2025秋•徐汇区校级期中）下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（　　） A．x2﹣2x﹣1 B．x2+2x+4 C．x2﹣6x+9 D． 【分析】根据完全平方公式 a2±2ab+b2＝（a±b）2，逐项检查各选项是否符合公式结构． 【解答】解：A：常数项﹣1不是平方数，且无法配成完全平方，故不符合题意； B：若b＝2，则b2＝4，但2ab＝4x≠2x，故不符合题意； C：9＝32，且﹣6x＝﹣2•x•3，故符合完全平方公式，即（x﹣3）2； D：，若 ，则，但，故不符合题意． ∴能用完全平方公式因式分解的是C， 故选：C． 【点评】本题考查了完全平方公式进行因式分解，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征． 27．（2025秋•闵行区校级月考）下列各式可用平方差公式分解因式的是（　　） A．4x﹣y2 B．﹣16a2+25b2 C．﹣9x2﹣y2 D．x2+y2 【分析】根据平方差公式的特征逐一判断即可． 【解答】解：﹣16a2+25b2 ＝（5b+4a）（5b﹣4a）， 其它选项都不能用平方差公式进行因式分解． 故选：B． 【点评】本题主要考查因式分解﹣运用公式法，熟练掌握利用平方差公式进行因式分解是解题的关键． 28．（2025秋•金山区校级月考）如果x2+kx+49可以用完全平方公式进行因式分解，那么常数k的值是（　　） A．7 B．±7 C．14 D．±14 【分析】由题意可得x2+kx+49是完全平方式，然后根据完全平方式的特点解答即可． 【解答】解：因为x2+kx+49＝（x±7）2＝x2±14x+49， 所以k＝±14． 故选：D． 【点评】本题考查了多项式的因式分解和完全平方式，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握基本知识是解题关键． 29．（2025秋•闵行区校级期中）如果整式x2+1+Δ能直接用完全平方公式进行因式分解，那么“Δ”所代表的单项式不可能是（　　） A．2x B．﹣2x C． D． 【分析】根据完全平方公式的结构特征判断即可． 【解答】解：A、“Δ”所代表的单项式是2x时，x2+1+2x＝（x+1）2，能用完全平方公式分解因式，故此选项不符合题意； B、“Δ”所代表的单项式是﹣2x时，x2+1﹣2x＝（x﹣1）2，能用完全平方公式分解因式，故此选项不符合题意； C、“Δ”所代表的单项式是时，x2+1，能用完全平方公式分解因式，故此选项不符合题意； D、“Δ”所代表的单项式是时，x2+1，不能用完全平方公式分解因式，故此选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 30．（2025秋•虹口区校级月考）下列多项式，能用公式法分解因式的有（　　） ①x2+y2；②﹣x2+y2；③x2+2xy﹣y2；④﹣x2+4xy﹣4y2． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据平方差公式、完全平方公式的结构特征判断即可． 【解答】解：①x2+y2，不能用公式法分解因式； ②﹣x2+y2＝y2﹣x2＝（y+x）（y﹣x），能用平方差公式分解因式； ③x2+2xy﹣y2，不能用公式法分解因式； ④﹣x2+4xy﹣4y2＝﹣（x2﹣4xy+4y2）＝﹣（x﹣2y）2，能用完全平方公式分解因式； 所以能用公式法分解因式的有2个， 故选：B． 【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征是解题的关键． 31．（2026•静安区校级模拟）已知整式4m2﹣a分解因式的结果为4（m+2）（m﹣2），则a＝　16　 ． 【分析】将已知分解后的结果展开，对比原式对应项系数即可求得a． 【解答】解：原式＝4（m2﹣22）＝4m2﹣16， 则4m2﹣a＝4m2﹣16， 即a＝16． 故答案为：16． 【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握该知识点是关键． 32．（2025秋•宝山区期末）因式分解：x4﹣16＝　（x2+4）（x+2）（x﹣2）．　 ． 【分析】利用平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），进行两次分解． 【解答】解：x4﹣16 ＝（x2+4）（x2﹣4） ＝（x2+4）（x+2）（x﹣2）． 故答案为：（x2+4）（x+2）（x﹣2）． 【点评】此题主要考查了用公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 33．（2025秋•青浦区校级期中）若整式9x2+1加上一个单项式后，能用完全平方公式分解因式，则加上的单项式是　6x或﹣6x或　 ． 【分析】根据完全平方公式的结构特征，分情况讨论，确定符合条件的单项式即可． 【解答】解：分两种情况讨论： ①当9x2和1分别为完全平方中的两个平方项时， 9x2＝（3x）2，1＝12，中间项为±2•3x•1＝±6x， ∴整式9x2+1可以加上的单项式为：6x或﹣6x； ②当1为其中一个平方项，9x2为中间项时，设所加的单项式为A2， 则， 解得：， ∴整式9x2+1加上的单项式为：， 综上，符合条件的单项式为：6x或﹣6x或． 故答案为：6x或﹣6x或． 【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，单项式，掌握因式分解的方法是关键． 34．（2026春•上海校级月考）将下列多项式进行因式分解． （1）x2﹣9y2； （2）x2﹣x4； （3）m2+2n2． 【分析】（1）利用平方差公式因式分解即可； （2）提公因式后利用平方差公式因式分解即可； （3）提公因式后利用平方差公式因式分解即可． 【解答】解：（1）原式＝（x+3y）（x﹣3y）； （2）原式＝x2（1﹣x2） ＝x2（1+x）（1﹣x）； （3）原式（m2﹣4n2） （m+2n）（m﹣2n）． 【点评】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 35．（2025秋•虹口区期末）因式分解：（a2﹣5a）2+12（a2﹣5a）+36． 【分析】根据十字相乘法及完全平方公式进行分解因式即可． 【解答】解：（a2﹣5a）2+12（a2﹣5a）+36 ＝（a2﹣5a+6）2 ＝[（a﹣2）（a﹣3）]2 ＝（a﹣2）2（a﹣3）2． 【点评】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键． 36．（2025秋•浦东新区校级期中）阅读下列解题的过程． 分解因式：a4+4 解：a4+4＝a4+4a2+4﹣4a2 ＝（a2+2）2﹣4a2 ＝（a2+2+2a）（a2+2﹣2a） 请按照上述解题思路完成下列因式分解： （1）x4+64； （2）x4﹣30x2y2+49y4． 【分析】（1）根据题中所给方法可进行因式分解； （2）根据题中所给方法可进行因式分解． 【解答】解：（1）原式＝x4+16x2+64﹣16x2 ＝（x2+8）2﹣16x2 ＝（x2+8+4x）（x2+8﹣4x）； （2）原式＝x4﹣14x2y2+49y4﹣16x2y2 ＝（x2﹣7y2）2﹣16x2y2 ＝（x2﹣7y2+4xy）（x2﹣7y2﹣4xy）． 【点评】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键． 37．（2025秋•虹口区校级月考）阅读以下材料，回答问题． 材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1． 解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2，再将“A”还原，得原式＝（x+y+1）2，上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法． 请你根据“整体思想”的方法因式分解：（a2﹣4a+2）（a2﹣4a+6）+4． 【分析】按照示例，令a2﹣4a＝A，原式＝（A+4）2，还原得原式＝（a2﹣4a+4）2＝（a﹣2）4． 【解答】解：令a2﹣4a＝A （a2﹣4a+2）（a2﹣4a+6）+4 ＝ （A+2）（A+6）+4 ＝A2+8A+12+4 ＝A2+8A+16 ＝（A+4）2， 将“A”还原，得原式＝（a2﹣4a+4）2＝（a﹣2）4． 【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，解决本题的关键是熟练运用完全平方公式解决问题． 【考点5】提公因式法与公式法的综合运用（第38-44题） · 先提公因式，再用公式法。 · 整体思想、换元法可简化复杂多项式。 · 数形结合可验证因式分解，注意面积法。 38．（2025秋•闵行区校级期中）下列因式分解正确的是（　　） A．12abc﹣3bc2＝3b（4ac﹣c2） B．（a﹣b）2+4ab＝（a﹣2b）2 C．3ax2﹣3ay2＝3a（x2﹣y2） D．（x﹣4）（x+1）+3x＝（x+2）（x﹣2） 【分析】根据提公因式法与公式法逐项计算判断求解． 【解答】解：A．12abc﹣3bc2＝3bc（4a﹣c），故选项A不符合题意； B．（a﹣b）2+4ab＝a2﹣2ab+b2+4ab＝a2+2ab+b2＝（a+b）2，故选项B不符合题意； C．3ax2﹣3ay2＝3a（x2﹣y2）＝3a（x+y）（x﹣y），故选项C不符合题意； D．（x﹣4）（x+1）+3x＝x2﹣3x﹣4+3x＝x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），故选项D符合题意； 故选：D． 【点评】本题主要考查提公因式法与公式法的综合运用，关键是掌握因式分解的方法． 39．（2026春•上海校级月考）分解因式：　　 ． 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解即可． 【解答】解：． 故答案为：． 【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，掌握因式分解的方法是关键． 40．（2025秋•青浦区校级期中）分解因式：﹣5a2b3c+10a3b+15ab2＝　﹣5ab（ab2c﹣2a2﹣3b）　 ． 【分析】直接提取公因式即可． 【解答】解：﹣5a2b3c+10a3b+15ab2＝﹣5ab（ab2c﹣2a2﹣3b）． 故答案为：﹣5ab（ab2c﹣2a2﹣3b）． 【点评】本题考查的是因式分解，熟知因式分解的提公因式法和公式法是解题的关键． 41．（2025秋•杨浦区期末）因式分解：2ax2﹣12axy+18ay2 【分析】首先提取公因式2a，再利用完全平方公式分解因式即可． 【解答】解：原式＝2a（x2﹣6xy+9y2） ＝2a（x﹣3y）2． 【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式是解题关键． 42．（2025秋•闵行区校级月考）因式分解：（x+y）（x+y+2xy）+（xy+1）（xy﹣1）． 【分析】先根据整式的乘法运算把原式化为（x+y）2+2xy（x+y）+x2y2﹣1，再由完全平方公式和平方差公式，即可求解． 【解答】解：原式＝（x+y）[（x+y）+2xy]+（xy+1）（xy﹣1） ＝（x+y）2+2xy（x+y）+x2y2﹣1 ＝（x+y+xy）2﹣12 ＝（x+y+xy+1）（x+y+xy﹣1） ＝（x+1）（y+1）（x+y+xy﹣1）． 【点评】本题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用，掌握因式分解的方法是关键． 43．（2025秋•金山区校级月考）分解因式： （1）9abc﹣6a2b2+12abc2； （2）3x2（x﹣y）+6x（y﹣x）； （3）（m+n）2﹣4（m+n﹣1）； （4）4（a﹣b）2﹣12a（a﹣b）+9a2． 【分析】（1）提公因式3ab即可； （2）提公因式3x（x﹣y）即可； （3）把（m+n）看成整体，利用完全平方公式即可分解； （4）利用完全平方公式即可分解． 【解答】解：（1）9abc﹣6a2b2+12abc2 ＝3ab（3c﹣2ab+4c2）； （2）3x2（x﹣y）+6x（y﹣x） ＝3x2（x﹣y）﹣6x（x﹣y） ＝3x（x﹣y）（x﹣2）； （3）原式＝（m+n）2﹣4（m+n）+4＝（m+n﹣2）2． （4）原式＝[2（a﹣b）]2﹣2×2（a﹣b）×3a+（3a）2＝[2（a﹣b）﹣3a]2＝（﹣a﹣2b）2＝（a+2b）2． 【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法因式分解是解题关键． 44．（2025秋•黄浦区校级月考）阅读下列解题过程： 分解因式：x4+（2y+4）x2+y2+4y+4． 分析：题中y2+4y+4是（y+2）2，把x2，y+2分别看作a，b，用公式法分解因式，即可得． 解：设x2＝a，y+2＝b，则： 原式a2+2ab+b2＝（a+b）2＝（x2+y+2）2， 像这样因式分解的方法叫做运用换元法因式分解． 请你参照上述方法因式分解：（1﹣xy）2+（x+y﹣2）（x+y﹣2xy）． 【分析】设a＝xy，b＝x+y，首先去括号，进而利用完全平方公式分解因式，再分组分解得出答案． 【解答】解：设a＝xy，b＝x+y， （1﹣xy）2+（x+y﹣2）（x+y﹣2xy） ＝（1﹣a）2+（b﹣2）（b﹣2a） ＝1﹣2a+a2+b2﹣2ab﹣2b+4a ＝1+2a+a2+b2﹣2b（a+1） ＝（a+1）2+b2﹣2b（a+1） ＝（a+1﹣b）2 ＝[xy+1﹣（x+y）]2 ＝[x（y﹣1）﹣（y﹣1）]2 ＝（x﹣1）2（y﹣1）2． 【点评】此题主要考查了因式分解，正确去括号进而利用完全平方公式分解因式是解题关键． 课后巩固 · 针对性练习 ❤ 复习建议 牢记因式分解的定义，判断时注意右边必须是整式的积。 确定公因式时，系数取最大公约数，字母取相同字母最低次幂。 熟记平方差公式和完全平方公式的结构特征，避免误用。 分解因式要彻底，先提公因式，再用公式法，直到不能再分解。 注意符号变化和整体思想，如(y-x)=-(x-y)，把某一部分看成整体。 【作业1】（2024秋•奉贤区校级期中）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（　　） A．x2﹣9+6x＝（x+3）（x﹣3）+6x B．（x+5）（x﹣2）＝x2+3x﹣10 C．x2﹣8x+16＝（x﹣4）2 D．6ab＝2a•3b 【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义，利用排除法求解． 【解答】解：A、右边不是积的形式，故A选项错误； B、是多项式乘法，不是因式分解，故B选项错误； C、是运用完全平方公式，符合因式分解的定义，故C选项正确； D、不是把多项式化成整式积的形式，故D选项错误． 故选：C． 【点评】本题考查了因式分解的意义，注意因式分解后左边和右边是相等的，不能凭空想象右边的式子．这类问题的关键在于能否正确应用因式分解的定义来判断． 【作业2】（2025秋•浦东新区期末）已知长、宽分别为a，b的长方形的周长为22，面积为18，则a2b+ab2的值为（　　） A．198 B．216 C．252 D．396 【分析】根据长方形周长和面积的公式得到a+b＝11，ab＝18，再将a2b+ab2因式分解等于ab（a+b），再代入求值即可． 【解答】解：由条件可知2（a+b）＝22，ab＝18， ∴a+b＝11，ab＝18， ∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝18×11＝198， 故选：A． 【点评】本题考查了因式分解的应用，代数式求值，掌握因式分解的方法是解答本题的关键． 【作业3】（2024秋•松江区期末）下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（　　） A．x2+2x﹣1 B． C．x2+2x+4 D．x2﹣6x+9 【分析】根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：A、x2+2x﹣1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故错误； B、不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故错误； C、x2+2x+4不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故错误； D、x2﹣6x+9＝（x﹣3）2，故正确； 故选：D． 【点评】本题考查了用公式法进行因式分解，能用公式法进行因式分解的式子的特点需熟记． 【作业4】（2025秋•崇明区校级期中）下列因式分解正确的是（　　） A．x（x﹣y）﹣y（x﹣y）＝（x﹣y）（x+y） B．4x2+6x3＝2x（2x+3x2） C．x2﹣xy+x＝x（x﹣y） D．（x+2y）2﹣（2x﹣y）2＝（3x+y）（3y﹣x） 【分析】将各式进行因式分解后再判断即可． 【解答】解：x（x﹣y）﹣y（x﹣y）＝（x﹣y）（x﹣y）＝（x﹣y）2，则A不符合题意， 4x2+6x3＝2x2（2+3x），则B不符合题意， x2﹣xy+x＝x（x﹣y+1），则C不符合题意， （x+2y）2﹣（2x﹣y）2＝（x+2y+2x﹣y）（x+2y﹣2x+y）＝（3x+y）（3y﹣x），则D符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键． 【作业5】（2025秋•金山区校级期末）已知整式x2﹣x+k可以因式分解为（x+m）（x﹣5），则k的值为　﹣20　 ． 【分析】通过展开因式分解形式，比较同类项系数，建立方程求解． 【解答】解：通过展开因式分解形式，比较同类项系数可知： （x+m）（x﹣5）＝x2+（m﹣5）x﹣5m， 得m﹣5＝﹣1， 解得 m＝4， 则k＝﹣5m＝﹣5×4＝﹣20． 故答案为：﹣20． 【点评】本题考查的是根据因式分解的结果求参数，熟练掌握该知识点是关键． 【作业6】（2024•青浦区三模）已知x2﹣x﹣2是多项式x4+ax3﹣9x2+bx+2a+b+6的因式，则ab＝　　 ． 【分析】根据题意可设（x2﹣x﹣2）（x2+mx+n）＝x4+ax3﹣9x2+bx+2a+b+6，通过化简比较可得m﹣1＝a，n﹣m﹣2＝﹣9，﹣（n+2m）＝b，﹣2n＝2a+b+6，据此可求解m，n，进而求解a，b的值，再代入计算可求解． 【解答】解：∵x2﹣x﹣2是多项式x4+ax3﹣9x2+bx+2a+b+6的因式， ∴设（x2﹣x﹣2）（x2+mx+n）＝x4+ax3﹣9x2+bx+2a+b+6， x4+mx3+nx2﹣x3﹣mx2﹣nx﹣2x2﹣2mx﹣2n＝x4+ax3﹣9x2+bx+2a+b+6， x4+（m﹣1）x3+（n﹣m﹣2）x2﹣（n+2m）x﹣2n＝x4+ax3﹣9x2+bx+2a+b+6， ∴m﹣1＝a，n﹣m﹣2＝﹣9，﹣（n+2m）＝b，﹣2n＝2a+b+6， 即：n﹣m＝﹣7，n＝﹣4， 解得m＝3， ∴a＝m﹣1＝3﹣1＝2，b＝﹣（﹣4+2×3）＝﹣2， ∴ab＝2﹣2． 故答案为． 解法二：设原式＝M（x2﹣x﹣2）＝M（x+1）（x﹣2）（M为整式）， 分别令x＝﹣1，x＝2，可得：， 解得， ∴ab＝2﹣2． 【点评】此题主要考查了因式分解的意义，正确掌握相关定义是解题关键． 【作业7】（2023秋•奉贤区期中）因式分解：x（x﹣y）+y（y﹣x）＝　（x﹣y）2 ． 【分析】直接提取公因式（x﹣y）分解因式，即可得出答案． 【解答】解：x（x﹣y）+y（y﹣x） ＝x（x﹣y）﹣y（x﹣y） ＝（x﹣y）（x﹣y） ＝（x﹣y）2． 故答案为：（x﹣y）2． 【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键． 【作业8】（2025秋•虹口区期末）因式分解：8x2y+4xy2﹣12xy＝　4xy（2x+y﹣3）　 ． 【分析】提取公因式4xy即可． 【解答】解：原式＝4xy（2x+y﹣3）， 故答案为：4xy（2x+y﹣3）． 【点评】本题考查了因式分解，熟知因式分解的提公因式法是解题的关键． 【作业9】（2025春•徐汇区校级月考）因式分解：3x4﹣48＝　3（x2+4）（x+2）（x﹣2）　 ． 【分析】先提公因式，再利用平方差公式解题即可． 【解答】解：3x4﹣48 ＝3（x4﹣16） ＝3（x2+4）（x+2）（x﹣2）． 故答案为：3（x2+4）（x+2）（x﹣2）． 【点评】本题考查利用提公因式、平方差公式进行因式分解，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 【作业10】（2025秋•崇明区校级期中）因式分解：x3y﹣2x2y2+xy3＝xy（x﹣y）2 ． 【分析】多项式有公因式，应先提取公因式xy，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用完全平方公式继续分解． 【解答】解：原式＝xy（x2﹣2xy+y2）＝xy（x﹣y）2． 故答案为：xy（x﹣y）2． 【点评】本题考查了提公式法与公式法的综合运用，掌握因式分解的方法是关键． 【作业11】（2023秋•闵行区校级期中）由多项式乘以多项式的法则可以得到： （a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3﹣a2b+ab2+a2b﹣ab2+b3＝a3+b3． 即：（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3，我们把这个公式叫做立方和公式， 同理：（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3，我们把这个公式叫做立方差公式， 请利用以上公式分解因式：3a3b﹣81b4＝ 　3b（a﹣3b）（a2+3ab+9b2）　 ． 【分析】先提取公因式，再根据立方差公式进行因式分解即可． 【解答】解：原式＝3b（a3﹣27b3） ＝3b（a﹣3b）（a2+3ab+9b2）． 故答案为：3b（a﹣3b）（a2+3ab+9b2）． 【点评】本题主要考查提取公因式与公式法的综合应用，根据立方差公式进行因式分解是解题的关键． 【作业12】（2025秋•虹口区校级月考）把下列各式分解因式： （1）﹣8a3b2+6ab3c； （2）x（x﹣y）2﹣y（y﹣x）； （3）（x2+1）2﹣4x2； （4）﹣m2+6mn﹣9n2． 【分析】（1）提取公因式即可； （2）提取公因式即可； （3）根据平方差公式分解因式即可； （4）根据完全平方公式分解因式即可． 【解答】解：（1）原式＝﹣2ab2（4a2﹣3bc）； （2）原式＝x（x﹣y）2+y（x﹣y） ＝（x﹣y）[x（x﹣y）+y] ＝（x﹣y）（x2﹣xy+y）； （3）原式＝（x2+1+2x）（x2+1﹣2x） ＝（x+1）2（x﹣1）2； （4）原式＝﹣（m2﹣6mn+9n2） ＝﹣（m﹣3n）2． 【点评】本题考查提公因式法与公式法的综合运用，掌握提公因式法与公式法分解因式是解题的关键． 【作业13】（2025秋•黄浦区校级月考）因式分解： （1）2（a﹣b）2+a（b﹣a）； （2）3a3﹣6a2b﹣24ab2； （3）7a2﹣3b+ab﹣21a； （4）（a2+1）2﹣4a2； （5）（a2+5a）2﹣（a2+5a）﹣20． 【分析】（1）变形后提取公因式即可； （2）先提取公因式，再用十字相乘法； （3）先分组，再提取公因式； （4）先用平方差公式，再用完全平方公式； （5）十字相乘法分解即可． 【解答】解：（1）2（a﹣b）2+a（b﹣a） ＝2（a﹣b）2﹣a（a﹣b） ＝（a﹣b）[2（a﹣b）﹣a] ＝（a﹣b）（a﹣2b）； （2）3a3﹣6a2b﹣24ab2 ＝3a（a2﹣2ab﹣8b2） ＝3a（a﹣4b）（a+2b）； （3）7a2﹣3b+ab﹣21a ＝（7a2+ab）+（﹣3b﹣21a） ＝a（7a+b）﹣3（7a+b） ＝（7a+b）（a﹣3）； （4）（a2+1）2﹣4a2 ＝（a2+1﹣2a）（a2+1+2a） ＝（a﹣1）2（a+1）2； （5）（a2+5a）2﹣（a2+5a）﹣20 ＝（a2+5a﹣5）（a2+5a+4） ＝（a2+5a﹣5）（a+1）（a+4）． 【点评】本题考查因式分解，解题的关键是掌握提取公因式和公式法分解因式． 【作业14】（2026春•淳化县校级期末）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到a2+2ab+b2＝（a+b）2． （1）观察图2，请用两种不同的方法表示图2中大长方形的面积，并写成因式分解的形式； （2）在图2中，若大长方形的周长为30，且ab＝6，求阴影部分的面积． 【分析】（1）用两种方式表示出大长方形的面积，从而即可得出结果； （2）由大长方形的周长得出a+b＝5，再结合完全平方公式计算得出a2+b2＝13，即可得出结果． 【解答】解：（1）图2面积为2a2+5ab+2b2，也可以表示为（2a+b）（a+2b）， 写成因式分解的形式为： 2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）． （2）大长方形的周长＝2（2a+b）+2（a+2b）＝6（a+b）＝30， ∴a+b＝5． ∵a2+2ab+b2＝（a+b）2， ∴a2+12+b2＝25， ∴a2+b2＝13， ∴阴影部分面积＝2a2+2b2＝2（a2+b2）＝26． 【点评】本题考查了因式分解的应用、整式的化简求值，熟练掌握以上知识点是关键． 【作业15】（2026秋•同步）问题探究：数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．例如：我们可以通过表示几何图形面积的方法来快速地对多项式a2+2ab+b2进行因式分解． 如图（1）所示的边长为（a+b）的大正方形是由1张边长为a的正方形卡片A，1张边长为b的正方形卡片B，2张邻边长分别为a，b的长方形卡片C组成的，这个图形的面积可以表示成a2+2ab+b2或（a+b）2，从而验证a2+2ab+b2＝（a+b）2． （1）如图（2），用1张正方形卡片A，2张长方形卡片C拼成一个长方形，可以验证多项式的因式分解为a2+2ab＝a（a+2b）　 ； （2）某数学兴趣小组的同学用若干张卡片A、B、C，开展对多项式因式分解的几何验证活动： ①他们利用若干张卡片A、B、C拼成图（3）中的长方形，你认为他们想验证多项式的因式分解为a2+3ab+2b2＝（a+b）（a+2b）　 ； ②请你类比上述方法对多项式3a2+4ab+b2进行因式分解，要求画出因式分解的图形，标出各边的长度； ③问题②中，某同学发现他们所拼成的长方形面积为45，并且a，b均为正整数，请分别求出a，b的长． 【分析】（1）用两种方法表示出图（2）中图形的面积，得到验证多项式的因式分解即可； （2）①用两种方法表示出图（3）中图形的面积，得到验证多项式的因式分解即可； ②画出相关图形，借助图形得到验证多项式的因式分解即可； ③根据②中得到的因式分解判断出a+b和3a+b的值，进而得到a和b的值即可． 【解答】解：（1）这个图形的面积可以表示为：a2+2ab或a（a+2b），从而验证a2+2ab＝a（a+2b）， 故答案为：a2+2ab＝a（a+2b）； （2）①这个图形的面积可以表示为：a2+3ab+2b2或（a+b）（a+2b），从而验证a2+3ab+2b2＝（a+b）（a+2b）， 故答案为：a2+3ab+2b2＝（a+b）（a+2b）； ② 这个图形的面积可以表示为：3a2+4ab+b2或（a+b）（3a+b），从而验证3a2+4ab+b2＝（a+b）（3a+b）， ③由题意得：（a+b）（3a+b）＝45， ∵a，b均为正整数， ∴， 解得：． 答：a＝2，b＝3． 【点评】本题考查因式分解的应用．借助图形得到因式分解的相应等式是解决本题的关键． 【作业16】（2026春•辽阳县期末）学习完利用完全平方公式进行因式分解，老师在课堂上讲了下面两道题： ①分解因式：x2+2x﹣3． 解：原式＝x2+2x+1﹣1﹣3＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）． ②求多项式2x2+4x﹣5的最小值． 解：原式＝2（x2+2x）﹣5＝2（x2+2x+1﹣1）﹣5＝2[（x+1）2﹣1]﹣5＝2（x+1）2﹣7， ∵2（x+1）2≥0， ∴2（x+1）2﹣7≥﹣7， ∴当x＝﹣1时，多项式2x2+4x﹣5有最小值，最小值是﹣7． 参照以上解题过程，解决下列问题： （1）分解因式：x2+6x﹣16； （2）当x为何值时，多项式﹣3x2+12x+1有最大值？最大值是多少？ 【分析】（1）先利用完全平方公式进行配方，再利用平方差公式，即可求解； （2）先利用完全平方公式进行配方，再根据平方的非负性，即可求解． 【解答】解：（1）x2+6x﹣16＝x2+6x+9﹣9﹣16＝（x+3）2﹣25＝（x+3+5）（x+3﹣5）＝（x+8）（x﹣2）． （2）﹣3x2+12x+1＝﹣3（x2﹣4x）+1＝﹣3（x2﹣4x+4﹣4）+1＝﹣3[（x﹣2）2﹣4]+1＝﹣3（x﹣2）2+13， ∵（x﹣2）2≥0， ∴﹣3（x﹣2）2≤0， ∴﹣3（x﹣2）2+13≤13， ∴当x＝2时，多项式有最大值，最大值是13． 【点评】本题考查因式分解的应用，正确进行计算是解题关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12.1-12.2 因式分解（1）—提公因式及公式法 优等生讲义 新沪教版（五四制）数学七年级上册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解因式分解的意义，能判断一个变形是否为因式分解。 · 掌握公因式的确定方法，会用提公因式法分解因式。 · 掌握平方差公式、完全平方公式，并能运用公式法分解因式。 · 能综合运用提公因式法与公式法进行因式分解，做到分解彻底。 · 了解“试根法”“换元法”“数形结合”等方法，提升代数推理能力。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1. 因式分解的意义 定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解。因式分解与整式乘法是互逆变形。 典型例题：下列从左到右的变形，属于因式分解的是（　）。 A. (x-2)²=x²-4x+4　B. x²+3x+2=x(x+3)+2　C. x²-9=(x+3)(x-3)　D. 2x+2=2(x+1x) 解析：A是整式乘法；B右边不是积的形式；D右边含分式，不是整式；C左边是多项式，右边是两个整式的积，符合因式分解定义。故选C。 ☆ 2. 公因式 定义：多项式各项都含有的公共因式，叫做这个多项式各项的公因式。确定公因式时，系数取各项系数的最大公约数，字母取各项都含有的相同字母的最低次幂。 典型例题：多项式 4x²y-6xy²+2xy 的公因式是（　）。 A. 2x　B. 2y　C. 2xy　D. 4xy 解析：系数4、-6、2的最大公约数是2；相同字母x的最低次幂是x¹，y的最低次幂是y¹，所以公因式是2xy。故选C。 ☆ 3. 因式分解-提公因式法 方法：ma+mb+mc=m(a+b+c)。公因式可以是单项式，也可以是多项式。提公因式后，括号内项数与原多项式项数相同。 典型例题：分解因式：6x(x-y)²+3(y-x)³。 解析：原式=6x(x-y)²-3(x-y)³=3(x-y)²[2x-(x-y)]=3(x-y)²(x+y)。 ☆ 4. 因式分解-运用公式法 平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)。完全平方公式：a²±2ab+b²=(a±b)²。 典型例题：分解因式：x⁴-16。 解析：x⁴-16=(x²+4)(x²-4)=(x²+4)(x+2)(x-2)。 几何示意：边长为(a+b)的大正方形，可分割为1个边长为a的正方形、1个边长为b的正方形、2个长为a宽为b的长方形。 由图可得：a²+2ab+b²=(a+b)²。 ☆ 5. 提公因式法与公式法的综合运用 方法：先观察是否有公因式，有公因式先提公因式；再观察是否符合平方差公式或完全平方公式；分解要彻底，直到不能再分解为止。 典型例题：分解因式：-13x³+23x²y-13xy²。 解析：原式=-13x(x²-2xy+y²)=-13x(x-y)²。 知识总结表 核心概念 定义/方法 注意事项 因式分解 把多项式化为几个整式的积的形式 与整式乘法互逆，右边必须是整式积 公因式 各项都含有的公共因式 系数取最大公约数，字母取最低次幂 提公因式法 ma+mb+mc=m(a+b+c) 注意符号，提完后括号内项数不变 平方差公式 a²-b²=(a+b)(a-b) 两项、异号、平方形式 完全平方公式 a²±2ab+b²=(a±b)² 三项、首尾平方、中间两倍积 综合运用 先提公因式，再用公式法 分解要彻底，整体思想、换元法可简化 核心考点 ·5大典型考点精讲 【考点1】因式分解的意义（第1-10题） · 判断标准：左边是多项式，右边是几个整式的积。 · 求参数：展开后比较对应项系数，或代入特殊值。 · 试根法：若f(a)=0，则多项式含因式(x-a)。 1．（2025秋•奉贤区期末）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A．（x﹣2）2＝x2﹣4x+4 B．x2+3x+2＝x（x+3）+2 C．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3） D． 2．（2025秋•金山区期末）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．a（a+b）＝a2+ab B．a2+2a+1＝a（a+2）+1 C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．2a2﹣6ab＝2a（a﹣3b） 3．（2025秋•浦东新区期末）关于等式①2a﹣4＝2（a﹣2）和②3x2+3xy＝3x（x+y）从左到右的变形，下列说法中，正确的是（　　） A．①和②都是因式分解 B．①和②都不是因式分解 C．①是因式分解，②不是因式分解 D．①不是因式分解，②是因式分解 4．（2025秋•崇明区校级期中）已知关于x的整式x2+mx+6＝（x+a）（x+b），其中a、b为整数，能使这个因式分解过程成立的m的值共有（　　）个． A．5 B．4 C．3 D．2 5．（2025秋•徐汇区校级期中）已知整式x2﹣x+k可以因式分解为（x+m）（x﹣5），则m的值为　 　 ． 6．（2025秋•浦东新区期末）如果二次三项式3a2+7a﹣k中有一个因式是3a﹣2，那么k的值为　 　 ． 7．（2024秋•普陀区期末）已知整式x2+mx﹣3可以因式分解为（x+p）（x+q），如果m、p，q都为整数，那么m的值为 　 　 ． 8．（2025秋•虹口区校级月考）已知（x+1）（x2+ax+5）＝x3+bx2+3x+5，求a与b的值． 9．（2024秋•徐汇区校级期中）因为x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1），这说明多项式x2+2x﹣3有一个因式为x﹣1，我们把x＝1代入多项式，发现x＝1能使多项式x2+2x﹣3的值为0． 利用上述规律，回答下列问题： （1）若x﹣3是多项式x2+kx+12的一个因式，求k的值． （2）若x﹣3和x﹣4是多项式x3+mx2+12x+n的两个因式，试求m、n的值，并将该多项式因式分解． （3）分解因式：2x3﹣x2﹣5x﹣2． 10．（2024秋•嘉定区期中）阅读下列材料，然后解答问题： 问题：因式分解：x3﹣5x2+4 解答：对于任意一元整式f（x），其奇次项系数之和为m，偶次项系数之和为n，若m＝n，则f（﹣1）＝0，若m＝﹣n，则f（1）＝0，在x3﹣5x2+4中，因为m＝1，n＝﹣5+4＝﹣1，所以把x＝1代入整式x3﹣5x2+4，得其值为0，由此确定整式x3﹣5x2+4中有因式（x﹣1），于是可设x3﹣5x2+4＝（x﹣1）（x2+px+q）分别求出p，q值，再代入x3﹣5x2+4＝（x﹣1）（x2+px+q），就可以把整式x3﹣5x2+4因式分解，这种因式分解的方法叫做“试根法”． （1）上述式子中P＝　 　 ，q＝　 　 ； （2）对于一元整式x3+6x2+11x+6，必定有f（　 　 ）＝0； （3）请你用“试根法”分解因式：x3+6x2+11x+6． 【考点2】公因式（第11-16题） · 系数取各项系数的最大公约数。 · 字母取各项都含有的相同字母的最低次幂。 · 整体公因式要整体识别，如(m+n)。 11．（2026秋•常宁市校级月考）多项式4x2y﹣6xy2+2xy的公因式是（　　） A．2x B．2y C．2xy D．4xy 12．（2026春•皇姑区期末）多项式2x3y2+3x4y3﹣6x2y中，各项的公因式是（　　） A．xy B．x2y C．2x2y D．3x2y 13．（2026•常宁市校级开学）整式A＝x﹣1，B＝x2﹣x，下列结论：①A•x＝B；②A，B的公因式为x．下列判断正确的是（　　） A．①正确，②不正确 B．①不正确，②正确 C．①②都正确 D．①②都不正确 14．（2025秋•武都区期末）多项式a2（m+n）和bm+bn的公因式是　 　 ． 15．（2025秋•武威校级期末）多项式4x3y2﹣10y3z2+6x2yz2各项的公因式是　 　 ． 16．（2026春•漳州期末）多项式6a3b3+12a3b2c﹣3a2b，则各项的最大公因式是　 　 ． 【考点3】因式分解-提公因式法（第17-25题） · 先确定公因式，再提取。 · 注意符号变化，如(y-x)=-(x-y)。 · 提完后检查括号内是否还能继续分解。 17．（2025秋•松江区校级月考）如图，边长为a，b的长方形，它的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为（　　） A．24 B．70 C．40 D．140 18．（2025秋•虹口区校级期中）下列各数中，不是（﹣8）2026+（﹣8）2024因数的是（　　） A．10 B．13 C．15 D．16 19．（2023秋•闵行区校级期中）把多项式x3+mx分解因式得时，m、n的值分别可能是（　　） A． B． C． D． 20．（2026春•上海校级月考）因式分解：a（x﹣1）﹣3（x﹣1）＝　 　 ． 21．（2025秋•普陀区期末）因式分解：2（a﹣1）2﹣a+1＝　 　 ． 22．（2024秋•浦东新区校级期末）因式分解：﹣20x4y3+28x2y4z＝　 　 ． 23．（2025秋•青浦区校级期中）分解因式：（m﹣n）（x+3y）﹣（n﹣m）（x﹣y）． 24．（2025秋•宝山区校级期中）因式分解：6x（x﹣y）2+3（y﹣x）3． 25．（2025秋•上海期中）因式分解：（a+b）（x﹣y）+（a﹣b）（y﹣x）． 【考点4】因式分解-运用公式法（第26-37题） · 平方差公式：两项、异号、平方形式。 · 完全平方公式：三项、首尾平方、中间两倍积。 · 高次幂先提公因式，再套公式，分解要彻底。 26．（2025秋•徐汇区校级期中）下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（　　） A．x2﹣2x﹣1 B．x2+2x+4 C．x2﹣6x+9 D． 27．（2025秋•闵行区校级月考）下列各式可用平方差公式分解因式的是（　　） A．4x﹣y2 B．﹣16a2+25b2 C．﹣9x2﹣y2 D．x2+y2 28．（2025秋•金山区校级月考）如果x2+kx+49可以用完全平方公式进行因式分解，那么常数k的值是（　　） A．7 B．±7 C．14 D．±14 29．（2025秋•闵行区校级期中）如果整式x2+1+Δ能直接用完全平方公式进行因式分解，那么“Δ”所代表的单项式不可能是（　　） A．2x B．﹣2x C． D． 30．（2025秋•虹口区校级月考）下列多项式，能用公式法分解因式的有（　　） ①x2+y2；②﹣x2+y2；③x2+2xy﹣y2；④﹣x2+4xy﹣4y2． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 31．（2026•静安区校级模拟）已知整式4m2﹣a分解因式的结果为4（m+2）（m﹣2），则a＝　 　 ． 32．（2025秋•宝山区期末）因式分解：x4﹣16＝　 　 ． 33．（2025秋•青浦区校级期中）若整式9x2+1加上一个单项式后，能用完全平方公式分解因式，则加上的单项式是　 　 ． 34．（2026春•上海校级月考）将下列多项式进行因式分解． （1）x2﹣9y2； （2）x2﹣x4； （3）m2+2n2． 35．（2025秋•虹口区期末）因式分解：（a2﹣5a）2+12（a2﹣5a）+36． 36．（2025秋•浦东新区校级期中）阅读下列解题的过程． 分解因式：a4+4 解：a4+4＝a4+4a2+4﹣4a2 ＝（a2+2）2﹣4a2 ＝（a2+2+2a）（a2+2﹣2a） 请按照上述解题思路完成下列因式分解： （1）x4+64； （2）x4﹣30x2y2+49y4． 37．（2025秋•虹口区校级月考）阅读以下材料，回答问题． 材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1． 解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2，再将“A”还原，得原式＝（x+y+1）2，上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法． 请你根据“整体思想”的方法因式分解：（a2﹣4a+2）（a2﹣4a+6）+4． 【考点5】提公因式法与公式法的综合运用（第38-44题） · 先提公因式，再用公式法。 · 整体思想、换元法可简化复杂多项式。 · 数形结合可验证因式分解，注意面积法。 38．（2025秋•闵行区校级期中）下列因式分解正确的是（　　） A．12abc﹣3bc2＝3b（4ac﹣c2） B．（a﹣b）2+4ab＝（a﹣2b）2 C．3ax2﹣3ay2＝3a（x2﹣y2） D．（x﹣4）（x+1）+3x＝（x+2）（x﹣2） 39．（2026春•上海校级月考）分解因式：　 　 ． 40．（2025秋•青浦区校级期中）分解因式：﹣5a2b3c+10a3b+15ab2＝　 　 ． 41．（2025秋•杨浦区期末）因式分解：2ax2﹣12axy+18ay2 42．（2025秋•闵行区校级月考）因式分解：（x+y）（x+y+2xy）+（xy+1）（xy﹣1）． 43．（2025秋•金山区校级月考）分解因式： （1）9abc﹣6a2b2+12abc2； （2）3x2（x﹣y）+6x（y﹣x）； （3）（m+n）2﹣4（m+n﹣1）； （4）4（a﹣b）2﹣12a（a﹣b）+9a2． 44．（2025秋•黄浦区校级月考）阅读下列解题过程： 分解因式：x4+（2y+4）x2+y2+4y+4． 分析：题中y2+4y+4是（y+2）2，把x2，y+2分别看作a，b，用公式法分解因式，即可得． 解：设x2＝a，y+2＝b，则： 原式a2+2ab+b2＝（a+b）2＝（x2+y+2）2， 像这样因式分解的方法叫做运用换元法因式分解． 请你参照上述方法因式分解：（1﹣xy）2+（x+y﹣2）（x+y﹣2xy）． 课后巩固 · 针对性练习 ❤ 复习建议 牢记因式分解的定义，判断时注意右边必须是整式的积。 确定公因式时，系数取最大公约数，字母取相同字母最低次幂。 熟记平方差公式和完全平方公式的结构特征，避免误用。 分解因式要彻底，先提公因式，再用公式法，直到不能再分解。 注意符号变化和整体思想，如(y-x)=-(x-y)，把某一部分看成整体。 【作业1】（2024秋•奉贤区校级期中）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（　　） 【作业1】（2024秋•奉贤区校级期中）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（　　） A．x2﹣9+6x＝（x+3）（x﹣3）+6x B．（x+5）（x﹣2）＝x2+3x﹣10 C．x2﹣8x+16＝（x﹣4）2 D．6ab＝2a•3b 【作业2】（2025秋•浦东新区期末）已知长、宽分别为a，b的长方形的周长为22，面积为18，则a2b+ab2的值为（　　） A．198 B．216 C．252 D．396 【作业3】（2024秋•松江区期末）下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（　　） A．x2+2x﹣1 B． C．x2+2x+4 D．x2﹣6x+9 【作业4】（2025秋•崇明区校级期中）下列因式分解正确的是（　　） A．x（x﹣y）﹣y（x﹣y）＝（x﹣y）（x+y） B．4x2+6x3＝2x（2x+3x2） C．x2﹣xy+x＝x（x﹣y） D．（x+2y）2﹣（2x﹣y）2＝（3x+y）（3y﹣x） 【作业5】（2025秋•金山区校级期末）已知整式x2﹣x+k可以因式分解为（x+m）（x﹣5），则k的值为　 　 ． 【作业6】（2024•青浦区三模）已知x2﹣x﹣2是多项式x4+ax3﹣9x2+bx+2a+b+6的因式，则ab＝　 　 ． 【作业7】（2023秋•奉贤区期中）因式分解：x（x﹣y）+y（y﹣x）＝　 　 ． 【作业8】（2025秋•虹口区期末）因式分解：8x2y+4xy2﹣12xy＝　 　 ． 【作业9】（2025春•徐汇区校级月考）因式分解：3x4﹣48＝　 　 ． 【作业10】（2025秋•崇明区校级期中）因式分解：x3y﹣2x2y2+xy3＝　 　 ． 【作业11】（2023秋•闵行区校级期中）由多项式乘以多项式的法则可以得到： （a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3﹣a2b+ab2+a2b﹣ab2+b3＝a3+b3． 即：（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3，我们把这个公式叫做立方和公式， 同理：（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3，我们把这个公式叫做立方差公式， 请利用以上公式分解因式：3a3b﹣81b4＝ 　 　 ． 【作业12】（2025秋•虹口区校级月考）把下列各式分解因式： （1）﹣8a3b2+6ab3c； （2）x（x﹣y）2﹣y（y﹣x）； （3）（x2+1）2﹣4x2； （4）﹣m2+6mn﹣9n2． 【作业13】（2025秋•黄浦区校级月考）因式分解： （1）2（a﹣b）2+a（b﹣a）； （2）3a3﹣6a2b﹣24ab2； （3）7a2﹣3b+ab﹣21a； （4）（a2+1）2﹣4a2； （5）（a2+5a）2﹣（a2+5a）﹣20． 【作业14】（2026春•淳化县校级期末）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到a2+2ab+b2＝（a+b）2． 【作业14】（2026春•淳化县校级期末）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到a2+2ab+b2＝（a+b）2． （1）观察图2，请用两种不同的方法表示图2中大长方形的面积，并写成因式分解的形式； （2）在图2中，若大长方形的周长为30，且ab＝6，求阴影部分的面积． 【作业15】（2026秋•同步）问题探究：数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．例如：我们可以通过表示几何图形面积的方法来快速地对多项式a2+2ab+b2进行因式分解． 如图（1）所示的边长为（a+b）的大正方形是由1张边长为a的正方形卡片A，1张边长为b的正方形卡片B，2张邻边长分别为a，b的长方形卡片C组成的，这个图形的面积可以表示成a2+2ab+b2或（a+b）2，从而验证a2+2ab+b2＝（a+b）2． （1）如图（2），用1张正方形卡片A，2张长方形卡片C拼成一个长方形，可以验证多项式的因式分解为　 　 ； （2）某数学兴趣小组的同学用若干张卡片A、B、C，开展对多项式因式分解的几何验证活动： ①他们利用若干张卡片A、B、C拼成图（3）中的长方形，你认为他们想验证多项式的因式分解为　 　 ； ②请你类比上述方法对多项式3a2+4ab+b2进行因式分解，要求画出因式分解的图形，标出各边的长度； ③问题②中，某同学发现他们所拼成的长方形面积为45，并且a，b均为正整数，请分别求出a，b的长． 【作业16】（2026春•辽阳县期末）学习完利用完全平方公式进行因式分解，老师在课堂上讲了下面两道题： ①分解因式：x2+2x﹣3． 解：原式＝x2+2x+1﹣1﹣3＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）． ②求多项式2x2+4x﹣5的最小值． 解：原式＝2（x2+2x）﹣5＝2（x2+2x+1﹣1）﹣5＝2[（x+1）2﹣1]﹣5＝2（x+1）2﹣7， ∵2（x+1）2≥0， ∴2（x+1）2﹣7≥﹣7， ∴当x＝﹣1时，多项式2x2+4x﹣5有最小值，最小值是﹣7． 参照以上解题过程，解决下列问题： （1）分解因式：x2+6x﹣16； （2）当x为何值时，多项式﹣3x2+12x+1有最大值？最大值是多少？ 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $