27.2反比例函数的图象和性质（分层作业，16大题型）数学新教材人教版九年级上册

分层作业 27.2 反比例函数的图象和性质 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 画（判断）反比例函数图象 题型02 反比例函数的图象和性质 题型03 求反比例函数的解析式 题型04 由图象确定解析式 题型05 比较反比例函数值或自变量的大小 B组 能力进阶 题型01 已知双曲线分布象限，求参数范围 题型02 已知反比例函数的增减性求参数范围 题型03 由图形面积求比例系数 题型04 由反比例的比例系数求面积 题型05 由反比例函数图象的对称性求解 题型06 一次函数与反比例函数的实际应用 题型07 反比例函数与二次函数图象综合判断 题型08 一次函数与反比例函数图象综合判断 题型09 一次函数与反比例函数的交点问题 C组 思维拔高 题型01 一次函数与反比例函数的其他综合应用 题型02 反比例函数与几何的综合 画（判断）反比例函数图象题型01 1．（24-25九年级下·安徽安庆·月考）在平面直角坐标系中，直线，，是常数且，，）的位置如图，则抛物线和双曲线在同一坐标系中的图象可能为（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数、二次函数和反比例函数的图象与系数的关系.先根据一次函数的图象判断a，b，c的范围，再判断反比例函数的图象，最后再利用抛物线的图象即可得到答案. 【详解】直线的函数图象经过二、三、四象限， ， ， ∴双曲线的图象经过第一、三象限，故A和C错误. ∵，所以抛物线的图象与y轴相交于其负半轴，B选项错误. 故选：D. 2．在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，其中、为常数，且，则点一定在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了判断反比例函数所在的象限，判断点所在的象限，根据反比例函数中的，可知反比例函数经过第二、四象限，再根据点点的横坐标判断点所在的象限，即可解答． 【详解】解：， 反比例函数的图象经过第二、四象限， ∴点可能在第二象限或者第四象限， 的横坐标大于0， 一定在第四象限， 故选：D． 3．如图所示是三个反比例函数、、的图象，由此观察得到、、的大小关系是_____ 【答案】k1＜k2＜k3 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特点可得k=xy，进而可分析k1、k2、k3的大小关系． 【详解】解：读图可知：反比例函数 y＝的图象在第二象限，故k1＜0； y=，y=在第一象限；且y=的图象距原点较远，故有：k1＜k2＜k3； 故答案为k1＜k2＜k3． 【点睛】本题考查反比例函数y=的图象，反比例函数y=的图象是双曲线，当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．且图象距原点越远，k的绝对值越大． 4．画出函数y＝的图象． 【答案】如图见解析 【分析】按照列表、描点、连线的步骤求解即可. 【详解】解　列表如下： 描点，连线，画出函数图象，如图所示． 【点睛】本题考查了画反比例函数图像，熟练掌握表、描点、连线是解答本题的关键. 5．（24-25九年级·重庆·质检）如图1，正方形的边长为4，动点P从点C出发，沿路线向点A运动，设点P的运动路程是．点Q是射线上一动点，且，当点P到达终点A时，点Q停止运动，连接，．记的面积为，的面积为．    (1)请分别写出，关于x的函数解析式，并注明x的取值范围； (2)在图2中画出，关于x的函数图像，并分别写出，的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时，x的取值范围． 【答案】(1)， (2) 和的图象如图所示： 的性质有：当时，有最大值8； 的性质有：当时，随x的增大而减小． (3) 【分析】本题考查反比例函数，一次函数，正确理解题意是解题的关键： （1）当时，；当时，；，即可得出函数解析式； （2）根据函数解析式画出图像，再写出函数性质即可； （3）由函数图象即可得出答案． 【详解】（1）解：（1）当时，； 当时，； ∴ ， ∴． （2）略 （3）由函数图象知，当时，x的取值范围为：． 反比例函数的图象和性质题型02 1．已知双曲线经过点，则下面说法错误的是（    ） A．该双曲线的解析式为 B．点在该双曲线上 C．该双曲线在第二、四象限 D．当时，y随x增大而减小 【答案】D 【分析】根据反比例函数的性质，对选项逐个判断即可． 【详解】解：双曲线经过点，可得，即，A选项正确，不符合题意； 将代入得，，B选项正确，不符合题意； ∵ ∴该双曲线在第二、四象限，C选项正确，不符合题意； 当当时，y随x增大而增大，D选项错误，符合题意； 故选：D 【点睛】此题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的有关性质． 2．反比例函数的图象位于（    ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限 【答案】D 【分析】根据反比例函数的性质：当，双曲线的两支分别位于第二、四象限． 【详解】解：反比例函数中，，根据反比例函数的性质，该函数的图象位于第二、四象限． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，以及反比例函数图象上点的坐标特点，关键是掌握反比例函数的性质（1）当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（2）当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． 3．若反比例函数的图象过点（﹣2，1），则一次函数的图象不过第___象限． 【答案】三． 【详解】试题分析：根据题意可得k=－2，则y=－2x+2，则一次函数图象不经过第三象限. 考点：反比例函数与一次函数 4．已知，两点都在反比例函数的图象上，则_____ (填大于或小于） 【答案】小于 【分析】直接利用反比例函数的增减性分析得出答案． 【详解】解∶∵， ∴在每个象限内， y随x的增大而增大， 又，两点都在反比例函数的图象上，， ∴． 故填∶ 小于． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的增减性，正确记忆反比例函数的性质是解题关键． 5．已知反比例函数的图象经过点A(2，6). (1)求这个反比例函数的解析式； (2)这个函数的图象位于哪些象限？y随x的增大如何变化？ (3)点B(3，4)，C(5，2)，D(，)是否在这个函数图象上？为什么？ 【答案】(1)；(2)这个函数的图象位于第一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；(3)点B，D在函数的图象上，点C不在这个函数图象上. 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式； （2）根据反比例函数的性质求解； （3）根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断． 【详解】(1)设这个反比例函数的解析式为， 因为在其图象上，所以点的坐标满足， 即，，解得， 所以，这个反比例函数解析式为； (2)这个函数的图象位于第一、三象限， 在每一个象限内，随的增大而减小； (3)因为点，满足，所以点，在函数的图象上，点的坐标不满足，所以点不在这个函数图象上. 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式：先设出含有待定系数的反比例函数解析式y=（k为常数，k≠0）；再把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；然后解方程，求出待定系数；最后写出解析式．也考查了反比例函数的性质． 求反比例函数的解析式题型03 1．图象经过点的反比例函数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设反比例函数解析式，然后把点代入后计算出k的值即可． 【详解】解：设反比例函数解析式， 把代入得， 反比例函数解析式为： 故选：B 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式：先设出含有待定系数的反比例函数解析（k为常数，k≠0）；再把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到待定系数的方程；然后解方程，求出待定系数；最后写出解 2．（25-26九年级上·重庆·月考）已知反比例函数的图象经过点，下列各点也在这个函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是求出． 由点在反比例函数图象上可求出k的值，再求出四个选项中点的横纵坐标之积，比照后即可得出结论． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， A、； B、； C、； D、； 故选项A、B、D不符合题意，选项C符合题意， 故选：C． 3．一个y关于x的函数同时满足两个条件：图象过（2，1）点；当x＞0时，y随x的增大而减小．这个函数解析式为_________________．（写出一个即可） 【答案】y= 【详解】符合题意的函数解析式可以是y=，y=﹣x+3，y=﹣x2+5等，（本题答案不唯一） 4．（24-25八年级下·山东烟台·期末）如图，已知点，，反比例函数图像的一支与线段有交点，写出一个符合条件反比例函数的表达式______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了求反比例函数的解析式，确定边界点的k的值是解答本题的关键．先分别求得反比例函数图像分别过点A、B时k的值，从而确定k的取值范围，然后确定符合条件k的值即可得出反比例函数的表达式． 【详解】解：当反比例函数图像过点，则， 当反比例函数图像过点，则， ∴的取值范围为， ∴可以取4， ∴符合条件反比例函数的表达式为（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 5．如图，点、是反比例函数与一次函数图象的交点，连接AO、BO． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出当反比例函数的函数值大于一次函数的函数值时x的取值范围，并求出的面积． 【答案】(1)， (2)或， 【分析】本题主要考查一次函数以反比例函数解析式的综合，掌握待定系数法求解析，几何图形面积的计算方法是解题的关键． （1）根据点A，B在反比例函数图象上可得，图形结合可得，可求出反比例函数解析式，及点A，B坐标，运用待定系数法即可求解一次函数解析式； （2）令一次函数中，可得一次函数与y轴交点，根据几何图象面积的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数图象上， ∴，整理得，， 解得，， 当时，，结合图形可得，符合题意； 当时，，不符合题意； ∴，则， ∴反比例函数解析式为：， 把点代入一次函数得，， 解得，， ∴一次函数解析式为：； （2）解：根据图示可得，当或时，反比例函数值大于一次函数值， 令一次函数时，， ∴． 由图象确定解析式题型04 1．a≠0，函数y＝与y＝﹣ax2+a在同一直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分a＞0和a＜0两种情况分类讨论即可确定正确的选项 【详解】当a＞0时，函数y＝ 的图象位于一、三象限，y＝﹣ax2+a的开口向下，交y轴的正半轴，没有符合的选项， 当a＜0时，函数y＝的图象位于二、四象限，y＝﹣ax2+a的开口向上，交y轴的负半轴，D选项符合； 故选D． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象及二次函数的图象的知识，解题的关键是根据比例系数的符号确定其图象的位置，难度不大． 2．若反比例函数的图象经过点，则下列各点在该函数图象上的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用反比例函数的图象经过点，求得的值，即可求得的解析式，然后找到四个选项中横纵坐标乘积等于的，即可求解 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴，解得， ∴， 即， ∵只有点中， ∴只有选项B中的点在函数上， 故选：B 【点睛】本题考查了反比例函数图象和性质，理解掌握反比例函数图象上点坐标特征是解题的关键． 3．（25-26九年级上·北京·期中）如图，点A是反比例函数图象上一点，则下列各点在该函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是反比例函数图象上各点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标符合，且为定值． 先根据点是反比例函数图象上求出的值，再对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：∵点在反比例函数图象上，． A、，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意； B、，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意； C、，∴此点在反比例函数的图象上，故本选项符合题意； D、，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意． 故选：C． 4．（2025·河北石家庄·一模）如图，点在反比例函数上，点在反比例函数和的图象之间，轴，写出一个符合条件的点的坐标为______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查反比例函数图象及性质，点坐标特点等．根据题意利用反比例函数点坐标分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵轴， ∴点的横坐标等于点的横坐标等于，点的纵坐标大于点的纵坐标， ∵点在反比例函数和的图象之间，点在反比例函数上， ∴点的纵坐标小于时，的值，即点的纵坐标小于， ∴符合条件的点的横坐标为2，纵坐标大于1小于即可， 故答案为：（答案不唯一）． 5．如图，，两点在反比例函数的图象上，，两点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，，，，求的值． 【答案】4 【分析】设，，，，则，，然后根据，，列式求解即可． 【详解】解：设，，，， 则，， 则， ，得， 同理：，得， 又， ， 解得． 【点睛】考查反比例函数上点的坐标关系，根据坐标转化线段长是解题关键． 比较反比例函数值或自变量的大小题型05 1．已知点，点和点在反比例函数的图象上，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将各点横坐标代入反比例函数解析式，求出对应纵坐标后直接比较大小即可． 【详解】解：∵点，，在反比例函数的图象上， ∴将各点横坐标分别代入解析式计算得， ， ， ， ∵， ∴． 2．（24-25九年级上·河南周口·期末）点，，在反比例函数的图象上，且有，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质：当时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． 根据反比例函数的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴函数图象在二，四象限，且在每一象限内，随着的增大而增大， 由，可知，横坐标为的点在第二象限，横坐标为、的点在第四象限，则， ∵第四象限内点的纵坐标总小于第二象限内点的纵坐标， ∴． 故选：B． 3．在平面直角坐标系中，若点在反比例函数的图象上，则______ 【答案】＞ 【分析】根据反比例函数的性质，k>0，在每个象限内，y随x的增大而减小，进行判断即可． 【详解】解：∵k>0， ∴在每个象限内，y随x的增大而减小， ， ∴>． 故答案为：>． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握函数的性质是解决问题的关键． 4．（2026·陕西铜川·二模）已知反比例函数为常数）的图象过点．若点，是这个反比例函数图象上的两点，且，则，的大小关系是_____．（填“”，“”或“”） 【答案】 【分析】先利用待定系数法求出反比例函数的系数，再根据判断两点，所在象限，比较与的大小． 【详解】解：将点代入，得， ∴反比例函数的解析式为， ∵， ∴反比例函数的图象在第一、三象限， ∵， ∴点在第三象限，点在第一象限， ∴． 5．（24-25八年级下·江苏泰州·联考）平面直角坐标系中，直线与双曲线的一个交点为． (1)求k的值； (2)分别是该双曲线上的两点，直接写出当时，n的取值范围． 【答案】(1)30 (2)或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，反比例函数的图象与性质等知识点． （1）把P代入一次函数解析式即可解得m的值，从而可得点P的坐标，再把所得点P的坐标代入反比例函数的解析式即可求得k的值； （2）由（1）可知，由此可知反比例函数的图象在第一、三象限，由此可知存在以下两种情况，①当点M在第一象限，点N在第三象限时，只要，则；②当点M在第一象限，点N也在第一象限时，则只有当才一定成立． 【详解】（1）解：∵直线与双曲线的一个交点为， ∴把代入一次函数解析式得：，即， ∴P的坐标为， 把P的坐标代入反比例解析式可得：； （2）解：∵在反比例函数中，， ∴该反比例函数的图象分布在第一象限和第三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小 又∵点在第一象限， ∴①当点在第三象限时，，则； ②当也在第一象限时，则只有当，才一定成立； 综上所述：当时，n的取值范围为或． 已知双曲线分布象限，求参数范围题型01 1．已知函数的图象如图，下列说法正确的是（    ）    A． B．在每个分支上y随x的增大而增大 C．若点，点在图象上，则 D．若点在图象上，则点也在图象上． 【答案】D 【分析】利用反比例函数的性质及反比例函数的图象上的点的坐标特征逐项判定即可． 【详解】解：A、根据反比例函数的图象的两个分支分别位于一、三象限，可得，故选项错误，不符合题意； B、由图象可知，在每个分支上y随x的增大而减小，故选项错误，不符合题意； C、由图象可知，点在第三象限，则，点在第一象限，则，则，故选项错误，不符合题意； D、若点在图象上，且反比例函数的图象关于原点成中心对称，则也在图象上，故选项正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质及反比例函数的图象上的点的坐标特征，掌握反比例函数的图象上的点的坐标特征成为解答本题的关键． 2．已知反比例函数y＝的图象位于第一、第三象限，则k的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据反比例函数的图象可列出不等式进行求解． 【详解】解：∵反比例函数y＝的图象位于第一、第三象限， ∴， ∴； 故答案为． 【点睛】本题主要考查反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数的图象是解题的关键． 3．如果反比例函数的图象位于第二、四象限，那么的取值范围是_______． 【答案】 【分析】根据双曲线所在的象限，得到，求解即可．掌握反比例函数的图象是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：； ∴； 故答案为：． 4．若反比例函数y=（m≠0）与正比例函数y=7x无交点，则m的取值范围是___________ 【答案】m<0 【分析】根据反比例函数和一次函数的性质即可求解 ． 【详解】解：∵正比例函数y=7x中，7＞0， ∴正比例函数y=7x的图象过第一、三象限， ∵反比例函数y=（m≠0）与正比例函数y=7x无交点， ∴反比例函数y=（m≠0）的图象过第二、四象限， ∴m＜0． 故答案为：m＜0． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数和反比例函数的性质，熟知一次函数和反比例函数的性质是解题的关键． 5．如图为反比例函数的部分图象． (1)由图可知，的取值范围是________，点________（填“在”或“不在”）该反比例函数的图象上； (2)将已知部分的函数图象绕原点顺时针旋转________即可得到未知部分的函数图象． 【答案】 不在 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的图象和性质是解题的关键． （1）根据所给函数图象，可得出的正负；由函数图象所位于的象限即可解决问题． （2）根据反比例函数图象的对称性即可解决问题． 【详解】（1）解：由所给函数图象可知， 该反比例函数位于第一、三象限， 所以． 点在第二象限， 所以点不在该反比例函数的图象上． 故答案为：，不在； （2）解：因为反比例函数是中心对称图形，且对称中心为坐标原点， 所以将已知部分的函数图象绕原点顺时针旋转即可得到未知部分的函数图象． 故答案为：． 已知反比例函数的增减性求参数范围题型02 1．若函数的图象在其所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，则m的取值范围是 A．m＜﹣2 B．m＜0 C．m＞﹣2 D．m＞0 【答案】A 【分析】根据反比例函数的增减性列出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】∵函数的图象在其所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而增大， ∴m+2＜0， 解得：m＜﹣2． 故选A． 【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键． 2．（25-26九年级上·四川成都·期中）在反比例函数的图象上有两点，，当时，有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据当时，可知反比例函数图象在第二、四象限，即得到，解之即可求解，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵ 当 时，有， ∴反比例函数的图象在第二、四象限， ∴， ∴， 故选：． 3．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）反比例函数的图象在每个象限内的函数值随的增大而减小，请写出一个符合条件的的整数值是________． 【答案】4（答案不唯一） 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质，当比例系数大于时，函数图象在每个象限内随的增大而减小，可得，即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象在每个象限内随的增大而减小， ∴， ∴， 因此符合条件的的整数值可以是（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 4．已知点，在反比例函数的图象上．若，写出一个满足条件的m的值________． 【答案】4（答案不唯一） 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键． 根据题意得在每个象限内，随的增大而减小，即可求解． 【详解】解：反比例函数， ∵， ∴在每个象限内y随x的增大而减小， ∵，，， ∴或， ∴满足条件的m的值可以为4， 故答案为：4（答案不唯一）． 5．已知反比例函数（m为常数，且）． (1)若在每个象限内，y随x的增大而减小，求m的取值范围； (2)若其图像与一次函数图像的一个交点的纵坐标是3，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查函数图像的交点及待定系数法求函数解析式，掌握图像的交点的坐标满足两个函数解析式是解题的关键． （1）由反比例函数的性质可得：，从而求出m的取值范围； （2）先将交点的纵坐标代入一次函数中求出交点的横坐标，然后将交点的坐标代入反比例函数中，即可求出m的值． 【详解】（1）解：∵在反比例函数图像的每个分支上，y随x的增大而减小， ∴， 解得：； （2）将代入中，得：， ∴反比例函数图像与一次函数图像的交点坐标为：． 将代入得：， 解得：． 由图形面积求比例系数题型03 1．如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点，且正方形的一组对边与轴平行，若正方形的边长是4，则图中阴影部分的面积等于（    ） A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】C 【分析】本题考查的是正方形与反比例函数图象的性质，根据正方形与反比例函数中心对称的性质，即可求解． 【详解】解：∵正方形的中心在原点，且正方形的一组对边与轴平行，正方形的边长是4， ∴， ∵反比例函数是中心对称图形， ∴． 故选C． 2．（25-26九年级上·云南昆明·期末）如图，A是反比例函数图象在第二象限上的一点，且矩形的面积为10，则反比例函数的表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数中k的几何意义，过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即，再根据反比例函数的图象所在的象限确定k的值，即可求出反比例函数的解析式． 【详解】解：由图象上的点所构成的矩形面积为10可知， ，， 又∵反比例函数的图象在第二象限， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 故选：D． 3．（25-26九年级上·贵州铜仁·联考）如图，在平面直角坐标系中，是轴上任意一点，轴，分别交反比例函数、的图像于，两点，若的面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数中的面积问题，掌握的值和面积的关系是解题的关键． 连接、，反比例函数上的点与坐标轴垂足以及原点组成的三角形面积为，根据面积与的关系得出对应方程，解出的值． 【详解】解：连接、，如下图： 可知，且， 解得， 故选B． 4．（25-26九年级上·安徽·期末）如图，是坐标原点，点在反比例函数的图象上，轴于点、若的面积为5，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义，根据反比例函数中比例系数k的几何意义得到，再结合反比例函数图象所在象限，得到，即可确定 k的值． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，轴于点、 ∴， ∵反比例函数图象经过第二象限， ∴，则， 故答案为：． 5．如图，已知正比例函数图像经过点和点． (1)求正比例函数的解析式及m的值； (2)过点A作y轴的平行线，与反比例函数在第一象限内的分支交于点B（点B在点A下方），若的面积为10，求反比例函数的解析式． 【答案】(1)正比例函数解析式为， (2) 【分析】本题主要考查了求正比例函数解析式，反比例函数比例系数的几何意义，求正比例自变量的值： （1）先利用待定系数法求出正比例函数解析式，进而求出m的值即可； （2）延长交x轴于C，设反比例函数解析式为，先证明轴，则，再求出，则，可得，则反比例函数解析式为． 【详解】（1）解：设正比例函数解析式为， 把代入中得：，解得， ∴正比例函数解析式为， 在中，当时，， ∴； （2）解：延长交x轴于C，设反比例函数解析式为， ∵轴， ∴轴， ∵， ∴， ∴， ∵的面积为10， ∴， ∵点B在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为． 由反比例的比例系数求面积题型04 1．如图，A，B分别是反比例函数与的图像上的点，且轴，过点B作的垂线交x轴于点C，连接，则的面积为（    ） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】C 【分析】过点A作AD⊥x轴于点D，记AB交y轴于点E，利用反比例函数比例系数k的几何意义求出矩形ABCD的面积，利用矩形的性质求出△ABC的面积． 【详解】解：过点A作AD⊥x轴于点D，记AB交y轴于点E， ∵BC∥y轴，AB⊥BC， ∴四边形BEOC和四边形AEOD都是矩形， ∴S矩形BEOC=|2|=2，S矩形AEOD=|-6|=6， ∴S矩形ABCD=S矩形BEOC+S矩形AEOD=2+6=8， ∴S△ABC=S矩形ABCD=4． 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴的垂线，所得矩形面积为|k|，解题的关键是过点A作AD⊥x轴于点D构造矩形． 2．如图，反比例函数的图象与直线交于点与轴交于点轴于点，连接，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了反比例函数的性质和比例系数的几何意义，连接，由得，根据平行线间的距离可得，熟练掌握反比例函数的性质和比例系数的几何意义是解题的关键． 【详解】如图，连接， ∵， ∴， ∴， 故选：． 3．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）如图，点M，N在的图象上，分别过点M，N作坐标轴的垂线，若，则的值为____． 【答案】4 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，欲求，只要求出过M、N两点向x轴、y轴作垂线段求出与坐标轴所形成的矩形的面积即可，而矩形面积为反比例函数的系数4，然后根据求得即可． 【详解】解：∵点M，N在反比例函数的图象上，分别经过M、N两点向x轴、y轴作垂线段， 则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于， 即，， ∵， ∴， 故答案为：4． 4．如图,已知反比例函数的图象经过点A(1,2). (1)求k的值. (2)过点A分别作x轴和y轴的垂线,垂足为B和C,求矩形ABOC的面积. 【答案】(1)k=2 (2)矩形ABOC的面积2. 【详解】略 5．如图，四边形ABCD为正方形．点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（0，－3），反比例函数的图像经过点C，一次函数的图像经过点C，一次函数的图像经过点A. （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）求点P是反比例函数图像上的一点，△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，求P点的坐标． 【答案】（1）； ；（2） P点的坐标为（25，）或（﹣25，） 【分析】（1）根据正方形的性质求出点C的坐标为（5，－3），再将C点坐标代入反比例函数中，运用待定系数法求出反比例函数的解析式；同理，将点A，C的坐标代入一次函数中，运用待定系数法求出一次函数函数的解析式． （2）设P点的坐标为（x，y），先由△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，列出关于x的方程，解方程求出x的值，再将x的值代入，即可求出P点的坐标． 【详解】解：（1）∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（0，－3）， ∴AB=5． ∵四边形ABCD为正方形，∴点C的坐标为（5，－3）． ∵反比例函数的图像经过点C，∴，解得k=－15． ∴反比例函数的解析式为． ∵一次函数的图像经过点A，C，∴， 解得． ∴一次函数的解析式为． （2）设P点的坐标为（x，y）． ∵△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，∴， 即． 解得x=±25． 当x=25时，；当x=﹣25时，． ∴P点的坐标为（25，）或（﹣25，）． 【点睛】本题考查了正方形的性质，反比例函数与一次函数的交点问题，运用待定系数法求反比例函数以及一次函数的解析式，三角形的面积．运用数形结合思想以及方程思想是解题的关键． 由反比例函数图象的对称性求解题型05 1．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，点A的横坐标为，当时，x的取值范围为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了正比例函数和反比例函数的性质，利用函数图象解不等式，利用反比例函数和正比例函数图象的性质得到A、B关于原点对称，则点A的横坐标为1，然后写出反比例函数图象在反比例函数图象下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：∵正比例函数的图象与反比例函数的图象关于原点对称， ∴两函数的交点A，B关于原点对称， ∵点A的横坐标为， ∴点B的横坐标为1， 当时，反比例函数的图象在正比例函数图象的上方，即第一象限内点B的左侧和第三象限内点A的左侧， ∴当时，x的取值范围为或， 故选：C． 2．已知正比例函数与反比例函数的图象交于A、B两点，若点A（a,4），则点B的坐标为（    ） A．（－1,4） B．（1,－4） C．（4，－1） D．（－4,1） 【答案】B 【分析】把点A（a,4）代入得到a的值，再根据正比例函数与反比例函数交点关于原点对称得到B点的坐标. 【详解】把点A（a,4）代入，得a=-1 又正比例函数与反比例函数交点关于原点对称 则B（1，-4） 故答案为B. 【点睛】本题考查了正比例函数与反比例函数的交点问题，务必清楚的是正比例函数与反比例函数若有交点，则两交点关于原点对称，关于原点对称的两点横纵坐标互为相反数. 3．如图，已知直线y＝mx与双曲线y＝一个交点坐标为（3，4），则它们的另一个交点坐标是_____． 【答案】（﹣3，﹣4） 【分析】根据反比例函数与正比例函数的中心对称性解答即可. 【详解】解：因为直线y＝mx过原点，双曲线y＝的两个分支关于原点对称， 所以其交点坐标关于原点对称，一个交点坐标为（3，4），则另一个交点的坐标为（﹣3，﹣4）． 故答案是：（﹣3，﹣4）． 【点睛】本题考查了反比例函数和正比例函数的性质，通过数形结合和中心对称的定义很容易解决．反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称． 4．在平面直角坐标系中，若点是函数和的图象的一个交点，则这两个函数图象的另一个交点的坐标是________． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的交点问题，根据正比例函数和反比例函数的图象的两个交点关于原点对称，即可得出答案． 【详解】解：∵正比例函数和反比例函数的图象的两个交点关于原点对称， ∴由一个交点的坐标是，可得另一个交点的坐标是， 故答案为：． 5．如图，直线与双曲线相交于、B两点． (1)求m及k的值； (2)不解关于x、y的方程组直接写出点B的坐标； (3)直接写出 的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）把点A的坐标分别代入一次函数和反比例函数即可求； （2）根据点B与点A关于二四象限角平分线对称写出即可； （3）观察函数图象根据其性质直接写出即可． 【详解】（1）将点A（2,1）的坐标分别代入一次函数与反比例函数， 可得，，， 解得：，； （2）∵两点关于直线对称， ∴点的坐标为； （3）由得 ， 即反比例函数的函数值大于一次函数的函数值， 由图像可知：或． 【点睛】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及了点关于对称的知识，注意数形结合在解题中的应用． 一次函数与反比例函数的实际应用题型06 1．小亮为了求不等式>x+2的解集，绘制了如图所示的反比例函数y=与一次函数y=x+2的图像，观察图像可得该不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】结合函数图像的上下位置关系结合交点的坐标，即可得出不等式的解集． 【详解】解：观察函数图像，发现： 当x＜-3或0＜x＜1时，反比例函数图像在一次函数图像的上方， ∴不等式>x+2的解集为x＜-3或0＜x＜1． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图像的交点坐标满足两函数解析式． 2．（2026·广东深圳·二模）如图是某款煮茶壶，开机加热将水匀速加热至后停止加热，此时水温开始下降，此时水温与启动加热后通电时间成反比例函数关系．当水温降至时启动保温功能．图是开始启动加热过程中，水温与通电时间之间的函数关系图，则下列说法错误的是（    ） A．水温在启动加热到的过程中，与的函数关系式是 B．在通电启动加热开关时，喝到的茶水为 C．在整个通电启动到保温过程中，水温不低于的时间为 D．在通电启动加热开关后，喝到的茶水的温度为 【答案】C 【分析】确定水温在启动加热到的过程中，与的函数关系式后可判断A；确定水匀速加热至后停止加热时水温与启动加热后通电时间的关系式，再计算当时对应的的值可判断B；分别计算当时在加热到前后分别对应的的值，求出它们的差可判断选项C；计算出当时在加热到后对应的的值即可判断选项D． 【详解】解：设水温在启动加热到的过程中，与的函数关系式是，过点、， ∴， 解得：， ∴水温在启动加热到的过程中，与的函数关系式是， ∴选项A的说法正确，故此选项不符合题意； 设当水匀速加热至后停止加热时水温与启动加热后通电时间的关系式为，过点， ∴， 解得：， ∴此时水温与启动加热后通电时间的关系式为， 当时，， ∴在通电启动加热开关时，喝到的茶水为， ∴选项B的说法正确，故此选项不符合题意； 当时，，解得：； 当时，； 又∵， ∴在整个通电启动到保温过程中，水温不低于的时间为， ∴选项C的说法错误，故此选项符合题意； 当时，， ∴在通电启动加热开关后，喝到的茶水的温度为， ∴选项D的说法正确，故此选项不符合题意． 3．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）定义：若x，y满足(m为常数)，则称点为“和谐点”．下列说法正确的是（　　） ①是“和谐点”； ②直线上有且只有一个“和谐点”； ③当时，反比例函数的图象上最多只有两个“和谐点”； A．① B．①② C．①③ D．②③ 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质，二次函数的性质，反比例函数的性质，判别式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 依据题意，由“和谐点的定义”以及联立方程组进行求解即可． 【详解】解：①由题意得，， ， 故①成立． ②由题意可得，， ， 将代入上式， ， 或， 故②错误． ③由反比例函数最多有两个和谐点，得 ， 将③代入①，得 ， 即④ 将③代入由②，得 ， 即⑤， 将⑤代入④，得 ， 化简，得， 即 ， 或， ， 解得， 解， ， 当时，， 此时有两个不相等的实数根，且与不相同， 此时方程共有4个实数根， 故③错误． 综上，正确的有①． 故选A． 4．饮水机接通电源会自动加热，加热时水温每分钟上升，温度到停止加热．然后水温开始下降，此时水温与时间成反比例函数关系，水温降至时，饮水机重复上述程序开始加热，加热时水温与时间的关系如图所示．水温从开始加热至，然后下降至这一过程中，水温不低于的时间为________．    【答案】12 【分析】本题考查了一次函数，反比例函数的应用．首先求得两个函数的解析式，然后将代入两个函数求得两个时间相减即可确定答案． 【详解】解：设一次函数关系式为：， 将，代入，得， 解得， ， 设反比例函数关系式为：， 将代入，得， ， 中， 令，解得； 反比例函数中，令，解得：， （min）， 水温不低于的时间为min． 故答案为：． 5．如图，已知直线与双曲线交于，两点，且点的坐标为． (1)求的值； (2)点为轴上一点，其坐标设为，过点作平行于轴的直线，交直线于点，交双曲线于点，连接．若，结合函数的图像，直接写出的取值范围． 【答案】(1)4 (2)或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数结合，掌握一次函数与反比例函数的性质是解题的关键． （1）首先根据一次函数解析式确定值，进而可得点的坐标，然后将点的坐标代入，即可求得的值； （2）首先求得点的坐标，根据，转化为，结合函数图像，直接求解即可． 【详解】（1）解：将点代入直线， 可得， ∴， 将点代入双曲线， 可得，解得， 即的值为4； （2）如下图， ∵，， ∴当时，可有， 即， 联立直线与双曲线， 可得，解得或， ∴，， ∴结合图像可知，当时，或． 反比例函数与二次函数图象综合判断题型07 1．（25-26九年级·江苏无锡·月考）方程的负实数根的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了根据图象法解方程． 画出和的图象，找出所有使值为负的交点即可． 【详解】解：如图， 可知使值为负的交点有一个， 即方程的负实数根的个数为1． 故选：B． 2．（2025·安徽滁州·二模）已知反比例函数）与二次函数的图象有一个交点的横坐标为1，则k的值为（   ） A． B．1 C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数与二次函数图象的交点问题，把代入，求出的值，待定系数法求出k的值即可． 【详解】解：把代入，得：， 把，代入，得； 故选B． 3．一次函数的图象经过第一、二、四象限，则反比例函数和二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数、二次函数、反比例函数图象的性质等知识点，掌握函数图象与解析式系数的关系成为解题的关键． 由一次函数的图象经过第一、二、四象限可得；再判定反比例函数和二次函数的图象的可能位置即可解答． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴， ∴反比例函数在二、四象限，二次函数的图象开口方向向下，对称轴在y轴的右侧，即A选项符合题意． 故选A． 4．设x0是关于x的方程的正数解，若，则实数k的取值范围为____． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数和反比例函数交点问题． 根据题意求出时，，时，，根据图象利用数形结合即可得到答案． 【详解】解：把代入得到， 解得， 把代入得到， 解得， 方程的解可以理解为函数的图象和函数的图象交点的横坐标，由图象可知， ∴ 故答案为： 5．按要求完成下列各题： (1)若实数满足，求的值； (2)解关于的不等式：； (3)求方程的所有整数解． 【答案】(1)11 (2)或 (3)或 【分析】（1）设，，得出，，然后利用完全平方公式的变形求解即可； （2）设二次函数，反比例函数，联立求出交点坐标为，，，然后画出图象求解即可； （3）首先得到，然后根据方程的解x是整数，得到是完全平方数，设（m是整数），得到是完全平方数，设（n是整数），表示出，然后分情况讨论求出，，然后代入求出，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：设，， ∵， ∴，， ∵， ∴ ∴； （2）解：设二次函数，反比例函数 联立得， ∴或 ∴或或 ∴将或或分别代入得，或或 ∴二次函数，反比例函数的交点坐标为，，，如图所示， ∴由图象可得，当或时，二次函数图象在反比例函数图象下方 ∴的解集为或； （3）解：∵ ∴ ∴ ∵方程的解x是整数， ∴是完全平方数 设（m是整数） ∴ ∴ ∵方程的解y是整数， ∴是完全平方数 设（n是整数） ∴ ∴ ∵，且和的奇偶性相同 ∴当时，解得，不符合题意； 当时，解得，不符合题意； 当时，解得，不符合题意； 当时，解得，不符合题意； 当时，解得，不符合题意； 当时，解得； 当时，解得，不符合题意； ∴当，时，代入 得， ∴ ∴ ∴或 ∴（舍去）或 ∴将代入得， ∴ ∴或 解得或 ∴方程的所有整数解为或． 【点睛】此题考查了完全平方公式的变形求值，二次函数和反比例函数的图象和性质，解二元二次方程，一元二次方程的判别式的应用等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 一次函数与反比例函数图象综合判断题型08 1．设，函数和在同一坐标系中的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正比例函数与反比例函数的图象的性质即可作出判断．本题考查了正比例函数与反比例函数的性质，理解性质是关键． 【详解】解：，则表示在第三象限内的部分，是指在第三象限内的分支． 故选：B． 2．（24-25九年级上·陕西西安·月考）在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数图象的综合判断，根据一次函数与反比例函数图象经过的象限，分别求出对应解析式中k的符号，看是否一致即可得到答案． 【详解】解：A、一次函数图象经过第一、二、四象限，则，；反比例函数图象经过第一、三象限，则；二者不一致，不符合题意； B、一次函数图象经过第一、二、三象限，则，，二者不一致，不符合题意； C、一次函数图象经过第一、二、三象限，则，，二者不一致，不符合题意； D、一次函数图象经过第一、二、四象限，则，；反比例函数图象经过第二、四象限，则；二者一致，符合题意； 故选：D． 3．在同一平面直角坐标系中，函数和的图像大致是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】分或，根据一次函数与反比例函数的性质即可得出答案． 【详解】解：当时，一次函数经过第一、二、三象限，反比例函数位于第一、三象限； 当时，一次函数经过第一、二、四象限，反比例函数位于第二、四象限； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图像与性质，熟练掌握，图像经过第一、三象限，，图像经过第二、四象限是解题的关键． 4．若反比例函数 ()的图象经过点，则一次函数的图象不经过第______________象限． 【答案】三 【分析】根据题意求得反比例函数的比例系数，得出一次函数，根据一次函数的性质即可求解． 【详解】解：∵反比例函数 ()的图象经过点， ∴， ∴一次函数即的图象不经过第三象限， 故答案为：三 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，根据一次函数解析式判断所经过的系数，求得是解题的关键． 5．（2026·江西·模拟）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． (1)求，，的值； (2)观察图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)，， (2)或 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征、待定系数法求函数解析式及根据函数图象确定不等式的解集，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）先将，代入，求得，进而求得点的坐标，进而利用待定系数法求一次函数解析式即可求得，的值； （2）根据，的坐标，结合函数图象即可求解． 【详解】（1）解：将点代入，得， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 将点代入，得， ∴， ∴点的坐标为， 将，代入， 得， 解得， ∴，，． （2）解：∵，， ∴结合图象得：不等式的解集为或． 一次函数与反比例函数的交点问题题型09 1．（2025·广东广州·一模）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，点的横坐标为4，当时，的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握交点坐标满足两个函数解析式是关键．根据反比例函数与一次函数的交点问题解答本题即可． 【详解】解：正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，点的横坐标为4， 点的横坐标为． 根据函数图象可知：当时，的取值范围是或． 故选：B 2．已知一次函数与反比例函数的图象有两个交点，当__时，有一个交点的纵坐标为6． 【答案】5 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，将分别代入两个函数解析式和，建立方程组求解即可． 【详解】解：依题意有， 解得：． 故答案为：5． 3．如图，点在反比例函数的图象上，轴于点轴于点．一次函数与交于点，若为的中点，则的值为_______．    【答案】4 【分析】根据题意可设点P的坐标为，则，把代入一次函数解析式中求出m的值进而求出点P的坐标，再求出k的值即可． 【详解】解：∵轴于点轴于点， ∴点P的横纵坐标相同， ∴可设点P的坐标为， ∵为的中点， ∴， ∵在直线上， ∴， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，正确求出点P的坐标是解题的关键． 4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数，）交于点．则的值为__________． 【答案】 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征可得、的值，再结合点的坐标可求出反比例函数系数． 【详解】解：一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数（，）交于点， ，，， ，， 则． 5．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与x轴交于点C． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)连接，求的面积． 【答案】(1)反比例函数解析式为，一次函数的解析式为； (2)的面积为8． 【分析】本题考查一次函数与反比例函数几何综合． （1）将代入反比例函数中，即可求得，再将代入反比例函数解析式求得，最后将点、代入一次函数中求解，即可解题． （2）根据一次函数解析式得出点C，再利用，即可求解． 【详解】（1）解：反比例函数经过点， ， 反比例函数解析式为， 点在上，则， ， 把、代入， 得，解得， 一次函数的解析式为； （2）解：把代入，得， ， ， ． 一次函数与反比例函数的其他综合应用题型01 1．已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的纵坐标是，则k的值为（　　） A．8 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】此题考查的是反比例函数和一次函数的交点问题，掌握将交点坐标代入并联立方程是解决此题的关键． 根据题意联立两个函数得出，求解即可． 【详解】解：由题意知，反比例函数与一次函数的图象的一个交点的纵坐标是， ∴， 消去x得：， 解得：． 故选：B． 2．（24-25八年级下·河南南阳·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点．则关于x的不等式的解集是（    ） A．，或 B．，或 C．，或 D．，或 【答案】D 【分析】本题考查根据函数图象的交点确定不等式的解集．由求关于x的不等式的解集，即为求一次函数的图象在反比例函数的图象上方时，x的取值范围，再结合图象即可求解． 【详解】解：求关于x的不等式的解集，即为求一次函数的图象在反比例函数的图象上方时，x的取值范围． ∵， 由图象可知，当或时，一次函数的图象在反比例函数的图象上方， ∴关于x的不等式的解集是或． 故选D． 3．如图，直线与反比例函数为常数，的图象相交于 、两点，其中 点的坐标为． （1）的值为______； （2）若点是该反比例函数图象上一点，点是直线在第二象限部分上一点，分别过点、作轴的垂线，垂足为点和若时，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据直线与反比例函数为常数，的图象相交于，可得，进而可求的值； 解析式联立成方程组，解方程组求得的坐标；观察图象即可得出结论． 【详解】解：直线与反比例函数为常数，的图象相交于， ， ， 由点的坐标为得所以； 故答案为：； 解得或， ； 观察图象可知，若时，的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积，数形结合是解题的关键． 4．（24-25九年级上·四川成都·期末）对于平面直角坐标系中的图形M和直线l，给出如下定义：若图形M上有点到直线l的距离为d，那么称这个点为图形M到直线l的“d距点”．如图，双曲线和直线，若图形M到直线l的“距点”有且只有3个，则b的值为________． 【答案】10 【分析】本题考查了新定义问题，反比例函数的图象与性质，解一元二次方程，正确理解图形M到直线l的“距点”有且只有3个是解题的关键．作直线，交直线l于点C，与双曲线的交点为，过点D作直线，交双曲线于点，，证明点，，为满足题意的“距点”，然后再求出点，C的坐标，最后把点C的坐标代入求解，即得答案． 【详解】设直线l与y轴、x轴的交点分别为点A和点B， 则，， ， 作直线，交直线l于点C，与双曲线的交点为，在的延长线上取点D，使，过点D作直线，交双曲线于点，，分别过点，C作于点E，于点F， 若图形M到直线l的“距点”有且只有3个， 则令，点，，为满足题意的“距点”， 联立方程组， 解得， ，， ，， ， 在中，， ， 把点C的坐标代入，得， 解得． 故答案为：10． 5．（24-25九年级上·贵州·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数）与反比例函数（）在第二象限交于点，且与y轴交于点． (1)求一次函数的表达式； (2)请直接写出不等式的解集； (3)在x轴上有一动点P，且的面积为，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合，待定系数法； （1）将、的坐标代入一次函数解析式，即可求解； （2）设一次函数（）与反比例函数（）在第四象限交于点C，求出点的坐标，根据图象即可求解； （3）由可求出，即可求解； 掌握待定系数法，能熟练利用数形结合思想进行求解是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：如图，设一次函数（）与反比例函数（）在第四象限交于点C． ∵反比例函数过点， ， ∴反比例函数的解析式为． 联立方程组， 解得，或， ， ∴不等式的解集为或； （3）解：如图，设一次函数与x轴交于点D， ∴当时，， 解得， ∴， ， ∴， ∴， ， 解得：或， ∴点P的坐标为或． 反比例函数与几何的综合题型02 1．若点在反比例函数的图象上，则代数式的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，由点A在反比例函数图象上，可得出，将其代入代数式中即可得出结论，解题的关键是找出． 【详解】∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴． 故选：C． 2．如图5，在反比例函数的图象上有一动点，连接并延长交图象的另一支于点，在第一象限内有一点C，满足，当点运动时，点始终在函数的图象上运动，若，则的值为（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接OC，过点A作AE⊥y轴与点E，过点B作BF⊥x轴与点F，通过角的计算找出∠AOE＝∠COF，结合∠AEO＝90°，∠CFO＝90°，可得出△AOE∽△COF，再根据相似三角形的性质得出，再由，可得出 ，由此即可得出结论． 【详解】连接OC，过点A作AE⊥y轴与点E，过点B作BF⊥x轴与点F，如下图所示： 由直线AB与反比例函数的对称性可知点A和点B关于点O对称， 又 又 ∵点C在第一象限， ∴k＝8， 故答案为D． 【点睛】本题主要考查三角函数和相似三角形的性质，利用数形结合的思想将函数图像与几何图形相结合是求解本题的关键． 3．（2025·广东东莞·模拟）在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，平行于x轴，点B，C的横坐标都是4，，点D在上，且其横坐标为1，若反比例函数的图象经过点B，D，则k的值是______． 【答案】4 【分析】本题考查了反比例函数解析式的确定，设，则，，根据反比例函数的性质，列出方程计算即可． 【详解】解：点，的横坐标都是，，平行于轴，点在上，且其横坐标为， 设， ，， 反比例函数的图象经过点，， ， 解得， ， ， 故答案为：． 4．如图，菱形的顶点是原点，顶点在轴上，反比例函数的图象经过顶点，菱形的面积为_________． 【答案】20 【分析】本题主要考查了反比例函数和菱形的结合，菱形的性质，反比例函数的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握菱形的性质和反比例函数的性质． 过点作轴，交轴于点，的交点为，得出四边形为矩形，利用反比例函数的性质得出，再根据菱形的性质即可求出面积． 【详解】解：如图所示，过点作轴，交轴于点，的交点为， 根据菱形的性质可得，， 又∵， ∴四边形为矩形， 由反比例函数得，， ， ， 故答案为：20． 5．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=(x>0)的图像经过点A(1，2)和点B(m，n)，且m>1，过点B作y轴的垂线，垂足为C． (1)求该反比例函数的表达式； (2)当时，求的面积； (3)当的面积为2时，求点B的坐标． 【答案】(1)y=； (2)△ABC面积为3； (3)点B的坐标为（3，）． 【分析】（1）把A点坐标代入函数解析式即可求得反比例函数解析式； （2）求得B的坐标，根据三角形的面积公式即可求解； （3）△ABC中，BC=m，根据三角形的面积即可求得m的值，代入反比例函数解析式即可求得B的坐标． 【详解】（1）解：把点A（1，2）代入反比例函数y= 得2=， ∴k=2， ∴反比例函数解析式为：y=； （2）解：∵y=，m=4， ∴点B(4，)， ∴△ABC面积为×4×(2-)=3； （3）解：∵S△ABC=2， ∴m（2-n）=2， ∵反比例函数y= （x＞0）的图象经过点B（m，n）（m＞1）， ∴n=， ∴m（2-）=2， 解得m=3， ∴点B的坐标为（3，）． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，在坐标系中，求线段的长度可以转化为求点的坐标． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 27.2 反比例函数的图象和性质 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 画（判断）反比例函数图象 题型02 反比例函数的图象和性质 题型03 求反比例函数的解析式 题型04 由图象确定解析式 题型05 比较反比例函数值或自变量的大小 B组 能力进阶 题型01 已知双曲线分布象限，求参数范围 题型02 已知反比例函数的增减性求参数范围 题型03 由图形面积求比例系数 题型04 由反比例的比例系数求面积 题型05 由反比例函数图象的对称性求解 题型06 一次函数与反比例函数的实际应用 题型07 反比例函数与二次函数图象综合判断 题型08 一次函数与反比例函数图象综合判断 题型09 一次函数与反比例函数的交点问题 C组 思维拔高 题型01 一次函数与反比例函数的其他综合应用 题型02 反比例函数与几何的综合 画（判断）反比例函数图象题型01 1．（24-25九年级下·安徽安庆·月考）在平面直角坐标系中，直线，，是常数且，，）的位置如图，则抛物线和双曲线在同一坐标系中的图象可能为（     ）． A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，其中、为常数，且，则点一定在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．如图所示是三个反比例函数、、的图象，由此观察得到、、的大小关系是_____ 4．画出函数y＝的图象． 5．（24-25九年级·重庆·质检）如图1，正方形的边长为4，动点P从点C出发，沿路线向点A运动，设点P的运动路程是．点Q是射线上一动点，且，当点P到达终点A时，点Q停止运动，连接，．记的面积为，的面积为．    (1)请分别写出，关于x的函数解析式，并注明x的取值范围； (2)在图2中画出，关于x的函数图像，并分别写出，的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时，x的取值范围． 反比例函数的图象和性质题型02 1．已知双曲线经过点，则下面说法错误的是（    ） A．该双曲线的解析式为 B．点在该双曲线上 C．该双曲线在第二、四象限 D．当时，y随x增大而减小 2．反比例函数的图象位于（    ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限 3．若反比例函数的图象过点（﹣2，1），则一次函数的图象不过第___象限． 4．已知，两点都在反比例函数的图象上，则_____ (填大于或小于） 5．已知反比例函数的图象经过点A(2，6). (1)求这个反比例函数的解析式； (2)这个函数的图象位于哪些象限？y随x的增大如何变化？ (3)点B(3，4)，C(5，2)，D(，)是否在这个函数图象上？为什么？ 求反比例函数的解析式题型03 1．图象经过点的反比例函数是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·重庆·月考）已知反比例函数的图象经过点，下列各点也在这个函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 3．一个y关于x的函数同时满足两个条件：图象过（2，1）点；当x＞0时，y随x的增大而减小．这个函数解析式为_________________．（写出一个即可） 4．（24-25八年级下·山东烟台·期末）如图，已知点，，反比例函数图像的一支与线段有交点，写出一个符合条件反比例函数的表达式______． 5．如图，点、是反比例函数与一次函数图象的交点，连接AO、BO． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出当反比例函数的函数值大于一次函数的函数值时x的取值范围，并求出的面积． 由图象确定解析式题型04 1．a≠0，函数y＝与y＝﹣ax2+a在同一直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 2．若反比例函数的图象经过点，则下列各点在该函数图象上的为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·北京·期中）如图，点A是反比例函数图象上一点，则下列各点在该函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·河北石家庄·一模）如图，点在反比例函数上，点在反比例函数和的图象之间，轴，写出一个符合条件的点的坐标为______． 5．如图，，两点在反比例函数的图象上，，两点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，，，，求的值． 比较反比例函数值或自变量的大小题型05 1．已知点，点和点在反比例函数的图象上，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河南周口·期末）点，，在反比例函数的图象上，且有，则有（    ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，若点在反比例函数的图象上，则______ 4．（2026·陕西铜川·二模）已知反比例函数为常数）的图象过点．若点，是这个反比例函数图象上的两点，且，则，的大小关系是_____．（填“”，“”或“”） 5．（24-25八年级下·江苏泰州·联考）平面直角坐标系中，直线与双曲线的一个交点为． (1)求k的值； (2)分别是该双曲线上的两点，直接写出当时，n的取值范围． 已知双曲线分布象限，求参数范围题型01 1．已知函数的图象如图，下列说法正确的是（    ）    A． B．在每个分支上y随x的增大而增大 C．若点，点在图象上，则 D．若点在图象上，则点也在图象上． 2．已知反比例函数y＝的图象位于第一、第三象限，则k的取值范围是______． 3．如果反比例函数的图象位于第二、四象限，那么的取值范围是_______． 4．若反比例函数y=（m≠0）与正比例函数y=7x无交点，则m的取值范围是___________ 5．如图为反比例函数的部分图象． (1)由图可知，的取值范围是________，点________（填“在”或“不在”）该反比例函数的图象上； (2)将已知部分的函数图象绕原点顺时针旋转________即可得到未知部分的函数图象． 已知反比例函数的增减性求参数范围题型02 1．若函数的图象在其所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，则m的取值范围是 A．m＜﹣2 B．m＜0 C．m＞﹣2 D．m＞0 2．（25-26九年级上·四川成都·期中）在反比例函数的图象上有两点，，当时，有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）反比例函数的图象在每个象限内的函数值随的增大而减小，请写出一个符合条件的的整数值是________． 4．已知点，在反比例函数的图象上．若，写出一个满足条件的m的值________． 5．已知反比例函数（m为常数，且）． (1)若在每个象限内，y随x的增大而减小，求m的取值范围； (2)若其图像与一次函数图像的一个交点的纵坐标是3，求m的值． 由图形面积求比例系数题型03 1．如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点，且正方形的一组对边与轴平行，若正方形的边长是4，则图中阴影部分的面积等于（    ） A．16 B．8 C．4 D．2 2．（25-26九年级上·云南昆明·期末）如图，A是反比例函数图象在第二象限上的一点，且矩形的面积为10，则反比例函数的表达式是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·贵州铜仁·联考）如图，在平面直角坐标系中，是轴上任意一点，轴，分别交反比例函数、的图像于，两点，若的面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·安徽·期末）如图，是坐标原点，点在反比例函数的图象上，轴于点、若的面积为5，则的值为___________． 5．如图，已知正比例函数图像经过点和点． (1)求正比例函数的解析式及m的值； (2)过点A作y轴的平行线，与反比例函数在第一象限内的分支交于点B（点B在点A下方），若的面积为10，求反比例函数的解析式． 由反比例的比例系数求面积题型04 1．如图，A，B分别是反比例函数与的图像上的点，且轴，过点B作的垂线交x轴于点C，连接，则的面积为（    ） A．2 B．3 C．4 D．8 2．如图，反比例函数的图象与直线交于点与轴交于点轴于点，连接，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）如图，点M，N在的图象上，分别过点M，N作坐标轴的垂线，若，则的值为____． 4．如图,已知反比例函数的图象经过点A(1,2). (1)求k的值. (2)过点A分别作x轴和y轴的垂线,垂足为B和C,求矩形ABOC的面积. 5．如图，四边形ABCD为正方形．点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（0，－3），反比例函数的图像经过点C，一次函数的图像经过点C，一次函数的图像经过点A. （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）求点P是反比例函数图像上的一点，△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，求P点的坐标． 由反比例函数图象的对称性求解题型05 1．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，点A的横坐标为，当时，x的取值范围为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 2．已知正比例函数与反比例函数的图象交于A、B两点，若点A（a,4），则点B的坐标为（    ） A．（－1,4） B．（1,－4） C．（4，－1） D．（－4,1） 3．如图，已知直线y＝mx与双曲线y＝一个交点坐标为（3，4），则它们的另一个交点坐标是_____． 4．在平面直角坐标系中，若点是函数和的图象的一个交点，则这两个函数图象的另一个交点的坐标是________． 5．如图，直线与双曲线相交于、B两点． (1)求m及k的值； (2)不解关于x、y的方程组直接写出点B的坐标； (3)直接写出 的取值范围． 一次函数与反比例函数的实际应用题型06 1．小亮为了求不等式>x+2的解集，绘制了如图所示的反比例函数y=与一次函数y=x+2的图像，观察图像可得该不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 2．（2026·广东深圳·二模）如图是某款煮茶壶，开机加热将水匀速加热至后停止加热，此时水温开始下降，此时水温与启动加热后通电时间成反比例函数关系．当水温降至时启动保温功能．图是开始启动加热过程中，水温与通电时间之间的函数关系图，则下列说法错误的是（    ） A．水温在启动加热到的过程中，与的函数关系式是 B．在通电启动加热开关时，喝到的茶水为 C．在整个通电启动到保温过程中，水温不低于的时间为 D．在通电启动加热开关后，喝到的茶水的温度为 3．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）定义：若x，y满足(m为常数)，则称点为“和谐点”．下列说法正确的是（　　） ①是“和谐点”； ②直线上有且只有一个“和谐点”； ③当时，反比例函数的图象上最多只有两个“和谐点”； A．① B．①② C．①③ D．②③ 4．饮水机接通电源会自动加热，加热时水温每分钟上升，温度到停止加热．然后水温开始下降，此时水温与时间成反比例函数关系，水温降至时，饮水机重复上述程序开始加热，加热时水温与时间的关系如图所示．水温从开始加热至，然后下降至这一过程中，水温不低于的时间为________．    5．如图，已知直线与双曲线交于，两点，且点的坐标为． (1)求的值； (2)点为轴上一点，其坐标设为，过点作平行于轴的直线，交直线于点，交双曲线于点，连接．若，结合函数的图像，直接写出的取值范围． 反比例函数与二次函数图象综合判断题型07 1．（25-26九年级·江苏无锡·月考）方程的负实数根的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2025·安徽滁州·二模）已知反比例函数）与二次函数的图象有一个交点的横坐标为1，则k的值为（   ） A． B．1 C． D．3 3．一次函数的图象经过第一、二、四象限，则反比例函数和二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 4．设x0是关于x的方程的正数解，若，则实数k的取值范围为____． 5．按要求完成下列各题： (1)若实数满足，求的值； (2)解关于的不等式：； (3)求方程的所有整数解． 一次函数与反比例函数图象综合判断题型08 1．设，函数和在同一坐标系中的大致图象是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·陕西西安·月考）在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 3．在同一平面直角坐标系中，函数和的图像大致是（   ） A．   B．   C．   D．   4．若反比例函数 ()的图象经过点，则一次函数的图象不经过第______________象限． 5．（2026·江西·模拟）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． (1)求，，的值； (2)观察图象，直接写出不等式的解集． 一次函数与反比例函数的交点问题题型09 1．（2025·广东广州·一模）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，点的横坐标为4，当时，的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．已知一次函数与反比例函数的图象有两个交点，当__时，有一个交点的纵坐标为6． 3．如图，点在反比例函数的图象上，轴于点轴于点．一次函数与交于点，若为的中点，则的值为_______．    4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数，）交于点．则的值为__________． 5．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与x轴交于点C． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)连接，求的面积． 一次函数与反比例函数的其他综合应用题型01 1．已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的纵坐标是，则k的值为（　　） A．8 B． C．4 D． 2．（24-25八年级下·河南南阳·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点．则关于x的不等式的解集是（    ） A．，或 B．，或 C．，或 D．，或 3．如图，直线与反比例函数为常数，的图象相交于 、两点，其中 点的坐标为． （1）的值为______； （2）若点是该反比例函数图象上一点，点是直线在第二象限部分上一点，分别过点、作轴的垂线，垂足为点和若时，则的取值范围是______． 4．（24-25九年级上·四川成都·期末）对于平面直角坐标系中的图形M和直线l，给出如下定义：若图形M上有点到直线l的距离为d，那么称这个点为图形M到直线l的“d距点”．如图，双曲线和直线，若图形M到直线l的“距点”有且只有3个，则b的值为________． 5．（24-25九年级上·贵州·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数）与反比例函数（）在第二象限交于点，且与y轴交于点． (1)求一次函数的表达式； (2)请直接写出不等式的解集； (3)在x轴上有一动点P，且的面积为，求点P的坐标． 反比例函数与几何的综合题型02 1．若点在反比例函数的图象上，则代数式的值为（  ） A． B． C． D． 2．如图5，在反比例函数的图象上有一动点，连接并延长交图象的另一支于点，在第一象限内有一点C，满足，当点运动时，点始终在函数的图象上运动，若，则的值为（        ） A． B． C． D． 3．（2025·广东东莞·模拟）在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，平行于x轴，点B，C的横坐标都是4，，点D在上，且其横坐标为1，若反比例函数的图象经过点B，D，则k的值是______． 4．如图，菱形的顶点是原点，顶点在轴上，反比例函数的图象经过顶点，菱形的面积为_________． 5．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=(x>0)的图像经过点A(1，2)和点B(m，n)，且m>1，过点B作y轴的垂线，垂足为C． (1)求该反比例函数的表达式； (2)当时，求的面积； (3)当的面积为2时，求点B的坐标． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $