第十三章 三角形 能力提升自测 2026-2027学年人教版八年级数学上册

第十三章 三角形 能力提升自测卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，钝角三角形的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．若三根长度分别为2、4、x（x为正整数）的木棒顺次相接能够组成三角形，则（     ） A．组成的三角形中，周长最小为8 B．组成的三角形中，周长最小为7 C．组成的三角形中，周长最大为 D．组成的三角形中，周长最大为 4．下列说法错误的是（    ） A．三角形的内角和等于 B．有两个角互余的三角形是直角三角形 C．若等腰三角形一边长为2，一边长为5，则它的周长为9或12 D．日常生活中，工程建筑常采用三角形的结构，因为三角形是具有稳定性的图形 5．如图，的两条中线、相交于点，已知的面积为，的面积为，则阴影部分（四边形）的面积为（     ） A． B． C． D． 6．随着地摊经济的蓬勃发展，街巷夜市充满了烟火气．某夜市摊主使用的折叠方桌（如图（1））结构稳固、方便收纳，将其展开后可抽象为如图（2）所示的图形．已知，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，平分交于点，，交于点，则的度数是（     ） A． B． C． D． 8．李华大扫除时，要挪动墙角的储物柜，挪动过程示意图如图所示，其中，，将储物柜沿着墙向右平移到的位置，已知，则储物柜扫过的区域（四边形）的面积是（   ） A． B． C． D． 9．如图，分别是的高、中线，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 10．如图，把纸片沿着折叠，使点落在四边形内部点处，已知，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若一个三角形的三边长均为奇数，其中两边长分别为5和7，则这个三角形周长的最大值为________． 12．如图，是的边上的高，平分，若，，则______ 13．如图，在中，为的中线，其中．若的面积为60，，则中，边上的高是______． 14．如图，在中，，过点的直线交于点，若，我们称是的形似线，其中，那么我们称是的倍形似线．已知直线是的倍形似线，则______度． 15．如图，在中，，平分的外角交的延长线于点D，若，则的度数为______________． 16．如图，，，，分别平分，，．有以下结论：①；②；③；④．其中，正确的有_______．（填序号） 三、解答题（本大题共8小题，每小题9分，共72分） 17．按要求完成下列各小题． (1)在中，，，的长为偶数，求的周长； (2)已知的三边长分别为3，7，m，化简． 18．如下图所示，每个小正方形的边长均为1，点，，在小正方形的顶点上． (1)画出中边上的高，边上的中线； (2)若的周长比的周长长4.5，则比长____________； (3)的面积为____________． 19．如图，已知，分别是的高和角平分线，，，． (1)求的度数； (2)求的长． 20．如图，，，分别为边，上的点，连结，已知，． (1)请说明的理由． (2)若，求的度数． 21．如图，在中，，平分，交于点F． (1)若，，求的度数； (2)在（1）的条件下，判断与是否垂直，并说明理由； (3)直接写出当与满足怎样的数量关系时，． 22．如图，已知直线，直线分别交，于点，，平分交于点，平分交于点，过点作，为垂足，交直线于点． (1)若，求的度数． (2)求证：． 23．如图，在中，，，分别是的高、角平分线、中线． (1)若的面积为，则的面积_______； (2)当，时，求的度数． (3)若，的周长比的周长多，求的长度． 24．如图，在中，平分，P为线段上的一个动点，交的延长线于点E，与交于点F． (1)若，，求的度数； (2)求证：． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十三章 三角形 能力提升自测卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的稳定性解答即可． 【详解】解：选项D中活动衣架上没有三角形，其余A、B、C选项中都含有三角形， 由三角形的稳定性可知，选项D中没有利用三角形的稳定性， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的稳定性，正确的理解题意是解题的关键． 2．如图，钝角三角形的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的分类、钝角三角形的定义等知识点，确定各个钝角三角形成为解题的关键． 先列举出所有钝角三角形，然后再统计即可解答． 【详解】解：如图：钝角三角形有：、、、、，共5个． 故选D． 3．若三根长度分别为2、4、x（x为正整数）的木棒顺次相接能够组成三角形，则（     ） A．组成的三角形中，周长最小为8 B．组成的三角形中，周长最小为7 C．组成的三角形中，周长最大为 D．组成的三角形中，周长最大为 【答案】D 【详解】∵三角形三边长为，，， ∴，即， 又∵为正整数， ∴的可能取值为，，， 当时，周长最小，最小周长为，因此选项A，B错误， 当时，周长最大，最大周长为，因此选项C错误，选项D正确． 4．下列说法错误的是（    ） A．三角形的内角和等于 B．有两个角互余的三角形是直角三角形 C．若等腰三角形一边长为2，一边长为5，则它的周长为9或12 D．日常生活中，工程建筑常采用三角形的结构，因为三角形是具有稳定性的图形 【答案】C 【分析】本题考查三角形的内角和定理，直角三角形的判定，等腰三角形的定义，三角形的三边关系以及三角形的稳定性，根据相关知识点，逐一进行判断即可. 【详解】解：A、三角形的内角和等于，正确，不符合题意； B、有两个角互余的三角形是直角三角形，正确，不符合题意； C、若等腰三角形一边长为2，一边长为5，当腰长为2时，，不能构成三角形， 当腰长为5时，，能构成三角形，则周长为，原说法错误，符合题意； D、日常生活中，工程建筑常采用三角形的结构，因为三角形是具有稳定性的图形，正确，不符合题意； 故选C. 5．如图，的两条中线、相交于点，已知的面积为，的面积为，则阴影部分（四边形）的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角形的中线平分三角形的面积求解． 【详解】解：∵的面积为，的面积为， ∴， ∵、分别是的两条中线， ∴，， ∴，， ∴． 6．随着地摊经济的蓬勃发展，街巷夜市充满了烟火气．某夜市摊主使用的折叠方桌（如图（1））结构稳固、方便收纳，将其展开后可抽象为如图（2）所示的图形．已知，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据邻补角的性质得到，再利用两直线平行，内错角相等得到，结合三角形内角和求出，进而利用对顶角相等求出的度数． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 7．如图，在中，，，平分交于点，，交于点，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角形内角和定理求出的度数，再由角平分线的定义得到的度数，最后根据平行线的性质可得答案． 【详解】解：在中，，， ， 平分， ， ， ． 8．李华大扫除时，要挪动墙角的储物柜，挪动过程示意图如图所示，其中，，将储物柜沿着墙向右平移到的位置，已知，则储物柜扫过的区域（四边形）的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用等腰直角三角形的性质，确定了两条直角边的长度．再根据平移的性质，得出了梯形的上底和下底长度．最后直接套用梯形面积公式，计算出最终结果． 【详解】解：，， 是等腰直角三角形， 平移得到，平移距离， ，， ∴四边形是直角梯形，上底，下底，高， ． 9．如图，分别是的高、中线，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的面积，三角形中线的性质，解题的关键是掌握三角形中线的性质． 根据高和面积求出三角形的底边，然后根据三角形中线的性质进行求解即可． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴． 故选：B． 10．如图，把纸片沿着折叠，使点落在四边形内部点处，已知，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据折叠的性质得出，，利用平角的定义推导出，从而求出的度数，最后根据三角形内角和定理及求解即可. 【详解】解：∵把纸片沿着折叠，点A落在四边形内部点处， ∴，， ∵，， ∴， 在中，， ∴，， ∴， ∴， 在中，，且， ∴， ∴． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若一个三角形的三边长均为奇数，其中两边长分别为5和7，则这个三角形周长的最大值为________． 【答案】 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，结合三边长均为奇数的条件确定第三边的最大值，即可计算得到周长的最大值． 【详解】解：根据三角形三边关系可得：第三边，即第三边， 三边长均为奇数， 第三边的最大值为， 三角形周长的最大值为． 12．如图，是的边上的高，平分，若，，则______ 【答案】 【分析】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，直角三角形的两个锐角互余． 由三角形的内角和定理可得，由角平分线的定义可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，减去即可得的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵是的边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13．如图，在中，为的中线，其中．若的面积为60，，则中，边上的高是______． 【答案】8 【分析】设中，边上的高是h，根据三角形中线的性质可得的面积，再由，可得的面积，即可求解． 【详解】解：设中，边上的高是h， ∵的面积为60，为的中线， ∴的面积为， ∵， ∴， ∴的面积为， ∵， ∴， 解得：， 即中，边上的高是8． 14．如图，在中，，过点的直线交于点，若，我们称是的形似线，其中，那么我们称是的倍形似线．已知直线是的倍形似线，则______度． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，由直线是的倍形似线，所以，从而可得，又，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵直线是的倍形似线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．如图，在中，，平分的外角交的延长线于点D，若，则的度数为______________． 【答案】95 【分析】由角平分线的定义可得，由三角形外角的定义及性质可得，最后再由三角形内角和定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵平分的外角交的延长线于点D，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 16．如图，，，，分别平分，，．有以下结论：①；②；③；④．其中，正确的有_______．（填序号） 【答案】 ①③④ 【分析】根据三角形外角的性质及角平分线的定义，结合，可推导角之间的数量关系；利用平行线的判定定理判断与的位置关系；利用平行线的性质及角平分线定义推导与的关系；利用三角形外角性质推导与、的关系即可． 【详解】解：∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴ ，故①正确； ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 即，故②错误，③正确； ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴，故④正确． 综上，正确的结论有①③④． 三、解答题（本大题共8小题，每小题9分，共72分） 17．按要求完成下列各小题． (1)在中，，，的长为偶数，求的周长； (2)已知的三边长分别为3，7，m，化简． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出的取值范围，结合为偶数确定的长度，再计算三角形周长； （2）先根据三角形三边关系得到的取值范围，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，化简整式得到结果． 【详解】（1）解：∵ ，，， ∴ ，即． 又∵为偶数， ∴． ∴的周长为． （2）解：∵的三边长分别为，，， ∴，即． ∴，，． ∴原式 ． 18．如下图所示，每个小正方形的边长均为1，点，，在小正方形的顶点上． (1)画出中边上的高，边上的中线； (2)若的周长比的周长长4.5，则比长____________； (3)的面积为____________． 【答案】(1) 如图所示，线段、线段即为所求． (2)4.5 (3)4 【分析】本题考查了三角形的高与中线的定义，三角形周长差的转化，三角形面积的计算，掌握中线将三角形分成面积相等的两部分，周长差可通过消去相等线段转化为边长差是解题的关键． （1）根据三角形高的定义，从点向边作垂线得到，根据中线定义找到的中点，连接得到中线； （2）利用中线的性质，，结合周长差的表达式，消去公共边和相等线段，得到与的差； （3）先计算的面积，再利用中线将三角形分成面积相等的两部分，得到的面积． 【详解】（1）略 （2）解：∵是的中线， ∴． ∵的周长比的周长长， ∴， ． （3）解：∵，是的中线， ∴． 19．如图，已知，分别是的高和角平分线，，，． (1)求的度数； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，角的和差关系及解含的直角三角形． （1）先根据角平分线的定义，得出，再由是的高，依据直角三角形两锐角互余可得，最后根据角的和差关系求得结果； （2）先根据三角形内角和得出，再利用解含的直角三角形的性质求得的长． 【详解】（1）解：∵，是的角平分线， ∴， 又∵，是的高， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， 又∵，， ∴在中，． 20．如图，，，分别为边，上的点，连结，已知，． (1)请说明的理由． (2)若，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）先利用，得，再根据和三角形内角和等于得出，进而证明； （2）先根据，求出，再结合求出． 【详解】（1）略． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 21．如图，在中，，平分，交于点F． (1)若，，求的度数； (2)在（1）的条件下，判断与是否垂直，并说明理由； (3)直接写出当与满足怎样的数量关系时，． 【答案】(1) (2)与不垂直，理由如下： 由（1）知：， 平分， ， ， 与不垂直． (3)当时， 【分析】（1）利用三角形内角和求出的度数，两直线平行，同位角相等,即可求出的度数； （2）判断与是否垂直，看是否为，根据（1）的答案以及角平分线的定义求出的度数，利用三角形内角和求的度数； （3）逆向思维，假设，可以用和代替，过程同第二问，代入即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ； （2）略 （3）当时，，理由如下： ∵， ， ， ， 平分， ， 在中，， ， ． 22．如图，已知直线，直线分别交，于点，，平分交于点，平分交于点，过点作，为垂足，交直线于点． (1)若，求的度数． (2)求证：． 【答案】(1)； (2)证明：平分，平分， ， ， ， ， ∴， ， ， ，， ． 【分析】（1）根据平行线的性质求出，再由角平分线的定义求出，最后由平行线的性质即可求解； （2）由角平分线的定义得到，，由平行线的性质得到，因此，从而可推出，从而得到，因此，，通过等量代换得证结论． 【详解】（1）解：∵，， ∵平分， ∴， ∵， ． （2）略 23．如图，在中，，，分别是的高、角平分线、中线． (1)若的面积为，则的面积_______； (2)当，时，求的度数． (3)若，的周长比的周长多，求的长度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据是的中线，的面积为，即可求出的面积； （2）先求出，再运用平分，得出，然后运用三角形内角和性质以及三角形的高进行求解即可； （3）根据是的中线，得到，由的周长比的周长多，推出，即可求解． 【详解】（1）解：是的中线，的面积为， ； （2）解：，， ， 平分， ， 是的高， ， ， ； （3）解：是的中线， ， 的周长比的周长多， ， 则， ， ． 24．如图，在中，平分，P为线段上的一个动点，交的延长线于点E，与交于点F． (1)若，，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明：， ， ． 是的外角， ， ， ∵平分， ， 在中，， ， ， ． ， ． 【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线定理求出，根据外角的性质求出，即可求解； （2）根据（1）中的思路即可推导出这些角之间的关系． 【详解】（1）解：在中，，， ． ∵平分， ， 是的外角， ， ， ， 在中，； （2）略 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $