黑龙江哈尔滨市第九中学校2026-2027学年高三上学期9月阶段性考试数学试卷

答案 1-8DDAB ACDC 9.ABC 10.ABD 11.ACD √5 12.313.414.V3+1 15.（1)连BC交BC于0，连OE,0为BC中点，E为AC中点，六OEAB,2分 而AB丈平面CEB,OEC平面CEB,AB∥平面CEB.3分 (2) 个名 A C B E B 取AC中点D. :正三菱柱得EDIAA.有ED⊥平面ABC, 且△ABC为等边△，E为中点.有BE⊥EC, “以E为原点，EB,EC,ED所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， .BB =BA=2 CF=2FC …1分 E0.a0,8v5.00,C0l2.F0l 则 BE=(←V50,0),EC=(0,12) …2分 设平面BEC的法向量为i=(化，y,2), x=0 i·BE=0 -V3x=0 y=-2 元EC=0即y+2z=0令2=1 :平面BEC的一个法向量i=(0,-2,1) ，…2分 设直线BF与平面BEC所成角为a, i·BF 2+4 ∴.sin=曰cos(i,BF) 3 V65 BF V5x2i⑧ 65 3 √65 即直线BF与平面BEC所成角的正弦值为65 …3分 16.(1)因为0n=4an+3(n≥2) 所以0，+1=4(a+),(n≥2)，而4+1=4≠0. …2分 所以数列a,+为以4+1=4为首项，4为公比的等比数列， …2分 所以4，+1=4，所以0，=4-1： …2分 (2)由(1)可知b=na.=n:4"-n 设数列cn}的通项公式为c,=n:4“,前n项和为Cm, 数列{d,}的通项公式为d。=”,前n项和为D。, 则Cn=1:4+2.42+…+n40 所以4Cn=1.42+243+…+41 …2分 则3C.=4+4+4++4-n-4_40-4 -n:4n+1 1-4 …2分 C,=4+3n-141 所 9 …2分 Dn=n1+n)） 2,… …2分 ,=C.-D=3n-l41+4_n0n+1) 所以 9 2 …1分 17.(1)i+i2+i+…+i2027=i+i2+i=-1 …3分 (2)所有的基本事件个数有4×4=16（个）， …2分 A包含的基本事件有-1，D、（L,-)、(,i)、（一i,-)共4个，所以 …2分 (3)由题意可知，随机变量S的可能取值为-1、0、1，… …2分 5=-1所包含的基本事件有：（-1，)、，-)、，)、（-i,-),共4个， 5=0所包含的基本事件有：（，)、，)、（-，i)、,-)、,-i)、（-i,1)、（-1,-i)、（-i,-),共g 个， 5=1所包含的基本事件有：，)、（-1，-)、(，-)、（-i,),共4个， 所以， 64P06PGE6翔 号的分布列为 5 -1 0 1 P 1 1 1 4 2 4 …1分 (5=-1x2+0x5+1x2-0 1 所以 4 24 …2分 18.(1)设f)=2sin(or+p)的最小正周期为 -2x 0, Tπ 则由题可知， ,而20，解得0=1，…1分 则f(x)=2sin(x+p: 2 .2π “f)在3”处取得极大值，六 tp-+2kn(kEZ)9--T+2kn(keZ) 2 6 …1分 _元+2km≤x- 令2 元≤元+2k.keZ, 62 「_元+2km,3 x 解得L3 2+2k(keZ) 即y=f()的严格增区间为 [+2km,3 3 2+2km(keZ …2分 =24-1, A=- (2)解：因为 ,因为Ae(0,),所以4=3， …1分 又因为a=V5,所以由余弦定理a2=b2+c2-2 becosA,. 即3=b2+c2-bc,即b2+c2=3+bc.…1分 而b2+C2之2bc,当且仅当b=c时取等号， 所以bc≤3，即b2+C2≤6， …2分 又因为b2+c2=3+bc>3,所以3<b2+c2≤6，即b+c∈(3,6] …2分 2 x=. (3)由题可知， 3为'轴右侧最接近少轴的极大值点，而正弦型函数的极值点同时也是其对称轴， W=2π OP=-2x PN= 因此易知 ,故 3,则 3cos0. 2n tan0 3 3 L=MP+2oP=22am0+4元=2+2Z.2-sin日 因此 3c0s0 3C0S0,…3分 MN 2 3 tan a= ON2ππ： 3 3 ，3 <a<a 设∠MON=a, π，6 4.…1分 设8(0=2-sim0 cos000a] ()=-cose.cose-(2-sin )(-sin0)2sin-1 cos20 cos20, 8∈0，π） 0π 当6)时，2sin0-1<0,cos20>0,即8'(0)<0，因此8(8)在6)上单调递减： , I,a 当（6 」时，2sin0-1>0,cos20>0,即8'()>0，因此8()在6」上单调递增， 21 g(min =g 2=5 Bπ 6 因此8()在6时取到最小值， ,…2分 m=2+205=2+25 故L的最小值 3 3…… 19.(1)因为f()=x+x2+x-1,所以f()=3x2+2x+1,所以f"(0)=1. 因为=0，f0)=-1,所以4：y-（)=1×x-0) 2分 即y=x-1,令y=0,得x=1. 又f0=2,f"0=6,所以人：y-2=6×(x-0 …2分 2 即=6-4，令少=0，得5 …1分 (2)(i)因为f"()=2x+b,所以1y-(+bx,+C)=(2x,+b)(x-x,)】 x-c Xn+1= 令y=0,得2x,+b】 …2分 Xi-c a1=51卫=2x,+bp x-c-2px-pb 所以 2花+69-c-20-g96 1g号-e=】 因为p+g=-b,p9=C, u=四-2+pptg)-号-2p然+p-怎-2） =a 所以 x-pq-2gx+q(p+q)x-2qx+q2x-q) …3分 (i)证明：由(i)知4>0，所以a,>0,则血a1=ha=21na. 因为h4=he=l≠0，所以数列血a,}是以1为首项，2为公比的等比数列， 则血a,=1×21=2,即a.=e2” …2分 设8(x)=e'-x-l(r>0),则g'(x)=e-1>0, 所以8(x)在(0，+0)上单调递增，所以8(x)>g(0)=0,即e-x-1>0, 所以e>x+l …2分 又2>0，则4=e2”>21+1 …1分 4+a2+…+an>2°+2+…+2-+n= 所以 x-2）+m=2+n-l 1-2 所以4+a+…+a,>2+n-1成立. 2分 哈九中2024级高三9月阶段性考试 数学试卷 （时间120分钟，满分150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求 1．已知是虚数单位，若复数，则的虚部为（ ） A． B． C． D． 2．函数，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 3．已知向量，，满足，且，则的值为（ ） A．-3 B．-2 C．-1 D．0 4．正项等差数列的公差为，已知，且，，三项成等比数列，则（ ） A．-1 B．3 C．1 D．-3 5．将图象向左移个单位长度，得到函数的图象，若是偶函数，则（ ） A． B． C．-1 D．1 6．索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体．小明同学为了估算索菲亚教堂的高度（即线段长），在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得楼顶教堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则小明估算索菲亚教堂的高度为（ ） A． B． C． D． 7．已知等比数列的公比为，其前项积为，且满足，，，则（ ） A． B． C．是数列中的最小项 D．若，则的最小值为4053 8．若函数的最小值为-1，则（ ） A．1 B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的有（ ） A．设，，则“”是“”的充分不必要条件 B．若，则 C．若，，则 D．当时，的最小值是2 10．已知平面向量，满足，且．设实数，，，则（ ） A． B． C．，的夹角为钝角 D．的最大值为2 11．已知，记数列的前项和为，则下列说法正确的有（ ） A．对任意， B． C．若，则 D．当数列是等差数列时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．设平面向量，，且，则______． 13．已知数列满足，，则______． 14．在中，内角，，的对边分别为，，，点是边上靠近的三等分点．若，，则的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．如图，正三棱柱中，为中点． （1）求证：平面； （2）若，点在棱上，且，求直线与平面所成角的正弦值． 16．已知数列满足，且． （1）求数列的通项公式； （2）若，求的前项和． 17．把一颗质地均匀，四个面上分别标有复数1，-1，，（为虚数单位）的正四面体玩具连续抛掷两次，第一次出现底面朝下的复数记为，第二次出现底面朝下的复数记为． （1）计算的值； （2）用表示“”这一事件，求事件的概率； （3）设复数的实部为，求的分布列及数学期望． 18．已知（其中，），函数相邻的极小值点和极大值点分别为和．直线为函数在轴右侧与轴距离最近的对称轴，且分别交函数的图象和轴于，两点，点为线段上一动点． （1）求函数的表达式，并写出其增区间； （2）设的内角，，所对的边分别为，，，若，且，求的取值范围； （3）设，记，请写出关于的函数表达式，并求的最小值． 19．牛顿在《流数法》一书中，利用迭代思想给出了一种求高次代数方程近似解的方法：牛顿法．具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，曲线在点处的切线为，设与轴交点的横坐标为，并称为的1次近似值；曲线在点处的切线为，设与轴交点的横坐标为，并称为的2次近似值．一般地，曲线在点处的切线为，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值．不断重复以上操作，在一定精确度下，就可取为方程的近似解，称数列为函数的牛顿数列． （1）若的零点为，，请用牛顿法求的2次近似值； （2）设函数的两个零点分别为，，数列为函数的牛顿数列且．已知数列满足，． （ⅰ）求和的关系； （ⅱ）证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $