26.1 二次函数的概念&26.2 二次函数的图象和性质（课外拓展提高）-【学海风暴】2026-2027学年九年级上册数学同步备课（人教版·新教材·江西专版）

第二十六章 @26.1二次函数的概 1.已知函数：①y=2x-1;②y=-2x2-1: ③y=3x3-2x2;④y=2(x+3)2-2x2;⑤y =ax2+bx+c(a,b,c为常数)；⑥y=x2+ 十5.其中是二次函数的个数为 x A.1 B.2 C.3 D.4 2.（2025一2026赤峰松山区期中)最新报道显 示，2023年我国新能源汽车累计销量为 949.5万辆，销量逐年增加.若2025年的累 计销量为y万辆，平均每年增长率为x,则y 关于x的函数解析式为 () A.y=(1+x)2B.y=949.5.x(1+x) C.y=949.5(1+x)2D.y=949.5+(1+x)2 3.(教材变式)已知矩形的周长为36cm,矩形绕 它的一条边旋转形成一个圆柱.设矩形的一条 边长为xcm,圆柱的侧面积为ycm,则y关 于x的函数解析式为 () A.y=-2πx2+18πxB.y=2πx2-18πx C.y=-2πx2+36πxD.y=2πx2-36πx 4.二次函数y=(x-1)mx十(x+1)z+"” 2 (m≠一n)的二次项系数与一次项系数的和 为2，差为2，则常数项为 ( 1 B.2 C. 1 D.4 5.已知函数y=(m2+m一2)x2+(m一1)x+m. (1)当m的取值范围为 时，它是二次函数. (2)当m的值为 时，它是一次 函数. 6.若二次函数y=(2x一1)2+1的二次项系数 为a,一次项系数为b,常数项为c,则b2一4ac 0(填“>”“<”或“=”). 二次函数 念 （建议用时：30分钟) 7.某矩形的长和宽分别为3cm和2cm.当每边 长都增加xcm时，矩形的面积增加ycm,则 y关于x的解析式为 8.如图，矩形ABCD的周长 为18，其中E,F,G,H为 矩形ABCD的各边中点.B 若AB=x,四边形EFGH 第8题图 的面积为y,则y与x之间的函数关系式 为 9.推理能力如图，5个图形都是由小圆点按照某 种规律排列而成的.依据上述规律，第n个图形 中，小圆点的个数y关于n的解析式是 ,它是 函数. : 第9题图 10.(教材变式)如下图，在Rt△ABO中，AB⊥ OB,且AB=OB=4.设直线x=t,截此三 角形所得的四边形ABCD(阴影部分)的面 积为S. (1)求S与t之间的函数关系式，并写出自 变量t的取值范围， (2)当S=3时，求t的值. 4444444 上册课外拓展提高 103 @26.2二次函数的图象和性质 26.2.1二次函数y=ax2的图象和性质（建议用时：30分钟） 1.已知点(x1,y1),(x2,y2)是函数y=(m一7.如下图，已知函数y=x2的图象与y=2x十 3)x2的图象上的两点，且当0<x1<x2时， 3的图象的交点为A,B(A在B的右边). 有y1>y2,则m的取值范围是 (1)求点A,B的坐标 A.m>3B.m≥3C.m≤3D.m<3 (2)连接AO,BO,y=2x+3的图象与y轴 1 2.已知二次函数y=一2x,下列说法正确的 交于点C,求△AOB的面积. 是 A.该函数图象经过第一、三象限 B.函数图象有最高点 C.函数图象的对称轴是直线x=一】 2 D.当x<0时，y随x的增大而减小 3.已知二次函数y=x2,当1≤y≤9时，自变 量x的取值范围是 ) A.1≤x≤3 B.-3≤x≤3 C.-3≤x≤-1或1≤x≤3 8.如下图，在平面直角坐标系中，点A(2,4)在 D.-3≤x<0或0<x≤3 抛物线y=ax2上，过点A作y轴的垂线， 4.在同一平面直角坐标系中，二次函数y= 交抛物线于另一点B.点C,D在线段AB ax2(a≠0)与一次函数y=a.x十a的图象大 上，且关于y轴对称，分别过点C,D作x轴 致是 的垂线交抛物线于E,F两点，连接EF 平米齐 (1)求抛物线的解析式。 (2)当四边形CDFE为正方形时，求线段 CD的长 5.已知y=(k十2)x+-4是二次函数，且当x <0时，y随x的增大而增大。 (1)k的值是 (2)若P(m,n)是此二次函数的图象上 点，且一2≤m≤1，则n的取值范围是 6.一题多解法已知点A(一2，y1),B(1,y2), C(3,y3)在二次函数y=一4x2的图象上， 则y,y2,y3的大小关系是 (用“<”连接). 114411 104 九年级数学RJ版 26.2.2二次函数y=a(x一h)2十k的图象和性质 目第1课时二次函数y=ax2+k的图象和性质（建议用时：45分钟） 1.已知点(x1,y1),(x2,y2)均在抛物线y= 个顶点A,B,C,则ac的值是 )+4上，则下列说法正确的是。 A.若y1=y2,则x1=x2 B.若x1=一x2,则y1=一y2 C.若0<x1<x2,则y1>y2 第7题图 第8题图 D.若x1<x2<0,则y1>y2 8.转化思想如图，正方形ABCD的顶点C,D 2.（2025一2026新余分宜检测)在同一坐标系 在x轴上，A,B恰好在二次函数y=x2一3 中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2 的图象上，则图中阴影部分的面积之和为 十a的图象可能是 9.(1)若二次函数y=ax2十a2一4有最小值5， 求a的值. (2)若抛物线y=a.x2-a-2与x轴不相 交，求a的取值范围. D 3.抛物线y=ax2一a(a≠0)与直线y=kx交 于A(x1,y1),B(x2,y2)两点.若x1十x2< 0,则直线y=ax十k一定经过 10.如下图，抛物线y=一x2+4与x轴交于 A.第一、二象限 B.第二、三象限 A,B两点，与y轴交于点C,四边形ABCD C.第三、四象限 D.第一、四象限 为平行四边形， 4.已知二次函数y=(a-2)x2十a2-2的图象 (1)直接写出A,B,C三点的坐标 的最高点为(0,2)，则a= (2)若抛物线向上平移后恰好经过点D,求 5.抛物线y=a.x2十c与x轴交于A(一2,0)，B 平移后抛物线的解析式， 两点，与y轴交于点C(0,一4)，则△ABC的 面积是 6.已知抛物线y=mx2+m一2的顶点在y轴的 A B 负半轴上，且开口向上，则m的取值范围 是 7.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y= a.x2+c(a≠0)的图象过正方形ABOC的三 4444 上册课外拓展提高 105 11.如下图，抛物线y=a.x2一3和y=一ax2十 3都经过x轴上的A,B两点，两条抛物线 的顶点分别为C,D.当四边形ACBD的面 积为24时，求a的值. 12.下图所示的是抛物线形拱桥，当拱顶离水 面2m时，水面宽4m,建立平面直角坐 标系. (1)求拱桥所在抛物线的解析式。 (2)当水面下降1m时，水面的宽度为 多少？ 111411 106 九年级数学RJ版 13.数形结合思想已知二次函数y=一x2十c 的图象经过点A(-2,5),点P(x1,y1), Q(x2,y2)是此二次函数的图象上的两个 动点. (1)求此二次函数的解析式. (2)如下图，此二次函数的图象与x轴的正 半轴交于点B,点P在直线AB的上方，过 点P作PC⊥x轴于点C,交AB于点D, 连接AC,DQ,PQ.若x2=x1十3，求证： S△Po的值为定值. SAADC y CO B 目第2课时二次函数y=a(x一h) 1.已知A(-2,y1),B(1,y2),C(2,y3)三点都 在二次函数y=一2(x一1)2的图象上，则 y1y2y3的大小关系为 A.y1<y2<y3 B.y1<y3<y2 C.y2<y1<y3 D.y3<y1<y2 2.（2025一2026丰城期中)在同一平面直角坐 标系中，一次函数y=ax十b的图象和二次 函数y=一a(x+b)2的图象可能是( 不 3.对于二次函数y=3.x2+1和y=3(x-1)2 有以下说法：①它们的图象都是开口向上； ②它们图象的对称轴都是y轴，顶点坐标都 是(0,0)；③当x>0时，它们的函数值y都 是随着x的增大而增大；④它们的图象开口 大小是一样的.其中正确的有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.下面是三名同学对某个二次函数的描述. 甲：图象的形状、开口方向与y=一2x2的相同： 乙：顶点在x轴上；丙：对称轴是直线x=一3. 请你写出这个二次函数： 5.如图，在平面直角坐标系中，点 A,B的坐标分别为(-三2， (?,2),连接AB.若抛物线y 第5题图 1 (x一h)2与线段AB有交点，则h的取值 范围是 6.一题多解法如下图，抛物线y=a(x十1) 的顶点为A,与y轴的负半轴交于点B,且 OB=OA. 的图象和性质（建议用时：30分钟） (1)求该抛物线的解析式. (2)若点C(一3，b)在该抛物线上，求△ABC 的面积。 解法一：如图①，过点C作CD ⊥x轴于点D. 图① 解法二：如图②，连接OC. 图② 解法三：如图③，过点A作x 轴的垂线，交BC于点D, 图③ 444444 上册课外拓展提高 107 目第3课时二次函数y=a(x一h)2 1.（2025一2026丰城检测)将抛物线y=一(x 一2)2+1先向左平移3个单位长度，再向下 平移2个单位长度，得到的抛物线的函数解 析式为 A.y=-(x+1)2-1B.y=-(.x-5)2-1 C.y=-(x+1)2+3D.y=-(x-5)2+3 2.若抛物线y=(x一m)2+m十1的顶点在第 一象限，则m的取值范围是 A.m>1 B.m>0 C.m>-1 D.-1<m<0 3.抛物线y=(x+1)2+1上有A(x1,y1), B(x2,y2)两点，且x1<x2<一1，则y1与 y2的大小关系是 ) A.y<y2 B.y1>y2 C.y=y2 D.不能确定 4.(2025一2026宜春期中)二次函数y=a(x 2)2十c与一次函数y=cx+a在同一坐标系 中的大致图象是 : 5.已知抛物线y1=a(x一h)2十k与x轴有两 个交点A(一1,0)，B(3,0),抛物线y2=a(x 一h一m)2十k与x轴的一个交点是(4,0)， 则m的值是 A.5 B.-1 C.5或1 D.-5或-1 6.将抛物线y=2x2平移，使其顶点移动到点 P(一3,1)的位置，那么平移后所得新抛物线 的解析式是 7.如图，把抛物线y=x2沿直线y=x平移√2 个单位长度后，其顶点在直线y=x上的点 A处，则平移后抛物线的解析式是 415941 108 九年级数学RJ版 k的图象和性质（建议用时：45分钟) 第7题图 第10题图 8.若二次函数y=x2一6x十c的图象经过A(一1， y1),B(2,y2),C(3十√2，y3)三点，则y1y2y 的大小关系是 9.把二次函数y=x2十4x十m的图象向上平移 1个单位长度，再向右平移3个单位长度.如 果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个 公共点，那么m应满足条件： 10.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y1= m(x十3)2+n与y2=m(x-2)2+n十1交 于点A.过点A作x轴的平行线，分别交两 条抛物线于点B,C(点B在点C左侧). (1)若点A的坐标为（一1，a),则m的值为 (2)线段BC的长为 11.在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x 1)2十2经过点B(0,1),且该抛物线的顶点 A在直线y=x十m上， (1)a= ,1n (2)将抛物线y=a(x一1)2十2沿直线y= x十m平移，求平移后所得抛物线与y轴交 点的纵坐标的最大值， 12.(教材变式)下图所示的是某公园一喷水池 喷水时的示意图，在水池中央有一垂直于 地面的喷水柱OA,喷水时，水流在各方向 沿形状相同的抛物线落下.若水流喷出的 高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之 间的函数关系式为y=一(x一1)十2.25. (1)求喷出的水流离地面的最大高度， (2)求喷水柱OA的高度， (3)若喷水池是一个圆形喷水池，则水池半 径至少为多少时，才能使喷出的水流不落 在水池外？ x/m 13.已知二次函数y=- 4(x-2m)2+3-4m (m是常数). (1)小明说：“当m的值变化时，二次函数图 象的顶点始终在一条直线上运动.”你认为 他的说法对吗？请说明理由， (2)已知点P(a-5,c),Q(4m+3+a,c)都 在该二次函数图象上，求证：c≤15. 14.（2025一2026龙南期末)如下图，抛物线y =(x一1)2一4与x轴交于A,B两点，与y 轴交于点D,抛物线的顶点为C (1)求△ABC的面积. (2)P是抛物线上一动点，当△ABP的面 积为6时，求所有符合条件的点P的坐标 A\O: B 244444 上册课外拓展提高 109 26.2.3二次函数y=ax2十bx十 1.（2025一2026赣州章贡区期中)已知抛物线 y=ax2十bx十c(a<0)经过点（一2,0），(4， 0),则当x=1时，y的值为 ( A.正值 B.负值 C.零 D.无法确定 2.已知一个二次函数y=a.x2+bx+c的自变 量x与函数y的几组对应值如下表： 一4 -2 0 3 5 -24-80 -3-15 则下列关于这个二次函数的结论正确的是 ) A.图象的开口向上 B.当x>0时，y的值随x值的增大而减小 C.图象经过第二、三、四象限 D.图象的对称轴是直线x=1 3.一次函数y=ax十b的图象如图所示，则二 次函数y=a.x2十bx的图象可能是() 第3题图 米朵大 A 4.已知点M(x1,y1),N(x2,y2)在抛物线y m.x2-2m2x+n(m≠0)上.当x1+x2>4且 x1<x2时，都有y1<y2,则m的取值范围为 ( A.0<m≤2 B.-2≤m<0 C.m>2 D.m<-2 5.二次函数y=ax2十bx十c(a≠0)图象上部 分点的坐标(x,y)对应值列表如下： -3 -2 -10 -3 -4-7-12… 该图象的对称轴是直线x= 110 九年级数学RJ版 的图象和性质（建议用时：30分钟） 6.已知抛物线y=x2十kx一1经过（一2，n)和 (4,n)两点，P为x轴上方抛物线上一点. (1)k= (2)若点P到对称轴的距离与点P到x轴 的距离相等，则点P的纵坐标为 7.若抛物线y=x2一6m.x十6m2+5m+3的顶 点在直线y=x十2上，则m的值为 8.（2025一2026高安检测)在平面直角坐标系 xOy中，M(x1,y1),N(x2,y2)是抛物线y =ax2+bx十c(a<0)上任意两点，设抛物线 的对称轴为直线x=t.当x1=一1，x2=3 时，y1=y2,则t= 9.（2025一2026丰城检测)在平面直角坐标系 中，已知抛物线y=a.x2-2a2x(a≠0)经过 A(1-a,y1),B(m,y2)两点 (1)若y1=y2,求m的值（用含a的式子 表示). (2)若a=1,y1<y2,且点A,B位于对称轴 的两侧，请求出m的取值范围.第二十六章二次函数 26.1二次函数的概念 1.A2.C3.C4.A 5.(1)m≠1且m≠-2(2)-26.<7.y=x2+5.x 8y=-号r+号：【解折1矩形 ABCD的周长为18，AB=x,.BC 2X18-x=9-x.由E,F,G,H B 为矩形ABCD的各边中点可知，四边形EFGH是菱 形.如图，连接，BG,得y-HF·BG-号r(9 9.y=n2一n十1二次【解析】观察图可知，从第2个图 形开始，不算中间的点，每个图形中，每条分支上的点 数比分支条数少1.：第n个图形有n条分支，每条分 支上有(n-1)个点，∴y=n(n-1)+1,即y=n2-n +1(经检验，n=1时也满足)，它是二次函数. 10.解：(1)在Rt△AOB中，AB⊥OB,且AB=OB=4, .∠AOB=∠A=45°. CD⊥OB,.CD∥AB, ∴.∠ODC=∠A=45°， .∠DOC=∠ODC=45°， ..CD=OC=t, 、S四边形AD=SABm二SAD三7OB·AB- 20. 2(0<1<4), CD=8- 1 即S=8-21(0<1<4). 1 (2)S=8-21=3, 整理，得12=10， 解得1=√10（负值已舍去）. 26.2二次函数的图象和性质 26.2.1二次函数y=ax2的图象和性质 1.D2.B3.C 4.B【解析】当a>0时，函数y=a.x的图象开口向上， 函数y=ax十a的图象经过第一、二、三象限，所以A, D选项错误，B选项正确；当a<0时，函数y=ax2的 图象开口向下，函数y=ax十a的图象经过第二、三、 四象限，所以C选项错误 5.(1)-3(2)-4≤n≤0 6.y<y1<y:【解析】点A(-2,y),B(1,y2),C(3, y3)在二次函数y=一4x2的图象上，.y1=一4 (-2)2=-16,y2=-4×12=-4,ya=-4×32= -36,∴.y3<y1<y2 30 九年级数学RJ版 ◆一题多解法 一4<0，.抛物线y=一4x2的开口向下. 又，抛物线的对称轴为y轴，∴.当x<0时，y随 x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减 小.点A关于抛物线对称轴对称的点A'坐标为 (2,y1).1<2<3,.y3<y1<y2. 7.解：(1)由题意，得y=x, y=2x+3, A在B的右边， .交点A,B的坐标分别为(3,9)，（一1,1）. (2):直线y=2x十3与y轴交于点C, ∴.当x=0时，y=3,即C点坐标为(0,3)， .OC=3. 又，A(3,9),B(-1,1), ∴点A,B到OC的距离分别为3,1， 5ae=Sam+Sam=2X3X3+号×3X1=6, 1 8.解：(1)点A(2,4)在抛物线y=a.x2上，.4=4a,解 得a=1,.抛物线的解析式为y=x. (2),四边形CDFE为正方形， .CD∥EF,CD=EC=EF. 又AB⊥y轴，∴.EF⊥y轴，即EF∥x轴. 设点E的横坐标为m(m>0), ∴.E(m,m2),.EF=2m. 又，AB⊥y轴，CE⊥x轴，A(2,4), .C(m,4),.EC=4-m. .EC=EF,.4一m2=2m,解得m1=一1一5（舍 去)，m2=-1十√5，∴.CD=2m=-2+25. 26.2.2二次函数y=a(x-h)2+k的 图象和性质 第1课时二次函数y=ax2+k的图象和性质 1.D2.C 3.D【解析】由题意可知，x1,x2是关于x的方程kx= a.x2一a的两个根.整理方程，得a.x2一k.x一a=0, t:=又，+<0会<0.当0>0 k <0时，直线y=ax十k经过第一、三、四象限；当a< 0,k>0时，直线y=a.x十k经过第一、二、四象限.综 上，直线y=ax十k一定经过第一、四象限. 4.-25.8 6.0<m<2【解析】，抛物线y=m.x2+m一2的顶点在 y轴的负半轴上，.m一2<0，解得m<2..抛物线y =mx2十m一2开口向上，.m>0,,.m的取值范围是 0<m<2. 7.一2【解析】如图，过点A作AH⊥x轴于点H.,四 边形ABC0是正方形，∴.∠AOB=45°，∴.∠AOH= 45°，.AH=OH 设A(m,m),则B(0,2m), :m=am+c解得4= 2m=c, m H 2m,.ac的值为-2. 8.18【解析】，抛物线y=x2-3和正方形ABCD都是 轴对称图形，且它们的对称轴均为y轴，∴.OD=OC, S1若=S矩形0E.设点B的坐标为(n,2n)(n>0).“点 B在二次函数y=x2-3的图象上，∴.2n=n2一3，解得 n1=3,n2=-1(舍去)，∴.点B的坐标为(3,6)，.S刷 =S矩形0E=3X6=18. 9解：1)由题意，得0>0， 解得a=3. a2-4=5, a>0, (2)分两种情况：① 无解； -a-2>0, ②/a<0, 解得-2<a<0, -a-2<0, 故a的取值范围是一2<a<0. 10.解：(1)A(-2,0),B(2,0),C(0,4). (2)四边形ABCD是平行四边形，AB=4,C(0,4), .CD=AB=4,CD∥AB,∴.D(-4,4). 设平移后的抛物线为y=一x2+4十m,则4=一（一4） 十4十m,解得m=16, .平移后抛物线的解析式为y=一x2十20. 11.解：抛物线y=a.x2-3和y=一ax2十3的顶点分 别为C,D,.C(0,-3),D(0,3),∴CD=6. :SaED=SAm十SAC=2AB·OD+号AB· 0C=7AB.CD=24AB=8A（-4.0》 将A(-4,0)代入y=a.x2-3,得16a-3=0,解得a 3 一16 12.解：(1)由题意设抛物线的解析式为y=a.x十b(a≠0). ,当拱顶离水面2m时，水面宽4m, .C(0,2),B(2,0), 代人y=ax+b,得2=6， 。解得 a=- 21 4a+b=0, b=2, 六携桥所在地物线的解析式为y=号十2。 (2)当水位下降1m时，水位纵坐标为一1. 令y=-1, 1 则-1=-2x+2, 解得x=士√6， ∴.水面宽度为2√6m. 13.解：(1)将点A的坐标代入y=一x2+c,得5=一4+ c,.c=9,.此二次函数的解析式为y=一x2+9. (2)证明：令y=-x2十9=0，则x=士3，则B(3,0). 由点A,B的坐标，得直线AB的解析式为y=一x十 3.由题意，得点P,Q,D的坐标分别为(x1,一x12十 9),(x2,-x22+9),(x1,-x1十3)，x2-x1=3, ∴Sam=2PD(。-)=号(-+9+ 3)(x2-x,)=3 (-x+x1+6). 1 同理可得S△Ac= CD·(xn-xa)= -+ ,SAPe=3,为定值. +6),小SAAw 第2课时二次函数y=a(x一h)2的图象和性质 1.B2.B 3.B【解析】二次函数y=3x2+1的图象开口向上，对 称轴是y轴，顶点坐标是(0,1).二次函数y= 3(x一1)”的图象开口向上，对称轴是直线x=1,顶点 坐标是(1,0).，对称轴不一样，∴.②③说法错误.二次 函数y=3.x2+1和y=3(x-1)2的图象开口大小一 样，∴.①④说法正确，共2个 4.y=-2(x+3)2 5号<≤号【解折】如图，当点A(-2,2)在抛物 线上时，有2=（一名-A)了，解得A=-子A: 名：当点B(受2)在抛物线上时，有2=（号-h)八 舒得人=宁，=号当=号时，范物线同时经过 1 点A,B.故抛物线与线段AB有交点时，h的取值范围 是-名<A<号 9 6.解：(1)由题意，得A(-1,0),∴.OA=1. OB=OA=1,∴.B(0,-1). 将(0，-1)代入y=a(x十1)2，得a=-1, .该抛物线的解析式为y=一(x十1). (2)解法一：将（一3，b)代入y=-(x+1)2,得b=-4, .C(-3,-4), i.5mw-5wwo-5m--(+1)X3- 号×4×2-号×1X1=3 解法二：将(-3，b)代入y=一(x+1)2,得b=一4， .C(-3,-4), 1 1 SAAm-Swc+Som:-SoA-2X1X4+7X1X 3-2×1x1=8 解法三：将(-3，b)代入y=-(x+1)2,得b=-4, 上册详解详析 31个 .C(-3,-4) 设直线BC的解析式为y=kx十n. 将点B(0,-1),C(-3,-4)代入，得 m=-1, -3k+m=-4 解得1， m=-1, .y=x-1. 令x=-1,得y=-2,.AD=2, 1 SAAnc =SAanc+SuDx22X2X1=3 第3课时二次函数y=a(x一h)尸十k的图象和性质 1.A2.B3.B 4.B【解析】A.一次函数y=cx十a的图象与y轴交于 负半轴，a<0,二次函数y=a(x一2)2十c的图象开口 向上，a>0,相矛盾，故A选项错误， B.一次函数y=cx十a的图象过第一、二、四象限，a> 0,c<0,二次函数y=a(x一2)2+c的图象开口向上， 顶点坐标为(2，c),在第四象限，a>0,c<0,故B选项 正确. C.抛物线y=a(x一2)2十c的对称轴为直线x=2,在 y轴右侧，故C选项错误. D.一次函数y=cx十a的图象过第一、二、三象限，c> 0,抛物线y=a(x一2)2十c的顶点(2，c)在第四象限，c <0,相矛盾，故D选项错误， 5.C【解析】，抛物线y,=a(x一h)2+k的对称轴为直 线x=h,抛物线y2=a(x一h一m)2十k的对称轴为直 线x=h十m,.当点A(一1,0)平移后的对应点为(4， 0)时，m=4一(-1)=5；当点B(3,0)平移后的对应点 为(4,0)时，m=4一3=1，即m的值为5或1 6.y=2(x十3)2+1 7.y=(x一1)2十1【解析】把抛物线y=x2沿直线y x平移√2个单位长度，即把抛物线向上平移1个单位 长度，再向右平移1个单位长度，.平移后的抛物线的 解析式为y=(x-1)2+1. 8.y1>y>y:【解析】由y=x2-6x十c=(x-3)2-9 十c,得函数图象开口向上，对称轴为直线x=3. 根据二次函数图象的对称性可知，3一（一1）>3一3 -√2|>|3-2， .y1>ya>y2… 9.m>3【解析】.y=x2十4x十m=(x十2)2-4十m, .平移后的抛物线的函数解析式为y=(x十2一3)2 4十m+1=(x一1)2+m一3.，平移后的抛物线与坐 标轴只有一个公共点，∴.平移后的抛物线与x轴无交 点，.m一3>0，∴.m>3. 10.(1)-5 1 (2)10【解析】(1)由 m(.x+3)2+n=m(x-2)2+n+1, 得5m(2.x+1)=1.当x=-1时，m 1 =一5·(2)设抛物线y=m(x+3) 十n的对称轴与线段BC交于点E,抛物线y=m(x 32 九年级数学RJ版 一2)2十n十1的对称轴与线段BC交于点F,如图所 示.由抛物线的对称性可知，BE=AE,CF=AF, ..BC=BE+AE+AF+CF=2(AE+AF)=2X[2 -(-3)]=10. 11.解：(1)-11 (2)设平移后所得抛物线对应的函数解析式为y= -+p:十q=-(2-）)+公+g,其顶点坐标为 (台g+g). ,顶点仍在直线y=x十1上， g+9=号+1… g=-++1=--+ -<0 .当p=1时，平移后所得抛物线与y轴交点的纵坐 标有最大值，最大值为？ 12.解：(1)y=-（x-1)2+2.25,.当x=1时，y大m =2.25, .喷出的水流离地面的最大高度为2.25m. (2)当x=0时，y=-(0-1)2+2.25=1.25,∴.喷水 柱OA的高度为1.25m. (3)令y=0,即0=一(x一1)2十2.25，解得x1= -0.5(舍去)，x2=2.5,.水池半径至少为2.5m时， 才能使喷出的水流不落在水池外. 13.解：(1)小明的说法正确.理由如下： 1 :y=-4（x-2m)2+3-4m, .顶点坐标为(2,3-4m), 二次函数图象的顶点始终在直线y=一2x十3上 运动， 小明的说法正确。 (2)证明：：点P(a-5,c),Q(4m+3+a,c)都在该 二次函数图象上， 六对称轴为直线x=a一5+4m十3+a 2 :a-5+4m+3+a=2m, 2 ∴.2a-2=0,∴.a=1, ∴.P(-4,c), 1 c=-4（-4-2m)2+3-4m=-(m+4)2+15, .c≤15. 14.解：(1)对于抛物线y=(x-1)2-4, 令y=0,得(x-1)2-4=0,解得x1=-1,x2=3, .A(-1,0),B(3,0). 顶点C的坐标为(1，一4)， .△ABC的底边AB=|3-(-1)|=4,高为点C到 x轴的距离，即|一4|=4， 1 Sa=2X4X4=8. (2)设点P的坐标为(x,(x一1)2一4)， 则△ABP的面积S=2·AB·y,=号×4·(z 1 -1)2-41=21(x-1)2-41. 令S=6,则2|(.x-1)2-4|=6,.1(x-1)2-4|=3, 即(x-1)2-4=3或(x-1)2-4=-3. ①当(x-1)2-4=3时，(x-1)2=7,x一1=土√7， ∴.x=1士√7. 此时y=3,∴点P,(1十√7,3)，P2(1-√7,3). ②当(x-1)2-4=-3时，(x-1)2=1,x-1=士1， ∴.x1=0,x2=2. 此时y=-3,.点P3(0,-3),P,(2,-3). 综上所述，符合条件的点P的坐标有四个，分别为(1 +√7,3)，(1-√7,3)，(0，-3)，(2，-3). 26.2.3二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 1.A2.D 3.D【解析】：一次函数y=a.x十b的图象经过第一、 二，四象限，a<0,b>0, .二次函数y=ax2十bx的图象开口向下，对称轴为 直线x三一22>0，在y轴右侧 4.A【解析】y1<y2,.mx号-2m2x1十n<m.x2一 2mx2十n,∴.m(xi-x2)<2m(x1一x2),则m(x1+ x2)(x1-x2)<2m(x1-x2). x1<x2,.x1-x2<0,.m(x1十x2)>2m. 当m>0时，x1十x2>2m.:x1十x2>4,.2m≤4，解 得m≤2，此时m的取值范围为0<m≤2. 当m<0时，x1+x<2m<0,与x1+x2>4矛盾， .此种情况不存在。 综上所述，m的取值范围为0<m≤2. 5.-2 6.(1)-2(2)2 7.1或-号 【解析】，抛物线的解析式可化为y=(x一 3m)2一3m2十5m十3，.抛物线的顶点坐标为(3m, 一3m2+5m十3).，抛物线的顶点在直线y=x十2 上，.-3m2+5m+3=3m+2,解得m1=1,m2= 8.1【解析】对于x1=一1，x2=3,有y1=y2, .a-b+c=9a+3b+c, ∴.8a+4b=0,∴ b一2 b “对称轴为直线x=一2a=1心1=1 9.解：(1)抛物线y=ax2-2ax(a≠0)经过A(1-a, y1),B(m,y2), .y1=a(1-a)2-2a2(1-a),y2=am2-2am. ,y1=y: .a(1-a)2-2a2(1-a)=am2-2a2m, 整理得m2-2am-(3a-1)(a-1)=0, 即(m-3a十1)(m+a-1)=0, 解得m1=3a一1，m2=一a十1. (2)当a=1时，抛物线y=x2-2x=(x-1)2-1, ∴.抛物线的对称轴为直线x=1,且图象开口向上. 点A(0,y1),B(m,y2)位于对称轴的两侧，且y <y2· .m>1且m-1>1-0, ∴.m>1且m>2, 解得m>2. 26.3二次函数与一元二次方程 1.C 2.A【解析】，二次函数y=a.x2十(2a-3)x十a-1的 图象经过第一、二、四象限，∴.(2a-3)2-4a(a-1)>0 且a-1≥0e>0,解得1<a<号，e的取值范固为 9 1≤a<8 3.A【解析】根据对称性画出函数图象如图. 4 3 -】 21 43234 当-2≤<0时，联立1十2r得r+-6=0. y=x+b, 1 当△=1十4b=0,解得b=一4 当直线y=x十b过点(0,0)时，b=0.画出图象如图 所示。 1 结合图象可知，当-4<b<0时，直线y=x+6与这 个函数图象有且仅有四个不同的交点。 4.m>3 5.x1=-2,x2=5【解析】，抛物线y=a.x2+b.x十c经 过点A(一3,0)，B(4,0), ∴.ax2+b.x十c=0的两根为x1=一3，x2=4. ,方程a(x-1)2+b(.x-1)+c=0可看作关于(x 1)的一元二次方程， ∴.x一1=一3或x一1=4， 解得x1=-2,x2=5. 6.解：(1)证明：令y=0,则x2一(m+2)x十2m一1=0， ∴.△=[-(m+2)]2-4(2m-1)=(m-2)2+4≥4， .△>0， ∴.方程总有两个不相等的实数根，即该函数图象与x 轴总有两个交点. (2)该函数的图象与y轴交于点(0,3)， 上册详解详析 33