3.1 勾股定理的探究2026-2027学年苏科版八年级数学上册

苏科版2024 · 勾股定理的探究 · 第3章 勾股定理 3.1勾股定理的探究 苏科版（2024）八上易错专题 苏科版2024 第3章 勾股定理 第1课时 本专题精选 74 道勾股定理探究中的典型易错题，打破教材顺序、按易错原因重新分组；每组先配一道精讲例题剖析错因，再配同型即时巩固举一反三，文末另设综合检测题组，供全部知识点学完后整体检验。题目一律保留原题，不作改编。 目录 易错点1：忽略斜边分类致漏解 易错点2：混淆面积与边长的平方 易错点3：弦图中小正方形边长判错 易错点4：出入相补割补等量找错 易错点5：大正方形面积两种表示写错 易错点6：数轴画弧半径取错 易错点7：实际问题漏用已知高度 易错点8：角平分线距离转化混淆 易错点9：动点最值位置凭直觉 易错点10：不会作高构造直角三角形 易错点11：特殊模型结论套用错 易错点1：忽略斜边分类致漏解 学习目标 · 能判断已知边是否为斜边 · 能对直角三角形边长分类讨论 · 能写出多解并检验取舍 纠错指引 已知两边求第三边时，先判断第三边是斜边还是直角边：若已知长边可能是斜边，第三边＝√(长²－短²)；若第三边为斜边，则＝√(两直角边平方和)。两种都可能时两解都写，再用三角形三边关系检验。 精讲例题 例题1．（2025春•西青区期末）·【基础】一个直角三角形的两边长分别为1和2，则第三边长为 　 　 ． 【分析】分两种情况：当直角三角形的两条直角边分别为1和2时；当直角三角形的斜边长为2时；然后分别进行计算即可解答． 【解答】解：分两种情况： 当直角三角形的两条直角边分别为1和2时， ∴第三边长； 当直角三角形的斜边长为2时， ∴第三边长； 综上所述：第三边长为或， 故答案为：或． 教学提示：先让学生写出「2 是斜边」与「2 是直角边」两种情形再计算，板书两解 √3 与 √5，最后用三边关系检验。 易错倾向标签：易漏解｜易想错 【本题核心易错点】 · 把长边默认当斜边只算一解 · 漏掉第三边为斜边的情形 · 忘记用三边关系检验取舍 即时巩固 即时巩固1．（2025秋•于洪区校级月考）·【基础】在△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高AD＝8，则△ABC的周长是（　　） A．54 B．48 C．36或48 D．54或33 【分析】分两种情况讨论，由勾股定理求出BD、CD，得出BC的长，再由三角形的周长公式列式计算即可． 【解答】解：分两种情况： ①如图： 在RT△ABD和RT△ADC中， ∵∠ADB＝∠ADC＝90°， ∴由勾股定理得， ， ， ∴BC＝BD+CD＝15+6＝21， ∴三角形ABC的周长为：AB+AC+BC＝17+10+21＝48； ②如图： 在RT三角形ACD和RT△ABD中， ∵∠ADC＝90°，由勾股定理得， ， ， ∴BC＝BD﹣CD＝15﹣6＝9， ∴三角形ABC的周长为：AB+AC+BC＝17+10+9＝36， 综上所述：△ABC的周长为36或48． 故选：C． 教学提示：让学生画出高在形内、高在形外两张图，对比两个周长结果，讨论什么时候会出现钝角三角形。 即时巩固2．（2024秋•兰溪市期中）·【基础】同一平面内有A、B、C三点，A、B两点相距5cm，点C到直线AB的距离为2cm，且△ABC为直角三角形，则满足上述条件的点C有（　　） A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 【分析】该题存在两种情况（1）AB为斜边，则∠C＝90°； （2）AB为直角边，AC＝2cm或者BC＝2cm． 【解答】解：（1）当AB为斜边时，点C到AB的距离为2cm，即AB边上的高为2cm，符合要求的C点有4个，如图， （2）当AB为直角边时，AC＝2cm或者BC＝2cm，符合要求的C点有4个，如图， 符合要求的C点共8个． 故选：D． 教学提示：用纸条演示点 C 在 AB 两侧各有两种位置，板书四个点的作法，强调「到直线的距离」不是「到线段的距离」。 即时巩固3．（2025春•安远县月考）·【提升】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，AC＝2，D是BC的中点，点M是AB边上一点，当构成的四边形ACDM有一组邻边相等时，BM的长可以是　 　 ． 【分析】分AM＝AC、DM＝DC、MD＝MA三种情况考虑，当AM＝AC时，由AC、AB的长度即可得出BM的长度；当DM＝DC时，过点D作DE⊥AB于点E，通过解直角三角形可得出BE的长度，再根据等腰三角形的三线合一即可得出BM的长度；当MD＝MA时，过点D作DE⊥AB于点E，设EM＝x，则AMx，利用勾股定理表示出DM2的值，结合MD＝MA即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，进而即可得出BM的长度．综上即可得出结论． 【解答】解：当AM＝AC时，如图1所示， ∵AB＝4，AC＝2， ∴BM＝AB﹣AM＝AB﹣AC＝4﹣2＝2； 当DM＝DC时，过点D作DE⊥AB于点E，如图2所示． 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，AC＝2， ∴BC2，∠B＝30°． ∵D是BC的中点， ∴BD＝CD＝DM． 在Rt△BDE中，BD，∠B＝30°，∠BED＝90°， ∴DEBD，BE． ∵DB＝DM，DE⊥BM， ∴BM＝2BE＝3； 当MD＝MA时，过点D作DE⊥AB于点E，如图3所示． ∵BE，AB＝4， ∴AE． 设EM＝x，则AMx． 在Rt△DEM中，DE，∠DEM＝90°，EM＝x， ∴DM2＝DE2+EM2x2． ∵MD＝MA， ∴x2＝（x）2， ∴x， ∴BM＝BE+EM． 综上所述：当四边形ACDM是“等邻边四边形”时，BM的长为2或3或． 故答案为：2或3或． 教学提示：引导列表枚举邻边相等的几种可能，逐一代入勾股定理，并讨论哪些情形会退化成线段。 易错点2：混淆面积与边长的平方 学习目标 · 能区分正方形面积与边长 · 能用面积关系写勾股等式 · 能避免把面积当边长开方 纠错指引 以某边为边长的正方形，面积＝边长²。看到「面积」先写平方关系，最后一步才开方求边长；两个小正方形面积相加得到的是大正方形面积，不是大正方形的边长。 精讲例题 例题2．（2025•营山县校级开学）·【基础】如图，已知在直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积分别为1cm2，9cm2，则以斜边为边长的正方形的面积是　 　 ． 【分析】设直角三角形ABC的两直角边是a和b，斜边是c，由勾股定理得出a2+b2＝c2，求出以ab为边长的两个正方形的面积之和是a2+b2＝15cm2，以斜边c为边长的正方形的面积是S＝c2＝a2+b2，代入求出即可． 【解答】解：设直角三角形ABC的两直角边是a和b，斜边是c， 则由勾股定理得：a2+b2＝c2， 则分别以ab为边长的两个正方形的面积之和是a2+b2＝1cm2+9cm2＝10cm2， 以斜边c为边长的正方形的面积是S＝c2＝a2+b2＝10cm2， 故答案为：10cm2． 教学提示：板书「面积＝边长²」对照表，让学生先写 1＋9＝10 再开方，强调 10 是面积不是边长。 易错倾向标签：易算错｜易看错 【本题核心易错点】 · 把面积1与9的和当边长 · 求边长时漏写开方 · 混淆面积和与斜边平方 即时巩固 即时巩固4．（2024春•萝北县期末）·【提升】如图，以Rt△ABC的三条边作三个正三角形，则S1、S2、S3、S4的关系为（　　） A．S1+S2+S3＝S4 B．S1+S2＝S3+S4 C．S1+S3＝S2+S4 D．不能确定 【分析】如图，设Rt△ABC的三条边AB＝c，AC＝b，BC＝a，根据△ACG，△BCH，△ABF是等边三角形，求得S1＝S△ACG﹣S5b2﹣S5，S3＝S△BCH﹣S6a2﹣S6，根据勾股定理得到c2＝a2+b2，于是得到结论． 【解答】解：如图，设Rt△ABC的三条边AB＝c，AC＝b，BC＝a， ∵△ACG，△BCH，△ABF是等边三角形， ∴S1＝S△ACG﹣S5b2﹣S5，S3＝S△BCH﹣S6a2﹣S6， ∴S1+S3（a2+b2）﹣S5﹣S6， ∵S2+S4＝S△ABF﹣S5﹣S6c2﹣S5﹣S6， ∵c2＝a2+b2， ∴S1+S3＝S2+S4， 故选：C． 教学提示：让学生把三个正三角形面积都写成边长²×√3/4，约去公因式后自然得到 S1＋S2＝S3。 即时巩固5．（2026春•滨海新区校级期中）·【基础】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以这个三角形的三边AB，BC，AC为边向外侧作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，若S1+S2﹣S3＝18，则图中阴影部分的面积为　 　 ． 【分析】由勾股定理得S1+S3＝S2，再由S1+S2﹣S3＝18，求出S1＝9，即可解决问题． 【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+AB2＝BC2， 即S1+S3＝S2， ∵S1+S2﹣S3＝18， ∴S1＝9， 由图形可知，阴影部分的面积S1， ∴阴影部分的面积9＝4.5， 故答案为：4.5． 教学提示：先让学生说出 S1、S2、S3 分别对应哪条边，再代入 S1＋S2＝S3 求阴影，避免张冠李戴。 即时巩固6．（2025春•新罗区校级期中）·【提升】如图，以Rt△ABC的各边为边分别向外作正方形，∠BAC＝90°，AC＝4，BC＝5，连接DG．点H为DG的中点，连接HB，HN，则△HBN的面积是　 　 ． 【分析】连接HA并延长交BC于点P，交MN于点Q，连接AE，CE，AN，证明△BAC≌△DAG，△ABN≌△EBC，进而可以解决问题． 【解答】解：如图，连接HA并延长交BC于点P，交MN于点Q，连接AE，CE，AN， ∵四边形ABED，四边形ACFG，四边形BCMN是正方形， ∴AB＝AD，AC＝AG，∠BAC＝∠DAG＝90°， 在△BAC和△DAG中， ， ∴△BAC≌△DAG（SAS）， ∴∠BCA＝∠DGA， ∵点H为DG的中点， ∴AH＝GH， ∴∠HAG＝∠DGA， ∴∠HAG＝∠BCA， ∵∠HAG+∠CAP＝90°， ∴∠BCA+∠CAP＝90°， ∴∠APC＝90°， ∴BN∥HQ， ∴S△HBN＝S△ABN， ∵BE∥CD， ∴S△AEB＝S△CBE， ∵∠ABN＝90°+∠ABC，∠EBC＝90°+∠ABC， ∴∠ABN＝∠EBC， 在△ABN和△EBC中， ， ∴△ABN≌△EBC（SAS）， ∴S△ABN＝S△CBE， ∴S△AEB＝S△HBN， ∵S△AEBS正方形ADEB， ∴S△HBNS正方形ADEBAB2． ∵∠BAC＝90°，AC＝4，BC＝5， ∴AB3． ∴S△HBN． 故答案为：． 教学提示：请学生上台标出 H、N 的位置，说明中点如何把面积减半，再计算 △HBN 的面积。 易错点3：弦图中小正方形边长判错 学习目标 · 能说出弦图各部分的边长 · 能用两直角边表示中间小正方形边长 · 能列出大正方形面积的两种表示 纠错指引 赵爽弦图中，中间小正方形的边长是两直角边之差（长边－短边），不是斜边。大正方形面积既可写成 c²，也可写成四个直角三角形与小正方形面积之和，即 c²＝2ab＋(a－b)²。 精讲例题 例题3．（2026•上虞区二模）·【基础】如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中大正方形ABCD与小正方形EFGH的面积分别为8和2．若直角三角形两直角边长分别为a，b，则（a+b）2的值为　 　 ． 【分析】依据题意，结合勾股定理，根据大正方形面积＝小正方形面积+四个直角三角形面积，可求解． 【解答】解：∵大正方形的面积是8，小正方形的面积是2，得每个三角形的面积是， ∴ab， ∴ab＝3， 又∵AB2＝a2+b2＝8， ∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝8+6＝14， ∴（a+b）2＝14． 教学提示：先让学生用彩笔描出中间小正方形，说出它的边长是 |a－b|，再展开 (a＋b)² 求 a²＋b²。 易错倾向标签：易想错｜易算错 【本题核心易错点】 · 把中间小正方形边长当b · 两种面积表示列错对象 · 漏乘四个直角三角形面积 即时巩固 即时巩固7．（2024•南通）·【基础】“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，n（m＞n）．若小正方形面积为5，（m+n）2＝21，则大正方形面积为（　　） A．12 B．13 C．14 D．15 【分析】依据题意，由中间小正方形的边长为（m﹣n），根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出大正方形的面积为（m2+n2），进而可以得解． 【解答】解：由题意可知，中间小正方形的边长为m﹣n， ∴（m﹣n）2＝5，即m2+n2﹣2mn＝5①， ∵（m+n）2＝21， ∴m2+n2+2mn＝21②， ①+②得2（m2+n2）＝26， ∴大正方形的面积为：m2+n2＝13， 故选：B． 教学提示：让学生写出 (m－n)²＝5 与 (m＋n)²＝21，两式相减先求 mn，再算大正方形的面积。 即时巩固8．（2024秋•雁塔区校级期中）·【提升】如图，四个全等的直角三角形围成正方形ABCD和正方形EFGH，即赵爽弦图．连接AC，分别交EF、GH于点M，N，连接FN．已知AH＝3DH，且AB2＝21，则图中阴影部分的面积之和为（　　） A． B． C． D． 【分析】设DH＝a，则AH＝3DH＝3a，进而得a2，依题意得AE＝BF＝CG＝DH＝a，BE＝CF＝DG＝AH＝3a，则正方形EFGH的边长为2a，证明△AME和△CNG全等得ME＝NG，S△AME＝S△CNG，设ME＝x，则NG＝x，HN＝2a﹣x，证明△AME和△ANH相似得ME＝x，则MF，进而得S△AME＝S△CNG，S△MNF，据此即可得出图中阴影部分的面积． 【解答】解：设DH＝a，如图所示： ∴AH＝3DH＝3a， ∵四边形ABCD是正方形，且AB2＝21， ∴AD2＝21， 在Rt△ADH中，由勾股定理得：AH2+DH2＝AD2， ∴（3a）2+a2＝21， ∴a2， ∵Rt△ABE≌Rt△BCF≌Rt△CDG≌Rt△DAH， ∴AE＝BF＝CG＝DH＝a，BE＝CF＝DG＝AH＝3a， ∴EF＝FG＝GH＝EH＝2a， ∵∠BRH＝∠BEA＝90°， ∴四边形EFGH是正方形， ∴EF∥GH， ∴∠FMN＝∠HNE， ∵∠AME＝∠FMN，∠CNG＝∠HNE， ∴∠AME＝∠CNG， 在△AME和△CNG中， ， ∴△AME≌△CNG（AAS）， ∴ME＝NG，S△AME＝S△CNG， 设ME＝x，则NG＝x， ∴HN＝HG﹣NG＝2a﹣x， ∵EF∥GH， ∴△AME∽△ANH， ∴． ∴． 解得：xa， ∴ME＝xa． ∴MF＝EF﹣ME＝2aaa． ∴S△AMEAE•MEaaa2， ∴S△AME＝S△CNGa2， 又∵S△MNFMF•FGa×2aa2． ∴图中阴影部分的面积为：2a2a2＝2a2＝2． 故选：A． 教学提示：请学生先由 AH＝3DH 设未知数，再逐步求各段长度与阴影面积，强调每步都回扣弦图结构。 即时巩固9．（2024秋•城关区校级期末）·【提升】如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别为S1、S2、S3．若S1+S2+S3＝60，则S2的值是（　　） A．12 B．15 C．20 D．30 【分析】设每个小直角三角形的面积为m，则S1＝4m+S2，S3＝S2﹣4m，依据S1+S2+S3＝60，可得4m+S2+S2+S2﹣4m＝60，进而得出S2的值． 【解答】解：设每个小直角三角形的面积为m，则S1＝4m+S2，S3＝S2﹣4m， 因为S1+S2+S3＝60， 所以4m+S2+S2+S2﹣4m＝60， 即3S2＝60， 解得S2＝20． 故选：C． 教学提示：设每个小直角三角形面积为 m，写出 S1＝4m＋S2、S3＝S2－4m，让学生发现 m 会自动抵消。 即时巩固10．（2026•余杭区二模）·【基础】我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，如图，它是由四个全等的直角三角形（△ABF，△BCG，△CDH，△DAE）和中间一个小正方形拼成的大正方形，连结EG并延长，交CD于点M．若ED＝EM，则∠ADE的度数为　 　 ． 【分析】依据题意，过E作EN⊥CD，则EN∥AD，结合ED＝EM，EN⊥CD，可得∠DEN∠DEM＝22.5°，又EN∥AD，从而∠ADE＝∠DEN＝22.5°，即可得解． 【解答】解：过E作EN⊥CD， ∴EN∥AD． ∵四边形EFGH是正方形， ∴∠HEG＝45°． ∵ED＝EM，EN⊥CD， ∴∠DEN∠DEM＝22.5°． ∵EN∥AD， ∴∠ADE＝∠DEN＝22.5°． 故答案为：22.5°． 教学提示：引导学生由 ED＝EM 得等腰三角形，用外角性质把 ∠ADE 与 ∠DEM 联系起来，再计算角度。 易错点4：出入相补割补等量找错 学习目标 · 能识别割补前后的等积关系 · 能判断哪种拼图可验证勾股定理 · 能用总面积不变列出等式 纠错指引 出入相补的核心是「割补前后总面积不变」。解题时先明确哪个图形被移到了哪里，再按「原总面积＝新总面积」列式，不要只凭图形样子猜关系，也不要把重叠部分重复计算。 精讲例题 例题4．（2025春•元氏县校级期中）·【基础】《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是证明了勾股定理和对勾股算术算法进行了推广．书中的证明方法是将4个三边长分别为a，b，c的全等直角三角形拼成如图1所示的五边形ABCDE，然后通过添加辅助线，用面积法证明勾股定理．下面是嘉淇给出的相关证明： 如图2，延长EN交①于点G． 用两种不同的方法表示五边形ABCDE的面积S： 方法一：将五边形ABCDE看成是由正方形AFDE与△ABF，△CDF拼成，则S＝②． 方法二：将五边形ABCDE看成是由③，正方形CDNG，△AME，△DEN拼成，则． 根据面积相等可以得到④，即a2+b2＝c2． 则下列说法错误的是（　　） A．①代表BC B．②代表c2+ab C．③代表正方形AFDE D．④代表c2+ab＝a2+b2+ab 【分析】根据题意用两种方法表示出S，然后根据两种表示方法表示的S相等，即可得到结论． 【解答】解：如图所示，延长MN交BC于点G，方法一：将五边形ABCDE看成是由正方形AFDE与△ABF，△CDF拼成， ∴； 方法二：将五边形ABCDE看成是由正方形ABGM，正方形CDNG，△AME，△DEN拼成，则， 根据面积相等可以得到a2+b2+ab＝c2+ab，即a2+b2＝c2． 故选：C． 教学提示：先带学生读图，指出①代表哪条线段，再逐项代入验证，重点讲②为什么是 c²＋ab。 易错倾向标签：易看错｜易想错 【本题核心易错点】 · 割补前后面积列不相等 · 看错哪个三角形被移走 · 把重叠部分重复计算 即时巩固 即时巩固11．（2026春•东川区期中）·【提升】下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用面积法证明勾股定理即可解决问题． 【解答】解：A、中间小正方形的面积c2＝（a+b）2﹣4ab， ∴化简得a2+b2＝c2，可以证明勾股定理，本选项不符合题意； B、梯形的面积（a+b）（a+b）＝2abc2， ∴化简得，a2+b2＝c2，不符合题意； C、不能证明勾股定理，本选项符合题意； D、中间小正方形的面积（b﹣a）2＝c2﹣4×ab， ∴化简得a2+b2＝c2，可以证明勾股定理，本选项不符合题意． 故选：C． 教学提示：让四名学生分别说明每幅图能否验证，要求指出「不能」的那幅图究竟缺了什么等量关系。 即时巩固12．（2026春•浏阳市期中）·【提升】被誉为清代“历算第一名家”的著名数学家梅文鼎先生在《梅氏丛书辑要》中给出了多种勾股定理的证法．其中一种是在如图的基础上，运用“出入相补”原理完成的：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，四边形ABDE，ACFG，BCHI均为正方形，HI与AE相交于点J，可以证明点D在直线BI上．若△AHJ，△DEJ的面积分别为2和6，则直角边AC的长为（　　） A．2 B． C． D． 【分析】先证明Rt△ABC≌Rt△DBI（HL）得S△ABC＝S△DBI，设AC＝a，BC＝b，AB＝c，由勾股定理得a2+b2＝c2，进而得S正方形ACFG+S△AHJ＝S△DEJ，S正方形ACFG＝4，即可得出答案． 【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，四边形ABDE，ACFG，BCHI均为正方形，HI与AE相交于点J，点D在直线HI上，∴AB＝BD，BC＝BI，∠ACB＝∠DIB＝90°， ∴Rt△ABC≌Rt△DBI（HL）， ∴S△ABC＝S△DBI， 设AC＝a，BC＝b，AB＝c， 由勾股定理得，a2+b2＝c2， 即S正方形ACFG+S正方形BCHI＝S正方形ABDE， S正方形ACFG+S△ABC+S△AHJ+S四边形AJIB＝S△BID+S△DEJ+S四边形AJIB， ∴S正方形ACFG+S△AHJ＝S△DEJ， ∴S正方形ACFG＝S△DEJ﹣S△AHJ＝6﹣2＝4， 即a2＝4， ∴a＝2，即AC＝2， 故选：A． 教学提示：请学生上台说明点 D 落在 BI 上的理由，用 HL 判定全等之后再把面积关系写出来。 即时巩固13．（2025秋•广陵区期中）·【提升】中国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补的方法证明了勾股定理．如图，已知正方形ABCD和正方形BEFG，A、B、E三点在一条直线上．现将其裁剪拼成不重叠无缝隙的大正方形CHIE．若正方形ABCD和正方形BEFG的面积之和为220，阴影部分的面积为130，则AE的长为（　　） A．22 B．20 C．18 D．16 【分析】设BC＝b，EF＝a，根据正方形的性质及AAS得△ECB≌△IEK，进而可得，将正方形ABCD和正方形BEFG裁剪拼成不重叠无缝隙的大正方形CHIE得S正方形HCEI＝a2+b2，再利用面积的数量关系即可求解． 【解答】解：如图： 设BC＝b，EF＝a， ∴a2+b2＝220， ∵四边形BEFG、四边形CHIE和ABCD都是正方形， ∴BC＝AB＝b，BG＝BE＝EF＝a，∠EBC＝90°，∠CEI＝90°，CE＝EI， ∴∠CEB+∠ECB＝90°，∠CEB+∠KEI＝90°． ∴∠ECB＝∠IEK， 在△ECB和△IEK中， ， ∴△ECB≌△IEK（AAS）， ∴， ∵将正方形ABCD和正方形BEFG裁剪拼成不重叠无缝隙的大正方形CHIE， ∴S正方形HCEI＝a2+b2，S阴影＝S正方形HCEI﹣（S△ECB+S△IEK）＝a2+b2﹣ab＝130． ∴ab＝90， ∴a2+b2+2ab＝（a+b）2＝220+2×90＝400，即a+b＝20， ∴AE＝a+b＝20． 故选：B． 教学提示：用两个正方形纸片实物拼一拼，让学生先猜再验证，理解「不重叠无缝隙」对面积等式的意义。 易错点5：大正方形面积两种表示写错 学习目标 · 能写出大正方形面积的两种表示 · 能完整完成拼图法验证勾股定理 · 能规范书写推导过程 纠错指引 用拼图法证明时，抓住同一个大正方形的两种算法：整体法得 (a＋b)² 或 c²，分割法得四个直角三角形加中间小正方形。令两式相等后再化简，展开完全平方公式时不要漏掉 2ab 项。 精讲例题 项目背景 某校八年级数学兴趣小组成员自主开展“勾股定理”数学项目研究． 素材 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以直角三角形ABC的三条边为边分别向外作正方形，边BC，边AC，边AB的长分别用a，b，c来表示． 解决问题 任务一 （1）为了计算图2中正方形ABDE的面积，对这个正方形ABDE适当割补后得到与原直角三角形全等的4个直角三角形和正方形FKHG，请用图2验证勾股定理． 任务二 （2）为了计算图3中正方形ABDE的面积，对这个正方形ABDE适当割补后得到与原直角三角形全等的4个直角三角形和正方形CNML，请用图3验证勾股定理． 任务三 （3）对图4中正方形ABDE适当割补后得到与原直角三角形全等的8个直角三角形和正方形FKHG及正方形CNML．求图4中所有正方形的面积和（结果用只含c的代数式表示）． 例题5．（2025秋•河南校级期中）·【提升】课本再现： （1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理，请证明：a2+b2＝c2． 类比迁移： （2）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2，若a＝9，b＝12，则空白部分的面积为 　 　 ； 方法运用： （3）小贤将四个全等的直角三角形拼成图3的“帽子”形状，若AH＝6，BH＝8，请求出“帽子”外围轮廓（实线）的周长为 　 　 ； （4）如图4，分别以Rt△ABC的三条边向外作三个正方形，连接EC，BG，若设其中S△EBC＝S1，S△BCG＝S2，S正方形BCIH＝S3，当S2＝3，S3＝10，则S1＝ 　 　 ． 【分析】（1）利用以c为边的正方形和4个直角三角形的面积和等于以边为a+b的正方形的面积建立方程，即可得出结论； （2）由折叠后空白部分的面积为边长为c的正方形的面积﹣2个直角三角形的面积可得答案； （3）由勾股定理可得AD＝AF＝AB＝5，利用AAS证明△CDH≌△CBI，设BC＝x，则CH＝8﹣x，根据勾股定理建立方程求解即可得出答案． （4）根据勾股定理可得AB2+AC2＝BC2，再由正方形、三角形面积公式可得S正方形ABED＝AB2，S正方形ACGF＝AC2，S3＝S正方形BCIH＝BC2，AB2＝2S1，AC2＝2S2，代入计算即可得解． 【解答】（1）证明：如图1，∵大的正方形的面积可以表示为（a+b）2， 大的正方形的面积又可以表示为c2+4ab， ∴c2+2ab＝a2+b2+2ab， ∴a2+b2＝c2； （2）解：如图2，空白部分的面积＝边长为c的正方形的面积﹣2个直角三角形的面积＝c2﹣2ab， ∵a＝9，b＝12， ∴空白部分的面积＝92+122﹣29×12＝117； 故答案为：117． （3）解：如图3，在Rt△ABH中，AB10， ∵△ABH≌△AFH≌△ADI≌△ADG， ∴AD＝AF＝AB＝10， ∴DH＝AD﹣AH＝10﹣6＝4，BI＝AB﹣AI＝10﹣6＝4， ∴DH＝BI， ∵∠DCH＝∠BCI，∠CHD＝∠CIB＝90°， ∴△CDH≌△CBI（AAS）， ∴CD＝BC， 设BC＝x，则CH＝8﹣x， 在Rt△CDH中，CH2+DH2＝CD2， ∴（8﹣x）2+42＝x2， ∴x＝5， ∴BC＝CD＝5， 同理可得DE＝EF＝BC＝5， ∴“帽子”外围轮廓（实线）的周长为AB+AF+BC+CD+DE+EF＝10+10+5+5+5+5＝40． 故答案为：40． （4）解：如图4，过点A作AK⊥HI于点K，交BC于点J， ∵RtABC中，∠BAC＝90°， ∴AB2+AC2＝BC2， ∵四边形ABED、四边形ACGF、四边形BCIH均为正方形， ∴S正方形ABED＝AB2，S正方形ACGF＝AC2，S3＝S正方形BCIH＝BC2， ∵正方形ABED与△EBC同底等高， ∴S正方形ABED＝2S△EBC＝2S1， ∴AB2＝2S1， ∵正方形ACGF与△EBC同底等高， ∴S正方形ACGF＝2S△BCG＝2S2， ∴AC2＝2S2， ∵S正方形BCIH＝S3， ∴2S1+2S2＝S3， 即2（S1+S2 ）＝S3． 又∵S2＝3，S3＝10， ∴S1＝2． 故答案为：2． 教学提示：让学生分别用 (a＋b)² 与 c²＋4×½ab 表示大正方形面积，板书展开过程，重点检查 2ab 是否漏写。 易错倾向标签：易算错｜易想错 【本题核心易错点】 · 展开(a＋b)²漏掉2ab · 两种表示算的不是同一图形 · 化简过程中符号出错 即时巩固 即时巩固14．（2026春•市中区校级单元）·【提升】著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2． 【结论探究】 （1）下面是直立的长方体火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现的证明勾股定理的一种思路． 如图2，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AEFG的位置，连接CF，此时∠FAC＝90°，AB＝CD＝a，BC＝AD＝b，AC＝c．请利用直角梯形BCFG的面积完成勾股定理的证明． 【结论应用】 （2）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（点A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝1.5km，CH＝1.2km，HB＝0.9km．已知新的取水点H与原取水点A相距0.5千米，则新路CH比路CA少多少千米？ 【问题拓展】 （3）△ABC中，AC＝10，BC＝17，AB＝21，CH⊥AB，垂足为H，请直接写出CH的值． 【分析】（1）利用梯形BCFG的面积的两种表示方法即可证明； （2）先求出∠CHA＝90°，再利用勾股定理求出AC的长度，减去CH的长度即可； （3）在Rt△ACH中，CH2＝CA2﹣AH2，在Rt△BCH中，CH2＝CB2﹣BH2，则CA2﹣AH2＝CB2﹣BH2，则102﹣y2＝172﹣（21﹣y）2，解得：y＝6，利用勾股定理即可得出CH＝8． 【解答】解：（1）由题意，∵S梯形BCFG＝S△AFG+S△AFC+S△ACBababc2＝abc2， S梯形BCFG•（FG+BC）•BG（a+b）（a+b）a2+abb2， ∴abc2a2+abb2， 整理得：a2+b2＝c2； （2）∵∠CHB＝90°， ∴∠CHA＝90°， ∴AC2＝AH2+CH2， ∴AC1.3（千米）， ∴AC﹣CH＝0.1km， 答：新路CH比路CA少0.1千米； （3）如图， 设AH＝y， ∴BH＝AB﹣AH＝21﹣y， ∵CH⊥AB，AC＝10，BC＝17，AB＝21， 由勾股定理可得CA2﹣AH2＝CB2﹣BH2， 即102﹣y2＝172﹣（21﹣y）2， 解得：y＝6， ∴AH＝6， ∴CH8． 教学提示：让学生先把 a、b、c 标到弦图上再逐空填写，讨论最后一问为什么要构造 Rt△ACH。 即时巩固15．（2025秋•李沧区校级月考）·【提升】（1）如图①，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形（中间空白部分也是正方形、已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上．老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积证明了勾股定理，请证明a2+b2＝c2． （2）现将图①中的两个直角三角形向内翻折，得到图②．若a＝6，b＝8，则空白部分的面积为 　 　 ． （3）如图③，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形，直角三角形的直角边分别是3和2.5，小贤将四个直角三角形中边长为3的直角边分别向外延长一倍，得到图③所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 　 　 ； （4）如图④，分别以Rt△ABC的三条边为边向外作三个正方形ABED和正方形ACHI，并将得到的图形放入矩形，点D，E、F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，若矩形KLMJ的面积为4．BC＝1，则△ABC的面积为 　 　 ． 【分析】（1）利用以c为边的正方形和4个直角三角形的面积和等于以边为a+b的正方形的面积建立方程，即可得出结论； （2）由折叠后空白部分的面积为边长为c的正方形的面积﹣2个直角三角形的面积，可得答案； （3）根据外延的4部分全等，且AD＝AC＝3，由勾股定理求得，，再根据风车的外围周长4×（BD+AD），据此计算即可； （4）依据题意，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，则四边形AOLP是正方形，设AB＝a，根据勾股定理得到AC，求得，，根据矩形的面积公式列方程得到或，求得或，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵大的正方形的面积可以表示为（a+b）2，大的正方形的面积又可以表示为c2+4ab， ∴c2+2ab＝a2+b2+2ab， ∴a2+b2＝c2； （2）解：则空白部分的面积＝边长为c的正方形的面积﹣2个直角三角形的面积＝c2﹣2ab， ∵a＝6，b＝8， ∴空白部分的面积＝62+82﹣26×8＝52， 故答案为：52； （3）解：如图③， 由题意知，外延的4部分全等，且 AD＝AC＝3， ∴CD＝6， ∴，∴这个风车的外围周长是4×（BD+AD）＝4×（6.5+3）＝38， 故答案为：38； （4）解：如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P， 则四边形AOLP是正方形， 设AB＝a， ∵∠BAC＝90°，BC＝1， ∴， ∴， ．，． ∴KL＝2a，LM＝2AC+AB＝2a， ∴矩形KLMJ的面积＝KL•ML＝（2a）（2a）＝4， ∴a或， ∴AB或， 当AB时，AC，当AB时，AC， ∴S△ABC． 故答案为：． 教学提示：要求先独立完成证明，再与上一题对照书写顺序，讨论哪一步最容易跳步丢分。 即时巩固16．（2024•市北区校级开学）·【提升】如图，有四个斜边为c的全等直角三角形，已知其直角边长为a，b．拼接成以c为边长的正方形，试利用这个图形验证勾股定理． 【分析】依据题意，根据图形中的总面积等于一个大正方形的面积加上两个直角三角形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积，然后整理即可得证． 【解答】解：如图， ∴图形的总面积可以表示为c2+2ab或a2+b2+2ab， ∴c2+2ab＝a2+b2+2ab， ∴c2+ab＝a2+b2+ab． ∴a2+b2＝c2． 教学提示：请学生说明总面积的两种算法各是什么，强调「一种图形、两种算法」才是验证的关键。 易错点6：数轴画弧半径取错 学习目标 · 能确定画弧的圆心与半径 · 能在数轴上作出无理数对应点 · 能区分斜边与直角边作半径 纠错指引 在数轴上作出无理数，关键是先构造斜边等于该数的直角三角形：以原点为圆心、斜边长为半径画弧，交点才是所求点。不要把直角边当半径，也不要把交点读成斜边的长度。 精讲例题 例题6．（2026春•华龙区期末）·【基础】如图，点O在数轴原点处，数轴上的点A的坐标是3，过点A作直线l垂直于OA，在l上截取AB＝2，以点O为圆心，OB长为半径作弧，弧与数轴正半轴的交点C表示的数为　 　 ． 【分析】依据题意，先由OA⊥l得到△OAB是直角三角形，利用勾股定理求出斜边OB的长度；由作图可知OC＝OB，即可得到点C在数轴上表示的数． 【解答】解：∵直线l⊥OA， ∴∠OAB＝90°， ∵OA＝3，AB＝2， ∴， ∵以点O为圆心，OB长为半径作弧交数轴正半轴于点C， ∴， 因此数轴上点C表示的数为． 教学提示：让学生先说出 OB 是哪条边、为什么 OB 可以作半径，再画弧读数，强调结果写 √13 而不是 OB。 易错倾向标签：易看错｜易算错 【本题核心易错点】 · 用直角边当半径画弧 · 把斜边长直接读作所求数 · 漏判负半轴的交点 即时巩固 即时巩固17．（2025秋•崇明区期末）·【基础】如图，点A在数轴上表示数1，以OA为直角边，在数轴上方画Rt△AOB，∠AOB＝90°，OB＝3，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，与数轴的正半轴交于点P，则点P表示的数是　 　 ． 【分析】由勾股定理得出AB的长度，继而可得答案． 【解答】解：在Rt△AOB中，∵OA＝1、OB＝3， ∴， ∴点P表示的数为． 故答案为：． 教学提示：与上一题对比，圆心换成了点 A，让学生讨论圆心不同会带来什么变化，避免机械套用方法。 即时巩固18．（2025秋•武侯区期中）·【基础】如图，由图中的信息可知点P表示的数是 　 　 ． 【分析】运用勾股定理计算出点P到﹣2点的距离是，再进行实数减法运算即可． 【解答】解：∵， ∴点P表示的数是﹣2， 故答案为：﹣2． 教学提示：请学生先在图上补全直角三角形，再判断以哪条线段为半径画弧，最后读出点 P 表示的数。 易错点7：实际问题漏用已知高度 学习目标 · 能把实际问题画成直角三角形 · 能找准直角边对应的实际量 · 能检验答案是否符合实际 纠错指引 建模时先把题目中的每个数据标到图上：云梯长是斜边，楼高要减去车身高度才是直角边，露出部分要先扣除。算完用「斜边一定最长」快速检验一遍。 精讲例题 例题7．（2024秋•甘谷县校级期末）·【基础】如图，一根筷子长17cm，斜放在半径为2.5cm的圆形水杯中，露出水杯外面的部分AD的长为4cm，则水杯的高AC＝ 　 　 cm． 【分析】根据题意直接利用勾股定理得出AC的长，进而得出答案． 【解答】解：如图所示：连接BC， 由题意可得：AB＝BD﹣AD＝17﹣4＝13（cm），BC＝5cm， ∴水杯的高AC12（cm）． 故答案为：12． 教学提示：让学生把筷子、杯高、杯口直径画成直角三角形，强调 17－4＝13 才是杯内的斜边长度。 易错倾向标签：易看错｜易漏解 【本题核心易错点】 · 漏减杯高或车身高度 · 把露出部分当直角边 · 斜边与直角边位置放反 即时巩固 即时巩固19．（2026春•庐阳区校级期中）·【提升】“安全重于泰山，生命高于一切”．某地一楼房发生火灾，消防员用消防车上的云梯救人．如图，消防车高3.5米（即AB＝CD＝3.5米），施救点E距离地面的高度EC＝18.5米，此时云梯的长度AE为25米． （1）求云梯底部A到楼房的距离AD． （2）消防员发现E处上方9米的F处有人未撤离，为了救出F处被困人员，在云梯长度不变的情况下，云梯底部A需沿AD方向前进多少米？ 【分析】（1）根据ED＝EC﹣CD求出直角边ED，再根据勾股定理求出另一直角边AD即可； （2）云梯不变即FN＝AE，再根据勾股定理，求出ND，再由AN＝AD﹣ND求出AN，即为前进的路程． 【解答】解：（1）由题意可知：∠ADE＝90°，ED＝EC﹣CD＝18.5﹣3.5＝15（米）， 在Rt△ADE中，（米）， 答：云梯底部到楼房的距离AD为20米， （2）DF＝ED+EF＝15+9＝24（米），FN＝AE＝25（米）， 在Rt△FND中，ND7（米）， ∴AN＝AD﹣ND＝20﹣7＝13（米）， 答：云梯底部需沿AD方向前进13米． 教学提示：先让学生标出 EC＝18.5 与车高 3.5 的差，再套用勾股定理，讨论为什么要先相减。 即时巩固20．（2025春•汉阴县校级期末）·【提升】某校在一次消防演练中，消防队员需要通过攀爬22m长的云梯到24m高的宿舍楼顶营救“被困”学生．已知消防车按如图停放，云梯的底端A离地面4m、与宿舍外墙OM的距离是8m．云梯够长吗？请说明理由． 【分析】连接AM，根据勾股定理求出AM的长并与云梯的长度比较大小即可得出结论． 【解答】解：云梯够长．理由如下： 如图，连接AM． ∵OC＝4m，OM＝24m， ∴CM＝OM﹣OC＝24﹣4＝20（m）， 在Rt△ACM中利用勾股定理，得AM4（m）， ∵22＞4， ∴云梯够长． 教学提示：分组辩论「云梯够不够长」，要求算出所需的最短长度后再与 22 m 比较，并写出结论依据。 易错点8：角平分线距离转化混淆 学习目标 · 能运用角平分线性质求距离 · 能区分垂线段与斜线段的长 · 能结合勾股定理求线段长 纠错指引 角平分线上的点到角两边距离相等，这个「距离」是垂线段的长，不是斜线段的长。求距离时先作垂线构造直角三角形，再用勾股定理计算，不要把角平分线本身的长度当作距离。 精讲例题 例题8．（2025秋•天河区校级期末）·【基础】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，CD＝5，则点D到AB的距离为（　　） A．10 B．8 C．5 D．3 【分析】直接根据角平分线的性质定理即可得出结论． 【解答】解：过D点作DE⊥AB于点E，则DE即为所求， ∵∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D， ∴CD＝DE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）， ∵CD＝5， ∴DE＝5． 故选：C． 教学提示：让学生先作 DE⊥AB 于 E，说明 CD＝DE 的理由，再判断 DE 是否就是所求的那条距离。 易错倾向标签：易想错｜易算错 【本题核心易错点】 · 把角平分线的长当距离 · 忘记作垂线构造直角 · 混淆CD与点D到AB的距离 即时巩固 即时巩固21．（2025春•辽宁校级期中）·【基础】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，且BC＝13，BD＝8，则点D到AB的距离为　 　 ． 【分析】本题考查了角平分线性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等． 过D作DE⊥AB于点E，根据角平分线性质得出CD＝DE，求出CD长即可． 【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E．垂足为点E，如图所示， ∵BC＝13，BD＝8， ∴CD＝5， ∵AD平分∠BAC，∠DCA＝∠DEA＝90°， ∴DE＝CD＝5， ∴点D到AB的距离为5； 故答案为：5． 教学提示：先由 BC＝13、BD＝8 求出 CD，再让学生说明为什么 CD 等于点 D 到 AB 的距离。 即时巩固22．（2025秋•龙岗区期中）·【基础】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的一条角平分线，E为BD中点，连接AE，若∠ABC＝2∠DAE，BD＝4，则CD＝　 　 ． 【分析】依据题意，连接CE，作EF⊥AC于点F，由∠C＝90°，E为BD的中点，BD＝4，得EC＝ED＝EB＝2，所以∠ECD＝∠EDC，再证明∠DAE＝∠DBC＝∠DBA，所以∠DAE+∠ECD＝∠DBC+∠EDC＝90°，则∠AEC＝90°可证明△CEF∽△EAF，得，则EF2＝CF•AF而EF2+CF2＝EC2＝22＝4，所以CF•AF+CF2＝4，再证明△ADE∽△BDA，得，求得AD＝2，设CF＝DF＝m，则CD＝2m，，则m，求出m后即可得解． 【解答】解：连接CE，作EF⊥AC于点F， 则∠EFC＝∠AFE＝90°， ∵∠C＝90°，E为BD的中点，BD＝4， ∴， ∴CF＝DF，∠ECD＝∠EDC， ∵BD是△ABC的角平分线， ∴， ∵∠ABC＝2∠DAE， ∴∠DAE＝∠DBC＝∠DBA， ∴∠DAE+∠ECD＝∠DBC+∠EDC＝90°， ∴∠AEC＝90°． ∴∠CEF＝∠EAF＝90°﹣∠AEF， ∴△CEF∽△EAF， ∴， ∴EF2＝CF•AF， ∵EF2+CF2＝EC2＝22＝4， ∴CF•AF+CF2＝4， ∵∠DAE＝∠DBA，∠ADE＝∠BDA， ∴△ADE∽△BDA， ∴． ∴， 设CF＝DF＝m， 则CD＝2m，， ∴m， ∴，m2（不符合题意，舍去）， ∴CD＝2． 故答案为：． 教学提示：请学生把 ∠ABC＝2∠DAE 转化成角度关系，找出等腰三角形之后再用勾股定理求 CD。 易错点9：动点最值位置凭直觉 学习目标 · 能判断动点在何处取最值 · 能用垂线段最短求最小值 · 能检验端点情形是否成立 纠错指引 求线段最值先找几何依据：点到直线的垂线段最短、两点之间线段最短。先把动点取最值时的位置画出来验证，再代入勾股定理计算，不要只算端点就下结论。 精讲例题 例题9．（2026•于洪区一模）·【基础】如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，AB＝6，AC＝4，D是BC边上的一个动点，连接AD，则AD长的最小值为　 　 ． 【分析】过点A作BC边上的垂线，当点D运动到垂足点时，AD最小，利用直角三角形特殊角即可求得． 【解答】解：过点A作AH⊥BC，垂足为H，如图所示， ∵点D在边BC上运动，点A是边BC外一定点， ∴当AD⊥BC时，AD最小，即此时AD和AH重合， ∵AH⊥BC， ∴∠AHC＝90°， ∵∠ACB＝45°，AC＝4， ∴sin45°， ∴AH＝2， 即AD最小值为2； 故答案为：2． 教学提示：让学生动手把 D 在 BC 上移动，观察 AD 何时最短，引出「垂线段最短」之后再代入计算。 易错倾向标签：易想错｜易漏解 【本题核心易错点】 · 只算端点忽略垂足位置 · 凭直觉认定最值位置 · 取最值时图形画不出来 即时巩固 即时巩固23．（2026春•平阴县期末）·【提升】如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为（　　） A． B．0.8 C．3 D． 【分析】连接AD，由勾股定理求出DE，即可得出CD的长． 【解答】解：如图，连接AD，则AD＝AB＝3， 由勾股定理可得，Rt△ADE中，DE， 又∵CE＝3， ∴CD＝3， 故选：C． 教学提示：请学生先用勾股定理求出 AB，再判断弧与网格线交点 D 的位置，最后算出 CD 的长。 即时巩固24．（2026•石家庄二模）·【提升】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，BC＝3．点P为△ABC内一点，且满足PA2+PC2＝AC2．当PB的长度最小时，则CP的长是（　　） A． B． C． D． 【分析】取AC的中点O，连接OP，BO，由勾股定理逆定理可知∠APC＝90°，得点P在以AC为直径的圆上运动，则当点P在线段BO上时，BP有最小值，根据，得∠BOC＝60°，则△COP是等边三角形，从而解决问题． 【解答】解：如图，取AC的中点O，连接OP，BO， ∵PA2+PC2＝AC2． ∴∠APC＝90°， ∴点P在以AC为直径的圆上运动， 在△BPO中，BP≥BO﹣OP， ∴当点P在线段BO上时，BP有最小值， ∵点O是AC的中点，∠APC＝90°， ∴，，∠BOC＝60°， ∴△COP是等边三角形， ∴CP＝OP． 故选：A． 教学提示：先让学生把 PA²＋PC²＝AC² 转化成几何条件，判断点 P 的轨迹，再求 PB 最小时的位置。 即时巩固25．（2026•番禺区二模）·【提升】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，，点D为平面内一动点，满足AD＝AB，分别连接CD，BD．延长BD至点E，连接CE，使∠E＝∠DCB．当BD＝1时，BE＝　 　 ；当线段CE的长度取得最小值时，BE＝　 　 ． 【分析】依据题意，由∠DCB＝∠E，∠DBC＝∠CBE，则△DBC∽△CBE，可得，则BD•BE＝BC2，故当BD＝1，BC＝2时，进而可得BE＝8；由AD＝AB＝1，故D在以A为圆心，半径为AB的圆上，延长BA交圆于H，使得BM＝4，连接EM，由BD•BE＝BC2＝8，BH•BM＝2×4＝8，可得BD•BE＝BH•BM，进而证得△DBH∽△MBE，则∠BDH＝∠BME＝90°，从而E在平行于BC，且与BC距离为4的直线上，最后根据“垂线段最短”，则CE⊥BC时，CE最小，CE＝4，从而计算可以得解． 【解答】解：由题意，∵∠DCB＝∠E，∠DBC＝∠CBE， ∴△DBC∽△CBE． ∴． ∴BD•BE＝BC2． ∴当BD＝1，BC＝2时，则1×BE＝8． ∴BE＝8． ∵AD＝AB＝1， ∴D在以A为圆心，半径为AB的圆上． 延长BA交圆于H，使得BM＝4，连接EM， ∵BD•BE＝BC2＝8，BH•BM＝2×4＝8， ∴BD•BE＝BH•BM． ∴． 又∵∠DBH＝∠MBE， ∴△DBH∽△MBE． ∴∠BDH＝∠BME＝90°， 又∵∠ABC＝90°， ∴∠ABC+∠BME＝180°， ∴BC∥ME， ∴E在平行于BC，且与BC距离为4的直线上， ∴根据“垂线段最短”，则CE⊥BC时，CE最小，CE＝4， ∴BE2． 故答案为：8；2． 教学提示：分两问处理，先固定 BD＝1 求 BE，再讨论 CE 取得最小值时 B、D、E 三点的位置关系。 易错点10：不会作高构造直角三角形 学习目标 · 能根据条件作出所需的高 · 能找出图形中隐藏的直角三角形 · 能正确选择勾股定理的已知边 纠错指引 题中没有直角三角形时，先作高（或作平行线、连接对角线）造出直角，再把已知线段标到直角边或斜边上。作高前先想清楚要求哪条边，避免作出与所求无关的高。 精讲例题 例题10．（2024春•威宁县期末）·【基础】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，则BC的长为（　　） A．6 B． C．24 D．2 【分析】根据勾股定理计算即可． 【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝8，AB＝10， ∴根据勾股定理，得BC6． 故选：A． 教学提示：让学生先确认 AB＝10 是斜边再列式，强调「斜边最长」可用来快速检验答案是否合理。 易错倾向标签：易想错｜易看错 【本题核心易错点】 · 不作高直接套勾股定理 · 把非直角三角形的边当直角边 · 选错直角三角形致未知量增多 即时巩固 即时巩固26．（2026•安徽模拟）·【提升】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2AC，D为BA延长线上一点，，，BC的长是（　　） A．5 B． C． D．4 【分析】依据题意，过C作CH⊥AB于H，设AC＝x，则BC＝2x，从而ABx，则ADABx，从而根据面积法可得，CHx，故AHx，则DH＝AD+AHx，又CD，DH2+CH2＝CD2，则（x）2+（x）2＝（）2，求出x后即可计算得解． 【解答】解：由题意，过C作CH⊥AB于H， 设AC＝x，则BC＝2x， ∴ABx，则ADABx． ∴根据面积法可得，CHx． ∴AHx． ∴DH＝AD+AHx． ∵CD，DH2+CH2＝CD2， ∴（x）2+（x）2＝（）2， ∴x＝2． ∴BC＝2x＝4． 故选：D． 教学提示：让学生把 BC＝2AC 设成未知数，先在 Rt△ABC 中列式，再放入含点 D 的直角三角形求解。 即时巩固27．（2026•张家港市模拟）·【提升】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BD平分∠ABC，AC＝10，且AD：DC＝2：3，则BC的长为（　　） A．15 B． C．16 D． 【分析】依据题意，过D作DH⊥BC于H，结合DA⊥AB，BD平分∠ABC，则DA＝DH，又AD：DC＝2：3，从而S△ABD：S△ACD＝2：3，则（DA•AB）：（DH•AB）＝2：3，从而AB：BC＝2：3，进而可设AB＝2a，BC＝3a，则AB2+AC2＝BC2，故（2a）2+102＝（3a）2，进而计算可以得解． 【解答】解：过D作DH⊥BC于H， 又∵DA⊥AB，BD平分∠ABC， ∴DA＝DH． 由题意，∵AD：DC＝2：3， ∴S△ABD：S△ACD＝2：3． ∴（DA•AB）：（DH•AB）＝2：3． ∴AB：BC＝2：3． ∴可设AB＝2a，BC＝3a． ∴AB2+AC2＝BC2． ∴（2a）2+102＝（3a）2． ∴a＝2（负值舍去）． ∴BC＝3a＝6． 故选：D． 教学提示：由 AD∶DC＝2∶3 先求出 DC，再利用角平分线性质把点 D 到 AB 的距离与 DC 联系起来。 即时巩固28．（2026春•长安区校级期末）·【提升】如图，四边形ABCD中，BC∥AD，AC⊥BD，AC＝3，BD＝6，BC＝1，则AD的长为（　　） A．8 B． C． D． 【分析】依据题意，过C作CE∥BD交AD的延长线于点E，又BC∥AD，可得四边形BCED为平行四边形，从而DE＝BC＝1，CE＝BD＝6，结合AC⊥BD，BD∥CE，可得AC⊥CE，故AE2＝AC2+CE2，求出AE后，即可判断得解． 【解答】解：过C作CE∥BD交AD的延长线于点E． 又BC∥AD， ∴四边形BCED为平行四边形． ∴DE＝BC＝1，CE＝BD＝6． ∵AC⊥BD，BD∥CE， ∴AC⊥CE． ∴AE2＝AC2+CE2． ∴AE3． ∴AD＝AE﹣DE＝31． 故选：D． 教学提示：引导学生平移对角线构造直角三角形，或者用对角线垂直四边形的面积两种算法求解。 即时巩固29．（2025•延安开学）·【提升】如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝9，∠B＝60°，将△ABC沿着BC方向平移得到△A′B′C，点A，B，C的对应点分别为点A′，B′，C′，连接A′C，若AA′＝3，则△A′B′C′的周长为（　　） A．24 B．20 C．27 D．18 【分析】依据题意，由A′B′，B′C的长度结合∠B＝60°，判断△A′B′C的形状，得A′C的长度，可得△A′B′C的周长． 【解答】解：在△ABC中，AB＝6，BC＝9，∠B＝60°， 由平移的性质得：A′B′＝AB＝6，AA'＝BB′＝3，∠A′B′C′＝∠B＝60°，∵BC＝9，BB′＝3， ∴B′C＝BC﹣B′B＝6， ∴A′B′＝B′C， ∴△A′B′C是等边三角形， ∴A′C＝B′C＝6， ∴△A′B′C的周长为：A′B′+B′C+A′C＝18， 故选：D． 教学提示：让学生先画出平移后的图形、标出 AA′＝3，再判断 A′C 与哪些边构成直角三角形。 即时巩固30．（2025春•巫山县期中）·【基础】如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，∠C＝90°，则BC＝　 　 ． 【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理，进行计算即可解答． 【解答】解：在△ABC中，AB＝5，AC＝3，∠C＝90°， ∴BC4， 故选：4． 教学提示：直接运用勾股定理，让学生口述先确认哪条是斜边，再决定用平方和还是平方差。 材料一 数形结合是重要的数学思想．按照图①所示将两个边长为1的小正方形进行剪拼（无缝隙不重叠的拼接）成一个大的正方形，可以得到无理数；按照图②和图③所示的两种剪拼方法将一个边长为1的正方形和一个边长为2的正方形剪拼出一个大正方形，可以得到无理数m． 材料二 实数与数轴上的点一一对应，要在数轴上找到表示±的点，关键是在数轴上构造线段，如图④，正方形的边长为1个单位长度，以原点O为圆心，对角线长为半径画弧与数轴上分别交于点A，A′，则点A对应的数为，点A′对应的数为，类似地，我们可以在数轴上找到表示任意无理数的点． 任务 （1）材料1中，无理数m是 　 　 ； （2）如图⑤，改变图④中正方形的位置，用类似的方法作图，图⑤中点B表示的数为 　 　 ，点B′表示的数为 　 　 ； （3）若a＝﹣5+m，，求代数式|a+1|﹣|2﹣b|的值，并在图⑥的数轴上作出表示这个代数式的值对应的点．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） 即时巩固31．（新教材同步题）·【提升】求图中x的值． 【分析】（1）依据题意得，42+42＝x2，从而计算可以得解； （2）依据题意得，（4）2+x2＝82，从而计算可以得解． 【解答】解：（1）由题意得，42+42＝x2， ∴x2＝32． ∴x＝4（负值舍去）． （2）由题意得，（4）2+x2＝82， ∴x2＝16． ∴x＝4（负值舍去）． 教学提示：让学生先判断图中哪个角是直角，再确认 x 是直角边还是斜边，最后才列式求解。 易错点11：特殊模型结论套用错 学习目标 · 能识别垂美四边形等特殊模型 · 能正确写出模型中的平方关系 · 能说明结论成立的前提条件 纠错指引 使用模型结论前先核对条件：对角线互相垂直才有「两组对边平方和相等」，矩形内任意点才有「到两组对角顶点平方和相等」。条件不满足时回到作垂线逐步推导。 精讲例题 例题11．（2025春•鸡西期末）·【基础】对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，若AD＝3，BC＝5，则AB2+CD2＝　 　 ． 【分析】根据“垂美”四边形的定义得到BD⊥AC，根据勾股定理计算，得到答案． 【解答】解：∵四边形ABCD为“垂美”四边形， ∴BD⊥AC， ∴∠AEB＝∠AED＝∠BEC＝∠DEC＝90°， 在Rt△AED中，AE2+DE2＝AD2＝9， 在Rt△BEC中，BE2+CE2＝BC2＝25， ∴AE2+DE2+BE2+CE2＝9+25＝34， 在Rt△AEB中，AE2+BE2＝AB2， 在Rt△CED中，CE2+DE2＝CD2， ∴AB2+CD2＝AE2+DE2+BE2+CE2＝9+25＝34， 故答案为：34． 教学提示：先让学生写出对角线垂直带来的四个勾股等式，相加后观察 AB²＋CD² 与 AD²＋BC² 的关系。 易错倾向标签：易想错｜易算错 【本题核心易错点】 · 忽略对角线垂直的前提 · 平方关系中对边配错 · 把不同模型的结论混用 即时巩固 即时巩固32．（2025秋•杨浦区期末）·【基础】如图，用9个直角三角形纸片拼成一个类似海螺的图形，其中每一个直角三角形都有一条直角边长为1．记这个图形的周长（实线部分）为l，则周长l的整数部分是（　　） A．14 B．13 C．12 D．11 【分析】根据勾股定理分别求出第一个、第二个三角形的斜边长，根据规律得到第九个三角形的斜边长，根据估算无理数的大小的方法解答． 【解答】解：由题意，第一个三角形的斜边长， 第二个三角形的斜边长， …， 第九个三角形的斜边长， ∴这海螺图形周长l， ∵34， ∴13＜1014， ∴周长l的整数部分是13． 故选：B． 教学提示：引导学生从第一个直角三角形的斜边开始，逐次作为下一个的直角边，发现斜边长的规律。 即时巩固33．（2026•西湖区校级一模）·【提升】通过勾股定理我们可以证明矩形中一特殊模型：国旗模型．如图1，点P为矩形ABCD所在平面内任一点，连结PA、PB、PC、PD，则有PA2+PC2＝PB2+PD2恒成立．如图2，在△ABC中，AB＝4，，点D在△ABC内，且∠ADC＝90°，，则边AC的最小值为（　　） A．3 B． C．4 【分析】以AD、CD为边作矩形ADCE，连接BE、DE，由矩形的性质得出AC＝DE，由题意得BD2+BE2＝BA2+BC2，求出BE＝3，当B、D、E三点共线时，DE最小，得出AC的最小值＝DE的最小值＝BE﹣BD，从而可以得解． 【解答】解：以AD、CD为边作矩形ADCE，连接BE、DE，如图所示： 则AC＝DE， 由题意得：BD2+BE2＝BA2+BC2， 即（）2+BE2＝42+（）2， 解得：BE＝3． 当B、D、E三点共线时，DE最小， ∴AC的最小值＝DE的最小值＝BE﹣BD＝32． 故选：B． 教学提示：让学生先用特殊位置（点 P 与顶点重合）验证结论，再尝试用坐标法证明，体会模型的普适性。 【附录‑备用题库】 21．（2026春•和平区校级期中）·【基础】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，BC＝8，CD＝4.8，AC＝6，那么点C到AB的距离为　 　 ． 30．（2025春•利津县期末）·【基础】已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE＝CD＝1，连接DE，则DE＝　 　 ． 23．（2026春•龙岗区期中）·【提升】如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝60°，AC⊥BC，AB＝4，，则S△BCD＝　 　 ． 25．（2026•北辰区一模）·【提升】如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AD∥BC，∠BAD＝90°，AD＝3，BC＝6，∠ABD＝30°． （Ⅰ）线段BO的长为　 　 ； （Ⅱ）F为BO的中点，E为CD的中点，则线段EF的长为　 　 ． 26．（2026•小店区模拟）·【提升】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是BC边的中线，∠ABC的平分线交AD于点E，交AC于点F，若AC＝9，AB＝15，则EF的长为　 　 ． 36．（2025秋•成华区校级期中）·【提升】如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是BC边上一点，且BD＝AB，E是AB延长线上一点，连接ED交AC于点F，若∠ADE＝∠B，则△AEF的面积为　 　 ． 39．（2024秋•泽州县期末）·【提升】如图，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC＝17，BC＝16，点D是AC的中点，连接BD，过点C作CE⊥BC，交BD的延长线于点E，则△CDE的面积为 　 　 ． 40．（2025•沈阳开学）·【提升】如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠DCB＝90°，M、N分别为BD，AC的中点，BD＝26，MN＝5，则AC的长为　 　 ． 63．（2026春•岚山区期中）·【提升】勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国算书《周脾算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1，是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入长方形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，点D，E，F，G，H，I都在长方形KLMJ的边上，则长方形KLMJ的面积为　 　 ． 66．（2025•湖南模拟）·【提升】如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形MNPQ拼成的一个大正方形ABCD．连接AQ，BP，CN，DM．若正方形ABCD的面积为2a，阴影部分的面积为2b．则CP＝　 　 ；CQ＝　 　 ．（以上均用含a，b的代数式表示） 44．（2026春•望江县期末）·【基础】如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，CE是AB边上的中线． （1）若∠B＝54°，求∠ECD的度数． （2）若AB＝10，BC＝6，求DE的长． 43．（2026春•青羊区校级期中）·【提升】【探究发现】 某校数学兴趣小组开展了如下探究活动． 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．设AD＝a，BD＝b，CD＝m． （1）请完成下列填空． 小明说：可以用含a，b的代数式表示AC2+BC2，则AC2+BC2＝（a+b）2； 小颖说：也可以用含a，b，m的代数式表示AC2+BC2，则AC2+BC2＝ 　 　 ； 小芳说：由此可以用含a，b的代数式表示m，则m＝ 　 　 ； 小亮说：可以用含a，b的代数式表示Rt△ABC的斜边上的中线的长为，则与m的大小关系为 　 　 ； （2）若Rt△ABC的面积为6，求m的最大值． 【迁移应用】 （3）如图2，学校有一块一边靠墙（图中实线）的种植园，该兴趣小组想靠墙（墙足够长）在此规划一个面积为18平方米的长方形种植实验地，并用小栅栏（图中虚线）将该长方形种植实验地按如图所示方式分成6个小长方形区域，求小栅栏的总长度（所有虚线长之和）最少为多少米？ 50．（2025春•厦门校级期中）·【提升】【阅读与思考】下面是小恺写的数学日记的一部分，请你认真阅读，并完成相应的任务． 2025年3月11日 天气：晴 正方形的剪拼与无理数 今天在数学课上同学们利用准备好的两个边长为1的小正方形进行剪拼（无缝隙不重叠的拼接），得到了一个大的正方形，在老师的引导下进一步学习了无理数．我在课堂上是按照图1所示的方法进行剪拼的，课后我有了进一步的思考： 问题1：能否利用一个边长为1的正方形和一个边长为2的正方形剪拼出一个大正方形？ 对于上面的问题我进行了尝试并找到了图2和图3两种剪拼的方法： 问题2：一个边长为1和一个边长为3的正方形也能剪拼出一个大正方形吗？如果能，该如何剪拼呢？ 任务： （1）图1中拼成的大正方形的边长为 　 　 ，图2和图3中拼成的大正方形的边长为 　 　 ； （2）请参考材料中图2或图3的剪拼方法，解决问题2． 要求：①在图4中画出剪切线并在图中仿照图2或图3标出相应线段的长度； ②在图4右侧画出拼接成的大正方形的示意图及其内部的拼接线． （3）请观察材料中图1，图2，图3，中剪出来的直角三角形，记两直角边分别为a，b，斜边为c，则其三边满足的数量关系是 　 　 ； （4）结合上述问题解决经验，在数轴上画出点A表示数（尺规作图，保留作图痕迹，不用说明作法）． 51．（2024秋•永吉县期末）·【提升】如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，M，N是△ABC边上的两个动点，其中点N从点A开始沿A→B方向运动，且速度为2cm/s，点M从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为4cm/s，它们同时出发，设运动的时间为ts． （1）出发2s后，求MN的长； （2）当点M在边BC上运动时，出发几秒钟，△MNB是等腰三角形？ （3）当点M在边CA上运动时，求能使△BCM成为等腰三角形的t的值． 70．（2026春•仪征市期中）·【提升】综合与实践． 【教材呈现】七年级教材下册“第8章整式乘法”中，通过拼图、推演，得到了整式乘法法则和公式，在学习过程中让同学们了解到了公式的几何背景，感受了数形结合的思想方法．如课本38页，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为b（b＜a）的小正方形（如图1）． 通过计算图中的阴影面积，小明发现了一个重要的乘法公式：　 　 ． 其实，通过拼图算面积这种方法不仅能得到许多公式，还可以证明很多重要的定理． 【实践活动】 活动材料：如图2，4张A型直角三角形纸片． 活动要求：利用这些纸片（每种纸片需全部使用）拼成一个正方形，通过不同的方法计算图形的面积，从而探究出相应的等式． 活动内容： （1）图2是我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”，也称“赵爽弦图”，它是由4张A型直角三角形纸片与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，最长的斜边为c．试探究a2、b2、c2之间的数量关系并说明理由． （2）利用上述结论计算：若（a+b）2＝23，大正方形的面积为17，求小正方形的面积． 【拓展探究】如图3，是一幅未画完的“弦图”，仅用无刻度的直尺，画完这幅“弦图”．（用铅笔画图，保留画图痕迹，辅助线用虚线，确定答案后将所有线加粗加黑） 71．（2025秋•和平区期末）·【提升】 项目背景 某校八年级数学兴趣小组成员自主开展“勾股定理”数学项目研究． 素材 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以直角三角形ABC的三条边为边分别向外作正方形，边BC，边AC，边AB的长分别用a，b，c来表示． 解决问题 任务一 （1）为了计算图2中正方形ABDE的面积，对这个正方形ABDE适当割补后得到与原直角三角形全等的4个直角三角形和正方形FKHG，请用图2验证勾股定理． 任务二 （2）为了计算图3中正方形ABDE的面积，对这个正方形ABDE适当割补后得到与原直角三角形全等的4个直角三角形和正方形CNML，请用图3验证勾股定理． 任务三 （3）对图4中正方形ABDE适当割补后得到与原直角三角形全等的8个直角三角形和正方形FKHG及正方形CNML．求图4中所有正方形的面积和（结果用只含c的代数式表示）． 过关测试（综合检测） 1．（2025•龙凤区校级三模）·【基础】如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC：BC＝4：3，这个直角三角形三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作直角边之比为4：3的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形，图③是2次操作后的图形．如果图①中的直角三角形的周长为12，那么10次操作后的图形中所有正方形的面积和为（　　） A．225 B．250 C．275 D．300 【分析】根据勾股定理、三角形的周长公式分别求出AC＝4，BC＝3，AB＝5，根据勾股定理计算得出规律，根据规律解答即可． 【解答】解：设AC＝4x，则BC＝3x， 由勾股定理得：AB5x， ∵△ABC的周长为12， ∴3x+4x+5x＝12， 解得：x＝1， ∴AC＝4，BC＝3，AB＝5， 第1次操作后的图形中所有正方形的面积和为：32+42+32+42+52＝25+50， 第2次操作后的图形中所有正方形的面积和为：32+42+32+42+32+42+52＝25×2+50， 第3次操作后的图形中所有正方形的面积和为：32+42+32+42+32+42+32+42+52＝25×3+50， …… 第10次操作后的图形中所有正方形的面积和为：25×10+50＝300， 故选：D． 教学提示：用方格纸按 4∶3 逐级画出各正方形，让学生口述每层面积之和，体会勾股树的结构规律。 2．（2024秋•温州期末）·【提升】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AB，AC为边作正方形，点E落在FG上．记正方形ABDE的面积为S1，△AEG的面积为S2，设BF＝x，EF＝y．若S1＝6S2，则下列代数式的值不变的是（　　） A．x+y B．x﹣y C．xy D． 【分析】设GE＝a，则AG＝AC＝CF＝GF＝a+y，S2a（a+y），证明Rt△AEG和Rt△ABC全等得GE＝BC＝a，则CF＝x﹣a，由此得a+y＝x﹣a，则a（x﹣y），根据勾股定理及正方形的面积公式得S1＝AE2＝2a2+2ay+y2，则2a2+2ay+y2＝6a（a+y），整理得y2＝a2+ay，将a（x﹣y）代入y2＝a2+ay，得：y2（x﹣y）2y（x﹣y），整理得：x2＝5y2，进而得，据此即可得出答案． 【解答】解：设GE＝a， ∵EF＝y， ∴GF＝GE+EF＝a+y， ∵四边形ACFG是正方形， ∴AG＝AC＝CF＝GF＝a+y，∠CAG＝∠G＝∠ACB＝90°， ∴S2＝S△AEGEG•AGa（a+y）， ∵四边形ABDE为正方形， ∴AE＝AB＝BD＝ED， 在Rt△AEG和Rt△ABC中， ， ∴Rt△AEG≌Rt△ABC（HL）， ∴GE＝BC＝a， ∵BF＝x， ∴CF＝BF﹣BC＝x﹣a， ∴a+y＝x﹣a， ∴a（x﹣y）， 在Rt△AEG中，由勾股定理得：AE2＝GE2+AG2＝a2+（a+y）2， ∴S1＝AE2＝a2+（a+y）2＝2a2+2ay+y2， ∵S1＝6S2， ∴2a2+2ay+y2＝6a（a+y）， 整理得：y2＝a2+ay， 将a（x﹣y）代入y2＝a2+ay，得：y2（x﹣y）2y（x﹣y）， 整理得：x2＝5y2， ∵x＞0，y＞0， ∴xy， ∴， ∴代数式的值不变． 故选：D． 教学提示：让学生把 x、y 标到图上，分别写出 S1 与 S2 的表达式，再讨论哪个代数式与条件无关。 3．（2024秋•杭州期末）·【提升】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，AC＝2．D为斜边AB上一动点，连接CD，过点D作DE⊥CD交边BC于点E，若△BDE为等腰三角形，则△CDE的周长为（　　） A． B．6 C． D．5 【分析】依据题意，由∠DEB是△CDE的一个外角，可得∠DEB＝∠CDE+∠DCE＝90°+∠DCE，从而∠DEB是钝角，结合△BDE为等腰三角形，可得BE＝DE，故∠B＝∠BDE，再结合∠ACB＝∠CDE＝90°，则∠B+∠BAC＝90°，∠BDE+∠CDA＝90°，求出∠BAC＝∠CDA，从而CA＝CD＝2，又在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，可得BC的长，从而BE+CE＝DE+CE＝3，又△CDE的周长＝CD+DE+CE，进而可以判断得解． 【解答】解：由题意，∵∠DEB是△CDE的一个外角， ∴∠DEB＝∠CDE+∠DCE＝90°+∠DCE． ∴∠DEB是钝角． 又△BDE为等腰三角形， ∴BE＝DE． ∴∠B＝∠BDE． ∵∠ACB＝∠CDE＝90°， ∴∠B+∠BAC＝90°，∠BDE+∠CDA＝90°． ∴∠BAC＝∠CDA． ∴CA＝CD＝2． 在Rt△ACB中，∠ACB＝90°， ∴BC3． ∴BC＝BE+CE＝DE+CE＝3． 又△CDE的周长＝CD+DE+CE， ∴△CDE的周长＝2+3＝5． 故选：D． 教学提示：先问「等腰三角形的腰可能是哪两条」，再分情况求周长，提醒垂足落在线段外时图形会变化。 4．（2024春•滨州月考）·【提升】如图，直角三角形ABC的直角边AB＝6，BC＝8，将直角三角形ABC沿边BC的方向平移到三角形DEF的位置，DE交AC于点G，BE＝2，三角形CEG的面积为13.5，下列结论：①三角形ABC平移的距离是4；②EG＝4.5；③若AC的长为10，则四边形ABFD的周长是28；④四边形ADFC的面积为6；⑤四边形DGCF的面积为10.5．其中正确的结论是（　　） A．①②④ B．②③④ C．③④⑤ D．②③⑤ 【分析】直接利用平移的性质解答即可． 【解答】解：∵直角三角形ABC的直角边AB＝6，BC＝8，将直角三角形ABC沿边BC的方向平移到三角形DEF的位置， ①三角形ABC平移的距离是2，故①错误； ②由题意得，GE∥AB， ∴． ∴． ∴EG＝4.5，故②正确； ③∵AC＝10， ∴DF＝AC＝10． 又由平移可得，AD＝BE＝2，EF＝BC＝8， ∴四边形ABFD的周长＝AB+BF+DF+AD＝AB+BE+EF+DF+AD＝6+2+8+10+2＝28，故③正确； ④四边形ADFC的面积＝2×6＝12，故④错误； ⑤由题意，四边形DGCF的面积＝△DEF的面积﹣△CEG的面积6×8﹣13.5＝24﹣13.5＝10.5，故⑤正确． 故选：D． 教学提示：让学生逐条判断三个结论，把每条用到的勾股关系写出来，避免凭感觉全部选上。 5．（2024春•蜀山区校级期中）·【提升】如图1是第七届国际数学教育大会（简称ICME﹣7）的会徽，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝...＝A7A8＝1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，那么OA1，OA2，OA3，…，OA25这些线段中，长度为无理数的线段有（　　） A．20条 B．21条 C．22条 D．23条 【分析】根据题意可以分别计算出OA1、OA2、OA3、OA4、OA5的值，从而可以发现其中的规律，得到长度为有理数的线段的条数，从而可以得到线段长度为无理数的条数． 【解答】解：由题意可得， OA1＝1， OA2， OA3， OA42， OA5， … ∴线段长度为有理数的是：OA1＝1，OA4＝2，OA9＝3，OA16＝4，OA25＝5， ∴OA1、OA2、OA3…、OA25，这些线段中长度为无理数条数是，25﹣5＝20， 即OA1、OA2、OA3…、OA25，这些线段中有20条线段的长度为无理数． 故选：A． 教学提示：让学生依次计算 OA₁、OA₂、OA₃，找出被开方数的规律，再写出 OAₙ 的通项。 6．（2025春•界首市期末）·【提升】勾股定理是数学史上的一颗璀璨明珠．被誉为清代“历算第一名家”的著名数学家梅文鼎先生（图①）在《梅氏丛书辑要》（由其孙子梅彀成编纂）的“勾股举隅”卷中给出了多种勾股定理的证法．其中一种是在图②的基础上，运用“出入相补”原理完成的．在△ABC中，∠ACB＝90°，四边形ABDE，ACFG，BCHI均为正方形，HI与AE相交于点J，可以证明点D在直线HI上．若△AHJ，△DEJ的面积分别为2和6，则直角边AC的长为（　　） A． B． C． D．2 【分析】先证明Rt△ABC≌Rt△DBI（HL）得S△ABC＝S△DBI，设AC＝a，BC＝b，AB＝c，由勾股定理得，a2+b2＝c2进而得S正方形ACFG+S△AHJ＝S△DEJ，S正方形ACFG＝4，即可得出答案． 【解答】解：∵四边形ABDE，BCHI为正方形， ∴AB＝BD，BC＝BI，∠ACB＝∠DIB＝90°， ∴Rt△ABC≌Rt△DBI（HL）， ∴S△ABC＝S△DBI， 设AC＝a，BC＝b，AB＝c， 由勾股定理得，a2+b2＝c2， 即S正方形ACFG+S正方形BCHI＝S正方形ABDE， S正方形ACFG+S△ABC+SS四边形AJIB＝S△BID+S△DEJ+S四边形AJIB， ∴S正方形ACFG+S△AHJ＝S△DEJ， ∴S正方形ACFG＝S△DEJ﹣S6﹣2＝4， ∴a2＝4， ∴a＝2（负值舍去）， 即AC＝2， 故选：D． 教学提示：与上一题对照，只改动「点 D 在直线 HI 上」一处，让学生讨论结论为什么会变成另一个选项。 7．（2024•武威三模）·【提升】如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形ABCD与四边形EFGH都是正方形．连结DG并延长，交BC于点P，点P为BC的中点．若EF＝2，则AE的长为（　　） A．4 B． C． D． 【分析】依据题意，根据正方形的性质、全等三角形的性质可得∠ADG＝∠GPC，又P为BC的中点，从而PB＝PG＝PC，故∠GDH＝∠GBP，由△GDH∽△CBG，进而，最后计算可以得解． 【解答】解：由题意，EF＝HG＝FG＝2，AD∥BC，BG⊥HC，DH⊥HG，∠ADE＝∠GBP， ∴∠ADG＝∠GPC． ∵点P为BC的中点， ∴PB＝PG＝PC． ∴∠BGP＝∠GBP，∠GPC＝2∠GBP． ∴∠GPC﹣∠ADE＝2∠GBP﹣∠ADE，即∠GDH＝∠GBP． ∴△GDH∽△CBG． ∴，即． 设AE＝BF＝HD＝x， ∴． ∴x＝1或x＝1（舍去）． 故选：C． 教学提示：让学生标出 P 是 BC 中点这一关键条件，过 E 作垂线构造直角，再用相似比求出 AE。 8．（2024春•蓬江区校级月考）·【基础】勾股定理被誉为“几何明珠”，在数学的发展历程中占有举足轻重的地位．中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家是公元3世纪三国时期的赵爽，他为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图（1）所示）．图（2）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的．记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝129，则S2的值是 　 　 ． 【分析】先设出四个直角三角形的面积之和为S，然后根据S1+S2+S3＝129，可以得到（S2+S）+S2+（S2﹣S）＝129，即可求得S2的值． 【解答】解：设四个直角三角形的面积之和为S， ∵S1+S2+S3＝129， ∴（S2+S）+S2+（S2﹣S）＝129， 即3S2＝129， 解得S2＝43， 故答案为：43． 教学提示：设四个直角三角形面积之和为 S，写出 S1＝S2＋S、S3＝S2－S，让学生体会 S 抵消的巧妙之处。 9．（2026春•海陵区校级期末）·【提升】将邻边长分别为2，的矩形纸片剪成四个等腰三角形纸片（无剩余纸片）．有下列数：①；②2；③；④；⑤．其中，可以作为一个等腰三角形的腰长的是　 　 （填序号）． 【分析】首先作出图形，再根据矩形的性质和等腰三角形的判定即可求解． 【解答】解：如图所示： 则其中一个等腰三角形的腰长可以是①；②2；③；⑤，而不可以④． 故答案为：①②③⑤． 教学提示：让学生用矩形纸片实际剪一剪，把五种腰长逐一代入验证，体会剪拼过程中不变的面积关系。 10．（2024秋•平舆县期末）·【提升】如图，BD是Rt△ABC斜边AC上的中线．AB＝6，BC＝8，点P是BC上一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E、F．则PE+PF的值是 　 　 ． 【分析】连接DP，在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出AC＝10，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得BD＝CD＝AD＝5，从而可得△BDC的面积＝△ABD的面积△ABC的面积＝24，最后根据△BDP的面积+△CDP的面积＝△BDC的面积，进行计算即可解答． 【解答】解：连接DP， 在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8， ∴AC10， ∵BD是斜边AC上的中线， ∴BD＝CD＝ADAC＝5， ∴△BDC的面积＝△ABD的面积△ABC的面积AB•BC6×8＝24； ∵PE⊥CD，PF⊥BD， ∵△BDP的面积+△CDP的面积＝△BDC的面积， ∴BD•PFCD•PE＝24， ∴5PF+5PE＝24 ∴PF+PE＝4.8， 故答案为：4.8． 教学提示：让学生把 PE、PF 分别看成两个三角形的高，用面积法说明它们的和与点 P 的位置无关。 11．（2024秋•乌当区期末）·【提升】如图，图1是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理时的青朱出入图，图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等．朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．探究学习中，标上字母绘成图2所示，若记朱方对应正方形GDJH的边长为a，青方对应正方形ABCD的边长为b，已知b﹣a＝3，a2+b2＝29，则图2中的阴影部分面积为 　 　 ． 【分析】根据题意所求阴影部分面积为S正方形MFGC﹣S△CDG，再根据所给条件求面积即可． 【解答】解：如图2， ∵△EFG≌△CDG，△EFK≌△GHI， ∴阴影部分面积＝S正方形MFGC﹣S△CDG， ∵朱方对应正方形GDJH的边长为a，青方对应正方形ABCD的边长为b， ∴GD＝GH＝a，CD＝BC＝b， ∵青出与青入的三角形全等， ∴△IJC≌△KAM， ∴JC＝AM＝b﹣a， ∴BM＝a， ∴CM＝CG， ∵b﹣a＝3，a2+b2＝29， ∴ab10， ∴阴影部分面积＝S正方形MFGC﹣S△CDG ＝a2+b2ab ＝29﹣5 ＝24， 故答案为：24． 教学提示：先讲清「朱方」「青方」各指哪个正方形，再让学生把阴影面积拆成两个正方形的面积之差。 12．（2026春•连江县期中）·【提升】阅读下列材料，回答问题． 材料1 数形结合是重要的数学思想．将边长为1的两个小正方形按如图1所示的方法进行剪拼成一个大的正方形，小正方形的对角线的长a就是大正方形的边长．（选自课本P42页） 材料2 实数与数轴上的点一一对应．如图2，正方形的边长为1个单位长度，以原点O为圆心，以正方形的对角线长为半径画弧，与数轴分别交于点A，A′，则点A对应的数为a，点A′对应的数为﹣a．（选自课本P54页） 类比探究 问题1：由以上材料，小连同学受到启发，若把长为2、宽为1的两个长方形沿对角线剪开（对角线的长记为x），得到四个形状大小一样的直角三角形，然后将它们拼成如图3所示的大正方形，中间恰好形类比探究成一个边长为x的小正方形，求出x的值； 问题2：若要得到无理数，可选择长与宽均为正整数的两个适当的长方形，参照图3的剪拼方法得到一个中间小正方形边长为的大正方形．请在图4的正方形网格图中用实线画出这个拼接成的大正方形和小正方形，且该大正方形一条边与数轴重合，小正方形的一个顶点与原点O重合，并用圆规在数轴上画出表示的点C．（保留作图痕迹，并标注点C） （1）材料中，数a是　 　 ；点A与A′之间的距离为　 　 ； （2）解答问题1； （3）解答问题2． 【分析】（1）依据题意，由正方形的边长为1，从而a＝对角线长，故点A与A′之间的距离为2，进而得解； （2）依据题意，根据所给图形可得，（1+2）2＝x2+41×2，可得x2＝5，进而计算可以得解； （3）依据题意，由17＝12+42，则，从而可以作图得解． 【解答】解：（1）由题意，∵正方形的边长为1． ∴a＝对角线长， ∴点A与A′之间的距离为2． 故答案为：；2； （2）由题意，根据所给图形可得，（1+2）2＝x2+41×2， ∴x2＝5． ∴x（负值舍去）； （3）由题意，∵17＝12+42， ∴． ∴可以作图如下： ． 教学提示：先让学生独立完成材料中的填空，再讨论数 a 与 AA′ 的距离分别对应图中的哪条线段。 13．（2025秋•闵行区校级期中）·【提升】阅读材料，完成任务． 材料一 数形结合是重要的数学思想．按照图①所示将两个边长为1的小正方形进行剪拼（无缝隙不重叠的拼接）成一个大的正方形，可以得到无理数；按照图②和图③所示的两种剪拼方法将一个边长为1的正方形和一个边长为2的正方形剪拼出一个大正方形，可以得到无理数m． 材料二 实数与数轴上的点一一对应，要在数轴上找到表示±的点，关键是在数轴上构造线段，如图④，正方形的边长为1个单位长度，以原点O为圆心，对角线长为半径画弧与数轴上分别交于点A，A′，则点A对应的数为，点A′对应的数为，类似地，我们可以在数轴上找到表示任意无理数的点． 任务 （1）材料1中，无理数m是 　 　 ； （2）如图⑤，改变图④中正方形的位置，用类似的方法作图，图⑤中点B表示的数为 　 　 ，点B′表示的数为 　 　 ； （3）若a＝﹣5+m，，求代数式|a+1|﹣|2﹣b|的值，并在图⑥的数轴上作出表示这个代数式的值对应的点．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） 材料一 数形结合是重要的数学思想．按照图①所示将两个边长为1的小正方形进行剪拼（无缝隙不重叠的拼接）成一个大的正方形，可以得到无理数；按照图②和图③所示的两种剪拼方法将一个边长为1的正方形和一个边长为2的正方形剪拼出一个大正方形，可以得到无理数m． 材料二 实数与数轴上的点一一对应，要在数轴上找到表示±的点，关键是在数轴上构造线段，如图④，正方形的边长为1个单位长度，以原点O为圆心，对角线长为半径画弧与数轴上分别交于点A，A′，则点A对应的数为，点A′对应的数为，类似地，我们可以在数轴上找到表示任意无理数的点． 任务 （1）材料1中，无理数m是 　　 ； （2）如图⑤，改变图④中正方形的位置，用类似的方法作图，图⑤中点B表示的数为 　1　 ，点B′表示的数为 　1　 ； （3）若a＝﹣5+m，，求代数式|a+1|﹣|2﹣b|的值，并在图⑥的数轴上作出表示这个代数式的值对应的点．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） 【分析】（1）依据题意，由勾股定理可得大正方形的边长，进而得解； （2）依据题意，根据图④可得正方形的边长为，则图⑤中B表示的数为：1，B′表示的数为：1，进而得解； （3）依据题意，由（1）m，则a＝﹣5+m＝﹣5，b＝m．从而a+1＝﹣51＝﹣40，2﹣b＝20，进而|a+1|﹣|2﹣b|＝4（2）＝2，故可得解． 【解答】解：（1）由题意，根据勾股定理，大正方形的边长， ∴m． 故答案为：． （2）由题意，根据图④可得正方形的边长为， ∴图⑤中B表示的数为：1，B′表示的数为：1． 故答案为：1；1． （3）由（1）m， ∴a＝﹣5+m＝﹣5，b＝m． ∴a+1＝﹣51＝﹣40，2﹣b＝20． ∴|a+1|﹣|2﹣b|＝4（2） ＝42 ＝2． 如图⑥点P表示的数为2． 教学提示：请学生复述材料给出的剪拼步骤，再说明为什么拼出来的图形一定是正方形。 14．（2024秋•南京校级期中）·【提升】如图所示，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，AC＝3cm，BC＝4cm，求△ACD的面积． 【分析】过D作DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，设DF＝DE＝x，依据面积法即可得到方程，进而得出x的值，由此可得△ACD的面积． 【解答】解：如图，过D作DE⊥BC于E，DF⊥AC于F， ∵CD平分∠ACB， ∴DF＝DE， 设DF＝DE＝x，则 3x4x3×4， 解得x， ∴S△ACDAC×DF3（cm2）． 教学提示：让学生说明平分 90° 后得到什么角，再判断用哪个三角形求面积，避免直接用 3×4÷2。 苏科版2024 · 勾股定理的探究 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $苏科版2024 · 勾股定理的探究 · 第3章 勾股定理 3.1勾股定理的探究 苏科版（2024）八上易错专题 苏科版2024 第3章 勾股定理 第1课时 班级：________________ 姓名：________________ 本专题精选 74 道勾股定理探究中的典型易错题，打破教材顺序、按易错原因重新分组；每组先配一道精讲例题剖析错因，再配同型即时巩固举一反三，文末另设综合检测题组，供全部知识点学完后整体检验。题目一律保留原题，不作改编。 目录 易错点1：忽略斜边分类致漏解 易错点2：混淆面积与边长的平方 易错点3：弦图中小正方形边长判错 易错点4：出入相补割补等量找错 易错点5：大正方形面积两种表示写错 易错点6：数轴画弧半径取错 易错点7：实际问题漏用已知高度 易错点8：角平分线距离转化混淆 易错点9：动点最值位置凭直觉 易错点10：不会作高构造直角三角形 易错点11：特殊模型结论套用错 易错点1：忽略斜边分类致漏解 学习目标 · 能判断已知边是否为斜边 · 能对直角三角形边长分类讨论 · 能写出多解并检验取舍 纠错指引 已知两边求第三边时，先判断第三边是斜边还是直角边：若已知长边可能是斜边，第三边＝√(长²－短²)；若第三边为斜边，则＝√(两直角边平方和)。两种都可能时两解都写，再用三角形三边关系检验。 精讲例题 例题1．（2025春•西青区期末）·【基础】一个直角三角形的两边长分别为1和2，则第三边长为 　 　 ． 易错倾向标签：易漏解｜易想错 【本题核心易错点】 · 把长边默认当斜边只算一解 · 漏掉第三边为斜边的情形 · 忘记用三边关系检验取舍 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固1．（2025秋•于洪区校级月考）·【基础】在△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高AD＝8，则△ABC的周长是（　　） A．54 B．48 C．36或48 D．54或33 即时巩固2．（2024秋•兰溪市期中）·【基础】同一平面内有A、B、C三点，A、B两点相距5cm，点C到直线AB的距离为2cm，且△ABC为直角三角形，则满足上述条件的点C有（　　） A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 即时巩固3．（2025春•安远县月考）·【提升】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，AC＝2，D是BC的中点，点M是AB边上一点，当构成的四边形ACDM有一组邻边相等时，BM的长可以是　 　 ． 易错点2：混淆面积与边长的平方 学习目标 · 能区分正方形面积与边长 · 能用面积关系写勾股等式 · 能避免把面积当边长开方 纠错指引 以某边为边长的正方形，面积＝边长²。看到「面积」先写平方关系，最后一步才开方求边长；两个小正方形面积相加得到的是大正方形面积，不是大正方形的边长。 精讲例题 例题2．（2025•营山县校级开学）·【基础】如图，已知在直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积分别为1cm2，9cm2，则以斜边为边长的正方形的面积是　 　 ． 易错倾向标签：易算错｜易看错 【本题核心易错点】 · 把面积1与9的和当边长 · 求边长时漏写开方 · 混淆面积和与斜边平方 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固4．（2024春•萝北县期末）·【提升】如图，以Rt△ABC的三条边作三个正三角形，则S1、S2、S3、S4的关系为（　　） A．S1+S2+S3＝S4 B．S1+S2＝S3+S4 C．S1+S3＝S2+S4 D．不能确定 即时巩固5．（2026春•滨海新区校级期中）·【基础】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以这个三角形的三边AB，BC，AC为边向外侧作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，若S1+S2﹣S3＝18，则图中阴影部分的面积为　 　 ． 即时巩固6．（2025春•新罗区校级期中）·【提升】如图，以Rt△ABC的各边为边分别向外作正方形，∠BAC＝90°，AC＝4，BC＝5，连接DG．点H为DG的中点，连接HB，HN，则△HBN的面积是　 　 ． 易错点3：弦图中小正方形边长判错 学习目标 · 能说出弦图各部分的边长 · 能用两直角边表示中间小正方形边长 · 能列出大正方形面积的两种表示 纠错指引 赵爽弦图中，中间小正方形的边长是两直角边之差（长边－短边），不是斜边。大正方形面积既可写成 c²，也可写成四个直角三角形与小正方形面积之和，即 c²＝2ab＋(a－b)²。 精讲例题 例题3．（2026•上虞区二模）·【基础】如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中大正方形ABCD与小正方形EFGH的面积分别为8和2．若直角三角形两直角边长分别为a，b，则（a+b）2的值为　 　 ． 易错倾向标签：易想错｜易算错 【本题核心易错点】 · 把中间小正方形边长当b · 两种面积表示列错对象 · 漏乘四个直角三角形面积 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固7．（2024•南通）·【基础】“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，n（m＞n）．若小正方形面积为5，（m+n）2＝21，则大正方形面积为（　　） A．12 B．13 C．14 D．15 即时巩固8．（2024秋•雁塔区校级期中）·【提升】如图，四个全等的直角三角形围成正方形ABCD和正方形EFGH，即赵爽弦图．连接AC，分别交EF、GH于点M，N，连接FN．已知AH＝3DH，且AB2＝21，则图中阴影部分的面积之和为（　　） A． B． C． D． 即时巩固9．（2024秋•城关区校级期末）·【提升】如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别为S1、S2、S3．若S1+S2+S3＝60，则S2的值是（　　） A．12 B．15 C．20 D．30 即时巩固10．（2026•余杭区二模）·【基础】我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，如图，它是由四个全等的直角三角形（△ABF，△BCG，△CDH，△DAE）和中间一个小正方形拼成的大正方形，连结EG并延长，交CD于点M．若ED＝EM，则∠ADE的度数为　 　 ． 易错点4：出入相补割补等量找错 学习目标 · 能识别割补前后的等积关系 · 能判断哪种拼图可验证勾股定理 · 能用总面积不变列出等式 纠错指引 出入相补的核心是「割补前后总面积不变」。解题时先明确哪个图形被移到了哪里，再按「原总面积＝新总面积」列式，不要只凭图形样子猜关系，也不要把重叠部分重复计算。 精讲例题 例题4．（2025春•元氏县校级期中）·【基础】《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是证明了勾股定理和对勾股算术算法进行了推广．书中的证明方法是将4个三边长分别为a，b，c的全等直角三角形拼成如图1所示的五边形ABCDE，然后通过添加辅助线，用面积法证明勾股定理．下面是嘉淇给出的相关证明： 如图2，延长EN交①于点G． 用两种不同的方法表示五边形ABCDE的面积S： 方法一：将五边形ABCDE看成是由正方形AFDE与△ABF，△CDF拼成，则S＝②． 方法二：将五边形ABCDE看成是由③，正方形CDNG，△AME，△DEN拼成，则． 根据面积相等可以得到④，即a2+b2＝c2． 则下列说法错误的是（　　） A．①代表BC B．②代表c2+ab C．③代表正方形AFDE D．④代表c2+ab＝a2+b2+ab 易错倾向标签：易看错｜易想错 【本题核心易错点】 · 割补前后面积列不相等 · 看错哪个三角形被移走 · 把重叠部分重复计算 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固11．（2026春•东川区期中）·【提升】下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 即时巩固12．（2026春•浏阳市期中）·【提升】被誉为清代“历算第一名家”的著名数学家梅文鼎先生在《梅氏丛书辑要》中给出了多种勾股定理的证法．其中一种是在如图的基础上，运用“出入相补”原理完成的：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，四边形ABDE，ACFG，BCHI均为正方形，HI与AE相交于点J，可以证明点D在直线BI上．若△AHJ，△DEJ的面积分别为2和6，则直角边AC的长为（　　） A．2 B． C． D． 即时巩固13．（2025秋•广陵区期中）·【提升】中国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补的方法证明了勾股定理．如图，已知正方形ABCD和正方形BEFG，A、B、E三点在一条直线上．现将其裁剪拼成不重叠无缝隙的大正方形CHIE．若正方形ABCD和正方形BEFG的面积之和为220，阴影部分的面积为130，则AE的长为（　　） A．22 B．20 C．18 D．16 易错点5：大正方形面积两种表示写错 学习目标 · 能写出大正方形面积的两种表示 · 能完整完成拼图法验证勾股定理 · 能规范书写推导过程 纠错指引 用拼图法证明时，抓住同一个大正方形的两种算法：整体法得 (a＋b)² 或 c²，分割法得四个直角三角形加中间小正方形。令两式相等后再化简，展开完全平方公式时不要漏掉 2ab 项。 精讲例题 项目背景 某校八年级数学兴趣小组成员自主开展“勾股定理”数学项目研究． 素材 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以直角三角形ABC的三条边为边分别向外作正方形，边BC，边AC，边AB的长分别用a，b，c来表示． 解决问题 任务一 （1）为了计算图2中正方形ABDE的面积，对这个正方形ABDE适当割补后得到与原直角三角形全等的4个直角三角形和正方形FKHG，请用图2验证勾股定理． 任务二 （2）为了计算图3中正方形ABDE的面积，对这个正方形ABDE适当割补后得到与原直角三角形全等的4个直角三角形和正方形CNML，请用图3验证勾股定理． 任务三 （3）对图4中正方形ABDE适当割补后得到与原直角三角形全等的8个直角三角形和正方形FKHG及正方形CNML．求图4中所有正方形的面积和（结果用只含c的代数式表示）． 例题5．（2025秋•河南校级期中）·【提升】课本再现： （1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理，请证明：a2+b2＝c2． 类比迁移： （2）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2，若a＝9，b＝12，则空白部分的面积为 　 　 ； 方法运用： （3）小贤将四个全等的直角三角形拼成图3的“帽子”形状，若AH＝6，BH＝8，请求出“帽子”外围轮廓（实线）的周长为 　 　 ； （4）如图4，分别以Rt△ABC的三条边向外作三个正方形，连接EC，BG，若设其中S△EBC＝S1，S△BCG＝S2，S正方形BCIH＝S3，当S2＝3，S3＝10，则S1＝ 　 　 ． 易错倾向标签：易算错｜易想错 【本题核心易错点】 · 展开(a＋b)²漏掉2ab · 两种表示算的不是同一图形 · 化简过程中符号出错 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固14．（2026春•市中区校级单元）·【提升】著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2． 【结论探究】 （1）下面是直立的长方体火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现的证明勾股定理的一种思路． 如图2，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AEFG的位置，连接CF，此时∠FAC＝90°，AB＝CD＝a，BC＝AD＝b，AC＝c．请利用直角梯形BCFG的面积完成勾股定理的证明． 【结论应用】 （2）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（点A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝1.5km，CH＝1.2km，HB＝0.9km．已知新的取水点H与原取水点A相距0.5千米，则新路CH比路CA少多少千米？ 【问题拓展】 （3）△ABC中，AC＝10，BC＝17，AB＝21，CH⊥AB，垂足为H，请直接写出CH的值． 即时巩固15．（2025秋•李沧区校级月考）·【提升】（1）如图①，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形（中间空白部分也是正方形、已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上．老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积证明了勾股定理，请证明a2+b2＝c2． （2）现将图①中的两个直角三角形向内翻折，得到图②．若a＝6，b＝8，则空白部分的面积为 　 　 ． （3）如图③，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形，直角三角形的直角边分别是3和2.5，小贤将四个直角三角形中边长为3的直角边分别向外延长一倍，得到图③所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 　 　 ； （4）如图④，分别以Rt△ABC的三条边为边向外作三个正方形ABED和正方形ACHI，并将得到的图形放入矩形，点D，E、F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，若矩形KLMJ的面积为4．BC＝1，则△ABC的面积为 　 　 ． 即时巩固16．（2024•市北区校级开学）·【提升】如图，有四个斜边为c的全等直角三角形，已知其直角边长为a，b．拼接成以c为边长的正方形，试利用这个图形验证勾股定理． 易错点6：数轴画弧半径取错 学习目标 · 能确定画弧的圆心与半径 · 能在数轴上作出无理数对应点 · 能区分斜边与直角边作半径 纠错指引 在数轴上作出无理数，关键是先构造斜边等于该数的直角三角形：以原点为圆心、斜边长为半径画弧，交点才是所求点。不要把直角边当半径，也不要把交点读成斜边的长度。 精讲例题 例题6．（2026春•华龙区期末）·【基础】如图，点O在数轴原点处，数轴上的点A的坐标是3，过点A作直线l垂直于OA，在l上截取AB＝2，以点O为圆心，OB长为半径作弧，弧与数轴正半轴的交点C表示的数为　 　 ． 易错倾向标签：易看错｜易算错 【本题核心易错点】 · 用直角边当半径画弧 · 把斜边长直接读作所求数 · 漏判负半轴的交点 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固17．（2025秋•崇明区期末）·【基础】如图，点A在数轴上表示数1，以OA为直角边，在数轴上方画Rt△AOB，∠AOB＝90°，OB＝3，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，与数轴的正半轴交于点P，则点P表示的数是　 　 ． 即时巩固18．（2025秋•武侯区期中）·【基础】如图，由图中的信息可知点P表示的数是 　 　 ． 易错点7：实际问题漏用已知高度 学习目标 · 能把实际问题画成直角三角形 · 能找准直角边对应的实际量 · 能检验答案是否符合实际 纠错指引 建模时先把题目中的每个数据标到图上：云梯长是斜边，楼高要减去车身高度才是直角边，露出部分要先扣除。算完用「斜边一定最长」快速检验一遍。 精讲例题 例题7．（2024秋•甘谷县校级期末）·【基础】如图，一根筷子长17cm，斜放在半径为2.5cm的圆形水杯中，露出水杯外面的部分AD的长为4cm，则水杯的高AC＝ 　 　 cm． 易错倾向标签：易看错｜易漏解 【本题核心易错点】 · 漏减杯高或车身高度 · 把露出部分当直角边 · 斜边与直角边位置放反 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固19．（2026春•庐阳区校级期中）·【提升】“安全重于泰山，生命高于一切”．某地一楼房发生火灾，消防员用消防车上的云梯救人．如图，消防车高3.5米（即AB＝CD＝3.5米），施救点E距离地面的高度EC＝18.5米，此时云梯的长度AE为25米． （1）求云梯底部A到楼房的距离AD． （2）消防员发现E处上方9米的F处有人未撤离，为了救出F处被困人员，在云梯长度不变的情况下，云梯底部A需沿AD方向前进多少米？ 即时巩固20．（2025春•汉阴县校级期末）·【提升】某校在一次消防演练中，消防队员需要通过攀爬22m长的云梯到24m高的宿舍楼顶营救“被困”学生．已知消防车按如图停放，云梯的底端A离地面4m、与宿舍外墙OM的距离是8m．云梯够长吗？请说明理由． 易错点8：角平分线距离转化混淆 学习目标 · 能运用角平分线性质求距离 · 能区分垂线段与斜线段的长 · 能结合勾股定理求线段长 纠错指引 角平分线上的点到角两边距离相等，这个「距离」是垂线段的长，不是斜线段的长。求距离时先作垂线构造直角三角形，再用勾股定理计算，不要把角平分线本身的长度当作距离。 精讲例题 例题8．（2025秋•天河区校级期末）·【基础】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，CD＝5，则点D到AB的距离为（　　） A．10 B．8 C．5 D．3 易错倾向标签：易想错｜易算错 【本题核心易错点】 · 把角平分线的长当距离 · 忘记作垂线构造直角 · 混淆CD与点D到AB的距离 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固21．（2025春•辽宁校级期中）·【基础】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，且BC＝13，BD＝8，则点D到AB的距离为　 　 ． 即时巩固22．（2025秋•龙岗区期中）·【基础】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的一条角平分线，E为BD中点，连接AE，若∠ABC＝2∠DAE，BD＝4，则CD＝　 　 ． 易错点9：动点最值位置凭直觉 学习目标 · 能判断动点在何处取最值 · 能用垂线段最短求最小值 · 能检验端点情形是否成立 纠错指引 求线段最值先找几何依据：点到直线的垂线段最短、两点之间线段最短。先把动点取最值时的位置画出来验证，再代入勾股定理计算，不要只算端点就下结论。 精讲例题 例题9．（2026•于洪区一模）·【基础】如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，AB＝6，AC＝4，D是BC边上的一个动点，连接AD，则AD长的最小值为　 　 ． 易错倾向标签：易想错｜易漏解 【本题核心易错点】 · 只算端点忽略垂足位置 · 凭直觉认定最值位置 · 取最值时图形画不出来 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固23．（2026春•平阴县期末）·【提升】如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为（　　） A． B．0.8 C．3 D． 即时巩固24．（2026•石家庄二模）·【提升】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，BC＝3．点P为△ABC内一点，且满足PA2+PC2＝AC2．当PB的长度最小时，则CP的长是（　　） A． B． C． D． 即时巩固25．（2026•番禺区二模）·【提升】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，，点D为平面内一动点，满足AD＝AB，分别连接CD，BD．延长BD至点E，连接CE，使∠E＝∠DCB．当BD＝1时，BE＝　 　 ；当线段CE的长度取得最小值时，BE＝　 　 ． 易错点10：不会作高构造直角三角形 学习目标 · 能根据条件作出所需的高 · 能找出图形中隐藏的直角三角形 · 能正确选择勾股定理的已知边 纠错指引 题中没有直角三角形时，先作高（或作平行线、连接对角线）造出直角，再把已知线段标到直角边或斜边上。作高前先想清楚要求哪条边，避免作出与所求无关的高。 精讲例题 例题10．（2024春•威宁县期末）·【基础】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，则BC的长为（　　） A．6 B． C．24 D．2 易错倾向标签：易想错｜易看错 【本题核心易错点】 · 不作高直接套勾股定理 · 把非直角三角形的边当直角边 · 选错直角三角形致未知量增多 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固26．（2026•安徽模拟）·【提升】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2AC，D为BA延长线上一点，，，BC的长是（　　） A．5 B． C． D．4 即时巩固27．（2026•张家港市模拟）·【提升】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BD平分∠ABC，AC＝10，且AD：DC＝2：3，则BC的长为（　　） A．15 B． C．16 D． 即时巩固28．（2026春•长安区校级期末）·【提升】如图，四边形ABCD中，BC∥AD，AC⊥BD，AC＝3，BD＝6，BC＝1，则AD的长为（　　） A．8 B． C． D． 即时巩固29．（2025•延安开学）·【提升】如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝9，∠B＝60°，将△ABC沿着BC方向平移得到△A′B′C，点A，B，C的对应点分别为点A′，B′，C′，连接A′C，若AA′＝3，则△A′B′C′的周长为（　　） A．24 B．20 C．27 D．18 即时巩固30．（2025春•巫山县期中）·【基础】如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，∠C＝90°，则BC＝　 　 ． 材料一 数形结合是重要的数学思想．按照图①所示将两个边长为1的小正方形进行剪拼（无缝隙不重叠的拼接）成一个大的正方形，可以得到无理数；按照图②和图③所示的两种剪拼方法将一个边长为1的正方形和一个边长为2的正方形剪拼出一个大正方形，可以得到无理数m． 材料二 实数与数轴上的点一一对应，要在数轴上找到表示±的点，关键是在数轴上构造线段，如图④，正方形的边长为1个单位长度，以原点O为圆心，对角线长为半径画弧与数轴上分别交于点A，A′，则点A对应的数为，点A′对应的数为，类似地，我们可以在数轴上找到表示任意无理数的点． 任务 （1）材料1中，无理数m是 　 　 ； （2）如图⑤，改变图④中正方形的位置，用类似的方法作图，图⑤中点B表示的数为 　 　 ，点B′表示的数为 　 　 ； （3）若a＝﹣5+m，，求代数式|a+1|﹣|2﹣b|的值，并在图⑥的数轴上作出表示这个代数式的值对应的点．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） 即时巩固31．（新教材同步题）·【提升】求图中x的值． 易错点11：特殊模型结论套用错 学习目标 · 能识别垂美四边形等特殊模型 · 能正确写出模型中的平方关系 · 能说明结论成立的前提条件 纠错指引 使用模型结论前先核对条件：对角线互相垂直才有「两组对边平方和相等」，矩形内任意点才有「到两组对角顶点平方和相等」。条件不满足时回到作垂线逐步推导。 精讲例题 例题11．（2025春•鸡西期末）·【基础】对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，若AD＝3，BC＝5，则AB2+CD2＝　 　 ． 易错倾向标签：易想错｜易算错 【本题核心易错点】 · 忽略对角线垂直的前提 · 平方关系中对边配错 · 把不同模型的结论混用 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固32．（2025秋•杨浦区期末）·【基础】如图，用9个直角三角形纸片拼成一个类似海螺的图形，其中每一个直角三角形都有一条直角边长为1．记这个图形的周长（实线部分）为l，则周长l的整数部分是（　　） A．14 B．13 C．12 D．11 即时巩固33．（2026•西湖区校级一模）·【提升】通过勾股定理我们可以证明矩形中一特殊模型：国旗模型．如图1，点P为矩形ABCD所在平面内任一点，连结PA、PB、PC、PD，则有PA2+PC2＝PB2+PD2恒成立．如图2，在△ABC中，AB＝4，，点D在△ABC内，且∠ADC＝90°，，则边AC的最小值为（　　） A．3 B． C．4 本专题错因自查清单 ☐ 斜边身份未分类致漏解 ☐ 混淆正方形面积与边长 ☐ 弦图中间小正方形边长判错 ☐ 割补前后等量关系找错 ☐ 展开完全平方漏掉2ab ☐ 数轴上画弧半径取错 ☐ 实际问题漏减已知高度 ☐ 角平分线距离转化错误 ☐ 动点最值位置判断错 ☐ 未作高构造直角三角形 ☐ 特殊模型条件未核对 过关测试（综合检测） 1．（2025•龙凤区校级三模）·【基础】如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC：BC＝4：3，这个直角三角形三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作直角边之比为4：3的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形，图③是2次操作后的图形．如果图①中的直角三角形的周长为12，那么10次操作后的图形中所有正方形的面积和为（　　） A．225 B．250 C．275 D．300 2．（2024秋•温州期末）·【提升】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AB，AC为边作正方形，点E落在FG上．记正方形ABDE的面积为S1，△AEG的面积为S2，设BF＝x，EF＝y．若S1＝6S2，则下列代数式的值不变的是（　　） A．x+y B．x﹣y C．xy D． 3．（2024秋•杭州期末）·【提升】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，AC＝2．D为斜边AB上一动点，连接CD，过点D作DE⊥CD交边BC于点E，若△BDE为等腰三角形，则△CDE的周长为（　　） A． B．6 C． D．5 4．（2024春•滨州月考）·【提升】如图，直角三角形ABC的直角边AB＝6，BC＝8，将直角三角形ABC沿边BC的方向平移到三角形DEF的位置，DE交AC于点G，BE＝2，三角形CEG的面积为13.5，下列结论：①三角形ABC平移的距离是4；②EG＝4.5；③若AC的长为10，则四边形ABFD的周长是28；④四边形ADFC的面积为6；⑤四边形DGCF的面积为10.5．其中正确的结论是（　　） A．①②④ B．②③④ C．③④⑤ D．②③⑤ 5．（2024春•蜀山区校级期中）·【提升】如图1是第七届国际数学教育大会（简称ICME﹣7）的会徽，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝...＝A7A8＝1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，那么OA1，OA2，OA3，…，OA25这些线段中，长度为无理数的线段有（　　） A．20条 B．21条 C．22条 D．23条 6．（2025春•界首市期末）·【提升】勾股定理是数学史上的一颗璀璨明珠．被誉为清代“历算第一名家”的著名数学家梅文鼎先生（图①）在《梅氏丛书辑要》（由其孙子梅彀成编纂）的“勾股举隅”卷中给出了多种勾股定理的证法．其中一种是在图②的基础上，运用“出入相补”原理完成的．在△ABC中，∠ACB＝90°，四边形ABDE，ACFG，BCHI均为正方形，HI与AE相交于点J，可以证明点D在直线HI上．若△AHJ，△DEJ的面积分别为2和6，则直角边AC的长为（　　） A． B． C． D．2 7．（2024•武威三模）·【提升】如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形ABCD与四边形EFGH都是正方形．连结DG并延长，交BC于点P，点P为BC的中点．若EF＝2，则AE的长为（　　） A．4 B． C． D． 8．（2024春•蓬江区校级月考）·【基础】勾股定理被誉为“几何明珠”，在数学的发展历程中占有举足轻重的地位．中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家是公元3世纪三国时期的赵爽，他为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图（1）所示）．图（2）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的．记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝129，则S2的值是 　 　 ． 9．（2026春•海陵区校级期末）·【提升】将邻边长分别为2，的矩形纸片剪成四个等腰三角形纸片（无剩余纸片）．有下列数：①；②2；③；④；⑤．其中，可以作为一个等腰三角形的腰长的是　 　 （填序号）． 10．（2024秋•平舆县期末）·【提升】如图，BD是Rt△ABC斜边AC上的中线．AB＝6，BC＝8，点P是BC上一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E、F．则PE+PF的值是 　 　 ． 11．（2024秋•乌当区期末）·【提升】如图，图1是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理时的青朱出入图，图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等．朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．探究学习中，标上字母绘成图2所示，若记朱方对应正方形GDJH的边长为a，青方对应正方形ABCD的边长为b，已知b﹣a＝3，a2+b2＝29，则图2中的阴影部分面积为 　 　 ． 12．（2026春•连江县期中）·【提升】阅读下列材料，回答问题． 材料1 数形结合是重要的数学思想．将边长为1的两个小正方形按如图1所示的方法进行剪拼成一个大的正方形，小正方形的对角线的长a就是大正方形的边长．（选自课本P42页） 材料2 实数与数轴上的点一一对应．如图2，正方形的边长为1个单位长度，以原点O为圆心，以正方形的对角线长为半径画弧，与数轴分别交于点A，A′，则点A对应的数为a，点A′对应的数为﹣a．（选自课本P54页） 类比探究 问题1：由以上材料，小连同学受到启发，若把长为2、宽为1的两个长方形沿对角线剪开（对角线的长记为x），得到四个形状大小一样的直角三角形，然后将它们拼成如图3所示的大正方形，中间恰好形类比探究成一个边长为x的小正方形，求出x的值； 问题2：若要得到无理数，可选择长与宽均为正整数的两个适当的长方形，参照图3的剪拼方法得到一个中间小正方形边长为的大正方形．请在图4的正方形网格图中用实线画出这个拼接成的大正方形和小正方形，且该大正方形一条边与数轴重合，小正方形的一个顶点与原点O重合，并用圆规在数轴上画出表示的点C．（保留作图痕迹，并标注点C） （1）材料中，数a是　 　 ；点A与A′之间的距离为　 　 ； （2）解答问题1； （3）解答问题2． 13．（2025秋•闵行区校级期中）·【提升】阅读材料，完成任务． 材料一 数形结合是重要的数学思想．按照图①所示将两个边长为1的小正方形进行剪拼（无缝隙不重叠的拼接）成一个大的正方形，可以得到无理数；按照图②和图③所示的两种剪拼方法将一个边长为1的正方形和一个边长为2的正方形剪拼出一个大正方形，可以得到无理数m． 材料二 实数与数轴上的点一一对应，要在数轴上找到表示±的点，关键是在数轴上构造线段，如图④，正方形的边长为1个单位长度，以原点O为圆心，对角线长为半径画弧与数轴上分别交于点A，A′，则点A对应的数为，点A′对应的数为，类似地，我们可以在数轴上找到表示任意无理数的点． 任务 （1）材料1中，无理数m是 　 　 ； （2）如图⑤，改变图④中正方形的位置，用类似的方法作图，图⑤中点B表示的数为 　 　 ，点B′表示的数为 　 　 ； （3）若a＝﹣5+m，，求代数式|a+1|﹣|2﹣b|的值，并在图⑥的数轴上作出表示这个代数式的值对应的点．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） 14．（2024秋•南京校级期中）·【提升】如图所示，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，AC＝3cm，BC＝4cm，求△ACD的面积． 苏科版2024 · 勾股定理的探究 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $