3.1 勾股定理的探究 课时作业 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

**基本信息** 本练习以勾股定理为核心，通过基础巩固、能力提升、拓展探究三级分层设计，构建从概念理解到综合应用的知识巩固路径，适配新授课教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|勾股定理定义、直接计算、简单应用|选择填空为主，聚焦直角边与斜边关系的直接应用，如已知两边求第三边，夯实抽象能力| |能力提升|分类讨论、面积法、勾股定理验证|解答题为主，包含赵爽弦图证明、网格中边长计算，培养推理能力与几何直观| |拓展探究|综合应用、动态问题、方程思想|含周长与面积关系、动点问题，渗透模型意识，发展创新意识|

苏科版 · 八年级上册 · 数学课时作业　3.1 勾股定理的探究 第3章　勾股定理　3.1 勾股定理的探究　课时作业 （苏科版　八年级上册）　班级：________　姓名：________　学号：________　得分：________ 学习目标 1．经历用数格子、拼图等方法探索勾股定理的过程，体会数形结合思想和面积法． 2．掌握勾股定理，能用勾股定理由直角三角形的两边长求第三边长． 3．了解赵爽弦图等勾股定理的验证方法，感受我国古代数学的成就． 4．能利用勾股定理和面积法解决简单的计算问题． 一、知识点梳理 知识点1　勾股定理 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 符号语言：如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，则 a²+b²=c²． 在我国古代，把直角三角形中较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”，因此这个定理叫做勾股定理． 知识点2　勾股定理的变形 在 Rt△ABC 中，∠C=90°： （1）c²=a²+b²，c=； （2）a²=c²-b²，a=； （3）b²=c²-a²，b=． 知识点3　勾股定理的验证（面积法） 方法一：数格子．在方格纸上画直角三角形，分别以三边为边向外作正方形，数出（或割补算出）三个正方形的面积，发现两个较小正方形的面积之和等于最大正方形的面积，即 S1+S2=S3． 方法二：赵爽弦图．我国汉代数学家赵爽用四个全等的直角三角形（两直角边分别为 a，b，斜边为 c）拼成一个以 c 为边长的大正方形，中间是一个边长为 b-a 的小正方形．由大正方形面积的两种表示方法可得：c²=4×ab+(b-a)²，整理得 a²+b²=c²． 说明：2002 年在北京召开的国际数学家大会的会标，就是以赵爽弦图为基础设计的． 知识点4　勾股定理的简单计算 （1）已知直角三角形的任意两边，可求第三边．关键是分清哪条边是斜边． （2）若题目没有明确哪条边是斜边，需要分类讨论．如直角三角形两边长为 3 和 4，则第三边为 5（4 为直角边时）或 （4 为斜边时）． （3）斜边上的高：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，CD⊥AB 于点 D，由面积法得 ab=c·CD，所以 CD=． 易错提醒 ①勾股定理只适用于直角三角形，对于一般三角形不能直接使用． ②在 Rt△ABC 中，若∠B=90°，则斜边是 b，关系式为 a²+c²=b²，不能机械地写成 a²+b²=c²． 二、例题精讲 例1　在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C 的对边分别为 a，b，c． （1）已知 a=6，b=8，求 c；（2）已知 c=13，a=5，求 b；（3）已知 a∶b=3∶4，c=15，求 a，b． 解：（1）c====10； （2）b====12； （3）设 a=3k，b=4k（k>0），则 (3k)²+(4k)²=15²，25k²=225，k²=9，k=3，所以 a=9，b=12． 例2　已知直角三角形的两边长分别为 3 和 4，求第三边的长． 解：①当 3 和 4 都是直角边时，第三边为 =5； ②当 4 是斜边时，第三边为 =． 所以第三边的长为 5 或 ． 例3　在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，CD⊥AB 于点 D，求 CD 的长． 解：由勾股定理得 AB==10．由 AC·BC=AB·CD 得 CD==4.8． 三、基础巩固 （一）选择题（每题只有一个正确选项） 1．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，a=5，b=12，则 c 的值为（　　） A．13 B．17 C． D．169 2．一个直角三角形的斜边长为 10，一条直角边长为 6，则另一条直角边长为（　　） A．4 B．8 C． D．16 3．一个直角三角形的两边长分别为 5 和 12，则第三边的长为（　　） A．13 B． C．13 或 D．17 4．如图，以 Rt△ABC 的三边为边向外作正方形，其面积分别为 S1，S2，S3，若 S1=9，S3=25，则 S2 的值为（　　） A．16 B．34 C．4 D．8 5．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=13，AC=12，则△ABC 的面积为（　　） A．30 B．60 C．65 D．78 6．在 Rt△ABC 中，∠A，∠B，∠C 的对边分别为 a，b，c，若∠B=90°，则下列式子成立的是（　　） A．a²+b²=c² B．a²+c²=b² C．b²+c²=a² D．a+c=b 7．等腰三角形的腰长为 10，底边长为 12，则底边上的高为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 8．直角三角形的两条直角边长分别为 6 和 8，则斜边上的高为（　　） A．4.8 B．5 C．2.4 D．10 9．如图，在正方形网格中（每个小正方形的边长均为 1），线段 AB 的长为（　　） A． B．5 C． D．13 10．一个直角三角形的两条直角边之比为 3∶4，斜边长为 20，则它的周长为（　　） A．24 B．36 C．48 D．60 （二）填空题 11．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，a=8，c=17，则 b=____． 12．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，a=1，b=2，则 c=____． 13．直角三角形的斜边长为 26，一条直角边长为 10，则它的面积为____． 14．边长为 2 的等边三角形的高为____． 15．已知直角三角形的两条直角边长 a，b 满足 |a-3|+=0，则斜边长为____． 16．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为 7 cm，则正方形 A，B，C，D 的面积之和为____cm²． 17．在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=9，BC=12，则斜边 AB 上的高为____． 18．若直角三角形的两条直角边长分别为 和 ，则斜边长为____． 四、能力提升 19．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C 的对边分别为 a，b，c． （1）已知 a=9，b=12，求 c；　　　（2）已知 c=25，b=7，求 a； （3）已知 c=10，a∶b=3∶4，求 a，b；　（4）已知 a=，c=3，求 b． 20．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=15，BC=20，CD⊥AB 于点 D，求 AB，CD 和 AD 的长． 21．已知一个直角三角形的两边长分别为 8 和 15，求第三边的长． 22．如图，在△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，AD⊥BC 于点 D，求△ABC 的面积． 23．如图，在 5×3 的正方形网格中，每个小正方形的边长都是 1，△ABC 的顶点都在格点上． （1）分别求出 AB，BC，AC 的长；（2）求△ABC 的面积． 24．如图，在△ABC 中，AB=15，AC=13，BC=14，AD⊥BC 于点 D，求 AD 的长． 25．如图是“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形（直角边长分别为 a，b，且 a<b，斜边长为 c）拼成．请利用这个图形证明勾股定理． 26．1876 年，美国总统伽菲尔德用如图所示的方法验证了勾股定理：两个全等的直角三角形△ABC 和△CDE（直角边分别为 a，b，斜边为 c）与△BCE 拼成一个直角梯形 ABED，且 A，C，D 在同一直线上．请你利用这个图形验证勾股定理． 五、拓展探究 27．已知直角三角形的周长为 24，斜边长为 10，求这个直角三角形的面积． 28．如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点 P 从点 A 出发，沿 AC 向点 C 以每秒 1 个单位长度的速度运动，设运动时间为 t 秒．当 PA=PB 时，求 t 的值． 29．在△ABC 中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b． （1）若 c-a=2，b=6，求 a 和 c；　（2）若 a+b=7，ab=12，求 c． 六、易错辨析 判断下列说法是否正确（正确的在括号内画“✓”，错误的画“✗”），并将错误的说法改正． 30．在△ABC 中，若 a=3，b=4，则 c=5．（　　） 31．在 Rt△ABC 中，∠A=90°，则 b²+c²=a²．（　　） 32．直角三角形的两边长分别为 6 和 8，则第三边长一定是 10．（　　） 33．直角三角形中，斜边是最长的边．（　　） 34．勾股定理适用于所有的三角形．（　　） 七、综合应用 35．如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，按下列要求计算： （1）求 AB 的长；（2）若以 AB 为边向外作正方形，求这个正方形的面积；（3）求 AB 边上的中线把△ABC 分成的两个三角形的面积． 36．一个直角三角形的斜边比一条直角边长 1，另一条直角边长为 5，求这个直角三角形的斜边长和周长． 37．已知等腰直角三角形的斜边长为 ，求它的直角边长和面积． 参考答案及解析 三、基础巩固 1．【答案】A 【解析】c====13． 2．【答案】B 【解析】另一条直角边长为 ==8． 3．【答案】C 【解析】当 12 为直角边时，第三边为 =13；当 12 为斜边时，第三边为 =．所以第三边为 13 或 ． 4．【答案】A 【解析】由勾股定理可知 S1+S2=S3，所以 S2=25-9=16． 5．【答案】A 【解析】BC===5，面积为 ×12×5=30． 6．【答案】B 【解析】∠B=90°，所以斜边是∠B 的对边 b，关系式为 a²+c²=b²． 7．【答案】B 【解析】等腰三角形底边上的高也是底边上的中线，把底边分成两段，每段长 6，所以高为 =8． 8．【答案】A 【解析】斜边为 =10，斜边上的高为 =4.8． 9．【答案】A 【解析】以 AB 为斜边构造直角三角形，两条直角边分别为 2 和 3，所以 AB==． 10．【答案】C 【解析】设两直角边为 3k，4k，则 (3k)²+(4k)²=20²，k=4，两直角边为 12，16，周长为 12+16+20=48． 11．【答案】15 【解析】b===15． 12．【答案】 【解析】c==． 13．【答案】120 【解析】另一条直角边为 ==24，面积为 ×10×24=120． 14．【答案】 【解析】等边三角形的高平分底边，高为 =． 15．【答案】5 【解析】由非负性得 a=3，b=4，斜边为 =5． 16．【答案】49 【解析】由勾股定理，正方形 A，B 的面积和等于它们所在直角三角形斜边上正方形的面积，正方形 C，D 同理；而这两个正方形的面积和又等于最大正方形的面积．所以 A，B，C，D 的面积之和为 7²=49（cm²）． 17．【答案】7.2 【解析】AB==15，高为 =7.2． 18．【答案】3 【解析】斜边为 ===3． 四、能力提升 19．【答案】见解析 【解析】（1）c===15； （2）a===24； （3）设 a=3k，b=4k（k>0），则 9k²+16k²=100，k²=4，k=2，所以 a=6，b=8； （4）b===2． 20．【答案】AB=25，CD=12，AD=9 【解析】在 Rt△ABC 中，AB===25． 由面积法 AC·BC=AB·CD，得 CD==12． 在 Rt△ACD 中，AD===9． 21．【答案】17 或 【解析】①当 8 和 15 都是直角边时，第三边为 ==17； ②当 15 是斜边时，第三边为 =． 所以第三边的长为 17 或 ． 22．【答案】60 【解析】因为 AB=AC，AD⊥BC，所以 BD=CD=5（等腰三角形“三线合一”）． 在 Rt△ABD 中，AD===12． 所以 S△ABC=×10×12=60． 23．【答案】（1）AB=，BC=，AC=；（2）6.5 【解析】（1）AB==，BC==，AC==； （2）用“割补法”：△ABC 的面积等于它所在的 5×3 长方形的面积减去周围三个直角三角形的面积， S=5×3-×4×1-×5×2-×1×3=15-2-5-1.5=6.5． 24．【答案】12 【解析】设 BD=x，则 CD=14-x． 在 Rt△ABD 中，AD²=AB²-BD²=15²-x²；在 Rt△ACD 中，AD²=AC²-CD²=13²-(14-x)²． 所以 225-x²=169-(14-x)²，即 225-x²=169-196+28x-x²，解得 x=9． 所以 AD===12． 方法点拨：公共边 AD 是两个直角三角形的桥梁，用两种方法表示 AD² 列方程． 25．【答案】见解析 【解析】大正方形的边长为 c，面积为 c²； 大正方形的面积也等于 4 个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和，小正方形的边长为 b-a， 所以 c²=4×ab+(b-a)²=2ab+b²-2ab+a²=a²+b²，即 a²+b²=c²． 26．【答案】见解析 【解析】因为△ABC≌△CDE，所以∠BCA=∠CED，而∠CED+∠DCE=90°，所以∠BCA+∠DCE=90°，∠BCE=90°． 梯形 ABED 的面积为 (a+b)(a+b)=(a+b)²； 它也等于三个直角三角形的面积和：ab+ab+c²． 所以 (a+b)²=ab+c²，即 a²+2ab+b²=2ab+c²，所以 a²+b²=c²． 五、拓展探究 27．【答案】24 【解析】设两直角边为 a，b，则 a+b=24-10=14，a²+b²=10²=100． 因为 (a+b)²=a²+2ab+b²，所以 196=100+2ab，ab=48． 所以面积为 ab=24． 28．【答案】 【解析】由题意得 PA=t，PC=8-t． 在 Rt△BCP 中，PB²=BC²+PC²=6²+(8-t)²． 由 PA=PB 得 t²=36+(8-t)²，即 t²=36+64-16t+t²，解得 t=． 因为 0<<8，符合题意，所以 t=． 29．【答案】（1）a=8，c=10；（2）c=5 【解析】（1）由 c=a+2 及 a²+b²=c² 得 a²+36=(a+2)²，即 a²+36=a²+4a+4，解得 a=8，所以 c=10． （2）c²=a²+b²=(a+b)²-2ab=49-24=25，所以 c=5． 六、易错辨析 30．【答案】✗ 【解析】没有说明△ABC 是直角三角形，也没有说明哪个角是直角，不能直接使用勾股定理． 31．【答案】✓ 【解析】∠A=90°，斜边是 a，所以 b²+c²=a²． 32．【答案】✗ 【解析】若 8 为斜边，第三边为 =．所以第三边为 10 或 ． 33．【答案】✓ 【解析】由勾股定理 c²=a²+b²，可知 c²>a²，c²>b²，所以斜边最长． 34．【答案】✗ 【解析】勾股定理只适用于直角三角形． 七、综合应用 35．【答案】（1）10；（2）100；（3）都是 12 【解析】（1）AB==10； （2）正方形的面积为 AB²=100； （3）S△ABC=×6×8=24，三角形的中线把它分成两个面积相等的三角形，所以两个三角形的面积都是 12． 36．【答案】斜边长 13，周长 30 【解析】设斜边长为 x，则一条直角边长为 x-1． 由勾股定理得 (x-1)²+5²=x²，即 x²-2x+1+25=x²，解得 x=13． 所以斜边长为 13，另一直角边长为 12，周长为 13+12+5=30． 37．【答案】直角边长 2，面积 2 【解析】设直角边长为 x（x>0），则 x²+x²==8，x²=4，x=2． 面积为 ×2×2=2． 第 页　共 页 学科网（北京）股份有限公司 $