3.2 探索三角形相似的条件 预习自测 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 围绕三角形相似判定，通过基础辨析、能力综合到实际应用的三阶分层设计，构建从单一知识点到跨情境应用的巩固路径，适配新授课教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|相似判定定理（两角、两边夹角、三边）|单选1-5直接辨析判定条件，填空9-10结合图形识别相似三角形，强化几何直观| |能力提升|黄金分割、网格与相似、概率与判定|单选6-8融入黄金分割计算，填空11-13结合概率、比例应用，发展推理能力| |综合应用|作图、证明、项目式实践|解答题14-18含尺规作图、证明推理及风筝设计项目，体现模型意识与应用意识|

3.2 探索三角形相似的条件 预习自测2026-2027学年 北师大版九年级数学上册 一、单选题 1．如图，在中，的平分线交于点D，过点D作的平行线交于点E．若，则图中的相似三角形共有（   ） A．4对 B．3对 C．2对 D．1对 2．如图在4×1的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，就是一个格点三角形，现从格点、、、中选取一个格点与点、连接成格点三角形，能使该格点三角形与相似的格点是（   ） A．点D B．点E C．点F D．点G 3．如图，在中，点分别是边上的点，补充下列条件后，仍不能判定和相似的是（   ） A． B． C． D． 4．下列各组条件中，一定能够判定与相似的是（    ） A．，； B．，，，； C．三边长分别为，，，三边之比为； D．，，． 5．下列命题正确的是（   ） A．菱形都相似 B．边长相等的六边形一定相似 C．有一个角相等的两个等腰梯形一定相似 D．两个等腰直角三角形相似 6．能判定的条件是（    ） A． B．且 C．且 D．且 7．黄金分割是汉字结构最基本的审美规律．如图汉字“十”端庄稳重、舒展美观．横竖笔画交点恰好是线段的黄金分割点，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 8．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段分为两线段，，使得其中较长的一段，是全长与较短的一段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若D，E是边的两个“黄金分割”点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，在中，是斜边上的高，于点，除自身外，图中与相似的三角形的个数是 ____ 10．如图，在正方形网格中有四个三角形，其中与相似（不包括本身）的三角形有 _____个． 11．如图，、和3张都标注一个条件的卡片．从这3张卡片中随机一次性抽取2张的结果，能判断的概率为_____． 12．如果一个矩形的宽与长的比值为，人们就称它为“黄金矩形”．现需制作一个符合黄金矩形的相框，若相框的长为3米，则相框的宽为_________米（结果保留根号）． 13．在与中，，，，，，，可证，其判定依据为______． 三、解答题 14．如图，在中，，是边上的一点，请利用尺规作图法在边上求作点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 15．如图，在中，点D在边上，且满足．请找出图中的一对相似三角形，并证明． 16．项目式学习 项目主题 风筝的设计与制作 项目背景 风筝制作在中国具有悠久的历史，以竹篾扎成鸟禽状骨架，上糊以纸，称为“纸鸢”，以下是某小组开展制作风筝项目的实施过程． (1)步骤一：设计    如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，请你以轴为对称轴画出风筝骨架的另一半，并直接写出点的对称点的坐标为___________． (2)步骤二：制作      将设计与制作的风筝进行试飞，根据当天风速等实际状况试飞，发现当与比值为黄金分割比时，风筝飞的最稳，则的长应设置为___________． (3)步骤三：结论      在步骤二的条件下，风筝所需材料（四边形）的面积为___________． 17．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，和的顶点都在格点上． (1)填空： ， ， ． (2)与相似吗？请说明理由． 18．如图，在矩形中，为线段上的一个动点（点不与 两点重合），连结接，过点作交于，连结．与是否相似？并说明理由； 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C C C D B C A 1．【答案】A 【知识点】两直线平行同位角相等、两直线平行内错角相等、利用两角对应相等判定相似 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质以及相似三角形的判定，综合运用以上知识是解题的关键．由角平分线的定义和平行线性质以及已知条件，得到，，再判定相似的三角形即可． 【详解】解：∵的平分线交于点D， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴一共有4对相似三角形， 故选：A． 2．【答案】C 【知识点】勾股定理与网格问题、利用三边对应成比例判定相似 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，根据三边对应成比例的三角形相似进行求解即可． 【详解】解：连接，如图， 网格的特点可知， ∴ ∴ 故选：C． 3．【答案】C 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定方法，相似三角形的判定方法：三边成比例、两角对应相等、两边成比例，夹角相等；据此逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、∵， ∴， ∵， ∴，故该选项不符合题意； B、∵，， ∴，故该选项不符合题意； C、根据，不能判定和相似，故该选项符合题意； D、∵，， ∴，故该选项不符合题意； 故选：C． 4．【答案】C 【知识点】相似三角形的判定综合 【分析】根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案． 【详解】A. ，，两角不一定对应相等，两个三角形不一定相似； B. ，，，； 有，其夹角不一定相等，两个三角形不一定相似； C. 三边长分别为，，，故三边之比为 ∵三边之比为； ∴三边对应成比例的两个三角形相似； D.，两边对应成比例，其夹角不一定相等，两个三角形不一定相似； 故选C． 【点睛】考查相似三角形的判定定理： （1）两角对应相等的两个三角形相似． （2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似． （3）三边对应成比例的两个三角形相似． （4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． 5．【答案】D 【知识点】判断命题真假、相似图形、相似三角形的判定综合 【分析】本题考查了命题，相似多边形的判定条件，即对应角相等且对应边成比例．选项A、B、C均无法保证所有对应角相等或对应边成比例，而选项D的等腰直角三角形所有对应角都相等，且对应边成比例，因此一定相似，即可作答． 【详解】解：A、菱形的对应角不一定相等，故该选项不符合题意； B、边长相等的六边形对应角不一定相等，故该选项不符合题意； C、有一个角相等的两个等腰梯形，它们的对应角一定都相等，但对应边不一定成比例，所以不一定相似，故该选项不符合题意； D、等腰直角三角形的角均为，对应角相等，且对应边成比例，故该选项符合题意； 故选：D 6．【答案】B 【知识点】利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握三角形相似的判定定理是解题的关键. 【详解】解：选项A：有对应边成比例，缺少条件成比例的两对应边的夹角相等，即，错误，不符合题意； 选项B：有对应边成比例，且角相等的条件为夹角，正确，符合题意； 选项C：对应边成比例，但是角是同一个三角形内的角相等，错误，不符合题意 选项D：对应边成比例，但角不是给出成比例对应边的夹角，错误，不符合题意 故选：B ． 7．【答案】C 【知识点】黄金分割 【分析】由黄金分割的定义求出，再由计算即可得出结果． 【详解】解：∵点恰好是线段的黄金分割点，， ∴， ∴． 8．【答案】A 【知识点】三线合一、用勾股定理解三角形、黄金分割 【分析】本题考查了“黄金分割比”的定义、等腰三角形的性质、勾股定理的应用以及三角形的面积公式，求出和的长是解题的关键．作于点F，根据等腰三角形的性质求出的长，再根据黄金分割点的定义求出、的长度，得到中的长，利用三角形面积公式即可解题． 【详解】解：过点A作于点F，如图所示： ∵， ∴， 在，， ∵D和E是边的两个“黄金分割”点， ∴即， 解得， 同理， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 9．【答案】 【知识点】利用两角对应相等判定相似 【分析】根据是斜边上的高，于点，得，，再根据相似三角形的判定，即可． 【详解】解：∵是斜边上的高，于点， ∴，， 在和中， ∵， ∴； 在和中， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， 在和中， ， ∴； ∴图中与相似的三角形有个． 10．【答案】1 【知识点】相似三角形的判定综合 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，利用网格特点得到为，第2个图中含，然后利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断第2个图形与相似． 【详解】解：∵为，三个图形中只有第2个图中含， 且夹的两组对应边成比例， ∴与相似（不包括本身）的三角形有1个． 故答案为：1． 11．【答案】 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似、根据概率公式计算概率 【分析】本题考查了相似三角形的判定，概率等知识．利用相似三角形的判定方法依次判断可求解． 【详解】解：若，，则； 若，，则； 若，，则无法证明； 从这3张卡片中随机一次性抽取2张有3种等可能结果，其中能判断的有两种， 能判断的概率为， 故答案为：． 12．【答案】 【知识点】黄金分割 【分析】本题考查了黄金比的定义及应用，解题的关键是掌握黄金比的计算公式．先根据黄金比的定义求出相框的宽，再代入数据计算即可． 【详解】解：黄金矩形的宽与长的比值为，相框的长为米， 相框的宽为（米）． 故答案为：． 13．【答案】两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似 【知识点】利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键．①两角分别相等的两个三角形相似；②两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似；③三边成比例的两个三角形相似． 由题意可知， ，，即可根据“两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似”进行判定． 【详解】∵，，，， ∴， 即， ∵， ∴（两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似）． 故答案为：两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 14．【答案】 如图所示，即为所求． 【知识点】作垂线(尺规作图)、利用两角对应相等判定相似 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，垂线的尺规作图，过点D作的垂线，垂足为点E，则，再由，即可证明． 【详解】略 15．【答案】；证明： ∵， ∴， ∵， ∴． 【知识点】相似三角形的判定综合 【分析】根据得出，然后根据相似三角形的判定方法可得，． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键是根据得出，熟记相似三角形的判定方法． 16．【答案】(1) 解：下图即为所求： ∵与点关于轴对称， ∴坐标为； (2) (3) 【知识点】分母有理化、画轴对称图形、根据成轴对称图形的特征进行求解、黄金分割 【分析】（1）找出点关于轴对称的点，然后连接，再写出坐标即可； （2）根据题意，可知，求解即可； （3）根据三角形面积公式求得，再根据，即可求得答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵当与比值为黄金分割比， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：∵与关于轴对称， ∴， ∴， ∵， ∴风筝所需材料（四边形）的面积为． 17．【答案】(1)，， (2) 理由如下： 小正方形的边长均为1，，，，， 由可得，， ，， ． 【知识点】勾股定理与网格问题、利用三边对应成比例判定相似 【分析】本题考查勾股定理，相似三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）根据勾股定理可求出与的长，根据网格特点可求出的度数； （2）先根据勾股定理求出，，，，然后根据三边对应成比例的两个三角形相似即可解答． 【详解】（1），， 故答案为：，，； （2）略 18．【答案】．理由见解析 【知识点】利用矩形的性质证明、相似三角形的判定综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，以及等角的正切相等知识，掌握其性质定理是解决此题的关键．用，可得到和一对锐角相等，再加上一对直角相等，可证相似． 【详解】．理由如下： ， ， 四边形是矩形， ， ， 又， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $