第三章图形的相似普通用卷2026-2027学年北师大版九年级数学上册

第三章图形的相似北师大版九年级上册 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列四条线段中，成比例线段的是． A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 2.若，则的值为    ． A. B. C. D. 3.已知点将线段黄金分割，则下列各式中不正确的是(    ) A. ：： B. C. D. 4.如图，，两条直线与这三条平行线分别交于点，，和点，，，若，则的值为(    ) A. B. C. D. 5.如果，那么下列等式中，不一定成立的是(    ) A. B. C. D. 6.如图，在的方形网格中，每个小正方形的边长均为，将以点为位似中心放大后得到，则与的周长之比是(    ) A. B. C. D. 7.如图，在四边形中，，点在上，交于点若，，则的长为  (    ) A. B. C. D. 8.如图，在▱中，对角线，相交于点，为的中点，交于点F.若，则的长为(    ) A. B. C. D. 9.如图，正方形和正方形是位似图形，点的坐标为，点的坐标为，则这两个正方形位似中心的坐标是(    ) A. B. C. 或 D. 或 10.如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平桌面上，其截面可看作一个宽，长的矩形当水面触到杯口边缘时，边恰有一半露出水面，那么此时水面高度是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。 11.如果，其中，那么           ． 12.如图，点，，，，，，，，都是方格纸中的格点，为使∽，则点应是，，，四点中的          ． 13.如图，，，则          ． 14.如图，已知点，分别在的边，上，，且，若，则          ． 15.如图，一架无人机在高的点处可探测到的水平地面区域的宽度，再垂直上升，到达点处，可探测到的水平地面区域的宽度为已知，，，则        三、解答题：本题共7小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题分 已知中，、、的对边分别是、、，且． 如果的周长为，求的值； 如果的面积为，求的值． 17.本小题分 如图，点，分别在正方形的边，上，，，． 求证：． 18.本小题分 如图，在四边形中，，延长，相交于点，求证： ∽； ． 19.本小题分 如图，在四边形中，，，，延长两腰，交于点，，交于点，，求的长． 20.本小题分 如图，在中，是高，矩形的顶点，分别在，上，在上，交于点。设，，，求矩形的面积。 21.本小题分 焦裕禄纪念碑是焦裕禄纪念园的核心组成部分，位于河南省兰考县城北关的黄河故堤沙丘上，与焦裕禄烈士墓、纪念馆等建筑共同构成中轴对称的纪念性园林，旨在缅怀焦裕禄同志并弘扬其精神数学小组的同学开展了测量焦裕禄纪念碑高度的实践活动。 课题 测量焦裕禄纪念碑的高度 示意图 测量过程 步骤一：如图，小明在点处竖立了一根高为的标杆，发现地面上的点、标杆顶端和焦裕禄纪念碑顶端在一条直线上； 步骤二：小亮站在点处，调整自己眼睛的位置，当眼睛在处时，恰好看到标杆顶端和焦裕禄纪念碑底端在一条直线上 测量数据 小亮的眼睛到地面的距离。已知，点，，，在一条水平线上，图中所有点在同一平面内 根据以上实践报告，帮助该小组求出焦裕禄纪念碑的高度。 22.本小题分 如图，在中，，，点，分别是边，的中点，连接． 如图，求的值． 将绕点顺时针旋转到如图的位置时，的大小是否发生变化？若不变化，请说明理由；若发生变化，求出它的值． 如图，将绕点顺时针旋转到直线的下方，且，，在同一直线上时，求线段的长． 答案和解析 1.【答案】  【解析】略 2.【答案】  【解析】【点拨】本题考查比例的性质，利用比例的性质得出是解题的关键． ，，故选A． 3.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了黄金分割，应该识记黄金分割的公式：较短的线段原线段的倍，较长的线段原线段的倍，难度适中．根据黄金分割的定义：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比，据此判断即可． 【解答】 解：点将线段黄金分割， 是较长的线段， 根据黄金分割的定义可知：：：，，． 故C选项错误． 故选：． 4.【答案】  【解析】由，得， 可设，， 。 5.【答案】  【解析】略 6.【答案】  【解析】略 7.【答案】  【解析】略 8.【答案】  【解析】略 9.【答案】  【解析】略 10.【答案】  【解析】略 11.【答案】  【解析】略 12.【答案】  【解析】略 13.【答案】  【解析】略 14.【答案】  【解析】略 15.【答案】  【解析】解：如图，连接并延长，交于点， 则，，， ，， ，，，， ， ， ， ， ， ∽， ， 即， 解得：， ， 故答案为：． 连接并延长，交于点，则，，，再由等腰三角形的性质得出，，，，然后证∽，得出，即可得出结果． 本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的判定、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质和等腰三角形的性质是解题的关键． 16.【答案】    【解析】解：设，易得，，，  ，  解得，  所以  ，  解得，  所以；  设，易得，，，则，  是直角三角形，  的面积为，  ，解得负值舍去，  所以． 设，易得，，，然后根据三角形周长定义得到，解关于的方程求出，即可求解；  根据勾股定理的逆定理得是直角三角形，根据三角形的面积即可求解． 本题考查了比例线段：对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比即它们的长度比与另两条线段的比相等，如 ：：即，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．也考查了勾股定理的逆定理． 17.【答案】证明：，，， 四边形是正方形，，，，， ，又，．   【解析】略 18.【答案】【小题】 证明：，． ，∽． 【小题】 ∽，． ，∽．   19.【答案】解：，． 又，．，，，即，解得．   【解析】略 20.【答案】解：， 设，则。 四边形为矩形， ， 。 又， ， ，即，解得， ，， 。   【解析】略 21.【答案】解：，， 。 又， ， 。 ， ， 整理得，， 解得。 ，， 。 又， ， ， ， 。 答：焦裕禄纪念碑的高度为。   22.【答案】【小题】 解：在中，， ，  ，． 【小题】 无变化． 证明：在题图中，是的中位线，   ，． 如题图中，在旋转过程中形状大小不变，仍然成立． 又，∽，． 由可知， ，的大小不变． 【小题】 当在下方，且，，三点共线时，为直角三角形， 如图中，由勾股定理可得． 又，，．   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $