第3章 实数 单元讲练测-2026-2027学年浙教版七年级数学上册

第3章 实数 单元讲练测 浙教版《数学》七年级上册（2024年新版）· 3.1-3.4 · 配单元综合检测卷（满分100分） 单元导航 【本章地位】 本章是数系的第二次扩充——从有理数扩充到实数。在学习了有理数及其运算之后，通过“开平方”引入平方根、算术平方根，通过“开立方”引入立方根，并由此发现无理数的存在，最终建立实数概念，完成“实数与数轴上的点一一对应”的认识。平方根与算术平方根是后续学习二次根式、勾股定理、一元二次方程的基础；实数的运算则是整个初中代数运算的收口。 【学习目标】 1. 了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示一个数的平方根、算术平方根和立方根；知道开平方与平方、开立方与立方互为逆运算。 2. 了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应；能对实数进行简单分类，会判断一个数是有理数还是无理数。 3. 会用平方运算求某些非负数的平方根与算术平方根，会用立方运算求某些数的立方根；能估算一个无理数的大致范围。 4. 了解有理数的运算法则和运算律在实数范围内同样适用，会进行简单的实数运算，会用计算器求平方根、立方根并按要求取近似值。 5. 能运用实数知识解决与面积、体积、数轴相关的简单实际问题。 【重难点提示】（依据浙教版教材七上第3章正文与教学目标整理） 重点：平方根与算术平方根的概念及求法；立方根的概念及求法；无理数与实数的概念；实数的运算顺序。 难点：平方根与算术平方根的区别（一个正数有两个平方根，但只有一个算术平方根）；负数没有平方根但负数有立方根；无理数的识别与估算；实数运算中“先乘方开方、再乘除、最后加减”的顺序以及近似值的取舍。 第一部分 知识梳理 一、3.1 平方根 一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫作 a 的平方根（square root），也叫作 a 的二次方根。 平方根的定义 关于数的平方根，我们有以下事实： ① 一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数； ② 零的平方根是零； ③ 负数没有平方根。 一个正数 a 的正平方根用“”表示（读作“根号 a”）；a 的负平方根用“”表示（读作“负根号 a”）；因此一个正数 a 的平方根就用“”表示（读作“正、负根号 a”），其中 a 叫作被开方数。 正数的正平方根称为算术平方根，0 的算术平方根是 0。一个数 a（a ≥ 0）的算术平方根记作“”。 求一个数的平方根的运算叫作开平方。开平方是平方运算的逆运算，因此可以运用平方运算求一个数的平方根。 面积为 1.44 m² 的正方形，边长为 1.2 m 二、3.2 从有理数到实数 有理数是有限小数与无限循环小数的统称（整数可看作小数部分为零的有限小数）。 像 这种无限不循环小数叫作无理数（irrational number）。无理数广泛存在，例如 、，以及 1.010 010 001…（两个“1”之间依次多一个“0”）这样有规律但不循环的小数。 有理数和无理数统称实数（real number）。实数可作如下分类： 实数分为有理数与无理数；有理数分为正有理数、零、负有理数（有限小数和无限循环小数）；无理数分为正无理数与负无理数（无限不循环小数）。 在实数范围内，每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。我们说实数和数轴上的点一一对应。 把数从有理数扩充到实数以后，有理数中的相反数和绝对值的概念同样适用。例如 与 互为相反数。有理数的大小比较法则也适用于实数：在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大。 边长为 1 的正方形，其对角线长为 √2，可把它准确地表示在数轴上 三、3.3 立方根 一般地，一个数的立方等于 a，这个数就叫作 a 的立方根（cube root），也叫作 a 的三次方根，记作 。其中 a 是被开方数，3 是根指数，符号“”读作“三次根号”。 （注意：立方根的根指数 3 不能省略，要写在根号的左上角。） 求一个数的立方根的运算叫作开立方。开立方是立方运算的逆运算，可以运用立方运算求一个数的立方根。 与平方根不同：正数、负数、0 都有立方根；正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0 的立方根是 0。 体积为 8 cm³ 的立方体，棱长为 2 cm 四、3.4 实数的运算 实数运算的顺序是：先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减。若遇到括号，则先进行括号里的运算。 数从有理数扩展到实数后，有理数的运算法则和运算律在实数范围内同样适用。 我们同样可以用计算器进行实数的运算。近似计算时，按题目的要求将用计算器算得的结果取近似值。 第二部分 分节精讲 一、3.1 平方根 例1　求下列各数的平方根： （1）9；（2）；（3）0.36；（4）。 【分析】求一个数的平方根，就是找出平方等于这个数的所有数，可逆向运用平方运算。 【解答】（1）因为 ，，所以 9 的平方根是 ±3，即 。 （2）因为 ，所以 的平方根是 ，即 。 （3）因为 ，所以 0.36 的平方根是 ±0.6，即 。 （4）因为 ，所以 的平方根是 ，即 。 【点拨】正数有两个平方根且互为相反数，书写时不要漏掉负的那个。 例2　先说出下列各式的意义，再计算： （1）；（2）；（3）。 【分析】“”表示 a 的平方根，“”表示 a 的算术平方根，“”表示 a 的负平方根。 【解答】（1） 表示 的平方根，。 （2） 表示 225 的算术平方根，。 （3） 表示 的负平方根，。 【点拨】辨析三种符号是本节最容易出错的地方：（a ≥ 0）只表示算术平方根，结果非负。 例3　下列各数有没有平方根？如果有，求出它的算术平方根；如果没有，请说明理由： 100，，0.09，−0.36，0。 【分析】按“正数有两个平方根、零的平方根是零、负数没有平方根”逐项判断。 【解答】100 有平方根，算术平方根为 ； 有平方根，算术平方根为 ； 0.09 有平方根，算术平方根为 ； −0.36 没有平方根，因为负数没有平方根； 0 有平方根，0 的算术平方根是 0。 【点拨】“负数没有平方根”是判断型填空题的高频考点，与“负数有立方根”对比记忆。 二、3.2 从有理数到实数 例4　下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ ，，，0，，1.010 010 001…（两个“1”之间依次多一个“0”）。 【分析】有理数包括整数与分数（有限小数和无限循环小数）；无理数是无限不循环小数。注意带根号的数要先化简再判断。 【解答】有理数：，0，； 无理数：，，1.010 010 001…（两个“1”之间依次多一个“0”）。 【点拨】“带根号就是无理数”是典型误区—— 是有理数；反之 是分数，属于有理数，不要与 π 混淆。 例5　把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小（用“＜”连接）： ，，1.5，。 【分析】对于 −π、−√3 等无理数，可取适当的近似值，把它们近似地表示在数轴上，如取 −π ≈ −3.1，−√3 ≈ −1.7。 例5 图：把四个实数表示在数轴上 【解答】所以 −π ＜ −√3 ＜ 1.5 ＜ 。 【点拨】实数大小比较仍遵循“数轴上右边的数总比左边的数大”，比较前先把能化简的（如 、）化出来。 例6　估计 √2 的十分位：√2 在哪两个相差 0.1 的数之间？ 【分析】用“夹逼法”：找两个一位小数，使其平方分别小于和大于 2。 【解答】因为 ，，所以 1.4 ＜ √2 ＜ 1.5，即 √2 的十分位是 4。 继续用同样的方法可得 1.41 ＜ √2 ＜ 1.42，1.414 ＜ √2 ＜ 1.415，……如此可以得到一系列越来越接近 √2 的近似值。 例6 图：1.4＜√2＜1.5 的夹逼过程 【点拨】估算无理数是本章热点题型：把被开方数夹在两个相邻完全平方数之间，再开方即可。 三、3.3 立方根 例7　求下列各数的立方根： （1）27；（2）−27；（3）；（4）−0.064；（5）0。 【分析】求立方根就是逆向运用立方运算：找立方等于该数的数。 【解答】（1）因为 ，所以 27 的立方根是 3，即 。 （2）因为 ，所以 −27 的立方根是 −3，即 。 （3）因为 ，所以 的立方根是 ，即 。 （4）因为 ，所以 −0.064 的立方根是 −0.4，即 。 （5）因为 ，所以 0 的立方根是 0，即 。 【点拨】立方根与被开方数同号；根指数 3 必须写在根号左上角，不能省略。 例8　求下列各式的值： （1）；（2）；（3）。 【分析】先把被开方数写成某个数的立方，再开立方。 【解答】（1）； （2）； （3）。 【点拨】小数与分数的立方根要先“想立方”：，。 四、3.4 实数的运算 例9　计算：2×(3 + √5) + 4 − 2×√5。 【分析】按运算顺序，先算括号；可用分配律展开后合并含 √5 的项。 【解答】 【点拨】含无理数的混合运算同样满足运算律，可像合并同类项一样合并同类无理数项。 例10　用计算器计算：（1）√8 − ∛7（精确到 0.01）；（2）3π − 2×(4 + √3)（精确到 0.01）。 【分析】先用计算器求出各根式与 π 的近似值，再按运算顺序计算，最后按要求取近似值。 【解答】（1），，所以 。 （2），， 。 【点拨】近似计算时中间结果要多保留一位，最后一步再按要求取近似值，避免误差累积。 第三部分 分层训练 说明：本部分题目全部选自杭州市各校七年级（上）期中数学真题（2024-2025、2025-2026 学年），按 3.1—3.4 分节编排，答案见第五部分。 一、3.1 平方根 1.（4分）9 的平方根是　　　　　　　　。 2.（4分）面积为 6 的正方形，其边长为　　　　　　　　。 3.（4分）“ 的平方根是 ”，用数学式子表达为（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 二、3.2 从有理数到实数 4.（4分）下列四个数中，无理数是（　　） A. −0.101001　　B. 　　C. 3.14　　D. 5.（4分） 的值在（　　） A. 2 到 3 之间　　B. 3 到 4 之间　　C. 4 到 5 之间　　D. 5 到 6 之间 6.（4分）若 ，则 = 　　　　　　　　。 7.（10分）把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小（用“＜”连接）：−3，0，|−2|，，。 三、3.3 立方根 8.（4分）下列计算结果正确的是（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 9.（10分）计算：。 10.（4分）设 a、b 都是有理数，规定 ，，则 = 　　　　　　　　。 四、3.4 实数的运算 11.（10分）计算：。 12.（10分）计算：。 13.（10分）计算：。 第四部分 单元综合检测卷 （满分：100分　建议用时：90分钟） 一、选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.（5分）下列四个数：−3.14，−0.5，， 中，属于无理数的是（　　） A. −3.14　　B. −0.5　　C. 　　D. 2.（5分）估计 的大致范围为（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 3.（5分）下列说法中： ① 立方根等于本身的是 −1、0、1；② 的算术平方根是 4；③ 两个无理数的和一定是无理数；④ 实数与数轴上的点是一一对应的；⑤ 是负分数；⑥ 3.40 万是精确到百位的近似数。其中正确的个数是（　　） A．2 个　　B．3 个　　C．4 个　　D．5 个 4.（5分）如图，在数轴上以单位长度为边长画一个正方形，以表示 1 的点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，与数轴交于 A，B 两点，则点 A 所表示的数为（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 第4题图 二、填空题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分） 5.（6分）已知 M 是满足不等式 的所有整数的和，N 是 的整数部分，则 M + N 的平方根为 　　　　　　　　。 6.（6分）计算： = 　　　　　　　　。 7.（6分）计算： = 　　　　　　　　。 三、解答题（本大题共 3 小题，共 62 分。解答应写出必要的文字说明或演算步骤） 8.（20分）（本题 20 分）将下列各数近似地表示在数轴上，并把它们按从小到大的顺序排列，用“＜”连接：，，，。 9.（20分）（本题 20 分）阅读下面的文字，解答问题。 如果无理数 x 满足 m ＜ x ＜ m + 1（其中 m 是整数），那么称（m，m + 1）为无理数 x 的“相邻区间”。例如：因为 ，所以 ，所以称（1，2）为 的“相邻区间”。 请解答下列问题： （1）求无理数 的“相邻区间”； （2）已知 的“相邻区间”是（m，m + 1），且 ，求 a 的值； （3）已知 y 是正整数，若 ，求 y 的值。 10.（22分）（本题 22 分）如图（1），在 4×4 的方格中，每个小正方形的边长为 1。 第10题图（1） （1）求图（1）中正方形 ABCD 的面积； （2）如图（2），若点 A 在数轴上表示的数是 −1，以 A 为圆心，AD 为半径画圆弧与数轴的正半轴交于点 E，则点 E 所表示的数是多少？ 第10题图（2） 第五部分 参考答案 （以下答案均取自各真题原卷自带的参考答案与试题解析） 一、3.1 平方根 1. ±3　　（9 的平方根是 ） 2. 　　（正方形面积为 6，边长为 ） 3. C　　（“ 的平方根是 ”表示为 ） 二、3.2 从有理数到实数 4. B　　（−0.101001、3.14 是有限小数， 是分数，它们都不是无理数； 是无限不循环小数，是无理数） 5. C　　（因为 ，所以 ） 6. −8　　（由 得 a = 3，b = −2，所以 ） 7. ＜ −3 ＜ 0 ＜ ＜ |−2|　　（，，|−2| = 2） 三、3.3 立方根 8. A　　（B 应为 ；C 应为 ；D 应为 ） 9. −1　　（） 10. −3　　（，） 四、3.4 实数的运算 11. 　　（原式 = ） 12. 7　　（原式 = ） 13. 1　　（原式 = ） 单元综合检测卷 一、选择题：1. D　　2. B　　3. B　　4. C （第 2 题：，即 ，所以 ；第 3 题：正确的是①④⑥，共 3 个；第 4 题：对角线长为 ，点 A 在 1 的左侧，表示 ） 二、填空题：5. ±3　　6. −2　　7. （第 5 题：满足不等式的整数为 −1，0，1，2，3，M = 5；，N = 4；M + N = 9，9 的平方根为 ±3。第 6 题：。第 7 题：） 三、解答题： 　（因为 ，） 9.（1）（2，3）；（2）a = ；（3）y = 3。 （2）由 得 ，所以 m = 2，由 得 ；（3）因为 ，所以 y = 3） 10.（1）10；（2）点 E 表示的数是 。 （正方形 ABCD 的边长为 ，面积为 ；AE = AD = ，点 E 在 −1 的右边，故表示 ） / 学科网（北京）股份有限公司 $