第3章 实数（高效培优单元自测·强化卷）数学新教材浙教版七年级上册

第3章 实数（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列各数是无理数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据无理数、有理数的定义即可判断． 【详解】解：A、是分数，是有理数，故选项不符合题意； B、是无限不循环小数，是无理数，故选项符合题意； C、是有限小数，是有理数，故选项不符合题意； D、是整数，是有理数，故选项不符合题意． 2．下列说法正确的是（    ） A．两个无理数的和一定是无理数 ； B．是分数； C．1和2之间的无理数只有 ； D．2是4的一个平方根． 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的定义与实数的运算，平方根的定义，实数与数轴．举反例可判断A，根据无理数的定义可判断B，根据实数与数轴的关系可判断C，根据平方根的含义可判断D． 【详解】解：A、反例：如和均为无理数，其和为，原说法错误，故本选项不符合题意； B、不是分数，是无理数，原说法错误，故本选项不符合题意； C、1和2之间的无理数有无数个，原说法错误，故本选项不符合题意； D、2是4的一个平方根，正确，故本选项符合题意． 故选：D． 3．如图，数轴上点N表示的数可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先估算所给选项中的实数范围，再根据数轴上点N表示的数的范围即可解答． 【详解】解：∵，，，， ∴数轴上点N表示的数可能是． 4．下列各式中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】注意算术平方根仅取非负值，带分数开方需先化为假分数，立方根符号与被开方数一致． 【详解】解：∵表示16的算术平方根，结果为4， ∴A选项错误． ∵， ∴B选项错误． ∵， ∴C选项错误． ∵， ∴，D选项正确． 5．已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，则这个正数是（     ） A．25 B．5 C． D．2 【答案】A 【分析】一个正数的两个不同平方根互为相反数，利用这一性质先求出a的值，再计算得到这个正数即可． 【详解】∵一个正数的两个不同平方根互为相反数， ∴， 解得 ， 把代入得，两个平方根分别为和， ∴这个正数为． 6．已知的整数部分为，小数部分为，则代数式的值为（     ）． A． B． C． D．6 【答案】A 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ， ． 7．已知，，，则（     ） A．27.76 B．12.89 C．59.81 D．5.981 【答案】B 【分析】被开立方的数的小数点每向右移动三位，那么开立方的结果的小数点向右移动一位，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴． 8．如图，把两个边长为1的小正方形沿对角线（图中虚线）剪开，得到4个完全一样的直角三角形，将这4个直角三角形拼成一个大正方形，估计这个大正方形的边长应在（     ） A．0和0.5之间 B．0.5和1之间 C．1和1.5之间 D．1.5和2之间 【答案】C 【分析】计算出大正方形的面积，从而得出大正方形的边长，再进一步估算即可． 【详解】解：∵两个小正方形的面积都为1， ∴大正方形的面积为2， ∴大正方形的边长为， ∵， ∴． 9．实数，在数轴上的位置如图，则化简的结果是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的运算，根据数轴可得，则，据此计算算术平方根和绝对值，再根据整式的加减计算法则求解即可． 【详解】解：由数轴可得， ∴， ∴， 故选：A． 10．若实数满足，则（   ） A．都是有理数 B．都是无理数 C．的结果必定为无理数 D．的结果可能为有理数 【答案】D 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握实数的运算法则是解答本题的关键．通过反例验证选项，利用实数的运算性质判断． 【详解】解：∵（无理数）， ∴ 若a和b都是有理数，则应为有理数，矛盾，故 A 错误； 取（有理数），则（无理数），a和b不都是无理数，故 B 错误； 取（无理数），则（有理数），故 C 错误； ∴可能为有理数，故 D 正确． 故选：D． 2、 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．25的算术平方根是________，的立方根是________． 【答案】 【分析】根据算术平方根和立方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴25的算术平方根是5，的立方根是． 12．比较大小：_____3．（选填“”“”或“”） 【答案】 【分析】两个正数比较大小，可将两数分别平方，通过比较平方结果的大小得到原数的大小关系． 【详解】解： ，，且 ，， ∵， ∴． 13．的绝对值是_________；的相反数是_________． 【答案】 【分析】根据绝对值和相反数的定义计算即可． 【详解】解：由题意得，的绝对值为； 的相反数为． 14．若，且是两个连续的整数，则的值为______________． 【答案】7 【分析】先估算出的取值范围，确定和的值，即可计算得到的值． 【详解】解：，，且， ，即， 又，且，是两个连续的整数， ，， ． 15．若实数 、 满足 ，则的值是___________． 【答案】 【分析】根据算术平方根的非负性和平方的非负性，求出，的值，再计算 即可． 【详解】解：，，且， ， ， ． 16．若规定用符号表示一个实数的整数部分，例如：，，按此规定：____． 【答案】 【分析】先估算出的取值范围，再推导的取值范围，最后根据题目规定的的定义求出结果． 【详解】解：，， ， 不等式两边同时减，得 ， 根据表示实数的整数部分的定义，可得． 三、解答题（本题共8小题，第17-21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题12分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．将下列各数填在相应的集合里． ，，3.1415926，，3.030030003…（每相邻两个3之间依次多1个0），0，，，， 有理数集合：{         …}； 无理数集合：{         …}； 正实数集合：{         …}； 整数集合：{           …}． 【答案】，3.1415926，，0，，； ，3.030030003…（每相邻两个3之间依次多1个0），，； ，，3.1415926，3.030030003…（每相邻两个3之间依次多1个0），，，； ，0， 【分析】实数可以分为有理数和无理数，无限不循环小数称之为无理数，除了无限不循环小数以外的数统称有理数；正整数、0、负整数统称为整数；正实数是大于0的所有实数，由此即可求解． 【详解】解：，， 根据定义知：有理数有：，3.1415926，，0，，； 无理数有：，3.030030003…（每相邻两个3之间依次多1个0），，； 正实数有：，，3.1415926，3.030030003…（每相邻两个3之间依次多1个0），，，； 整数有：，0，． 19．已知一正数的平方根是与，的立方根是，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用正数的两个平方根互为相反数的性质求出的值，再根据立方根的定义求出的值，通过估算无理数的大小得到它的整数部分； （2）计算并求它的平方根． 【详解】（1）解 ∵一个正数的两个平方根互为相反数，和为0 ∴ 整理得， 解得 ∵的立方根是3 把代入得，解得 ∵， 可得 由题意可知是的整数部分， 因此 （2） ∵ ∴的平方根是 即的平方根为． 20．如图，一只瓢虫从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点表示的数为．设点表示的数为． (1)实数的值为______； (2)数轴上还有，两点分别表示实数和，且与互为相反数．求的算术平方根． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题综合考查数轴上点的移动规律、绝对值与算术平方根的非负性、相反数的定义及算术平方根的计算．解题关键是利用“非负数和为0则各非负数均为0”求出和，再逐步完成后续计算． （1）利用数轴上点向右移动时数值的变化规律（原数加移动单位长度）来确定的值； （2）先依据绝对值与算术平方根的非负性及相反数的性质求出和，再代入计算并求其算术平方根． 【详解】（1）解：因为瓢虫从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点表示的数为， 所以点表示的数为， 故答案为：； （2）解：因为与互为相反数， 所以， 即， 解得． 所以， 故的算术平方根为2． 21．我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完全数组”．这些算术平方根称为“完全子集”．例如：，，这三个数，，，，其结果，，都是整数，所以，，这三个数是“完全数组”，而，，称为“完全子集”． (1)，，这三个数是“完全数组”吗？请说明理由． (2)若，，这三个数是“完全数组”，且“完全子集”中有一个数为，求的值． 【答案】(1)解：是，理由如下： ， ， ， ∵其结果、、都为整数， ，，这三个数是“完全数组” (2)的值为或 【分析】（1）根据题中所给新定义进行求解即可； （2）根据题意可分当和，进而分类进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵“完全子集”中有一个数为， ∴当， 解得， 当， 解得， 经检验，或时均符合题意， 综上，的值为或． 22．【观察思考】观察下列各式的计算结果，探索规律． ①，； ②，； ③，； 【规律发现】 (1)计算：________；________； (2)用字母表示你发现的规律________； (3)【规律应用】根据上述规律可以对一些式子进行化简，例：．请你试着化简下面各式：________；________． 【答案】(1) ； (2) 当，时， (3) ； 【分析】（1）根据各式的计算过程及结果，运用探索得到的规律计算即可； （2）根据各式的计算过程及结果，得到规律即可； （3）根据得到的规律及给出的例题形式依次化简各式即可． 【详解】（1）解：根据规律可知；； （2）解：根据下列各式的计算结果： ①，； ②，； ③，； 发现，当，时，； （3）解：；． 23．如图是一块正方形纸片． (1)如图1，若正方形纸片的面积为，则此正方形的边长的长为 ，对角线AC的长为 ． (2)如图2，若正方形的面积为，李明同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长和宽之比为，他能裁出吗？请说明理由． (3)若一圆的面积与这个正方形的面积都是，设圆的周长为，正方形的周长为，试比较与的大小． 【答案】(1)3， (2)解：不能裁出长和宽之比为的长方形，理由如下： 设裁出的长方形的长为，宽为，由题意得： ，解得或（不合题意，舍去）， ∴长为，宽为 ∵正方形的面积为， ∴正方形的边长为， ∵ ∴不能裁出长和宽之比为的长方形． (3) 【分析】（1）根据算术平方根可求得正方形的边长，再利用正方形的面积等于对角线积的一半求对角线即可； （2）设裁出的长方形的长为，宽为，再利用长方形的面积求得，即长方形的长为；再求出正方形的边长，然后再比较即可解答； （3）先求出圆的半径和正方形的边长，然后再分别求出周长比较即可． 【详解】（1）解：∵正方形纸片的面积为， ∴； ∵正方形的面积也等于对角线对角线，， ∴，解得：． （2）略． （3）解：∵圆的面积与这个正方形的面积都是， ∴圆的半径为，正方形的边长为， ∴，， ∵， ∴． 24．探究以下问题： (1)【特例探究】 ________，________，________； (2)【规律总结】 对于实数，当时，________，当时，________； (3)【学以致用】 计算：． 【答案】(1)6；0；3； (2)；； (3) 【分析】（1）根据算术平方根的性质即可求出各数的值； （2）根据正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数，求解即可； （3）运用（2）得出的规律进行运算即可． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：由题意得，当时，； 当时，； （3）解：∵，，，……，， ∴ ． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第3章实数（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) 1.下列各数是无理数的是() A.3 B. C._0.7 D.4 2.下列说法正确的是() 5 A.两个无理数的和一定是无理数： B.2是分数： C.1和2之间的无理数只有√2： D.2是4的一个平方根. 3.如图，数轴上点N表示的数可能是() 543-2-1012345式 A.② B.3 Cv今 D.vio 4.下列各式中正确的是() A.V16=4 c.-4)=4 D.64=4 5.已知一个正数的两个不同的平方根分别是2a+1和3-4a,则这个正数是() A.25 B.5 C.-5 D.2 6,已知v1 的整数部分为，小数部分为，则代数式Q-b的值为(). A.6-3 B.6+V3 c.3-6 D.6 0.214≈0.598132.14≈1.28921.4≈2.77 7.已知 ,则2140≈() A.27.76 B.12.89 C.59.81 D.5.981 8.如图，把两个边长为1的小正方形沿对角线（图中虚线）剪开，得到4个完全一样的直角三角形，将这 4个直角三角形拼成一个大正方形，估计这个大正方形的边长应在() 115 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.0和0.5之间 B.0.5和1之间 C.1和1.5之间 D.1.5和2之间 ).实数a,b在数精上的位置如图，则化简V匠+F-口-h的结果是《) a b -3-2-10123451 A.0 B.-2a C.26 D.-2a+2b 10.若实数b满足 a+b=5-2 ,则() A.a,b都是有理数 B.a,b都是无理数 C.a-b的结果必定为无理数 D.a-b的结果可能为有理数 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分.） 11.25的算术平方根是 -27的立方根是 √7 12.比较大小： 3 。(选填“>”“<”或“=”) 13.V 的绝对值是 1-5 的相反数是 14,若a<36<b,且4，b是两个连续的整数，则4+b的值为】 15.若实数x、y满足-2+-4=0，则+y的值是 16,若规定用符号冈表示一个实数的整数部分，例如：[B.3-3.[可]1，拉此想定.[店-刂 三、解答题（本题共8小题，第17-21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题12分，共72分，解答 应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.计算： a(4}-5-2--3y; (2(x-4°=-27 215 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 18.将下列各数填在相应的集合里。 5 364,元，3.1415926，-0.456,3.030030003…（每相邻两个3之间依次多1个0），0,1斤，-39， -7},0. 有理数集合：{ …} 无理数集合：{ …}； 正实数集合：{ …} 整数集合：{ …}. 19、已知一亚激的平方根是+1与-川，5a+2动的立方根是3.‘是而 的整数部分. (1)求a,b,c的值： (2)求a+b+c的平方根.。 20,如图，一只瓢虫从点M沿数轴向右爬了2个单位长度到达点W,点M表示的数”为5 设点N表 示的数为n, -2M-1 0N12→ (I)实数n的值为一： (②数轴上还有P,2两点分别表示实数P和9，且2p+4与g- 互为相反数.求+p+9的算术平方 根。 21.我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数， 则称这三个数为“完全数组”，这些算术平方根称为“完全子集”.例如：-2，-8，-18这三个数， V-2)×(-8=4,-2)×-18)=6,V-8)×(I18)=12,其结果4,6,12都是整数，所以-2，-8， -18这三个数是“完全数组”，而4,6,12称为“完全子集”. (1)-9,-1,4这三个数是“完全数组”吗？请说明理由. (2)若4，a,-l6这三个数是“完全数组”，且“完全子集”中有一个数为12，求的值. 22.【观察思考】观察下列各式的计算结果，探索规律. 04x9=6.V4xV9=6 315 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 V16×25=20V16×√25=20 ② ③V36x49=42V36x4=42 【规律发现】 V9×25= 100×121= (1)计算： (2)用字母表示你发现的规律 一； ③)【规律应用】根据上述规律可以对一些式子进行化简，例：V27=9x3=V9×V3=35 请你试着化 V⑧= 18= 简下面各式： 23.如图是一块正方形纸片. D A D B 图1 图2 (1)如图1，若正方形纸片的面积为9dm2,则此正方形的边长BC的长为dm,对角线AC的长为dm. (2)如图2，若正方形的面积为64cm2,李明同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面积为48cm2的长方形 纸片，使它的长和宽之比为3：2，他能裁出吗？请说明理由. (③)若一圆的同积与这个正方形的面积都是4am,设圆的周长为S,正方形的周长为C气，试比较 Ce C年的大小 24.探究以下问题： (1)【特例探究】 V6= V0= (2)【规律总结】 对于实数0，当a≥0时，V匠- 当a<0时，匠- 4/5 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)【学以致用】 G-可G+如 5/5 第3章 实数（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C D A A B C A D 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11． 12． 13． 14．7 15． 16． 三、解答题（本题共8小题，第17-21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题12分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17． 【详解】（1）解： ；.............4分 （2）解： ．.............8分 18． 【详解】解：，， 根据定义知：有理数有：，3.1415926，，0，，；.............2分 无理数有：，3.030030003…（每相邻两个3之间依次多1个0），，；.............4分 正实数有：，，3.1415926，3.030030003…（每相邻两个3之间依次多1个0），，，；...6分 整数有：，0，．.............8分 19． 【详解】（1）解 ∵一个正数的两个平方根互为相反数，和为0 ∴ 整理得， 解得 ∵的立方根是3 把代入得，解得 ∵， 可得 由题意可知是的整数部分， 因此.............4分 （2） ∵ ∴的平方根是 即的平方根为．.............8分 20． 【详解】（1）解：因为瓢虫从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点表示的数为， 所以点表示的数为， 故答案为：；.............3分 （2）解：因为与互为相反数， 所以， 即， 解得． 所以， 故的算术平方根为2．.............8分 21．(1)解：是，理由如下： ， ， ， ∵其结果、、都为整数， ，，这三个数是“完全数组”.............4分 （2）解：∵“完全子集”中有一个数为， ∴当， 解得， 当， 解得， 经检验，或时均符合题意， 综上，的值为或．.............8分 22． 【详解】（1）解：根据规律可知；；.............3分 （2）解：根据下列各式的计算结果： ①，； ②，； ③，； 发现，当，时，；.............7分 （3）解：；．.............10分 23． 【详解】（1）解：∵正方形纸片的面积为， ∴； ∵正方形的面积也等于对角线对角线，， ∴，解得：．.............3分 (2)解：不能裁出长和宽之比为的长方形，理由如下： 设裁出的长方形的长为，宽为，由题意得： ，解得或（不合题意，舍去）， ∴长为，宽为 ∵正方形的面积为， ∴正方形的边长为， ∵ ∴不能裁出长和宽之比为的长方形．.............6分 （3）解：∵圆的面积与这个正方形的面积都是， ∴圆的半径为，正方形的边长为， ∴，， ∵， ∴．.............10分 24． 【详解】（1）解：由题意得，；.............3分 （2）解：由题意得，当时，； 当时，；.............7分 （3）解：∵，，，……，， ∴ ．.............12分 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $