第3章 实数 单元测试2026—2027 学年浙教版数学七年级上册

**基本信息** 第3章实数单元测试，总分120分，覆盖无理数、平方根、立方根等核心知识，通过基础题、探究题、实际应用题梯度设计，培养抽象能力、运算能力与推理意识，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|10/30|无理数识别、平方根运算、立方根性质、数轴表示|基础概念辨析，结合符号意识考查| |填空题|6/18|相反数、实数运算、大小比较、非负性应用|简洁考查运算能力，注重细节| |解答题|8/72|实数计算、数轴化简、立方根应用（魔方）、类比探究（四次方根）、数学史素材（华罗庚求立方根）|分层设计，含实际应用与创新探究，培养推理能力与应用意识|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 第3章 实数 单元测试 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．在下列实数中，属于无理数的是（     ） A． B．0 C． D． 2．下列算式中正确的是（     ） A． B． C． D． 3．若将一个正方体的体积扩大为原来的64倍，则它的棱长变为原来的（     ） A．4倍 B．8倍 C．12倍 D．倍 4．一个正数的两个平方根为，，则这个正数是多少（    ） A．1 B．4 C．9 D．16 5．边长是的正方形面积是6，如图，表示的点在数轴上位于哪两个字母之间（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 6．介于两个相邻的整数之间，下列判断正确的是（     ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 7．化简结果为（     ） A． B． C． D．1 8．利用计算器计算出的各数的算术平方根如下： … … … 11 110 … 根据以上规律，若，，则（     ） A． B． C． D． 9．按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（     ） A． B． C． D． 10．对于一个正实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数表示不大于的最大整数），称为的根整数，如：，．如果我们对连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对连续求根整数2次，，这时候结果为．现有如下四种说法： ①； ②： ③若方程，则满足条件的的整数值有3个； ④进行3次连续求根整数运算后，结果为1的所有正整数中，最大值与最小值之差为239． 其中说法不正确的有（　　） A．① B．② C．③ D．④ 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．实数的相反数是_________． 12．计算：_____． 13．比较大小：________（填“”、“”或“”号） 14．已知实数和满足，则的值为__________． 15．如图，长方形内两个正方形的面积分别为，，图中两块阴影部分的面积和为__________． 16．若实数a，b同时满足，，则的值为_____． 三、解答题：本题共8小题，共72分. 17．（8分）计算： (1)； (2)解方程． 18．（6分）已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，那么化简的结果． 19．（8分）已知的立方根是，的算术平方根是3，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值． (2)求的平方根． 20．（8分）如图，由8个同样大小的正方体组成一个“2阶魔方”，整个魔方的体积为8． (1)求这个魔方的棱长； (2)图①中阴影部分是一个正方形，它的面积是魔方侧面面积的一半，求正方形的边长． (3)把正方形放到数轴上，如图②，使得点D与重合，那么点A在数轴上表示的数为 ． 21．（10分）如图1，探究：把两个面积为的小正方形沿着虚线剪开，将所得的四个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为的大正方形，因此，可得大正方形的边长为．启发：把两个长为3、宽为2的长方形沿着虚线剪开，将所得的四个直角三角形拼成如图2所示的一个正方形． (1)求的值； (2)比较和的大小． 22．（10分）类比探究：小红同学在学习完平方根（二次方根）、立方根（三次方根）的知识后，想要类比探究四次方根、五次方根的相关知识： 若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根； 若，则叫的四次方根，记作，例如：16的四次方根记为． 请认真阅读上面的材料，回答下列问题： (1)①类似地，若_______________，则叫的五次方根，记作_______________； ②32的五次方根为_______________； (2)若，则_______________； (3)求的值：． 23．（10分）根据题意解答下列问题 阅读与理解 素材 素材背景 数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人感觉十分惊奇，请华罗庚给大家解读其中的奥秘． 步骤一 ，，， ． ∴能确定59319的立方根是个两位数． 步骤二 ∵59319的个位数是9，， ∴能确定59319的立方根的个位上的数是9． 步骤三 如果划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得．由此能确定59319的立方根的十位上的数是3． 因此59319的立方根是39． 思路分析：仿照素材的解题步骤：先求位数，再求个位，接着求十位……以此推算即可．（参考数据：，，，，，，，，） (1)任务1：问题解决，方法迁移，已知195112是一个整数的立方，按上述方法求它的立方根，请完成下列填空． ①它的立方根是____________位数； ②它的立方根的十位上的数是____________； (2)任务2：解决问题，已知110592是一个整数的立方，按照上述方法求出它的立方根． 24．（12分）小李同学探索的近似值的过程步骤如下： 步骤（1）：∵面积为137的正方形的边长是，估计在两个正整数之间，即①②， ∴可将表示为整数部分加上小数部分的形式，即③，其中， 步骤（2）：画出示意图，如图所示． 可得图中正方形的面积④．（要求：用含x的二次三项式表示） 又∵，∴④． 步骤（3）：当时，可忽略不计的值，得⑤，得到， 步骤（4）：∴． (1)请仔细阅读以上探究过程，根据上下文和图示，在横线处按序号①、②、③、④、⑤依次填写对应内容．（注：两处序号④填写内容相同．） ①______；②______；③______；④______；⑤______． (2)结合上述具体实例，已知非负整数a，b，m，若，且，求的近似值．（用含有a，b的式子表示） 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 实数 单元测试 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．在下列实数中，属于无理数的是（     ） A． B．0 C． D． 2．下列算式中正确的是（     ） A． B． C． D． 3．若将一个正方体的体积扩大为原来的64倍，则它的棱长变为原来的（     ） A．4倍 B．8倍 C．12倍 D．倍 4．一个正数的两个平方根为，，则这个正数是多少（    ） A．1 B．4 C．9 D．16 5．边长是的正方形面积是6，如图，表示的点在数轴上位于哪两个字母之间（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 6．介于两个相邻的整数之间，下列判断正确的是（     ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 7．化简结果为（     ） A． B． C． D．1 8．利用计算器计算出的各数的算术平方根如下： … … … 11 110 … 根据以上规律，若，，则（     ） A． B． C． D． 9．按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（     ） A． B． C． D． 10．对于一个正实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数表示不大于的最大整数），称为的根整数，如：，．如果我们对连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对连续求根整数2次，，这时候结果为．现有如下四种说法： ①； ②： ③若方程，则满足条件的的整数值有3个； ④进行3次连续求根整数运算后，结果为1的所有正整数中，最大值与最小值之差为239． 其中说法不正确的有（　　） A．① B．② C．③ D．④ 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．实数的相反数是_________． 12．计算：_____． 13．比较大小：________（填“”、“”或“”号） 14．已知实数和满足，则的值为__________． 15．如图，长方形内两个正方形的面积分别为，，图中两块阴影部分的面积和为__________． 16．若实数a，b同时满足，，则的值为_____． 三、解答题：本题共8小题，共72分. 17．（8分）计算： (1)； (2)解方程． 18．（6分）已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，那么化简的结果． 19．（8分）已知的立方根是，的算术平方根是3，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值． (2)求的平方根． 20．（8分）如图，由8个同样大小的正方体组成一个“2阶魔方”，整个魔方的体积为8． (1)求这个魔方的棱长； (2)图①中阴影部分是一个正方形，它的面积是魔方侧面面积的一半，求正方形的边长． (3)把正方形放到数轴上，如图②，使得点D与重合，那么点A在数轴上表示的数为 ． 21．（10分）如图1，探究：把两个面积为的小正方形沿着虚线剪开，将所得的四个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为的大正方形，因此，可得大正方形的边长为．启发：把两个长为3、宽为2的长方形沿着虚线剪开，将所得的四个直角三角形拼成如图2所示的一个正方形． (1)求的值； (2)比较和的大小． 22．（10分）类比探究：小红同学在学习完平方根（二次方根）、立方根（三次方根）的知识后，想要类比探究四次方根、五次方根的相关知识： 若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根； 若，则叫的四次方根，记作，例如：16的四次方根记为． 请认真阅读上面的材料，回答下列问题： (1)①类似地，若_______________，则叫的五次方根，记作_______________； ②32的五次方根为_______________； (2)若，则_______________； (3)求的值：． 23．（10分）根据题意解答下列问题 阅读与理解 素材 素材背景 数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人感觉十分惊奇，请华罗庚给大家解读其中的奥秘． 步骤一 ，，， ． ∴能确定59319的立方根是个两位数． 步骤二 ∵59319的个位数是9，， ∴能确定59319的立方根的个位上的数是9． 步骤三 如果划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得．由此能确定59319的立方根的十位上的数是3． 因此59319的立方根是39． 思路分析：仿照素材的解题步骤：先求位数，再求个位，接着求十位……以此推算即可．（参考数据：，，，，，，，，） (1)任务1：问题解决，方法迁移，已知195112是一个整数的立方，按上述方法求它的立方根，请完成下列填空． ①它的立方根是____________位数； ②它的立方根的十位上的数是____________； (2)任务2：解决问题，已知110592是一个整数的立方，按照上述方法求出它的立方根． 24．（12分）小李同学探索的近似值的过程步骤如下： 步骤（1）：∵面积为137的正方形的边长是，估计在两个正整数之间，即①②， ∴可将表示为整数部分加上小数部分的形式，即③，其中， 步骤（2）：画出示意图，如图所示． 可得图中正方形的面积④．（要求：用含x的二次三项式表示） 又∵，∴④． 步骤（3）：当时，可忽略不计的值，得⑤，得到， 步骤（4）：∴． (1)请仔细阅读以上探究过程，根据上下文和图示，在横线处按序号①、②、③、④、⑤依次填写对应内容．（注：两处序号④填写内容相同．） ①______；②______；③______；④______；⑤______． (2)结合上述具体实例，已知非负整数a，b，m，若，且，求的近似值．（用含有a，b的式子表示） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 实数 单元测试 总分：120分（参考答案） 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C D A D D B D C A B 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 12. 13. 14. 15. 16.2 三、解答题：本题共8小题，共72分. 17．（8分） 【答案】(1)7； (2)或． 【详解】（1）解： ．（4分） （2）解：， 移项得， 开平方得， 解得或．（8分） 18．（6分） 【答案】 【分析】先根据数轴可得，则，再化简计算即可． 【详解】解：由数轴可得， ∴ ∴ （6分） 19．（8分） 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据立方根，算术平方根的定义，求出，夹逼法求出的值； （2）根据（1）中结果，求出代数式的值，再根据平方根的定义进行计算即可. 【详解】（1）解：的立方根是， ， 解得； 的算术平方根是3， ， 解得； 是的整数部分 ．   （4分） （2） 解：当时， ； 的平方根为．（8分） 20．（8分） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据立方体的体积公式，直接求棱长即可； （2）根据棱长，可求出侧面面积为4，阴影部分正方形面积为2，由此求出边长即可得解； （3）用点表示的数加上边长即可得解． 【详解】（1）解：设魔方的棱长为， 则， 解得； ∴这个魔方的棱长为2；（2分） （2）解：∵棱长为2， ∴每个小立方体的边长都是1， ∴正方形的面积为：，即, ∴正方形的边长；（5分） （3）∵正方形的边长为，点与重合， ∴点在数轴上表示的数为：．（8分） 21．（10分） 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据大正方形面积＝空白部分面积+4个直角三角形的面积，通过计算得出的值； （2）由（1）可确定k的取值范围，再确定的取值范围，即可解答． 【详解】（1）解：大正方形面积为，空白部分面积为， 根据题意，得， 即，解得或（舍去）． 因此的值为.（5分） （2）解：，即， ． ．（10分） 22．（10分） 【答案】(1)① ，；② (2) (3)或 【分析】（1）根据题干内容，模仿作答①②即可； （2）先结合四次方根以及绝对值的非负性，且，得，，故，，最后代入计算，即可作答． （3）先移项，然后方程两边同时除以3，整理得，即可作答． 【详解】（1）解：①根据题干给出的二次方根、三次方根、四次方根的定义，类比可得，若 ，则x叫a的五次方根，记作． ②∵， ∴32的五次方根为2．（3分） （2）解：∵，，且， ∴，， 解得，， ∴， ∵， ∴．（6分） （3）解：∵， ∴， ∴ ∴， ∴， 解得，．（10分） 23．（10分） 【答案】(1)①两；②5 (2) 【分析】（1）①参照第一步求出，由此即可得； ②参照第三步求出，由此即可得； （2）参照素材中的三个步骤：第一步确定它的立方根是两位数，第二步确定它的立方根的个位上的数，第三步确定它的立方根的十位上的数，由此即可得． 【详解】（1）解：①，，， ． ∴能确定195112的立方根是两位数．（2分） ②∵如果划去195112后面的三位112得到数195，且，即， ∴， ∴它的立方根的十位上的数是5．（4分） （2）解：第一步：，，， ， ∴能确定的立方根是个两位数． 第二步：∵110592的个位上的数是2，且， ∴能确定的立方根的个位上的数是8． 第三步：∵如果划去110592后面的三位592得到数110，且，即， ∴， ∴能确定的立方根的十位上的数是4， ∴的立方根是48．（10分） 24．（12分） 【答案】(1)11，12，11，； (2) 【分析】（1）根据题目提供的示例解答即可； （2）设，两边平方得，，依照示例得，可得结论． 【详解】（1）解：步骤（1）：∵面积为137的正方形的边长是，估计在两个正整数之间，即， ∴可将表示为整数部分加上小数部分的形式，即，其中， 步骤（2）：画出示意图，如图所示． 可得图中正方形的面积．（要求：用含x的二次三项式表示） 又∵， ∴． 步骤（3）：当时，可忽略不计的值，得⑤，得到， 步骤（4）：∴．（6分） （2）解：∵，且， ∴设， 两边平方得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴．（12分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 实数 单元测试 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．在下列实数中，属于无理数的是（     ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【分析】无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称． 【详解】解：是分数，属于有理数；是整数，属于有理数；，是整数，属于有理数； ∵是无限不循环小数，因此也是无限不循环小数， ∴是无理数． 2．下列算式中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平方根、算术平方根和立方根的定义逐一计算判断各选项即可． 【详解】解：A，表示9的算术平方根，结果为非负数，即， ∴ A错误，不符合题意； B，表示9的平方根，则， ∴ B错误，不符合题意； C，∵先计算被开方数得， ∴， ∴ C错误，不符合题意； D，∵， ∴， ∴ D正确，符合题意． 3．若将一个正方体的体积扩大为原来的64倍，则它的棱长变为原来的（     ） A．4倍 B．8倍 C．12倍 D．倍 【答案】A 【分析】根据正方体体积等于棱长的立方，结合体积的变化即可求出棱长的变化倍数． 【详解】解：设原正方体的棱长为，则原正方体体积为， 设棱长变为原来的倍，则现棱长为，现体积为， 由题意得，即， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 即棱长变为原来的倍． 4．一个正数的两个平方根为，，则这个正数是多少（    ） A．1 B．4 C．9 D．16 【答案】D 【分析】利用正数的平方根的性质求解，一个正数的两个平方根互为相反数，据此先求出参数的值，再计算得到这个正数． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根互为相反数， ∴ 整理得 解得， 将代入，得， ∴这个正数为． 5．边长是的正方形面积是6，如图，表示的点在数轴上位于哪两个字母之间（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】根据正方形的面积公式求出边长 ，再利用夹逼法估算 的取值范围，最后结合数轴确定点的位置． 【详解】解：∵正方形的面积是6， ∴正方形的边长 ， ∵，，且 ， ∴， 又∵，且 ， ∴， ∴， 由数轴可知，点 表示2，点 表示2.5， ∴表示 的点在数轴上位于 与 之间． 6．介于两个相邻的整数之间，下列判断正确的是（     ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】B 【详解】解：，，且， ，即， 因此介于和之间， 故选：B． 7．化简结果为（     ） A． B． C． D．1 【答案】D 【详解】解：∵， ∴，， ∴原式 ． 8．利用计算器计算出的各数的算术平方根如下： … … … 11 110 … 根据以上规律，若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据表格归纳算术平方根的变化规律：被开方数的小数点向左（或向右）移动两位，它的算术平方根的小数点相应向左（或向右）移动一位，再利用规律计算所求值． 【详解】解：由表格得到规律：被开方数小数点向左（右）移动两位，算术平方根的小数点同步向左（右）移动一位， 是将的小数点向左移动两位得到的，且已知， 根据规律，将的小数点向左移动一位，得． 9．按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察可知每个代数式都含，系数是从1开始的连续奇数，据此推导第个代数式即可． 【详解】解：∵第1个代数式为， 第2个代数式为， 第3个代数式为， 第4个代数式为， ……， ∴以此类推，第个代数式是． 10．对于一个正实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数表示不大于的最大整数），称为的根整数，如：，．如果我们对连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对连续求根整数2次，，这时候结果为．现有如下四种说法： ①； ②： ③若方程，则满足条件的的整数值有3个； ④进行3次连续求根整数运算后，结果为1的所有正整数中，最大值与最小值之差为239． 其中说法不正确的有（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题考查无理数的估算，算术平方根，实数新定义，理解题意正确计算是解题关键．根据题中的定义结合举反例和列举法逐项判断即可． 【详解】解：①因为，，，故； 故①不符合题意； ②举反例，当时，，而，不相等， 故②符合题意； ③由题意知，，当时，，所以不可以是3； 当时，，所以可以是4； 当时，，所以可以是5； 当时，，所以可以是6； 当时，，所以不可以是7； 同理，也不可以是8，9，10，11，12；所以满足题意的有3个， 故③不符合题意； ④首先找最小的3次连续求根整数运算后结果为1的数，，，，所以最小的3次连续求根整数运算后结果为1的数是16； 然后找最大的3次连续求根整数运算后结果为1的数，，，，所以最大的3次连续求根整数运算后结果为1的数是255； ， 故④不符合题意． 故选：B． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．实数的相反数是_________． 【答案】 【详解】解：根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，因此的相反数为. 12．计算：_____． 【答案】 【详解】解：． 13．比较大小：________（填“”、“”或“”号） 【答案】 【分析】本题比较正数和无理数的大小，可利用平方比较法，两个正数中，平方更大的数本身更大，计算两个数的平方后比较平方的大小即可得到结果． 【详解】解：∵，，， ∵∴ 14．已知实数和满足，则的值为__________． 【答案】 【分析】利用算术平方根的非负性，先求出的取值，再代入等式求出的值，最后代入所求式子计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 即， 解得， 将代入，得． 15．如图，长方形内两个正方形的面积分别为，，图中两块阴影部分的面积和为__________． 【答案】 【分析】根据正方形的面积得到正方形的边长，进而得到长方形的长和宽，即可得解． 【详解】解：长方形内两个正方形的面积分别为，， 两个正方形的边长分别为，， 长方形的长为，宽为， 两块阴影部分的面积和为． 16．若实数a，b同时满足，，则的值为_____． 【答案】2 【分析】先由绝对值的非负性得到，，则，；再对进行分类讨论，去绝对值，解一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，； 当时，则，则， ∵， ∴， 当，即时，， 解得， ∴，符合题意， ∴； 当，即，则，该方程无解； 当时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，该方程无解， ∴综上：． 三、解答题：本题共8小题，共72分． 17．（8分）计算： (1)； (2)解方程． 【答案】(1)7； (2)或． 【详解】（1）解： ．（4分） （2）解：， 移项得， 开平方得， 解得或．（8分） 18．（6分）已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，那么化简的结果． 【答案】 【分析】先根据数轴可得，则，再化简计算即可． 【详解】解：由数轴可得， ∴ ∴ （6分） 19．（8分）已知的立方根是，的算术平方根是3，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值． (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据立方根，算术平方根的定义，求出，夹逼法求出的值； （2）根据（1）中结果，求出代数式的值，再根据平方根的定义进行计算即可. 【详解】（1）解：的立方根是， ， 解得； 的算术平方根是3， ， 解得； 是的整数部分 ．   （4分） （2） 解：当时， ； 的平方根为．（8分） 20．（8分）如图，由8个同样大小的正方体组成一个“2阶魔方”，整个魔方的体积为8． (1)求这个魔方的棱长； (2)图①中阴影部分是一个正方形，它的面积是魔方侧面面积的一半，求正方形的边长． (3)把正方形放到数轴上，如图②，使得点D与重合，那么点A在数轴上表示的数为 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据立方体的体积公式，直接求棱长即可； （2）根据棱长，可求出侧面面积为4，阴影部分正方形面积为2，由此求出边长即可得解； （3）用点表示的数加上边长即可得解． 【详解】（1）解：设魔方的棱长为， 则， 解得； ∴这个魔方的棱长为2；（2分） （2）解：∵棱长为2， ∴每个小立方体的边长都是1， ∴正方形的面积为：，即, ∴正方形的边长；（5分） （3）∵正方形的边长为，点与重合， ∴点在数轴上表示的数为：．（8分） 21．（10分）如图1，探究：把两个面积为的小正方形沿着虚线剪开，将所得的四个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为的大正方形，因此，可得大正方形的边长为．启发：把两个长为3、宽为2的长方形沿着虚线剪开，将所得的四个直角三角形拼成如图2所示的一个正方形． (1)求的值； (2)比较和的大小． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据大正方形面积＝空白部分面积+4个直角三角形的面积，通过计算得出的值； （2）由（1）可确定k的取值范围，再确定的取值范围，即可解答． 【详解】（1）解：大正方形面积为，空白部分面积为， 根据题意，得， 即，解得或（舍去）． 因此的值为.（5分） （2）解：，即， ． ．（10分） 22．（10分）类比探究：小红同学在学习完平方根（二次方根）、立方根（三次方根）的知识后，想要类比探究四次方根、五次方根的相关知识： 若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根； 若，则叫的四次方根，记作，例如：16的四次方根记为． 请认真阅读上面的材料，回答下列问题： (1)①类似地，若_______________，则叫的五次方根，记作_______________； ②32的五次方根为_______________； (2)若，则_______________； (3)求的值：． 【答案】(1)① ，；② (2) (3)或 【分析】（1）根据题干内容，模仿作答①②即可； （2）先结合四次方根以及绝对值的非负性，且，得，，故，，最后代入计算，即可作答． （3）先移项，然后方程两边同时除以3，整理得，即可作答． 【详解】（1）解：①根据题干给出的二次方根、三次方根、四次方根的定义，类比可得，若 ，则x叫a的五次方根，记作． ②∵， ∴32的五次方根为2．（3分） （2）解：∵，，且， ∴，， 解得，， ∴， ∵， ∴．（6分） （3）解：∵， ∴， ∴ ∴， ∴， 解得，．（10分） 23．（10分）根据题意解答下列问题 阅读与理解 素材 素材背景 数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人感觉十分惊奇，请华罗庚给大家解读其中的奥秘． 步骤一 ，，， ． ∴能确定59319的立方根是个两位数． 步骤二 ∵59319的个位数是9，， ∴能确定59319的立方根的个位上的数是9． 步骤三 如果划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得．由此能确定59319的立方根的十位上的数是3． 因此59319的立方根是39． 思路分析：仿照素材的解题步骤：先求位数，再求个位，接着求十位……以此推算即可．（参考数据：，，，，，，，，） (1)任务1：问题解决，方法迁移，已知195112是一个整数的立方，按上述方法求它的立方根，请完成下列填空． ①它的立方根是____________位数； ②它的立方根的十位上的数是____________； (2)任务2：解决问题，已知110592是一个整数的立方，按照上述方法求出它的立方根． 【答案】(1)①两；②5 (2) 【分析】（1）①参照第一步求出，由此即可得； ②参照第三步求出，由此即可得； （2）参照素材中的三个步骤：第一步确定它的立方根是两位数，第二步确定它的立方根的个位上的数，第三步确定它的立方根的十位上的数，由此即可得． 【详解】（1）解：①，，， ． ∴能确定195112的立方根是两位数．（2分） ②∵如果划去195112后面的三位112得到数195，且，即， ∴， ∴它的立方根的十位上的数是5．（4分） （2）解：第一步：，，， ， ∴能确定的立方根是个两位数． 第二步：∵110592的个位上的数是2，且， ∴能确定的立方根的个位上的数是8． 第三步：∵如果划去110592后面的三位592得到数110，且，即， ∴， ∴能确定的立方根的十位上的数是4， ∴的立方根是48．（10分） 24．（12分）小李同学探索的近似值的过程步骤如下： 步骤（1）：∵面积为137的正方形的边长是，估计在两个正整数之间，即①②， ∴可将表示为整数部分加上小数部分的形式，即③，其中， 步骤（2）：画出示意图，如图所示． 可得图中正方形的面积④．（要求：用含x的二次三项式表示） 又∵，∴④． 步骤（3）：当时，可忽略不计的值，得⑤，得到， 步骤（4）：∴． (1)请仔细阅读以上探究过程，根据上下文和图示，在横线处按序号①、②、③、④、⑤依次填写对应内容．（注：两处序号④填写内容相同．） ①______；②______；③______；④______；⑤______． (2)结合上述具体实例，已知非负整数a，b，m，若，且，求的近似值．（用含有a，b的式子表示） 【答案】(1)11，12，11，； (2) 【分析】（1）根据题目提供的示例解答即可； （2）设，两边平方得，，依照示例得，可得结论． 【详解】（1）解：步骤（1）：∵面积为137的正方形的边长是，估计在两个正整数之间，即， ∴可将表示为整数部分加上小数部分的形式，即，其中， 步骤（2）：画出示意图，如图所示． 可得图中正方形的面积．（要求：用含x的二次三项式表示） 又∵， ∴． 步骤（3）：当时，可忽略不计的值，得⑤，得到， 步骤（4）：∴．（6分） （2）解：∵，且， ∴设， 两边平方得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴．（12分） 2 学科网（北京）股份有限公司 $