等比数列前n项和专项检测试卷-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

2026-2027学第一学期高二数学人教A版等比数列前n项和专项检测卷 一、单选题 1．记为等比数列的前项和，若 ，则 （ ） A．9 B．15 C．21 D．27 2．设 则等于（   ） A． B． C． D． 3．已知数列是等比数列且是其前项和，，若，则（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 4．已知是公比为的无穷等比数列，前项和为，且，则“”是“有最大值”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知正项等比数列的前项和为，若，，则（     ） A． B． C．15 D．40 6．记等比数列的前项和为，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 7．若等比数列的前项和，则该数列的前9项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（   ） A． B．2 C． D． 8．侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规则的蜘蛛网，如图，它是由无数个正方形环绕而成，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外围一层正方形四条边的三等分点上，设外围第一个正方形的边长是m，有人说，如此下去，蜘蛛网的长度也是无限的增大，那么，试问，侏罗纪蜘蛛网的长度真的是无限长的吗？设侏罗纪蜘蛛网的长度为，则（    ） A．无限大 B．<3(3＋)m C．＝3(3＋)m D．可以取100m 二、多选题 9．记等比数列的前项和为，已知，公比为，则（   ） A．是等比数列 B．是等差数列 C．是等比数列 D．是等比数列 10．已知等比数列的公比为，前项和为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．，，成等比数列 D．若，则 11．已知等比数列的公比为q，前n项和，设，记的前n项和为，则下列判断正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、填空题 12．设等比数列的前项和为，已知，，则________． 13．已知等比数列为递减数列，其前项和为，且，则______． 14．已知数列的前项和为，若对任意，都有成立，则实数的取值范围为__________. 四、解答题 15．已知数列 满足 ，. (1)证明：数列 是等比数列； (2)求数列 的前项和. 16．已知数列的前项和为，且，又数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)当为何值时，数列是等比数列？并求此时数列的前项和的取值范围． 17．如图所示，正方形的边长为1，联结这个正方形各边的中点得到一个小正方形；又联结这个小正方形各边的中点得到一个更小正方形；如此无限继续下去．设第1个正方形的边长为，第2个正方形的边长为，第个正方形的边长为． (1)求证：为等比数列； (2)求所有这些正方形周长的和与面积的和． 18．已知数列为等比数列,公比为为数列的前项和. (1)若求 (2)若调换的顺序后能构成一个等差数列,求的所有可能值； (3)是否存在正常数使得对任意正整数不等式总成立?若存在,求出的取值范围；若不存在,请说明理由． 19．设数列的前项和为，已知，且． (1)证明：为等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，设，求数列的前项和． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C A A C D C B ABD BC 题号 11 答案 BD 1．C 【分析】根据数列为等比数列，则成等比数列求解． 【详解】因为数列为等比数列， 所以成等比数列， 即成等比数列， 所以， 所以． 2．C 【详解】的各项构成一个首项为，公比为的等比数列， 指数为，共计项， ． 3．A 【分析】由解得,然后根据求和公式建立方程求解即可 【详解】在等比数列中，设公比为, 因为，所以,解得. ,解得. 4．A 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的意义，结合等比数列前项和分析判断得解. 【详解】当时，，，， 则，当为偶数时，，而，则； 当为奇数时，，而，则. 因此对任意的正整数均有，即有最大值； 而当时，，此时也有最大值. 所以“”是“有最大值”的充分不必要条件. 5．C 【分析】根据等比数列前项和公式，结合已知条件求出公比，再计算. 【详解】对于正项等比数列，其首项为，公比为， 前项和公式为，已知， 假设，则，那么，， 因为，所以，由可得： ，化简可得：， 根据立方差公式可得：， 因为且，所以，等式两边除以可得： ，化简可得：， 进一步化简得：，即，求解可得： 或，因为，所以，根据等比数列的前项公式可得： . 6．D 【分析】根据等比数列片段和的性质即可求解. 【详解】已知等比数列的前项和为，设公比为， 根据等比数列片段和的性质，，，是以公比为的等比数列，即， 由于，变形得，则，故D正确. 7．C 【分析】先求出等比数列的通项公式，结合等比数列前项和公式求解即可. 【详解】当时，. 当时，. 因为为等比数列，所以时也满足，即，解得. 所以数列的通项公式为. 该数列的前9项中所有奇数项之和为， 该数列的前9项中所有偶数项之和为， 故该数列的前9项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为. 故选：C. 8．B 【分析】根据给定条件，由第一个正方形边长，求出第二个、第三个正方形边长，确定从外向内的各正方形边长依次排成一列的数列特性，再求和作答. 【详解】依题意，从外到内正方形的边长依次为，，，， 显然数列是首项为，公比的等比数列， 所以，ACD错误，B正确. 故选：B 9．ABD 【详解】，， A选项，， 故是首项为，公比为的等比数列，A正确； B选项，， ，即是首项为0，公差为2的等差数列，B正确； C选项，，其中，故不是等比数列，C错误； D选项，， 所以是首项为，公比为的等比数列，D正确. 故选：ABD 10．BC 【详解】对于A，当时，无意义，A错误； 对于B， ，B正确； 对于C，若，则，，， 因为，所以，，成公比为的等比数列； 若，则，， ， 所以，所以，，成公比为的等比数列，C正确； 对于D，当时，,对于任意的都满足， 但不一定成立，D错误. 11．BD 【分析】先求得的取值范围，根据的取值范围进行分类讨论，利用差比较法比较出和的大小关系. 【详解】由于是等比数列，，所以， 当时，，符合题意； 当时，，即，上式等价于①或②.解②得.解①，由于可能是奇数，也可能是偶数，所以. 综上所述，的取值范围是. ，所以，所以，而，且. 所以，当，或时，，即，故BD选项正确，C选项错误. 当时，，即. 当或时，，A选项错误. 综上所述，正确的选项为BD. 故选：BD 【点睛】本小题主要考查等比数列的前项和公式，考查差比较法比较大小，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题. 12．5 【分析】根据等比数列的通项公式以及前项和公式，将题中所给条件用表示，然后建立方程求出的值，最后再利用等比数列前项和公式求出即可. 【详解】，解得.所以. 13．/ 【分析】设数列公比为，运用等比数列的前项和的基本量运算求出，再利用等比数列的前项和公式，即可求解. 【详解】设数列公比为，依题意，得， 整理得，解得或， 又等比数列为递减数列，所以， 由，得到. 14． 【分析】先由题目得到，并得到，把不等式恒成立转化为对任意，恒成立，则即可求解 【详解】因为，所以数列是首项为 ，公比为的等比数列， 所以 ， 因为 ，所以， 由，得恒成立； 所以 又因为，所以，所以 所以， 所以， 故答案为： 15．(1)证明：因为， 所以， 即， 当时，， 所以是以1为首项，以2为公比的等比数列. (2) 【详解】（1）略. （2）由(1)得：， 所以， 所以. 16．(1) (2) 【分析】（1）由数列的前项和求出首项，再由求出通项公式，验证首项后得答案； （2）由求出数列的通项公式，结合数列是等比数列求得值，求出等比数列的前项和为，研究的单调性，求出的最值即得解. 【详解】（1）由， 当时，； 当 时，， 而， 故数列的通项公式为 ； （2）由，则 ,则数列为等比数列， 则首项为 满足的情况，故 ， 则， 因为 ，所以 是单调递增的， 故且， 即. 17．(1) 由题意得第1个正方形的边长，第个正方形的边长为 ． 即， 所以是首项为1，公比为的等比数列． (2)周长和为，面积和为2 【分析】（1）通过分析，得，得是首项为1，公比为的等比数列； （2）周长是首项为4、公比为的无穷等比数列，面积是首项为1、公比为的无穷等比数列，再根据无穷等比数列求和公式计算即可. 【详解】（1）略 （2）所有正方形的周长组成的数列为：， 这是首项为4、公比为的无穷等比数列，故所有的正方形的周长之和为． 所有正方形的面积组成的数列为：， 这是首项为1、公比为的无穷等比数列，故所有的正方形的面积之和为． 18．(1)17; (2) 的所有可能值为; (3) 存在正常数使得对任意正整数不等式总成立，且的取值范围为. 【分析】先求出公比，再利用等比数列的前项和公式即可求解； 对所有调换的顺序分情况求解即可； 先化简不等式，然后以与1的大小比较分情况讨论即可. 【详解】（1）    由得，解得或（舍去）， （2）    当时，任何顺序都能构成一个等差数列； 若成一个等差数列，则，所以或； 若成一个等差数列，则，所以或； 若成一个等差数列，则，所以或； 若成一个等差数列，则，所以或； 若成一个等差数列，则，所以， 故的所有可能值为. (3) 由为正常数，可知，故等价于. 当时，，,显然不满足题意；当时，,若，则，显然当，故不存在这样的；若，则，显然当，故只需，所以存在正常数使得对任意正整数不等式总成立，且的取值范围为. 【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式与前项和公式，在利用等比数列的前项和公式时，要注意公比是否为1，着重考查方程思想，属于中档题. 19．(1)证明：当时，，又，所以； 当时，，故， 两式相减得，即， 则，首项， 所以是以为首项，为公比的等比数列； 通项公式为； (2)； (3) 【分析】（1）先根据与关系求出的递推公式，进一步构造数列，利用定义证明等比数列；再根据等比数列的通项公式求的通项公式； （2）变形得到，利用数列单调性得到数列的最大值，进而得到实数的取值范围； （3）根据得到，将利用二项式定理展开，再分类讨论n为奇数和偶数，得到的通项公式，再分组求和即可. 【详解】（1）证明略；，所以； （2）由（1）知，，所以， 对任意的，不等式恒成立， 即恒成立， 设，于是， 当时，，即， 当时，，即， 故，所以实数的取值范围为； （3）由（1）知，， 因为 ， 当为奇数时，，故， 当为偶数时，，故， 所以 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $